【最新】五年级下数学思维训练教材
五年级数学思维训练校本教材
上册刘徽九章算术刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。
在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。
在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。
在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果。
他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。
刘徽在数学上的贡献极多，在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致，它不仅是圆周率精确计算的必要条件，而且促进了十进小数的产生；在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法，与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”；他还建立了等差级数前n项和公式；提出并定义了许多数学概念：如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等．刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。
他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上．虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注《九章算术》所运用的数学知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。
全国版五年级数学思维教材(秋季)
目录第一讲质数与合数 (2)第二讲分解质因数 (5)第三讲格点图形面积 (9)第四讲割补法求面积 (13)第五讲流水行船问题 (17)第六讲位值原理 (21)第八讲倍数关系求面积 (24)第九讲加乘原理问题 (29)第十讲因数与倍数 (34)第十一讲公约数与公倍数 (38)第十二讲列方程解应用题 (42)第十三讲往返相遇与追及问题一 (46)第十四讲往返相遇及追及问题二 (53)第一讲质数与合数小热身：判断下面的数能否拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）6、9、11、24、29、35、37、87、10、16知识精讲什么是质数?每一个数都能写成若干个数相乘的形式,考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式,所以不考虑1作为乘数的情况:6=2×3,8=2×4=2×2×2、12=2×6=3×4=2×2×3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式,我们把这样的数称为合数.而像2、3、7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数,我们称之为质数.如果说得形象一点,质数就是“折不开”的数,合数就是拆得开的数.严格说来,质数就是只能被1和自身整除的数;合数是除了1和它本身之外,还能被其它数整除的数,注意：1既不是质数也不是合数.100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.质数是我们后面学习的基础,因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.当然,上面的这些质数只是质数大军中的冰山一角.在100以上还有无穷多个质数,比如接着100的就有四个质数:101、103、107、109.例1：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友、幼长相亲同切磋；比赛联谊欢声响、念一笑慰来者多；九天九霄志凌云、九七共庆手相握；聚起华夏中兴力、同唱移山壮丽歌.将诗中56个字第一行左边第一字起逐字编为1-56号、再将号码中的质数由小到大找来、将它们对应的字依次排成一行、组成一句话、请写出这句话.练1：自然数N是一个两位数、它是一个质数、而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有哪几个？知识精讲两个不同质数相加，如果和是奇数、根据奇+偶=奇、其中一个加数肯定是2、因为2是唯一的质偶数；如果和是偶数、根据奇+偶=偶、两个加数都是奇数.例2：如果两个不同的质数相加等于25、那么这两个质数的乘积是多少？练2：如果两个不同的质数相加等于15、那么这两个质数的乘积是多少？例3：如果两个不同的质数相加等于26、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出. 练3:如果两个不同的质数相加等于16、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.例4：三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出. 练4：如果三个互不相同的质数相加、和为52、这三个质数可能是多少？思维拓展甲、乙两人的年龄和为一个两位质数、这个数的个位与十位数字的和是13、甲比乙大13岁、那么乙今年多大？第二讲分解质因数小热身：尝试把下面的数分别拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）：12、25、39、87、121、134、345.知识精讲通过前面的学习、我们知道了质数与和合数的概念.而每个合数也都可以写成几个质数相乘的形式、比如30=2×3×5.其中质数2、3、5、我们称之为30的质因数、那么这个拆分的过程就叫做分解质因数.同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好、每个数分解质因数的形式是唯一的.我们一般使用短除法来分解因数.如下图所示、我们将30分解质因数、在计算的过程中要善用各种特殊数的整除特性.能整除30的质数2 相除后得到的商3100在分解质因数时也可以写成：100=2²×5²；280在分解因数时也可以写成280=2²×5×7.这种写法更简洁更方便、其中位于质因数右上角、表示质因数个数的数叫作指数、如：指数指数100=2²×5²280= 2³×5×7这里280的分解式中5和7的指数都是1、写的时候可以省略.例1：请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）539；（3）999.练1：请把下面的数分解质因数：（1）370；（2）12660知识精讲分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法、大家一定要能熟练的将一个数分解质因数、这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决问题.