山西省2014届高三高考考前质量监测数学理试题(WORD版)
及对应的直线 l 的方程；若没有，请说明理由.
3
21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) x a ln x 1, a R . （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）若 2 f ( x )
ln x 0 对于任意 x [1, ) 恒成立，求 a 的取值范围. x
A'
A
D
E
D
2
M
E
N
B
C
B
C
19.（本小题满分 12 分） 某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金. 曲库中歌曲 足够多，不重复抽取. 比赛共分 7 关：前 4 关播放常见歌曲；第 5,6 关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见 歌曲与罕见歌曲数量比为 1：4；第 7 关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表所示.选手在通过每一 关（最后一关除外）之后可以自主决定退出比赛或继续闯关；若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应奖 金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金. 关卡 关卡奖金 / 元 累计奖金 / 元 1 1000 1000 （Ⅰ） 选手甲准备参赛， 在家进行自我测试： 50 首常见歌曲， 2 2000 3000 甲能猜对 40 首；40 首罕见歌曲，甲只 3 3000 6000 能猜对 2 首，以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率. 4 4000 10000 ①若比赛中，甲已顺利通过前 5 关，求他闯过第 6 关的概 5 8000 18000 率是多少？ 6 12000 30000 ②在比赛前， 甲计划若能通过第 1,2,3 关的任意一关， 则继 7 20000 50000 续；若能通过第 4 关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的数学 期望； （Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p，且他已经顺利通过前 6 关，当 p 满足什么条件时，他选择 继续闯第 7 关更有利？．
正视图 2 2 2
侧视图
C. 2 3
D. 4 3
2 10. 若锐角满足 2sin+2 3cos=3, 则 tan(2+ )的值是 3
1
A．-3 7
B．3 7
3 7 C．7
3 7 D． 7
11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 的图象既关于点(1, 1)对称，又关于点(3, 2)对称，则 f (0) f (2) f (4)
*
.
18.（本小题满分 12 分） 如图，在 RtA BC 中，A B=BC=2，D, E 分别是 A B，A C 的中点，将 A DE 沿线段 DE 折起到
′ ′ ′ ′ ′
ADE, 使平面 ADE⊥平面 DBCE. （Ⅰ）当 M 是 DE 的中点时，证明 BM⊥平面 ACD； （Ⅱ）设 BE 与 DC 相交于点 N, 求二面角 B-AN-C 的余弦值.
y≥0 5. 若实数 x, y 满足约束条件x－y≥0 ，则 z x 2 y 的取值范围是 2x－y－2≤0
A. [0, 1] B. [1, 6] C. [0, 6] D. [2, 6] 6. 若抛物线 y 2 2 px( p 0） 与直线 x y 1 0 相交于 A，B 两点， 且 OA · OB =-1,则 p= A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值是 A. – C. 0 3 2 B. D. 3 2 3
山西省 2014 届高三高考考前质量监测 理科数学
一、选择题：本大题共 1 2 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1＋i 1．复数 的实部是 1－i A. -2 B. ―1 C. 0 2. 集合 A，B 满足 A∪B={1, 2}, 则不同的有序集合对(A, B)共有 A. 4 个 B. 7 个 C. 8 个 3. 若平面向量 a , b 满足| a + b |=1，| a - b |=3，则 a · b = A. 1
20.（本小题满分 12 分）
x2 2 过椭圆 E： y 1的右焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 E 相交于 A， B 两点， 直线 l ：y mx n 2
与椭圆 E 交于 C，D 两点，与线段 AB 相交于点 P（与 A，B 不重合）. （Ⅰ）当 m=1 时，四边形 ACBD 能否成为平行四边形，请说明理由； （Ⅱ）当直线 l 与圆 x y 1相切时，四边形 ACBD 的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，
G
C
D
A
P F
O
B
E
23． （本小题满分 10 分）选修 4―4，坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为
x 2 cos y 2 sin
( 为参数), 以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 cos sin 0( 0,0 2 ). （Ⅰ）求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标； （Ⅱ）设曲线 C1 与 C2 的交点为 A，B , 线段 AB 上两点 C，D，且|AC|=|BD|= 求|PC|+|PD|的最大值. 2 ，P 为曲线 C1 上的点， 2
2
D. 1 D. 9 个
→ →
→ →
→
→
→
→
B. -1
C. 2
D. -2
4. 已知 a R ， 设 p: a 3a 2 0 ； q:关于 x 的方程 x2 2x log2a 0 有实数根. 则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
选做题：请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22． （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是⊙O 上的一点，点 C 是弧 AD 的中点,弦 CE⊥AB 于 F. GD 是⊙O 的切线，且与 EC 的延长线相交于点 G， 连接 AD，交 CE 于点 P. （Ⅰ）证明：ACD∽APC; (Ⅱ)若 GD= 2+1，GC=1，求 PE 的长.
1 x m
emx2 的图像与函数 g ( x) x 1 图像有公共点，则正实数 m 的取值范围是
_____________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn =3n-n2, n N (Ⅰ)求通项公式 an ; (Ⅱ) 设 bn 2n ，求数列{ anbn }的前 n 项和 Tn .
f (14)
A. 16 2 4 B. 24 2 2 C. 32 3 3 D. 48
12. 在四边形 ABCD 中，AB=CD，∠CAB=3∠CAD, ∠ACD=∠CBD，则 tan∠ACD= A. B. C. D. 3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13.某学校共有教师 300 人，其中中级教师有 192 人，高级教师与初级教师的人数比为 5:4. 为了解教师专 业发展需求，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师 64 人，则该样本中的高级教 师人数为___________. 14. 5 名工人分别要在某 3 天中选择 1 天休息，且每天至少有一人休息，则不同的安排方式有_________种 （用数字填写）. 15. 已知三棱锥 P-ABC 中， ABC 是边长为 6 的正三角形， PA⊥平面 ABC ， 且三棱锥外接球的表面积为 64， 则 PA= 16. 若函数 f ( x) e .
→ →
8. 已知双曲线
x2 y 2 x2 y 2 1( a 0, b 0) 1(a 0, b 0) 的四个 与曲线 a 2 b2 3a 2 b2
2
顶点，则双曲线的离心率是 A. 2 B. 2 C. 3 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 2 3 3 B. 4 3 3 D. 3
5
6
7
8
9
10
24． （本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) x a 2x, a R . (Ⅰ)当 a 2 时，解不等式 f ( x) 4 x 2 的解集；
(Ⅱ)若存在 x 使 f ( x) x 2 2x 1 成立，求 a 的取值范围.
