2018年内蒙古巴彦淖尔市临河区中考数学模拟试卷(5月份)(解析版)

2018年内蒙古巴彦淖尔市临河区中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案涂在答题纸上指定位置，答到试卷上不得分．）1．（4分）|﹣|的倒数是（）A．﹣2 B．﹣ C．D．22．（4分）下列运算正确的是（）A．5a+2b=5（a+b） B．a+a2=a3C．2a3•3a2=6a5D．（a3）2=a53．（4分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（4分）若a+|a|=0，则等于（）A．2﹣2a B．2a﹣2 C．﹣2 D．25．（4分）一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积（）A．65πB．90πC．25πD．85π6．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A．50π﹣48 B．25π﹣48 C．50π﹣24 D．7．（4分）从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）A．B．C．D．8．（4分）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA 的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④9．（4分）如图所示，把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，如果折叠后得等腰△EBA，那么结论中：①∠A=30°；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（4分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O ﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B． C．D．二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上）11．（4分）分解因式8x2y﹣2y=．12．（4分）如图，直线l1∥l2，则∠1+∠2=．13．（4分）在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为．14．（4分）一组数据4，3，5，x，4，5的众数和中位数都是4，则x=．15．（4分）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是．16．（4分）正方形EFGH的顶点在边长为3的正方形ABCD边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为．三、解答题（本大题共有8个小题，共86分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置）17．（12分）（1）计算：3tan30°+|2﹣|+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x=，y=﹣1；18．（8分）某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价﹣进价）19．（10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率．（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．20．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？（2）求出扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图；（3）若该校有2000名学生，请估计选择“A：跑步”的学生约有多少人？21．（10分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点A（﹣2，3），点B（6，n）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=（m≠0）的图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．24．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+2x+8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且B（4，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）如果点P（p，0）是x轴上的一个动点，则当|PC﹣PD|取得最大值时，求p的值；（3）能否在抛物线第一象限的图象上找到一点Q，使△QBC的面积最大，若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．2018年内蒙古巴彦淖尔市临河区中考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案涂在答题纸上指定位置，答到试卷上不得分．）1．（4分）|﹣|的倒数是（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】根据绝对值是和倒数的定义求解．【解答】解：∵|﹣|=，的倒数是2，∴|﹣|的倒数是2．故选：D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．5a+2b=5（a+b） B．a+a2=a3C．2a3•3a2=6a5D．（a3）2=a5【分析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、5a+2b，无法计算，故此选项错误；B、a+a2，无法计算，故此选项错误；C、2a3•3a2=6a5，故此选项正确；D、（a3）2=a6，故此选项错误．故选：C．3．（4分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．4．（4分）若a+|a|=0，则等于（）A．2﹣2a B．2a﹣2 C．﹣2 D．2【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵a+|a|=0，∴|a|=﹣a，则a≤0，故原式=2﹣a﹣a=2﹣2a．故选：A．5．（4分）一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算出该几何体的表面积（）A．65πB．90πC．25πD．85π【分析】根据三视图可判断该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，再利用勾股定理计算出母线长，然后求底面积与侧面积的和即可．【解答】解：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5，所以圆锥的母线长==13，所以圆锥的表面积=π•52+•2π•5•13=90π．故选：B．6．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）A．50π﹣48 B．25π﹣48 C．50π﹣24 D．【分析】设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，根据直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再根据勾股定理计算出AD，然后利用阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积计算即可．【解答】解：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，∴AD⊥BC，∴BD=DC=BC=8，而AB=AC=10，CB=16，∴AD===6，∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积，=π×52﹣×16×6，=25π﹣48．故选：B．7．