例2：三个自然数的乘积为84，其中两个数的和正好等于第三个数.求这三个数.练2：3个连续自然数的乘积是210，这三个自然数分别是多少？知识精讲通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀一样、把整数解剖开来、让我们把整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题、如果从分解质因数的角度来看、就变得非常简单.例3:算式1×2×3×…×100的计算结果的末尾有多少个连续的0？练3:算式1×2×3×…×30的计算结果的末尾有多少个连续的0？例4:算式31×32×33×…×200的计算结果的末尾有多少个连续的0？练4:算式11×12×13×…×75的计算结果的末尾有多少个连续的0？思维拓展三个连续自然数的乘积等于39270、那么这三个数的和等于多少？第三讲格点图形面积小热身：（1）已知一个三角形的一条边长为8、这条边上的高是6、那么三角形的面积是多少？（2）已知一个长方形的面积为60、长为12、那么宽是多少？（3）已知一个正方形的边长为6、那么面积是多少？（4）已知一个平行四边形的面积为20、底为5、该底所对应的高是多少？知识精讲在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一．我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积、用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形.虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法．常见的格点有正方形格点和三角形格点.将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每个图形都很容易分割，有时我们把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积、这种方法称为“添补法”.分割法，正所谓“大事化小”、把不规则的大图形化为規则的小图形.添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算.使用割补法的时候，一般应该从形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质.例1：图中每个小正方形的面积是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米？练1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米、那么阴影部分的面积分别是多少平方厘米？知识精讲对于简单的格点图形、都可以使用割补法计算面积，但是对于复杂的格点图形，使用割补法会非常繁琐，有没有更简单明了的方法呢？我们接下来看一个简单快捷的方法，从格点数入手.围成阴影部分的边线、经过了一些格点.这些边界上的格点叫做边界格点、简称边点；格点图形还完全盖住了一些格点、这些图形内部的格点叫做内部格点、简称内点.正方形格点图形面积＝（内点＋边点÷2-1）×单位正方形面积；三角形格点图形面积＝（2×内点＋边点－2）×单位三角形面积.例2：图中相邻格点围成的小正方形的面积均为1平方厘米.这个多边形的面积是多少平方厘米？练2：图中相邻格点围成的最小正方形面积为1平方厘米，这个多边形的面积是多少平方厘米？例3：如图，每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？练3：如图、每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米？例4：如图、每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？练4:如图、每个最小等边三角形的面积都是2平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？思维拓展图中每个小三角形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？第四讲割补法求面积小热身：(1)已知一个长方形的面积为72、长是12、那么宽是多少？(2)已知一个正方形的边长为5、那么面积是多少？(3)已知一个正方形的对角线为6、那么面积是多少？(4)已知一个平行四边形的面积为10、底为5、那么这个底所对应的高是多少？知识精讲我们学习了如何计算格点图形的面积、介绍了正方形格点面积计算公式.根据公式、我们可以求出正方形格点面积是最小正方形面积的几倍.随着几何学习的步步深入大家会发现除了用公式法直接求面积之外、还有很多简介求面积的方法.尤其是对于不规则图形、我们并不知道这些图形的面积公式、但是通过分割、添补等各种方法把它们变换为规则的图形.例1：图中的数分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：厘米）练1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.（单位：厘米）例2：如图所示、正方形ABCD内部有一个长方形EFGH.已知正方形ABCD的边长是6厘米、图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.练2：如图所示、在正方形ABCD内部有一个长方形CEF.已知正方形ABCD的边长是12厘米，图中线段AE、AF都等于4厘米.求三角形CEF的面积是多少平方厘米？例3：如图所示、大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形最近的一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？练3：如图所示、大正三角形的边长为10平方厘米.连接大三角形的各边中点得四个小正三角形、取各个小正三角形的中心、再将小正三角形的中点和顶点相连、得到三个一样的小三角形、那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例4：如图，是把两个同样大小的正方形分别分成的方格表.左图阴影部分的面积是162、请问：右图中阴影部分的面积是多少？练4：如图，把两个相同的正三角形分别分成三等分和四等分、并连接这些等分点。
思维拓展训练：长方体和正方体-数学2024五年级下册含答案
思维拓展训练：长方体和正方体-数学2024五年级下册1．求下图中大圆球的体积。
2．一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？3．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。
这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。