2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)解析版 Word版含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103i z i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4.若向量,a b r r 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r （ ）A ．2B ．2C ．1D ．225.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 3，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43C 的方程为 （ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=7.曲线1x y xe-=在点（1, 1）处切线的斜率等于（ ） A ．2e B ．e C ．2 D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π 【答案】A ．【解析】考点：1.球的内接正四棱锥问题；2. 球的表面积的计算．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13C ．24D ．23 10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）图2A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．14B 2C 3D ．12【答案】B.【解析】12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 8y x 的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2l的夹角的正切值：12124 tan13k kk kθ-==+．考点：1.直线与圆的位置关系（相切）；2.两直线的夹角公式．16.若函数()cos2sinf x x a x=+在区间(,)62ππ是减函数，则a的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cos2cosa C c A=，1tan3A=，求B.18. （本小题满分12分）等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a=，2a为整数，且4nS S≤.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===. （I ）证明：11AC A B ⊥； （II ）设直线1AA 与平面11BCC B 31A AB C --的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.21.（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.【答案】（I ）24y x =；（II ）直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11ax f x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 【答案】（I ）（i ）当12a <<时，()f x 在()21,2a a --上是增函数，在()22,0a a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数；（ii ）当2a =时,()f x 在()1,-+?上是增函数；（iii ）当2a >时，()f x 在是()1,0-上是增函数，在()20,2a a -上是减函数，在()22,a a -+∞上是增函数；（II）详见试题分析．1n k=+时有2333kak k<?++，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何n N*Î结论都成立．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用数学归纳法证明数列不等式．。
山西省运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试理科数学试题
山西省运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}1,R y y x x A ==-∈，{}2x x B =≥，则下列结论正确的是（ ） A ．3-∈A B ．3∉B C ．A B =B D ．A B =B2、若命题“0R x ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．[]6,2--C ．()2,6D ．()6,2-- 3、若复数z 满足()12z i z -=+，则z 在复平面所对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4、已知函数()[](]23,1,23,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则方程()1f x =的解是（ ）A2 B或4 C．或2 D．或4 5、执行如图所示的程序框图，运行的结果为3S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ） A ．6k >? B ．6k <? C ．5k >? D ．5k <?6、抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当F ∆PM 为等边三角形时，其面积为（ ）A． B ．4 C ．6 D． 7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4255S a +=，则一定有（ ） A ．6a 是常数 B ．7S 是常数 C ．13a 是常数 D ．13S 是常数8、一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（ ）A ．6π+ B．π C ．64π+ D．4π 9、已知三棱锥C S -AB 的四个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥底面C AB，C A =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB =（ ） A．B ．12 C． D ．12- 11、已知函数()sin cos f x a x b x =+（R x ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则点(),a b 所在的直线为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y += 12、设函数()sin x f x e x =+，()2g x x =-，设()()11,x f x P ，()()22Q ,x g x （10x ≥，20x >），若直线Q//P x 轴，则P ，Q 两点间最短距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知1a =，2b =，3a b +=，则a 与b 的夹角为 ． 14、如图所示，在矩形C OAB 内任取一点P ，则点P 恰落在图中阴影部分中的概率为 ．15、若正数a ，b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值为 ． 16、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线C A ，C B 的斜率分别为1k ，2k ，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线离心率为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且cos C sin a b =+B ． ()1求B ；()2若1c =，3a =，C A 的中点为D ，求D B 的长．18、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 为菱形，PA ⊥平面CD AB ，C 60∠AB =，E ，F 分别是C B ，C P 的中点．()1证明：D AE ⊥P ；()2若2AB =，2PA =，求二面角F C E -A -的余弦值．19、（本小题满分12分）2014年11月10日C APE 会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第组[)75,80，第2组[)80,85，第3组[)85,90，第4组[)90,95，第5组[)95,100，得到的频率分布直方图如图所示：()1分别求出成绩在第3，4，5组的人数；()2现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项13a ≠，13n n n a S +=+（n *∈N ）．()1求证：{}3n n S -是等比数列；()2若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．21、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,1M ，焦距为．()1求椭圆E 的方程；()2若直线平行于OM ，且与椭圆E 交于A 、B 两个不同的点（与M 不重合），连接MA 、MB ，MA 、MB 所在直线分别与x 轴交于P 、Q 两点，设P 、Q 两点的横坐标分别为s ，，探求s t +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22、（本小题满分12分）设函数()2ln f x x bx a x =+-．()1若2x =是函数()f x 的极值点，和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1x n n ∈+，n ∈N ，求n ；()2若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．运城市2014～2015学年第一学期期末高三调研测试试题理科数学参考答案。
2014年山西省高考数学{理}试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
【恒心】山西省2014-2015年度高三第三次诊断考试数学(理科)试题及参考答案【超清版】
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新课标I(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题03 导数解析版Word版含解析
一．基础题组1. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．122. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】定积分=-⎰-dx x x 2222（ ） A.5B.6C.7D.83. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数xe xx f cos )(=，则函数)(x f 在点))0(,0(f 处切线方程为 . 【答案】10x y +-= 【解析】试题分析：∵'2sin cos ()()x xx xe xe f x e --=，∴1k =-，(0)1f =，∴1y x -=-，即10x y +-=. 考点：利用导数求曲线的切线.4. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】已知0a >，函数32f(x)x ax bx c =+++在区间[2,2]-单调递减，则4a b +的最大值为 .5. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】设()ln af x x x x=+, 32()3g x x x =--.（Ⅰ）当2a =时,求曲线()y f x =在1x =处的切线的方程;（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M ;（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.6. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。
