特征值特征向量定义
5.1 特征值与特征向量
例6
设A2 3A 2E O, 证明A 的特征值只能取1或2.
解 设A有特征值， A2 3 A 2E 则
3 2
2
又因为A2 3 A 2E 0 故2 3 2 0.
1或者 2.
例7
设n阶方阵A有n个特征值1,2,…., n, 求|A+3E|.
解 设A有特征值， A 3E 则
3
故A+3E的特征值为4, 5, ….., n+3 ( n 3)! A 3E 3!
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
α 0 是 A 的特征向量吗？ 不是
结论：设1, 2 ,, m是方阵A的m个特征值，p1, p2 ,, pm
Байду номын сангаас
依次是与之对应的特征 向量. 若1, 2 ,, m各不相等，
则p1 , p2 ,, pm线性无关。
总结：
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍 是属于这个特征值的特征向量． 3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特 征向量只能属于一个特征值．
特征向量仍为 x。
(1 证明： ) Ax x ( kA) x ( k ) x
( 2) A2 x A Ax Ax Ax x 2 x 1 1 1 1 1 ( 3) A Ax A x A x A x x
* *
|A |
x
若，， ，n 是可逆矩阵A的全部特征值，则A*的 | A| | A| | A| 全部特征值是 : ， ， ， ,且对应的特征向量
特征值和特征向量的性质
1
的
一
个
特
征
值
为___3_/4_ .
A* 1的一个特征值为____2/_3 .
2 1 1
例6
已知 1
k
1T
为A
1
1
2 1
0的都是矩阵A的特征值.
3. A I 0
a11 a1
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程
为A的
.
记
,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的
.
4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann；
例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
A I 3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 ) 解特征方程 A I 0
即得A的特征值为 2, 4.
1
2
当 2时,对应的特征向量应满足 1
3 2 1
1 32
x1 x2
0 0
即
xx1 1xx2 200, .
解得 x1
x2,
所
以
对
应
的
特
征
向
量
可取
为
p 1
c
11 ,
c
0.
当 4时,由 2
3 4 1
1 34
x1 x2
0 0
,即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
,
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
1 p2 c 1 , c 0.
(a11 a22 ann ) 由同次项系数应该相等，知成立
第五章 特征值与特征向量
X = k1 X1 kt Xt (k1, , kt不全为0) 也是 A 的属于的特征向量。
性质2 若n阶方阵A = (aij ) 的n个特征值为λ1, λ2,
n
则
det( A) λi λ1λ2 λn
i 1
n
n
λi aii
i 1
i 1
n
其中 aii称为A的迹，记为tr(A)。
i 1
,
λ
i=1
i=1
a11 λ a12
a1n
由于(*)左边 det( A λE) a21 a22 λ
a2n
an1
an2
ann λ
是λ的n次多项式，其(-λ)n-1项的系数为a11 a22 ann；
n
(*)右边(λ1 λ)(λ2 λ) (λn λ)的展开式(-λ)n-1项的系数为 λi
A
E
-4 1
2 0
01ห้องสมุดไป่ตู้
行 变换
0 0
1 0
2 0
,
-1
由
x1 x2 2
x3 x3
0，得基础解系 0
X2
-21
,
所以k2 X2 (k2 0)是对应于λ2 λ 3 1的全部特征向量。
3 2 -2
例5.3 求矩阵A = -2 -2 4的特征值和特征向量。
2
4
-2
解 A的特征多项式为
=
0 0
得基础解系X1 (2,1, 0)T，X2 (2, 0,1)T。
从而A的属于1 2 2的特征向量为
k1 X1 k2 X2 (k1，k2是不全为0的常数)。
当3 -5时, 解方程组( A 5E) X O，即
8 2 -2 x1 0
4-1 特征值与特征向量
kI A k A
k k -
A ③ 若Ａ可逆，则 是 A*的一个特征值； l
A A A A
A A A I
A I＝ A
A A A
A
Ａ可逆 0. 假设 ＝0， I - A =0 - A =0， 与Ａ可逆矛盾. 0 A \ 是 A* 的一个特征值； l
一特征值与特征向量的概念一特征值与特征向量的概念定义定义11a为n阶方阵如果存在数和n维非零向量使得则称为a的特征值称为a的对应于特征值的特征向量
一、特征值与特征向量的概念 定义1 Ａ为ｎ阶方阵，如果存在数λ和ｎ维非零 向量α，使得 A
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的对应于特征值 λ的特征向量． Ax y 线性变换 A
0， 是方程的非零解, I A 0.