（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？（2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？（3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。
4．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。
（1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部淹没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？（2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？5．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？6．笑笑家有甲、乙两个不同规格的带盖收纳盒，她想把家里散落的小包纸巾分别放入这两个收纳盒中（纸巾不能超过收纳盒的上沿且不能挤压）。
一小包纸巾的长、宽、高和收纳盒内部的长、宽、高如下图所示。
（单位：厘米）（1）甲收纳盒中最多可以放置多少包纸巾？（2）尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？结合生活实际想一想，我（）笑笑的想法。
（填“同意”或“不同意”）如果同意，请你写出理由；如果不同意，尽可能多地往乙收纳盒中放纸巾，你可以放置多少包？写出你的思考过程，可以写一写，画一画。
五年级下数学思维训练教程
第一节：数学思维的培养与训练数学思维是数学学习的核心，它包括观察、比较、分类、推理、归纳、演绎等思维方式。
培养和训练学生的数学思维能力对于提高数学学习成绩和解决问题具有重要意义。
本节将从数学思维的分类和培养方法两个方面介绍数学思维的培养与训练。
一、数学思维的分类1.观察思维：通过观察，发现事物的特征或规律。
3.分类思维：通过对事物的特征进行分类，划分和组织事物，形成系统化的知识结构。
4.推理思维：通过分析、归纳等方式，从一般性规律推出特殊性结论。
5.归纳思维：通过观察、比较、分类等方式，总结特殊性结论，形成一般性规律。
6.演绎思维：通过已知条件进行推理，得出结论，发现事物之间的逻辑关系。
二、数学思维的培养方法1.启发式教学法：通过给予学生启发性的问题、情境或材料，引导学生主动探索、独立思考，从而培养其观察、比较、分类等思维能力。
2.问题解决教学法：通过提供具有挑战性、启发性的问题，引导学生进行分析、推理、归纳等思维活动，培养学生解决问题的能力。
3.游戏化教学法：将数学思维培养与数学游戏相结合，通过游戏的方式培养学生观察、比较、推理等思维能力。
4.多元智能教学法：通过开展多元智能活动，激发学生的多个智能模式，培养其多样化的思维方式。
5.教师引导法：在课堂教学中，教师应当起到引导作用，引导学生进行观察、比较、推理、归纳等思维活动，激发学生的自主思考和创造性思维。
三、数学思维训练的实施步骤1.明确训练目标：根据学生的数学能力和特点，明确训练目标，确定需要训练的具体思维能力。
2.选择训练方法：根据训练目标，选择适合的训练方法，如启发式教学法、问题解决教学法、游戏化教学法等。
3.设计训练内容：根据训练目标和方法，设计适合学生年级和能力水平的训练内容，注意注重思维方式的培养和训练。
4.实施训练活动：在课堂上组织学生进行训练活动，引导学生进行观察、比较、归纳、推理等思维活动，及时给予指导和反馈。
5.总结归纳：在训练结束后，对训练活动进行总结和归纳，让学生对训练过程进行反思，更好地掌握和运用数学思维。
五年级下册数学思维训练讲义-第二单元第三讲奇数和偶数及数的奇偶性人教版
第三讲奇数和偶数及数的奇偶性第一部分：趣味数学奇数偶数的争吵数字王国里，奇数与偶数是一对形影不离的好朋友。
不知为啥，他俩却吵了起来，好学的聪聪连忙前来劝架。
奇数先上前拉住聪聪的手说：“聪聪哥哥，你写作文时总是偏爱我们，对吧！”“说来听听。
”聪聪忙说。
“就成语来说，有‘一帆风顺’、‘一马当先’、‘一日三秋’、‘三申五令’、‘三教九流’、‘九牛一毛’……我一口气能说出这么一大堆，对吧！”奇数说完，脸上浮现出得意的神情。
偶数不甘示弱，连忙拉住聪聪的手说：“聪聪哥，你写作文时，不更偏爱我吗？‘两袖清风’、‘十全十美’、‘百发百中’、‘四通八达’、‘四平八’、‘四面八方’……这些词语里不就有我们偶数的身影吗？聪聪哥，你说是不是啊？况且，人们还常说‘无独有偶’哩！”奇数听了，忙说：“这有什么，你不也听说过‘独一无二’吗？你有作何解释？何况连国王都宠爱我们，说话都是‘一言九鼎’呐！”奇数又进行反驳，偶数听了，忙着争辩。
聪聪停住了他俩的争吵，说：“奇数，你难道没听见国王说‘一言既出，驷马难追’吗？这里既有你，也有他，你们别争了，争了半天，我也弄明白了。
你们看问题比较片面，没看到事物的本质。
其实在成语里，更多的是你们同时登场，比如说‘一箭双雕’、‘三心二意’、‘一本万利’、‘四分五裂’、‘一刀两断’……你们各有所长，谁也离不开谁。
我们人类不会‘朝三暮四’，也不会‘低三下四’，更不会在背后‘不三不四’地议论你们。
因为你们是我们人类的好朋友。
只要你们‘万众一心’团结起来，拧成一股绳，就能成为一个自然数整体，成为一对真正的好兄弟。
你们说，是不是？”聪聪的一席话，如重槌敲在了奇数和偶数的心坎上。
兄弟俩面红耳赤，都低下头了。
聪聪起身走时，看见奇数和偶数的手紧紧地拉在了一起。
第二部分：奥数小练【例题1】 1 +2 +3 +4 +5 +...... +119 +120的结果是奇数还是偶数?【思路导航】1到120有120个数，其中有60个奇数，60个偶数。
数学思维培养小学五年级数学下册能力提升的思维训练指南
数学思维培养小学五年级数学下册能力提升的思维训练指南数学思维是培养孩子逻辑思维、分析问题和解决问题能力的重要途径。
在小学五年级的数学下册学习过程中，如何有效地培养孩子的数学思维能力，是家长和老师们共同关注的问题。
本文将为您提供一些思维训练指南，帮助小学五年级学生提升数学思维能力。
一、培养逻辑推理能力逻辑推理是数学思维的基础，培养孩子的逻辑推理能力对于解决数学问题至关重要。
以下是一些建议来培养逻辑推理能力：1. 利用逻辑游戏：比如数学谜题、数独、推理题等。
这些游戏能够锻炼孩子的逻辑思维和推理能力，激发他们对数学的兴趣。
2. 引导孩子提出问题：在学习过程中，鼓励孩子提出问题，并帮助他们分析问题的本质，寻找问题的解决方法。
这样的训练能够激发孩子的思考能力和创造力。
3. 分类和比较：让孩子学会将事物进行分类和比较。
这个能力能够帮助孩子理清思路，提高他们的归纳和推理能力。
二、培养问题解决能力问题解决能力是数学思维的核心，帮助孩子培养问题解决能力是提升数学思维的关键。
以下是一些培养问题解决能力的方法：1. 启发式教学法：引导孩子在解决问题时运用启发式思维，通过观察、试验、猜测等方法来寻找解决办法。
2. 实际问题应用：通过将数学与实际问题相结合，让孩子学会将抽象的数学知识转化为解决实际问题的具体方法。
3. 团队合作：组织孩子进行小组合作，共同解决大型问题。
这样的训练能够培养孩子的合作意识、团队精神和解决问题的能力。