该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少a 亿元，至多b 亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.若1=a ，4=b ，请你分析能否采用函数模型y ＝31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案.二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知函数()f x 对于一切实数x,y 均有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且()()110,0,21g 2a f x f x o x ⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭则当，不等式＜ 恒成立时，实数a 的取值范围是 .2. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是 .【答案】2 【解析】3. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】(本小题满分12分) 已知函数ln(1)()2x x f x x -=-.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2()23g x x x =++,证明：对任意1(1,2)(2,)x ∈+∞ ,总存在2x R ∈,使得12()()f x g x >.试题解析：（1）''2212ln(1)1[ln(1)]ln(1)1()(2)(2)x x x x x x x f x x x --+------==-- .................1分设1()2ln(1)11h x x x x =--+---, 22'22(1)2(1)1(2)()0(1)(1)x x x h x x x ---+-==≥--∴()h x 在(1,)+∞是增函数，又(2)0h = ………………3分 ∴当(1,2)x ∈时, ()0h x < ,则'()0f x <,()f x 是单调递减函数; 当(2,)x ∈+∞时, ()0h x > ,则'()0f x >,()f x 是单调递增函数. 综上知：()f x 在(1,2)单调递减函数，()f x 在(2,)+∞单调递增函数 ……………………6分三．拔高题组1. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】0.50.521log log 1(1)(7)x mx x x +>---对任意x ∈[2,4]恒成立，则m 的取值范围为 .∴当4x =时，max 45y =，∴45m >.考点：1.对数函数的单调性；2.恒成立问题；3.利用导数求函数最值.2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）已知函数(x)1x x e f xe =+.（1）证明：0(x)1f <≤； （2）当0x >时，21(x)1f ax >+，求a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设(x)xe 1x g =+，则'(x)(x 1)e xg =+．当(,1)x ∈-∞-时，'(x)0g <，(x)g 单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'(x)0g >，(x)g 单调递增． 所以1(x)g(1)1e0g -≥-=->．又0xe >，故(x)0f >．…2分'2(1e )(x)(xe 1)x x x e f -=+ 当(,0)x ∈-∞时，'(x)0f >，(x)f 单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，'(x)0f <，(x)f 单调递减． 所以(x)f(0)1f ≤=． 综上，有0(x)1f <≤．…5分3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】（本小题满分12分）已知)0()(>-=a e x x f ax．（1）曲线y=f （x ）在x=0处的切线恰与直线012=+-y x 垂直，求a 的值；（2）若x ∈[a ，2a]求f （x ）的最大值； （3）若f （x 1）=f （x 2）=0（x 1＜x 2），求证：．【答案】（1）13a =；（2）当ln a a a >，即a e <时，max ()()f x f a a e ==-，当ln 2a a a a ≤≤，即2e a e ≤≤时，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，当2ln a a a <，即2a e >时，2max ()(2)2f x f a a e ==-；（3）证明过程详见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力.第一问，对()f x 求导，将0x =代入得到切线的斜率，由已知切线与直线210x y -+=垂直得出方程，解出a 的值；第二问，先对()f x 求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，再讨论已知[,2]x a a ∈和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出max ()ln f x a a a =-，因为12()()0f x f x ==，所以数形结合，得max ()0f x >，解得a e >，数形结合得出两组点的横坐标的关系21ln x x a a a ->-，又利用12()()0f x f x ==，得出11x a x e =，22x ax e =，进行转换得到所求证的不等式.（3）由（2）知，max ()(ln )ln f x f a a a a a ==-，∵12()()0f x f x ==，∴max ()(ln )ln 0f x f a a a a a ==->， ∴ln 1a >，得a e >，∴()0f a a e =->，且(ln )0f a a >. 得21ln x x a a a ->-，又11x a x e =，22x ax e =，∴1211()(ln )12x x a a a a a x e e e x a--=<=. 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.两条直线垂直的充要条件；3.利用导数判断函数的单调性；4.利用导数求函数的最值.4. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()(1)g x k x =-.（1）若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；（2）若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >，方程''()()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1x k x =？若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由. 试题解析：⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分5. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （1）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（2）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分6. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小； （3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()一个交点，所以关键是()y f x =的图像，对()f x 求导，令'()0f x >和'()0f x <判断函数的单调性，确定函数的极值和最值所在位置，求出具体的数值，便可以描绘出函数图像，来决定k 的位置；第二问，先将2=a 代入，得到()f x 解析式，作差法比较大小，得到新函数()h x ，判断()h x 的正负即可，通过对()h x 求导，可以看出()h x 在(0,)+∞上是增函数且(1)0h =，所以分情况会出现3种大小关系；第三问，法一：利用第二问的结论，得到表达式1211ln+>+k k k ，再利用不等式的性质得到所证表达式的右边，左边是利用对数的运算性质化简，得证；法二，用数学归纳法证明，先证明当1n =时不等式成立，再假设当n k =时不等式成立，然后利用假设的结论证明当1n k =+时不等式成立即可.①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． ……………………………8分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ． 令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk k k n 11ln )1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． …………………………………12分。
山西省山大附中2014届高三5月模拟 数学理 Word版含答案.
O 510 15 20频率组距重量0.060.1 山西大学附中2013—2014学年高三第二学期5月下数学试题(理科考试时间:120分钟满分: 150分一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求 1.已知集合{2,0,1,4}A =,集合{04,R}=<≤∈B x x x ,集合C A B =.则集合C可表示为 A .{2,0,1,4}B . {1,2,3,4}C .{1,2,4}D . {04,R}x x x <≤∈2.复数5(3z i i i =-+(i 为虚数单位,则复数z 的共轭复数为A .2i -B .2i +C .4i -D .4i + 3. 设γβα,,为平面,n m ,为直线,则β⊥m 的一个充分条件是 A .n m n ⊥=⋂⊥,,βαβα B .γβγαγα⊥⊥=⋂,,m C .αγββα⊥⊥⊥m ,, D .αβα⊥⊥⊥m n n ,,4.阅读如下程序框图,如果输出4i =,那么空白的判断框中应填人的条件是A .?10≤SB .?12≤SC .?14≤SD .?16≤S5.220sin2x dx π=⎰ A .0 B .142π- C .144π- D .12π-6.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为A .11B .11.5C .12D .12.5 7.(9a b c ++的展开式中,432a b c 项的系数为A .126B .420C .630D .12608.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为A .23πB .3πC .29πD .169π 9.过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于,A B 两点,O 为坐标原点.若||3AF =,则AOB ∆的面积为A .22B .2C .322D .2210.由(y f x =的图象向左平移3π个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到12sin(36y x π=-的图象,则(f x 为A .312sin(26x π+B .12sin(66x π-C .312sin(23x π+D .12sin(63x π+ 11.现有四个函数:①sin y x x =⋅;②cos y x x =⋅;③|cos |y x x =⋅;④2x y x =⋅的图象(部分如下:则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A .①④③②B .①④②③C .④①②③D .③④②①12.