特征值：方程 I A 0 的根. 特征向量： 齐次线性方程组 I A x 0 非零解向量.
定义2 称 I A 为Ａ的特征矩阵． a11 a12 a1n a21 a22 a2 n I A
1 例3 设矩阵 轾 - 1 0 犏 已知矩阵A有特征值1 1, 2 2, A= 犏 x 0 2 犏 犏 2 1 求x，及A的另一个特征值. 4 臌 3 3 x 2 解：1 2 3 1 x 1 1 - 1 0 123 A 2 x 0 = x + 2 23 x 2 4
1 2 n
n
I A 1 2 n
n 1
1 12 n
n
令 0, 0I A = A (-1)n A 1 12 n
矩阵的特征值和特征向量
矩阵的特征值和特征向量矩阵是线性代数中重要的概念之一，其特征值和特征向量也是矩阵理论中的核心内容。
本文将全面介绍矩阵的特征值和特征向量，包括定义、性质、求解方法以及应用等方面，为读者深入理解和应用矩阵的特征值和特征向量提供帮助。
一、特征值和特征向量的定义矩阵A是由m×n个数构成的矩形数表，其特征值和特征向量是矩阵的重要性质。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是矩阵A的特征值，而非零向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的定义说明了矩阵在线性变换下的不变性。
特征向量表示了矩阵在该线性变换下的一个不变方向，而特征值则表示了该方向上的伸缩倍数。
二、特征值和特征向量的性质矩阵的特征值和特征向量具有以下性质：1. 特征值与矩阵的行列式和迹有关。
对于n阶矩阵A，其特征值λ1, λ2, …, λn满足λ1 + λ2 + … + λn = tr(A)，λ1 × λ2 × … × λn = |A|。
2. n阶方阵的特征向量个数不超过n，且特征向量线性无关。
3. 若λ是方阵A的特征值，则对于任意非零常数c，cλ也是A的特征值。
4. 若λ是方阵A的特征值，且x是A对应于λ的特征向量，则对于任意正整数k，λ^k是A^k的特征值，x是A^k对应于特征值λ^k的特征向量。
三、特征值和特征向量的求解方法求解特征值和特征向量是矩阵理论中一个重要的问题。
下面介绍两种常用的求解方法：1. 特征方程法：设A是一个n阶矩阵，λ是其特征值，x是对应于λ的特征向量，那么Ax = λx可以变形为(A - λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵。
由于x是非零向量，所以矩阵(A - λI)的行列式必须为零，即|A - λI| = 0，这样就可以得到特征值λ的值。
然后，通过解(A - λI)x = 0可以求得特征向量x。
2. 幂迭代法：这是一种迭代法的方法，通过矩阵的幂次迭代来逼近特征向量。
特征值和特征向量
特征值和特征向量首先，我们先来了解一下矩阵。
矩阵是由一个矩形的数组组成的，其中的每个元素都可以是实数或复数。
例如，3x3的矩阵可以写为：A=[abc][def][ghi]Av=λv那么v就是矩阵A的特征向量，λ就是矩阵A的特征值。
换句话说，特征向量在矩阵的变换下只发生拉伸或缩放，而不发生旋转或扭曲。
特征值表示特征向量被拉伸或缩放的比例。
det(A - λI) = 0其中，det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。
通过解特征方程，我们可以求得特征值λ。
然后，我们可以将每个特征值代入原方程Av =λv中，从而求得对应的特征向量v。
1.矩阵的对角化：特征值和特征向量可以帮助我们将一个复杂的矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵更容易进行计算和分析，也更便于推导矩阵的性质。
2.矩阵的相似性：如果一个方阵A和B有相同的特征值和特征向量，那么A和B是相似的。
相似的矩阵在一些数学和物理问题中具有相同的性质和行为，因此，通过特征值和特征向量可以判断矩阵的相似性。
3.矩阵的主成分分析（PCA）：主成分分析是一种常用的数据降维方法，它可以通过计算矩阵的特征值和特征向量，将高维数据降低到低维空间中。
通过PCA，我们可以找到数据中最重要的特征和主要方向，从而减少冗余信息。
4.矩阵的奇异值分解（SVD）：奇异值分解是矩阵分解的一种重要方法，它可以将一个任意形状的矩阵表示为三个矩阵的乘积。
在奇异值分解中，矩阵的特征值和特征向量扮演了重要的角色。
5.线性变换和矩阵的谱：特征值和特征向量可以帮助我们理解和描述线性变换和矩阵的谱。
谱是矩阵A的特征值的集合，它可以提供关于矩阵的一些性质信息，比如矩阵的正定性、对称性、收敛性等。
总结起来，特征值和特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和描述矩阵的性质和变换，以及在许多实际问题中的应用。
特征值和特征向量的计算和应用对于数学、物理、工程和计算机科学等领域都有重要意义。
特征值与特征向量
例２
求矩阵A
1 4
1 3
00 的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当1 2时,解方程( A 2E )x 0.由
3 A 2E 4
1 1
0 0
§6.1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成 立,那 末, 这样的数称为方阵A的特征值, 非 零 向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1
