2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系2.3.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2

3.3 空间两点间的距离公式1.会推导和应用长方体对角线长公式.(重点)2.会推导空间两点间的距离公式.(重点)3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题.(难点)[基础·初探]教材整理空间两点间的距离公式阅读教材P92“练习”以下至P94“例4”以上部分，完成下列问题.1.长方体的对角线：(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线.(如图2­3­9)图2­3­9(2)如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d2.空间两点间的距离公式：(1)空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离|OP|(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)和点B(2，－1,6)的距离是( )A.243B.221C.9D.86【解析】|AB|＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.【答案】 D[小组合作型]已知△ABC(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC 边上中线的长度.【精彩点拨】 本题考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可. 【自主解答】 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6， |AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72， ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.[再练一题]1.如果点P 在z 轴上，且满足|PO |＝1(O 是坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________.【解析】 由题意得P (0,0,1)或P (0,0，－1)， 所以|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＝2， 或|PA |＝(0－1)2＋(0－1)2＋(1＋1)2＝ 6. 【答案】2或 6已知A (x,5－、B 两点的坐标，并求此时的|AB |.【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x 的函数，由函数的性质求x ，再确定坐标.【自主解答】 由空间两点的距离公式得|AB |＝ (1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357. 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67.解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标.[再练一题]2.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)，B (1,0，－3).在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【解】 假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形. 由题意可知y 轴上的所有点都能使|MA |＝|MB |成立， 所以只要再满足|MA |＝|AB |，就可以使△MAB 为等边三角形. 因为|MA |＝32＋(－y )2＋12＝10＋y 2， |AB |＝2 5.于是10＋y 2＝25，解得y ＝±10.故y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，此时点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).[探究共研型]探究1 角坐标系O ­xyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上.当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值.图2­3­10【提示】 当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q (0，a ，z ). 则|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |取得最小值，且最小值为22a .即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ |有最小值，且最小值为22a . 探究2 在上述问题中，当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值.【提示】 因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ ⊥AB 时，|PQ |最短. 连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ |＝|BQ |，所以△QAB 是等腰三角形，所以当P 是线段AB 的中点时，|PQ |取得最小值，由(1)知最小值为22a . 已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2).(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小.【精彩点拨】 本例中有两两垂直的直线，可以以它们为坐标轴建系求解，(2)问可利用函数知识来解决.【自主解答】 (1)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直.以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1.(2)∵|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，∴当a ＝22时，|MN |min ＝22.合理地建立空间直角坐标系是解决问题的关键，而研究某量的最值的问题通常将这个量表示为某一个未知量的函数，通过研究函数的最值而得到.[再练一题]3.如图2­3­11，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，M ，N 分别是AB ，B 1C 1的中点，点P 是DM 上的点，DP ＝a ，当a 为何值时，NP 的长最小？图2­3­11【解】 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,2,3)，C 1(0,2,3)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，M (2,1,0)，N (1,2,3)， 设点P 的坐标为(x ，y,0)， 则x ＝2y (0≤y ≤1).|NP |＝(x －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝(2y －1)2＋(y －2)2＋(0－3)2＝5y 2－8y ＋14 ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －452＋545， 所以当y ＝45时，|NP |取最小值3305，此时a ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝455， 所以当a ＝455时，NP 的长最小.1.在空间直角坐标系中，设A (1,2，a )，B (2,3,4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( ) A.3或5 B.－3或－5 C.3或－5D.－3或5【解析】 由题意得|AB |＝(1－2)2＋(2－3)2＋(a －4)2＝3，解得a ＝3或5，故选A.【答案】 A2.已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】 由距离公式得：|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89， |AC |＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75， |BC |＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14， ∴|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，∴△ABC 为直角三角形. 【答案】 C3.已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________. 【解析】 ∵P 在z 轴上，可设P (0,0，z )，由|PA |＝|PB |， ∴(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝ (2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3. 【答案】 (0,0,3)4.点A (1，t,0)和点B (1－t,2,1)的距离的最小值为______. 【解析】 |AB |＝t 2＋(t －2)2＋1＝2(t －1)2＋3， ∴当t ＝1时，|AB |的最小值为 3. 【答案】35.如图2­3­12，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且A ′N ＝3NC ′，试求MN 的长.图2­3­12【解】 以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a ， 所以B (a ，a,0)，A ′(a,0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0,0，a ).由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a .因为A ′N ＝3NC ′，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a . 根据空间两点间距离公式，可得： |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－a 2＝64a .。