定义在R 上的函数(f x 满足:((1,(04,f x f x f '+>=则不等式(3x xe f x e >+(其中e 为自然对数的底数的解集为A .(0,+∞B .((,03,-∞+∞C .((,00,-∞+∞D .(3,+∞二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知向量1,(z x a -=,,2(z y b +=,且b a ⊥,若变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x xy x ,则z 的最大值为 . 14.正四面体ABCD 的棱长为4,E 为棱BC 的中点,过E 作其外接球的截面,则截面面积的最小值为______.15.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行,则这一行的4张卡片所标数字之和等于10的概率为 .16.设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点,,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边,已知2220b b c -+=,则BC AO ⋅uu u r uuu r的范围是___________________.三、解答题: 17.(本小题满分12分已知数列}{n a 中,51=a 且1221n n n a a -=+-(2n ≥且*n N ∈.(Ⅰ证明:数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (Ⅱ求数列}{n a 的前n 项和n S .o X xxy x y x y x y公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》于2013年1月1日起正式实施,新规实施后,获取驾照要经过三个科目的考试,先考科目一(理论一,科目一过关后才能再考科目二(桩考和路考,科目二过关后还要考科目三(理论二.只有三个科目都过关后才能拿到驾驶证.某驾校现有100名新学员,第一批参加考试的20人各科目通过的人数情况如下表:参考人数通过科目一人数通过科目二人数通过科目三人数201242请你根据表中的数据:(Ⅰ估计该驾校这100名新学员有多少人一次性(不补考获取驾驶证;(Ⅱ第一批参加考试的20人中某一学员已经通过科目一的考试,求他能通过科目二却不能通过科目三的概率;(Ⅲ该驾校为调动教官的工作积极性,规定若所教学员每通过一个科目的考试,则学校奖励教官100元.现从这20人中随机抽取1人,记X 为学校因为该学员而奖励教官的金额数,求X 的数学期望. 19.(本小题满分12分如图,在四棱锥P ABCD -中,,//,,22,,PA AD AB CD CD AD AD CD AB E F ⊥⊥===分别为,PC CD 的中点, DE EC =(Ⅰ求证:平面ABE ⊥平面BEF ;(Ⅱ设PA a =,若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43ππθ∈,求a 的取值范围.20.(本小题满分12分已知椭圆1C 的中心为原点O ,离心率e 2=2,其一个焦点在抛物线2:C 22y px =的准线上,若抛物线2C 与直线: 20l x y -+=相切.(Ⅰ求该椭圆的标准方程;(Ⅱ当点(,Q u v 在椭圆1C 上运动时,设动点(,P v u u v 2-+的运动轨迹为3C .若点T 满足:OT MN OM ON =+2+uu u r uuu r uuu r uuu r,其中,M N 是3C 上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为1-2,试说明:是否存在两个定点,F F 12,使得TF TF 12+为定值?若存在,求,F F 12的坐标;若不存在,说明理由.已知函数((1xf x x e-=+(e 为自然对数的底数。
山西省2014～2015学年度高三第四次诊断考试数学(理)试卷
山西省2014～2015学年度高三第四次诊断考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设集合{}215x x A =-≥，集合x y ⎧B ==⎨⎩，则A B 等于（ ）A ．()3,7B ．[]3,7C ．(]3,7D ．[)3,7 2、已知向量()2,1a m =，向量()1,8b =-，若a b ⊥，则实数m 的值是（ ） A ．4- B ．4 C ．43 D ．14 3、设sin 20156a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()(),0,0xa x f x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则21log 6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于（ ）A ．14 B ．4 C ．16D ．6 4、若R m ∈，则“6log 1m =-”是“直线1:l 210x my +-=与2:l ()3110m x my ---=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．50 B ．25 C ．75 D ．1006、函数()2cos xf x x π=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7、为得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则m n -的最小值是（ ） A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π8、设636e a =，749e b =，864e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9、在C ∆AB 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若222b c a +-=，且b =，则下列关系一定不成立的是（ ）A ．a c =B ．b c =C ．2a c =D ．222a b c +=10、已知点E 、F 、G 分别是正方体1111CD C D AB -A B 的棱1AA 、1CC 、1DD 的中点，点M 、N 、Q 、P 分别在线段DF 、G A 、BE 、11C B 上，则以M 、N 、Q 、P 为顶点的三棱锥Q P -MN 的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知O 为原点，双曲线2221x y a -=（0a >）上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A ，B ，平行四边形OBPA 的面积为，则双曲线的离心率为（ ） AB． CD12、已知函数()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，且函数()f x 满足()()4f x f x +=．若方程()30f x x -=恰有5个根，则实数m 的取值范围是（ ）A． B．83⎫⎪⎪⎭ C．43⎛ ⎝ D ．48,33⎛⎫⎪⎝⎭ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若圆C 的半径为，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x轴都相切，则该圆的标准方程是 ．14、设0α=⎰，tan 3β=，则()tan αβ+= ．15、点A ，B ，C ，D 在同一球面上，C AB =B =，C 2A =，若球的表面积为254π，则四面体CD AB 体积的最大值为 ．16、设C n n n ∆A B 的三边长分别为n a ，n b ，n c ，1n =，2，3，⋅⋅⋅，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n a c b ++=，12n n n a bc ++=，则n ∠A 的最大值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）在C ∆AB 中，已知()sin sin sin A +B =A +B ．()1求角B ；()2若4tan 3A =，求sin C 的值．18、（本小题满分12分）已知命题:p 方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题:q 双曲线2215y x m -=的离心率()1,2e ∈，若p 、q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19、（本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n -=---，2n ≥且n *∈N ．()1证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬是等差数列； ()2设13n n b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20、（本小题满分12分）已知四棱柱1111CD C D AB -A B ，侧棱1AA ⊥底面CD AB ，底面CD AB 中，D AB ⊥A ，C//D B A ，2AB =，D 4A =，C 1B =，侧棱14AA =．()1若E 是1AA 上一点，试确定E 点位置使//EB 平面1CD A ；()2在()1的条件下，求平面D BE 与平面D AB 所成角的余弦值．21、（本小题满分12分）如图，分别过椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点1F 、2F 的动直线1l ，2l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、C O 、D O 的斜率1k 、2k 、3k 、4k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =． ()1求椭圆E 的方程；()2是否存在定点M 、N ，使得PM +PN 为定值？若存在，求出M 、N 点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． ()1求实数a 的值；()2若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；()3当1n m >>（m ，n *∈Nm n>．。
山西省太原五中2014届高三2月月考数学理试卷Word版含答案
山西省太原五中2013—2014学年度第二学期月考（2月）高三数学(理)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:,2lg P x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题2．设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射),(),(:y x y x y x f -+→在映射下，B 中的元素为（4，2）对应的A 中元素为 （ ）A ．（4，2）．（3,1） 329,,则5（ ）项.A.19B.20C.21D.22 4．复数ii+12（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．i B.i - C ．1 D.1- 5．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为（ ）3m ． A ．37 B.29 C ．27D.496．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函A C7展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．458．在△ABC 中，若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形9像如图示，则将()y f x =的图像向右平移 ）A ．x y 2sin = B.x y 2cos =10．已知双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别是12,F F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（ ） A ．123+ B．1313+ D11．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则a ＋b ＋c 的取值范围是（ ）A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015]12．设x ，y ∈R ，且满足33(2)2sin(2)2,(2)2sin(2)6,x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩则x y +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