1
A E 0 2 0
4 1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程A E x 0.由
n
aii tr( A) i 1
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
n
2)
i 12 L n＝ A
i 1
性质2： 矩阵 A 和 AT 的特征值相同。
性质3： 若 A 的特征值是 ， x 是 A 的对应于
的特征向量，则
(1) kA的特征值是 k. (k 是任意常数)
(2) Am 的特征值是 m . (m是正整数)
一特征值与特征向量概念
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
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A ( O ) (I A) O 是方程组 (I A) X O 的非零解 于是，
即
设 是方阵A对应于特征值 的特征向量，
0 a11 a1 n 0 a n1 ann a11 a1 n a a n1 nn
性质1
故 X Y 是A 属于 0 的特征向量。 一般，c1 X c2Y 也是A 属于 0 的特征向量 (c1 , c2不全为零）。
思考题：
X 是A属于 1 的特征向量，Y 是A属于 2 的特征向量， 且 1 2， 问：X Y是否为A的特征向量？
答案：否！（为什么？）
求特征值与特征向量的方法
I A 0
| A I | 0) 称为A的特征方程， (注：
特征方程的根就是特征值，也叫特征根， 若 为单根，称之为单特征根； 若 是k重根，则称为A的k重特征根。 方程组 (I A) X O 的每一个非零解 都是相应于 的特征向量。
满足 A ( O )
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 . 3 2 2 4 2 2 使得 AX 2 2 2 X 2 ， 有 X 2 O， 1 0 1 2 1 1 所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
0 A对应于 1＝2 的全部特征向量为：c 0 , c 0 1
将 2＝1 代入方程组 (I A) X O, 整理得
x2 2 x1 , x3 x1
1 取 x1 1 得基础解系 2 , 1
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。 特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
3 2 例 设 A ， 1 0 3 2 1 1 1 使得 AX1 1 X 1 ， 则有 X 1 O， 1 0 1 1 1
将 1＝2 代入方程组 (I A) X O, 得
| I A |
3 x1 x2 0 4 x1 x2 0 x1 0 x3 任意取值
x1 x2 0 即 ， x3 任意取值
0 取 x3 ห้องสมุดไป่ตู้ 得基础解系 0 ， 1
在n阶方阵中，对角阵最简单，其性质
一目了然。本章介绍在什么条件下，可
把n阶方阵化成对角阵，这需涉及矩阵 的特征值和特征向量。
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义 定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
1 对于 . 1
3 2 1 5 1 A . 1 0 1 1 1
故 不是A的特征向量
特征向量的两个性质 (补充)
X 是A 属于 0 的特征向量，k 为非零常数 kX 也是A 属于 0 的特征向量。 AX 0 X , X O 证 A( kX ) k ( AX ) k (0 X ) 0 ( kX ) 故 kX 也是A 属于 0 的特征向量。 性质2 X ,Y 是A 属于同一特征值0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。 证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0 ( X Y )
I A 0
定义4.2(P.177): I A 的展开式称为A的特征多项式，
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n f A ( ) I A a n1 an 2 ann
记为
n 次 多 项 式
an1 x1 an 2 x2 (i ann ) xn 0
X 1 , X 2 , , X s 求出 基础解系 则得对应于 i 的全部特征向量：
c1 X 1 c2 X 2 cs X s
(c1 , c2 ,, cs 不全为零)
例 （P.178 例2）
1 1 0 A 4 3 0 1 0 2 1 1 0
4 3 0 用图示法 1 0 2 ( 1)( 3)( 2) 4( 2) 2 ( 2)( 2 1) ( 2)( 1)2 由 ( 2)( 1)2＝0 得A 的特征值： 1＝2，2＝3＝1 （二重根）
1 2 3
即
特征值与特征向量的计算步骤： 求 f ( ) | I A | ，k ( k n) 求 I A 0 的全部相异根 1，2， 将 1，2， ，k 逐个代入方程组 (i I A) X O a12 x2 a1n xn 0 (i a11 ) x1 a21 x1 (i a22 ) x2 a2 n xn 0