三、培养创造力创造力是数学思维的灵魂，培养孩子的创造力能够开拓他们的思维空间，激发他们对数学的热情。
以下是一些培养创造力的方法：1. 开放式问题：给孩子提供一些开放式的问题，鼓励他们用不同的方法求解，激发他们的创造力和想象力。
2. 创新游戏：设计一些创新游戏，让孩子在游戏中运用数学知识来解决问题。
这样的游戏能够培养孩子的创造思维和创造力。
3. 数学思维培训班：考虑将孩子参加数学思维培训班，这样能够接触到更多的数学思维训练方法，学习到更多的思维技巧。
五年级下数学思维训练教材
五年级下数学思维训练教材(4+3)×10+20=90(吨)答：粮库里原来有大米和面粉共90吨。
练习与思考1．爸爸带一些钱去买酸奶，如果买1 O瓶就剩下4元，如果买12瓶同样的酸奶则差5.2元。
问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱？2.滨江小学体育室里的篮球是足球的3倍。
体育课上，每班借8只篮球、5只足球，足球借完时还有84只篮球。
问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。
3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。
如果每车坐60人，则有20人没有座位；如果每车多坐5人，则有一辆车空出45个座位。
请问：一共有多少辆公交车?五、六年级去秋游的学生一共有多少人?4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了8小时，已知这船在静水中的速度是每小时，20千米，水流速度是每小时5千米。
请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米?5.4个人的年龄之和是77岁，最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大7。
问：年龄最大的人是多少岁?6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的1．5倍，如果调换十位与个位上的数字，则新数比原数小18，求原来的数。
7.甲每分钟走‘50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地出发，丙从B地出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲，求A、B两地的距离。
8.甲、乙两个书店存书册数相等，甲书店售出2000册，乙书店购入1000册，这时乙书店的册数是甲书店的2倍。
问：甲、乙两书店原来共存书多少册?9.在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73．5分，并且乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人?10.如图所示的是由九个正三角形拼成的六边形，其中最小的正三角形(图中有阴影的小三角形)的边长为1，求此六边形的周长。
第六讲假设法解题“假设法”是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过程中，根据题目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，则分析矛盾产生的原因，并对照已知条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。
五年级数学思维训练教材
目录第1讲平均数 (1)第2讲倍数问题（一） (3)第3讲倍数问题（二） (5)第4讲假设法解题 (7)第5讲作图法解题 (9)第6讲周期问题 (11)第7讲置换问题 (13)第8讲盈亏问题 (21)第9讲算式题 (23)第10讲行程问题 (25)第1讲平均数专题简析把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数例1某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？分析解答：原来三个数的和是2×3=6，后来个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1。
3×3-2×3=3 4-3=1 答：被改的数原来是1。
随堂练习：1、已知九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8。
这个改动的数原来是多少？例2把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？分析解答：先求五个数的和：38×5=190。
在秋初前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144。
用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
27×3+48×3-38×5=35 答：中间一个数是35。
随堂练习：1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲乙的平均年龄是18岁，乙丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？2、十名参赛者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？拓展训练1、修一条渠，第一天修3小时，平均每小时修4.5千米;第二天修5小时,平均每小时修5.3千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?2、三个小组采集树种,第一小组10人,一天采集树种180千克;第二小组12人,一天采集树种240千克;第三小组13人,一天采集树种280千克.平均每人采集树种多少千克?3、兴华小学四年级有3个班,一、二班的平均人数是55人,二、三班的平均人数是56人,一、三班的平均人数是52人,问这三个班各有多少人?4、15个同学分连环画,平均每人分到7本,后又来了若干个同学,大家重新分配,平均每人分到5本,问又来了几名同学?5、韩磊期末考试语文、外语、思想品德和自然的平均成绩是81分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高2分，他的数学成绩是多少分？第2讲倍数问题（一）专题分析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题。
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第一讲立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。
这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面，(如图2)。
从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合。