山西省太原五中2014届高三5月月考数学理试卷Word版含答案
太 原 五 中2013—2014学年度第二学期月考(5月)高 三 数 学(理)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=14922y x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+=123y x y N ，则=⋂N M （ ） A 、∅ B 、{})0,2(),0,3( C 、 ]3,3[- D 、{}2,32.已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21zz 等于（ ）A ．3i +B ．3i -C ．13i -+D ．3i --3．某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a 2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的53，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( ) A ．600 B ．400 C ．300 D ．2004.已知双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离（其中c 为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A.32D.525. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．26. 函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤的部分图象如图所示，其 中A ，B 两点之间的距离为5，则f(x )的递增区间是（ ）A.[61,62]()k k k Z -+∈B. [64,61]()k kk Z --∈ C. [31,32]()k k k Z -+∈ D. [34,31]()k k k Z --∈7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为俯视图（ ）A.B.C.D.8．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9.在圆22(2)(2)4x y --＋＝内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为A ．18π B ．14π C ．12πD ．1π10在△ABC 中，D 为边BC 上一点，DC =2BD ，，∠ADC=45°，若AB ，则BD 等于（ ）A.4.B.2+C. 2+D. 311.点S,A,B,C 是球O 的球面上的四个点,S,O 在平面ABC 的同侧，∠ABC=120°,AB=BC=2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S-ABC 则该球的表面积为（ ） A.18π B.16π C. 20π D. 25π 12.已知点(1,0)B ，P 是函数e x y =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论： ①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形；②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)
2014年山西省太原市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知{}2log ,1U y y x x ==>，1,2P y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð（ ）A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()0,+∞D.()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U答案：A【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算． 【专题】计算题．【分析】先求出集合U 中的函数的值域和P 中的函数的值域，然后由全集U ，根据补集的定义可知，在全集U 中不属于集合P 的元素构成的集合为集合A 的补集，求出集合P 的补集即可． 【解答】解：由集合U 中的函数2log ,1y x x =>，解得0y >，所以全集()0,U =+∞，同样：10,2P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð． 故选A ．【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．2.复数2i12i +-的共轭复数是（ ）A.3i 5-B.3i 5 C.i - D.i答案：C【考点】复数代数形式的混合运算． 【专题】计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为()i ,a b a b +∈R 的形式，然后求出共轭复数，即可． 【解答】解：复数()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5+++===--+，它的共轭复数为： i -． 故选C【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．3.若函数()f x 同时具有以下两个性质：①()f x 是偶函数，②对任意实数x ，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()πcos 22f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()πsin 42f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.()cos6f x x =答案：C【考点】函数()sin y A x ωφ=+的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论．【解答】解：由题意可得，函数()f x 是偶函数，且它的图象关于直线π4x =对称．()cos f x x =Q 是偶函数，当π4x =时，函数()f x =故不满足图象关于直线π4x =对称，故排除A ．Q 函数()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，是奇函数，不满足条件，故排除B ．Q 函数()πsin 4cos 42f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭是偶函数，当π4x =时，函数()1f x =-，是最小值，故满足图象关于直线π4x =对称，故C 满足条件．Q 函数()cos6f x x =是偶函数，当π4x =时，函数()0f x =，不是最值，故不满足图象关于直线π4x =对称，故排除D ，故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性的判断，三角函数的图象的对称性，属于中档题．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47109a a a ++=，14377S S -=，则使n S 取得最小值时n 的值为（ ）A.4B.5C.6D.7 答案：B【考点】等差数列的前n 项和；数列的函数特性． 【专题】计算题．【分析】等差数列{}n a 中，由47109a a a ++=，14377S S -=，解得19a =-，2d =．所以()2192102n n n S n n n -=-+⨯=-，利用配方法能够求出n S 取得最小值时n 的值．【解答】解：等差数列{}n a 中， 47109a a a ++=Q ，14377S S -=，7114311631413321437722a a d S S a d a d =+=⎧⎪∴⨯⨯⎨⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得19a =-，2d =．()1922n n n S n -∴=-+⨯210n n =-()2525n =--，∴当5n =时，n S 取得最小值．故选B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.已知命题0:p x ∃∈R ，e 0x mx -=，:q x ∀∈R ，210x mx ++≥，若()p q ∨-为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A.()(),02,-∞+∞UB. []0,2C.RD.φ答案：B【考点】复合命题的真假． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的真假关系，确定命题p ，q 的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论．【解答】解：若()p q ∨-为假命题，则p ，q -都为假命题，即p 是假命题，q 是真命题，由e 0xmx -=得e xm x=，设e x f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()221e e e 'xx x x x f x x x -⋅-==， 当1x >时，()'0f x >，此时函数单调递增，当01x <<时，()'0f x <，此时函数单调递递减， 当0x <时，()'0f x <，此时函数单调递递减，∴当1x =时，()e xf x x=取得极小值()1e f =，∴函数()e xf x x=的值域为()[),0e ,-∞+∞U ，∴若p 是假命题，则0e m <≤；若q 是真命题，则由210x mx ++≥，则240m ∆-=≤，解得22m -≤≤，综上0e 22m m ⎧⎨-⎩≤≤≤≤，解得02m ≤≤．故选：B ．【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．6.有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ） A.24 B.48 C.72 D.96 答案：B【考点】计数原理的应用． 【专题】概率与统计．【分析】满足条件的事件是同一科目的书都不相邻，分类求出结果，即可． 【解答】解：同类书不相邻的排法种数 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4222132⨯⨯⨯⨯=种可能； 假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有412118⨯⨯⨯⨯=种可能； 假设第一本是物理书，则有142118⨯⨯⨯⨯=种可能． 故选：B ．【点评】本题考查计数原理的应用，与浙江卷理科的一道选择题目求解概率的题目类似，是一道变形题，这种题目可以作为选择或填空出现，也可以作为一道解答题目出现．7.给出30个数：1，2，4，7，11，L ，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A.i 30?≤；i 1p p =+-B.i 31?≤；i 1p p =++C.i 31?≤；i p p =+D.i 30?≤；i p p =+ 答案：D【考点】循环结构． 【专题】阅读型．【分析】由程序的功能是给出30个数：1，2，4，7，11，L 计算这30个数的和，我们可以根据循环次数，循环变量的初值，步长计算出循环变量的终值，得到①中条件；再根据累加量的变化规则，得到②中累加通项的表达式．