（4分）从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，故概率为=．故选：B．8．（4分）函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA 的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【分析】由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S=S△OAC=，故①正确；△OBD当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．【解答】解：∵A、B是反比函数y=上的点，=S△OAC=，故①正确；∴S△OBD当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；∵P是y=的图象上一动点，=4，∴S矩形PDOC=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；∴S四边形PAOB连接OP，===4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：C．9．（4分）如图所示，把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，如果折叠后得等腰△EBA，那么结论中：①∠A=30°；②点C与AB的中点重合；③点E到AB的距离等于CE的长，正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据翻折变换的性质分别得出对应角相等以及利用等腰三角形的性质判断得出即可．【解答】解：∵把直角三角形纸片沿过顶点B的直线（BE交CA于E）折叠，直角顶点C落在斜边AB上，折叠后得等腰△EBA，∴∠A=∠EBA，∠CBE=∠EBA，∴∠A=∠CBE=∠EBA，∵∠C=90°，∴∠A+∠CBE+∠EBA=90°，∴∠A=∠CBE=∠EBA=30°，故①选项正确；∵∠A=∠EBA，∠EDB=90°，∴AD=BD，故②选项正确；∵∠C=∠EDB=90°，∠CBE=∠EBD=30°，∴EC=ED（角平分线上的点到角的两边距离相等），∴点E到AB的距离等于CE的长，故③选项正确，故正确的有3个．故选：D．10．（4分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O ﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）A．B． C．D．【分析】本题考查动点函数图象的问题．【解答】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．故选：C．二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡上对应的横线上）11．（4分）分解因式8x2y﹣2y=2y（2x+1）（2x﹣1）．【分析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）=2y（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．12．（4分）如图，直线l1∥l2，则∠1+∠2=30°．【分析】先利用三角形外角性质得∠1+∠3=125°，∠2+∠4=85°，把两式相加得到∠1+∠3+∠2+∠4=210°，再根据平行线的性质，由l1∥l2得到∠3+∠4=180°，然后通过角度的计算得到∠1+∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠1+∠3=125°，∠2+∠4=85°，∴∠1+∠3+∠2+∠4=210°，∵l1∥l2，∴∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=210°﹣180°=30°．故答案为：30°．13．（4分）在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为cm．【分析】利用已知得出底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm，进而得出母线长，即可得出答案．【解答】解：∵半径为1cm的圆形，∴底面圆的半径为：1cm，周长为2πcm，扇形弧长为：2π=，∴R=4，即母线为4cm，∴圆锥的高为：=（cm）．故答案为：cm．14．（4分）一组数据4，3，5，x，4，5的众数和中位数都是4，则x=4．【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此可得出答案．【解答】解：∵一组数据4，3，5，x，4，5的众数和中位数都是4，∴x=4，故答案为：4．15．（4分）抛物线y=x2﹣4x+与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求m的值，再令y=0解一元二次方程求另一交点的横坐标．【解答】解：把点（1，0）代入抛物线y=x2﹣4x+中，得m=6，所以，原方程为y=x2﹣4x+3，令y=0，解方程x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．16．（4分）正方形EFGH的顶点在边长为3的正方形ABCD边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系式为y=2x2﹣6x+9．【分析】由AAS证明△DHE≌△AEF，得出DE=AF=x，DH=AE=3﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是边长为3的正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=3．∴∠1+∠2=90°，∵四边形EFGH为正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF．∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，在△AHE与△BEF中，∴△DHE≌△AEF（AAS），∴DE=AF=x，DH=AE=3﹣x，在Rt△AHE中，由勾股定理得：EH2=DE2+DH2=x2+（3﹣x）2=2x2﹣6x+9；即y=2x2﹣6x+9（0＜x＜3），故答案为：y=2x2﹣6x+9．三、解答题（本大题共有8个小题，共86分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置）17．（12分）（1）计算：3tan30°+|2﹣|+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x=，y=﹣1；【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（1）3tan30°+|2﹣|+（）﹣1﹣（3﹣π）0﹣（﹣1）2018=3×+2﹣+3﹣1﹣1=+3﹣1﹣1=3；（2）（x﹣）÷===x﹣y，当x=，y=﹣1时，原式==1．18．（8分）某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价﹣进价）【分析】（1）设购进甲、乙两种商品分别为x件与y件，根据甲种商品件数+乙种商品件数=100，甲商品的总进价+乙种商品的总进价=2700，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值，得到购进甲、乙两种商品的件数；（2）设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100﹣a）件，根据甲商品的总进价+乙种商品的总进价小于等于3100，甲商品的总利润+乙商品的总利润大于等于890列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集，得到a的取值范围，根据a为正整数得出a的值，再表示总利润W，发现W与a成一次函数关系式，且为减函数，故a取最小值时，W最大，即可求出所求的进货方案与最大利润．