还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧!例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。
请你为它设计一条最短的爬行路线。
【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。
又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。
练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。
请画出蚂蚁爬行的最短路线。
问：这样的路线共有几条?3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。
这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。
已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。
5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体?7.图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
8.如图所示的是一个长方体，四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q分别为棱A1B1、B1C1，的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。
第二讲长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。
这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。
解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。
例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。
根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。
解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。
长方体的表面积：(1)(11×3+1l×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。
例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。
练习与思考1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积。
4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。
那么，它的表面积减少多少平方厘米?7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块。
沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。
9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?第三讲长方体和正方体的体积前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。
学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。
例题选讲例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米?【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体每个侧面积是100÷4—25(平方厘米)，那么长方体底面正方形的边长就是25÷5=5(厘米)，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米)。
例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米?【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有12×2=24(条)。
当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了4×2=8(条)棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于24—8=16(条)正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米)，则每块正方体木块的体积是：6×6×6=216(立方厘米)。
例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。
【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘米)，共凿小长方体3个，即4×3=12(立方厘米)，而实际上由于正中间相交，重复凿去了2个1立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是4×4×4—12+1×2=54(立方厘米)。
练习与思考1．把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，求原长方体的体积。
2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米?3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的4．一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少?5．一个表面积是36。
平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米?6．一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。
7．一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24平方厘米，求这个长方体的体积。
8．现有一张长4厘米、宽2。
厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好)。
请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米?9．一个长、宽、高分别是2l厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米?第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。