【解答】解：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30 即①中应填写i 30≤； 又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即112+=； 第3个数比第2个数大2即224+=； 第4个数比第3个数大3即437+=；L 故②中应填写i p p =+ 故选D【点评】本题考查的知识点是循环结构，其中在循环次数=（循环终值-初值）÷步长1+，是循环次数，终值，初值，步长的知三求一问题，属于基础题． 8.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（ ）正视图侧视图俯视图A.3π32cm 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.3π32cm 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.3π41cm 4⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.3π41cm 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是两个正四棱柱与一个圆柱的组合体，根据三视图判断正四棱柱的底面边长和高及圆柱的底面直径和高的数据，代入圆锥与棱柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是两个正四棱柱与一个圆柱的组合体， 其中圆柱的底面直径为1，高为1；上边正四棱柱的底面边长为3，高为1； 下边正四棱柱的底面边长为4，高为2，∴几何体的体积22231π3142π141cm 24V ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．9.点P 在双曲线：()222210,0x y a b a b-=>>上，1F ，2F 是这条双曲线的两个焦点，1290F PF ∠=︒，且12F PF △的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：D【考点】双曲线的简单性质；等差数列的性质． 【专题】压轴题．【分析】通过2PF ，1PF ，12F F 成等差数列，分别设为m d -，m ，m d +，则由双曲线定义和勾股定理求出48m d a ==，52dc =，由此求得离心率的值． 【解答】解：因为12F PF △的三条边长成等差数列，不妨设2PF ，1PF ，12F F 成等差数列， 分别设为md -，m ，m d +，则由双曲线定义和勾股定理可知：()2m m d a --=，2m d c +=，()()222m d m m d -+=+， 解得48m d a ==，52dc =，故离心率52e 52d c d a ===，故选D ．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．10．在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC ==2SA SC ==，二面角S AC B --的余弦值是，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） 答案：DA.C.24D.6π【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积． 【专题】综合题． 【分析】由AB BC ⊥，得ABC △的外接圆的圆心'O 为AC 中点，连接'SO ，'BO ，可证'OO ⊥底面ABC ，将平面'SO B 取出，求出SB ，作SB 的中垂线，过'O 作'BO 的垂线，两者必相交于O ，用余弦定理，求得cos 'O BS ∠，从而可知D ，E ，O 三点重合了，可得外接圆的半径，即可求得球的表面积． 【解答】解：由AB BC ⊥，得ABC △的外接圆的圆心'O 为AC 中点，连接'SO ，'BO ，由SA SC =和AB BC =有'SO AC ⊥，'BO AC ⊥而四面体外接球的球心O 在平面'SO B 内，连接'OO ，有'OO ⊥底面ABC 将平面'SO B 取出，则'1BO =，'SO用余弦定理可得cos 'SO B ∠=SB ∴=作SB 的中垂线，过'O 作'BO 的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cos 'O BS ∠=如图，'cos '2SBBE O B O BS =÷∠==也就是D ，E ，O 三点重合了外接圆的半径R OB ==∴球的表面积是24π6πR = 故选D ．16ODO'B E S3【点评】本题考查面面角，考查球的表面积，解题的关键是确定外接圆的半径，属于中档题．11.过x 轴上点(),P a o 的直线与抛物线28y x =交于A ，B 两点，若2211AP BP +为定值，则a 的值为（ ）A.1B.2C.3D.4 答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线AB 的方程为：x my a =+，与28y x =联立得2880y my a --=，利用韦达定理可求得()2222211441m aAP BP a m ++=+，由它为定值可求得a 的值． 【解答】解：设直线AB 的方程为：x my a =+， 代入28y x =得2880y my a --=；设()11,A x y ，()22,B x y ，则128y y m +=，128y y a ⋅=-，()()()1222222211111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，2222212111111m y y AP BP ⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭()2121222212211y y y y m y y +-=⋅+ ()22264281164m a m a-⨯-=⋅+ ()222441m a a m +=+， 2211BP AP+Q为定值，是与m 无关的常数， 4a ∴=． 故选：D ．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的应用，着重考查运算求解能力，属于中档题．12.已知方程sin xk x=在()0,+∞上有两个不同的解α，()βαβ<，则下面结论正确的是（ ）A.2sin 22cos ααα=B.2cos22sin ααα=C.2sin 22cos βββ=D.2cos 22sin βββ= 答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系． 【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，sin y x =的图象与直线()0y kx k =>在()0,+∞上有且仅有两个公共点，故直线y kx =与sin y x =在3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内相切，且切于点(),sin ββ-，切线的斜率为sin cos βββ--=化简可得结论．【解答】解：sin xk x =Q ，sin x kx ∴=，∴要使方程()sin 0xk k x=>在()0,+∞上有两个不同的解，则sin y x =的图象与直线()0y kx k =>在()0,+∞上有且仅有两个公共点，所以直线y kx =与sin y x =在3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内相切，且切于点(),sin ββ-， ∴切线的斜率为sin cos βββ--=，cos sin βββ∴=，2sin 22sin cos 2cos βββββ∴==，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想，属于中档题． 二、填空题13.若()5cos x φ+的展开式中3x 的系数为2，则cos2φ=_______．答案：35-【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．【分析】先利用二项式定理的展开式中的通项求出特定项的系数，再根据系数相等建立等量关系，求出cos φ，再依据倍角公式即可得到所求值．【解答】解：由于()5cos x φ+的展开式中含3x 的项为3235cos C x φ⋅， 若()5cos x φ+的展开式中3x 的系数为2，则325cos 2C φ= 即有210cos 2φ=，()211cos cos2125φφ∴=+=， 故3cos25φ=-．故答案为：35-．【点评】本题主要考查了二项式定理，考查特定项的系数等，属于基础题．14.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA ，PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为_______．答案:【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由圆的方程为求得圆心()1,1C 、半径r 为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【解答】解：∵圆的方程为：222210x y x y +--+= ∴圆心()1,1C 、半径r 为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P 的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时， 切线长PA ，PB 最小圆心到直线的距离为3d =PA PB ∴===122PACB S PA r ∴=⨯=故答案为：【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．15.已知O 是锐角ABC △的外接圆圆心，A θ∠=，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r ，则m =____ ．（用θ表示） 答案：sin θ【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数． 【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意画出相应的图形，取AB 的中点为D ，根据平面向量的平行四边形法则可得AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r ，代入已知的等式中，连接OD ，可得OD AB ⊥u u u r u u u r，可得其数量积为0，在化简后的等式两边同时乘以AB u u u r，整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积运算法则化简，再利用正弦定理变形，并用三角函数表示出m ，利用诱导公式及三角形的内角和定理得到()cos cos B A C =-+，代入表示出的m 式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，抵消合并约分后得到最简结果，把A θ∠=代入即可用θ的三角函数表示出m ．【解答】解：取AB 中点D ，则有AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r，代入cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=u u ur u u u r u u u r 得：()cos cos 2sin sin B C AB AC m AD DO C B +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ， 由OD AB ⊥u u u r u u u r ，得0DO AB ⋅=u u u r u u u r，∴两边同乘AB u u u r，化简得：()cos cos 2sin sin B C AB AB AC AB m AD DO AB mAB AB C B ⋅+⋅=+⋅=⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即22cos cosC cos sin sin B c bc A mc C B+⋅=， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==化简得： 22cos cos sin sin sinCcos sin cos sin B CC B A m C C B+=， 由sin 0C ≠，两边同时除以sin C 得：cos cos cos sin B A C m C +=，()cos cos cos cos cos cos sin sinCA C A CB AC m C -+++∴==cos cos sin sinC cos cosC n sin A C A A si A C-++==，又A θ∠=， 则sin m θ=． 