【解答】解：（1）设购进甲种商品x件，购进乙商品y件，根据题意得：，解得：，答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；（2）设商店购进甲种商品a件，则购进乙种商品（100﹣a）件，根据题意列得：，解得：20≤a≤22，∵总利润W=5a+10（100﹣a）=﹣5a+1000，W是关于a的一次函数，W随a的增大而减小，∴当a=20时，W有最大值，此时W=900，且100﹣20=80，答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．19．（10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．（1）试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率．（2）求至少有一辆汽车向左转的概率．【分析】（1）可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，从中找到两辆汽车都不直行的结果数，根据概率公式计算可得；（2）根据树状图得出至少有一辆汽车向左转的结果数，根据概率公式可得答案．【解答】解：（1）画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中两辆汽车都不直行的有4种结果，所以两辆汽车都不直行的概率为；（2）由（1）中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等∴P（至少有一辆汽车向左转）=．20．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？（2）求出扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图；（3）若该校有2000名学生，请估计选择“A：跑步”的学生约有多少人？【分析】（1）由跑步的学生数除以占的百分比求出调查学生总数即可；（2）求出跳绳学生占的百分比，乘以360°求出占的圆心角度数，补全条形统计图即可；（3）求出跑步占的百分比，乘以2000即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：120÷40%=300（名），则一共调查了300名学生；（2）根据题意得：跳绳学生数为300﹣（120+60+90）=30（名），则扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数为360°×=36°，；（3）根据题意得：2000×40%=800（人），则估计选择“A：跑步”的学生约有800人．21．（10分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．（1）求证：OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【分析】（1）本题需先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证出OP=OQ．（2）本题需先根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又∵O为BD的中点，∴OB=OD，在△POD与△QOB中，∵∴△POD≌△QOB（ASA），∴OP=OQ；（2）解：PD=8﹣t，∵四边形PBQD是菱形，∴PD=BP=8﹣t，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，即62+t2=（8﹣t）2，解得：t=，即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点A（﹣2，3），点B（6，n）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=（m≠0）的图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）利用一次函数解析式求得C（4，0），即OC=4，即可得出△AOB的面积=×4×（3+1）=8；（3）根据反比例函数y=﹣的图象位于二、四象限，可得在每个象限内，y随x 的增大而增大，再根据x1＜x2，y1＜y2，即可得到点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．【解答】解：（1）把A（﹣2，3）代入y=，可得m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣；把点B（6，n）代入，可得n=﹣1，﹣∴B（6，﹣1）．把A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入y=kx+b，可得，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y=﹣x+2，令y=0，则x=4，∴C（4，0），即OC=4，∴△AOB的面积=×4×（3+1）=8；（3）∵反比例函数y=﹣的图象位于二、四象限，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在相同的象限，∴点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．【分析】（1）首先判断出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根据DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判断出直线FG是⊙O的切线．（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ODF∽△AGF，再根据cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半径，∴直线FG是⊙O的切线．（2）解：如图2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，∴cos∠DOF=，∴=，∴AF=AO+OF=5，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的长是3．24．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+2x+8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且B（4，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）如果点P（p，0）是x轴上的一个动点，则当|PC﹣PD|取得最大值时，求p的值；（3）能否在抛物线第一象限的图象上找到一点Q，使△QBC的面积最大，若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a的方程可求得a的值，从而得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得抛物线的顶点坐标；（2）当P在直线CD上时，|PC﹣PD|取得最大值，先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CD与x轴的交点坐标，从而得到P的值；（3）先确定出EQ，再建立△QBC的面积与点Q的横坐标的函数关系式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+8经过点B（4，0），∴16a+8+8=0，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，∴D（1，9）；（2）∵当x=0时，y=8，∴C（0，8）．设直线CD的解析式为y=kx+b．将点C、D的坐标代入得：，解得：k=1，b=8，∴直线CD的解析式为y=x+8．当y=0时，x+8=0，解得：x=﹣8，∴直线CD与x轴的交点坐标为（﹣8，0）．∵当P在直线CD上时，|PC﹣PD|取得最大值，∴p=﹣8；（3）存在，理由：如图，由（2）知，C（0，8），∵B（4，0），∴直线BC的解析式为y=﹣2x+8，过点Q作QE∥y轴交BC于E，设Q（m，﹣m2+2m+8）（0＜m＜4），∴E（m，﹣2m+8），∴EQ=﹣m2+2m+8﹣（﹣2m+8）=﹣m2+4m，=（﹣m2+4m）×4=﹣2（m﹣2）2+8，∴S△QBC∴m=2时，S最大，△QBC∴Q（2，8）．。