故答案为：sin θ.【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角形外接圆的性质，利用两向量的数量积判断两向量的垂直关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16.在数列{}n a 中，已知11a =,211n n a a +=+，10096a a =，则1516a a +=__________．【考点】数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用11a =，211n n a a +=+，10096a a =，分别求出15a 、16a ，则可求1516a a +．【解答】解：由11a =，211n n a a +=+， 得312a =，5121312a ==+，7132513a ==+， 9153815a ==+，11813a =，131321a =，152134a =，211n n a a +=+Q ， 10096a a =， 100969896111111a a a a +∴===++， 即9629610a a +-=，解得96a94a ∴，L 16a ，15162134a a ∴+==，【点评】本题主要考查数列递推公式的应用，根据递推公式分别求出15a ，16a 的值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，面积为S ，cos sin 0a C A b c --=． （Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若acos B C 取最大值时S 的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sin C不为0求出A的度数即可；（Ⅱ）由a，sin A的值，利用正弦定理表示出b与c，再由A的度数求出B C+的度数，用B表示出C，原式第一项利用三角形面积公式化简，再将表示出b与c代入，第二项将表示出的C代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得：sin cos sinA sin sin0A C CB C--=，()sin cos sinA sin sin0A C C A C C∴+-+-=，即sin cos sin sin cos cos sin sin0A C C A A C A C C---=，sin cos sin sin0C A A C C--=，sin0C≠Q，cos1A A-=，即π2sin16A⎛⎫-=⎪⎝⎭，π1sin62A⎛⎫∴-=⎪⎝⎭，ππ5π666A-<-<Q，ππ66A∴-=，则π3A=；（Ⅱ）由正弦定理，得：2sin sin sinb c aB C A====，2sinb B∴=，2sinc C=，且2π3C B=-，1cosC sin cos2B bc A B C++12sin2sin cos2B C B C=⨯⨯sin sin cosB C B C=2π2πsin sin cos33B B B B⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132sin sin224B B B B=++())1321cos21cos2sin244B B B B=+-++)2cos2B B=-26Bπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2π3B<<Q，ππ7π2666B∴-<-<，∴当ππ262B-=，即π3B=时，原式取得最大值，此时21πsin23S=⨯⨯=【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18.某园艺师培育了两种珍稀树苗A 与B ，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如茎叶图（单位：cm ）：165432985421998771918171615181247056899BA在这30株树苗中，树高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“生长良好”，树高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非生长良好”，且只有“B 生长良好”的才可以出售．（1）对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选3株，用X 表示所选中的树苗中能出售的株树，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；古典概型及其概率计算公式． 【专题】综合题；概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有12株，“非生长良好”的有18株，用分层抽样的方法，求出“生长良好”和“非生长良好”的株数，利用对立事件的概率，即可求出至少有一株“生长良好”的概率； （2）由题设知X 的可能取值分别为0，1，2，3，分别求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，()3P X =，由此能求出X 的分布列和EX ． 【解答】解：（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有12株，“非生长良好”的有18株，用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，“生长良好”的有2株，“非生长良好”的有3株．∴至少有一株“生长良好”的概率是23257110C C -=；（2）从所有“生长良好”中选3株，其中A 种树苗有8株，B 种树苗有4株，则X 的可能取值分别为0，1，2，3，()3831214055C P X C ===；()218431228155C C P X C ===；()128431212255C C P X C ===；()343121355C P X C ===，X ∴的分布列为： X 0 1 2 3 P 1455 2855 1255 15514281210123155555555EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19.如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 是11A C 的中点，AO ⊥平面111A B C ．已知90BCA ∠=︒，12AA AC BC ===．（1）求证：11AB AC ⊥； （2）求11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值．C 1B 1A 1OBCA【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】空间角． 【分析】（1）由已知条件推导出四边形11AC CA 为菱形，从而得到1A C ⊥平面11AB C ，由此能够证明11AB AC ⊥． （Ⅱ）设点1C 到平面11AA B 的距离为d，利用等积法求出d 11A C 与平面11AA B 所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：AO ⊥Q 平面111A B C ，11AO B C ∴⊥， 又1111AC B C ⊥Q ，且11AC AO O =I ， 11B C ∴⊥平面11AC CA ，111AC B C ∴⊥， 又1AA AC =Q ，∴四边形11AC CA 为菱形， 11AC AC ∴⊥，且1111B C AC C =I ， 1A C ∴⊥平面11AB C ，11AB AC ∴⊥． （Ⅱ）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ， 111111A A B C C AA B V V --=Q ，111111111323AA B AC B C AO S d ∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅△， 又Q 在11AA B △中，111A B AB ==，11AA B S △d ∴=， 11A C ∴与平面11AA B【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.已知中心在原点O ，左右焦点分别为1F ，2FA ，B 是椭圆上两点．（1）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；（2）动点P 满足：3OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，求动点P 的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 【专题】压轴题；向量与圆锥曲线．【分析】（1，焦距为分类讨论，设直线AB 为：y kx m =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA OB ⊥，可得224330m k --=，根据直线AB 与以原点为圆心的圆相切，即可求此圆的方程；（2）利用3OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，确定坐标之间的关系，由直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，可得121213y y x x =-，即121230x x y y +=，结合A ，B 在椭圆上，即可求动点P 的轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由2222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩．∴椭圆方程为2213x y +=．①设直线AB 为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程得：()()222136310k x kmx m+++-=．122613kmx x k -∴+=+，()21223113m x x k -=+， OA OB ⊥Q ， 0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即()()12121212x x y y x x kx m kx m +=+++()()2212121k x x km x x m =++++()()22222316km 1km 01313m k m k k --⎛⎫=+⋅+⋅+= ⎪++⎝⎭， 即224330m k --=．Q 直线AB 与以原点为圆心的圆相切，∴圆的半径r =222314m r k ==+．∴圆的方程为2234x y +=； ②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为X =，满足上述方程． 综上，所求圆的方程为：2234x y +=． （2）设(),P x y ，又()11,A x y ，()22,B x y ，由：3OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，又直线OA 与OB 的斜率的乘积为13-，121213y y x x ∴=-，即121230x x y y +=． A Q ，B 在椭圆上，221113x y ∴+=，222213x y +=．联立121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩，消去1x ， 2x ，1y ，2y ，得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，2x =此时x =±同理OB斜率不存在时，x =±．∴动点P的轨迹方程为(22330x y x +=≠±．【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，难度大．21.已知函数()()()221ln f x a x x a =--++，()e ex xg x =．（1）若函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭无零点，求实数a 的最小值；（2）若对任意给定的(]00,e x ∈，在(]0,e 上方程()()0f x g x =总存在两个不等的实根，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（1）将()f x 的表达式重新组合，即()()()212ln f x a x x =---，分别研究函数()()()21m x a x =--，()2ln h x x =，0x >，讨论当2a <时和当2a ≥时的情况．（2）求出()'g x ，根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出()g x 的值域；对于()f x ，讨论当2a <时和当2a ≥时的情况，只有当()f x 在(]0,e 上不单调的情况才可能满足题意，结合着()g x 的值域，和数形结合，要使在(]0,e 上方程()()0f x g x =总存在两个不等的实根，只需满足()202e fa f ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪⎩≤≥1，即()1ln 2ln 20232e 1a a a ⎧+--⎪⎪⎨⎪-⎪-⎩≤≤，进一步通过求导的方法证明当32e 1a --≤时，()1ln 2ln 202a a +--≤恒成立，从而确定a 的取值范围．【解答】解：()()()212ln f x a x x =---（1）令()()()21m x a x =--， 0x >；()2ln h x x =，0x >，则()()()f x m x h x =-， ①当2a <时，()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，结合图象可知，若()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭无零点，则1122m h ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即()11212ln 22a ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭≥，24ln2a ∴-≥，24ln22a ∴-<≤．②当2a ≥时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()()0,0m x h x <≥，()0f x ∴>，()f x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点．由①②得24ln2a -≥． min 24ln 2a ∴=-；（2）()()111'e e 1e x x x g x x x ---=-=-，当()0,1x ∈时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当(]1,e x ∈时，()'0g x <，函数()g x 单调递减． 又因为()00g =，()11g =，()2e e e 0g -=>， 所以，函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1．()()()212ln f x a x x <---Q ，()()222'2a x f x a x x--∴=--=． ①当2a ≥时，()'0f x <，()f x ∴在(]0,e 单调递减，且()10f =，不符合题意， ②当2a <时，令()'0f x =，22x a=-， i ）当2e 2a -≥时，即当222e a -<≤时，()'0f x <，不符合题意． ii ）2e 2a <-时，即当22e a <-时，令()'0f x >，则2e 2x a<<-；令()'0f x <时，则202x a <<-，又Q 当3220,0,e 2a x a -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭I 时，()()()32212ln 22ln e 1a f x a x x a -=--->--=，∴要使()()0f x g x =在(]0,e 上总存在两个不相等的实根，需使()202e 1f a f ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎨⎪⎩≤≥即()1ln 2ln 20232e 1a a a ⎧+--⎪⎪⎨⎪-⎪-⎩≤≤ 下证：当32e 1a --≤时，()1ln 2ln 202a a +--≤恒成立，设()()1ln 2ln 22t x x x =+--，32e 1x --≤，则()()11'2222xt x x x -=+=--， 当(),0x ∈-∞时，()'0t x ≥，30,2e 1x ⎛⎫∈- ⎪-⎝⎭时，()'0t x <．()()00t x t ∴=≤．()1ln 2ln 202a a ∴+--≤恒成立， 又2322e e 1->--Q ，32e 1a ∴--≤． 综上，得3,2e 1a ⎛⎤∈-∞- ⎥-⎝⎦．【点评】本题难度较大，较灵活，第一问是将原函数分成两个函数的差，再进一步通过数形结合进行谈论研究，学生也可以直接用求导的方式讨论研究．第二问中需要多次分类讨论和数形结合的思想给出思路的方向，并利用求导的方法进行验证研究，对于学生来说是一个难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请把答题卡上所选题目题号后的方框涂黑．选修4一1：几何证明选讲22.如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ，C ，APC ∠的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ．（Ⅰ）证明：ADE AED ∠=∠；（Ⅱ）若AC AP =，求PCPA的值．【考点】弦切角；相似三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到BAP C ∠=∠，结合PE 平分APC ∠，可得BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠，最后用三角形的外角可得ADE AED ∠=∠；（Ⅱ）根据AC AP =得到APC C ∠=∠，结合（I ）中的结论可得APC C BAP ∠=∠=∠，再在APC △中根据直径BC 得到90PAC BAP ∠=︒+∠，利用三角形内角和定理可得190303C APC BAP ∠=∠=∠=⨯︒=︒．利用直角三角形中正切的定义，得到CAAB=等证明出APC BPA△∽△，从而PC CAPA AB==【解答】解：（Ⅰ）PA Q 是切线，AB 是弦， BAP C ∴∠=∠．又APD CPE ∠=∠Q ，BAP APD C CPE ∴∠+∠=∠+∠．ADE BAP APD ∠=∠+∠Q ，AED C CPE ∠=∠+∠， ADE AED ∴=∠∴∠ADE=∠AED ． （Ⅱ） 由（Ⅰ）知BAP C ∠=∠， APC BPA ∠=∠Q ， AC AP =Q ， APC C ∴∠=∠APC C BAP ∴∠=∠=∠．由三角形内角和定理可知，180APC C CAP ∠+∠+∠=︒． BC Q 是圆O 的直径， 90BAC ∴∠=︒．1809090APC C BAP ∴∠+∠+∠=︒-︒=︒．190303C APC BAP ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒．在Rt ABC △中，1tan CA C AB =，即1tan30CAAB=︒， CA AB∴= Q 在APC △与BPA △中BAP C ∠=∠，APB CPA ∠=∠， APC BPA ∴△∽△． PC CAPA AB ∴=． PC CA PA AB∴==．【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt ABC △是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．选修4-4：坐标系与参数方程23.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b φφ=⎧⎨=⎩（0a b >>，φ为参数），且曲线1C 上的点(2,M 对应的参数π3φ=．且以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线π4θ=与曲线2C 交于点π4D ⎫⎪⎭．（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的极坐标方程； （2）若()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由曲线1C 上的点(2,M 对应的参数π3φ=可得：π2cos 3πsin3a b ⎧=⎪⎪，解得即可得到曲线1C 的普通方程．设圆2C 的半径为R ，由于射线π4θ=与曲线2C 交于点π,4D ⎫⎪⎭π2cos 4R ，解得即可得到圆2C 的极坐标方程．（2）曲线1C 的极坐标方程为：()()22cos sin 1164ρθρθ+=，化为2221cos sin 164θθρ=+，把()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线1C 即可得出．【解答】解：（1）由曲线1C 上的点(2,M 对应的参数π3φ=可得：π2cos 3πsin3b ⎧=⎪⎪=，解得42a b =⎧⎨=⎩， ∴曲线1C 的普通方程为221164x y +=．设圆2C 的半径为R ，由于射线π4θ=与曲线2C 交于点π4D ⎫⎪⎭．π2cos 4R =，解得1R =．∴圆2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （2）曲线1C 的极坐标方程为：()()22cos sin 1164ρθρθ+=，化为2221cos sin 164θθρ=+，()1,A ρθQ ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，22222212cos sin 11cos sin 22164164ππθθθθρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎪∴+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭2222cos sin sin cos 164164θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11516416=+= 【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程与参数方程及其直角坐标方程的互化和应用，考查了计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲 24.选修4﹣5：不等式选讲已知函数()213f x x x =+--． （Ⅰ）解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若存在x 使得()0f x a +≤成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式．【专题】不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）化简()f x 的解析式，并画出图象，找出与4y =的交点，从而得到不等式()4f x ≤的解集．（Ⅱ）由()f x 的图象知，12x =-时，()f x 有最小值72-，由题意知，实数a 大于或等于()f x 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）()()14,2121332,24,3x x f x x x x x x x ⎧⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=+--=--⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+⎪⎩≤≤<3≥，如图，它与4y =的交点为()8,4-和()2,4． 故不等式()4f x ≤的解集为[]8,2-．（Ⅱ）由()f x 的图象知，12x =-时，()f x 有最小值72-，存在x 使得()0f x a +≤成立，等价于72a --≥，72a ≤，故实数a 的取值范围为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，画出函数图象是解题的关键，属于中档题．。