多维随机变量 PPT课件
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概率论与数理统计课件第章节
4
五、二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y) 旳分布函数为 F(x,y)，假如存在非负旳
函数
f
(x,y)
使对于任意
x,y
有：
F
(
x,
y)
y
x
f (u,v)dudv
则称(X,Y ) 是连续型旳二维随机变量。
称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 旳概率密度，或称为随机变量 X 和
2
0.010 0.005
求在X=1时Y旳条件分布律.
P{X=1}=0.045 P{Y=0⃒X=1}=0.030 ⁄ 0.045
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表达为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
分布函数，也称为 X 和 Y 的联合分布函数.y
(x, y)
分布函数 F(x,y) 在 (x,y)处旳函数值就是: 随机
点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下
x
方旳无穷矩形域内旳概率。如图所示.
2
下面利用分布函数来计 算 P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
FX (x) P{ X x} P{ X x,Y } F(x, )
同理有： FY ( y) F (, y)
二、离散型 ( X ,Y ) 的边缘分布律
FX (x) F(x, )
pij, 又 FX ( x) P{ X xi }
五、二维连续型随机变量
设二维随机变量 (X,Y) 旳分布函数为 F(x,y)，假如存在非负旳
函数
f
(x,y)
使对于任意
x,y
有：
F
(
x,
y)
y
x
f (u,v)dudv
则称(X,Y ) 是连续型旳二维随机变量。
称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 旳概率密度，或称为随机变量 X 和
2
0.010 0.005
求在X=1时Y旳条件分布律.
P{X=1}=0.045 P{Y=0⃒X=1}=0.030 ⁄ 0.045
0.004 0.001
P{Y 1|X 1} 0.010 / 0.045 P{Y 2|X 1} 0.005 / 0.045.
用表格形式表达为:
k
0
1
2
P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9
分布函数，也称为 X 和 Y 的联合分布函数.y
(x, y)
分布函数 F(x,y) 在 (x,y)处旳函数值就是: 随机
点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下
x
方旳无穷矩形域内旳概率。如图所示.
2
下面利用分布函数来计 算 P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F(x2 , y2 ) F(x1, y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 )
FX (x) P{ X x} P{ X x,Y } F(x, )
同理有： FY ( y) F (, y)
二、离散型 ( X ,Y ) 的边缘分布律
FX (x) F(x, )
pij, 又 FX ( x) P{ X xi }
《概率论》第2章§2.2 多维随机变量、联合分布列和边际分布列
则 X ,Y相互独立等价于 i, j 1有, 2,
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j}
甲袋中有 个红3 球 个白, 2球;乙袋中有 个红球4 5个白球.从 甲、乙两袋中各任取两球，记 X ,分Y 别表示取 到白球的个数，问 是X否,Y独立？
由于从两袋中取球是相互独立的过程，所以 X ,Y的取值是相互独立、互不相干的，故 X ,相Y 互独立.
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 12/13
设 (X ,的Y )分布律为
YX 1
23
1 1 / 8 a 1/ 24
2
b 1/ 4 1/8
a、b应满足什么条件？ 若 X ,独Y 立,求 a、. b
Q pij 1
i, j
a
b
1
(
1 8
1 24
1 4
18)
11 24
,
a
0, b
0
若 X ,相Y 互独立,则
2
0 1/ 8 1/12 1/16 13 / 48
3
0 0 1/12 1/16 7 / 48
4
0 0 0 1/16 3 / 48
pi. 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
Q P{X 1,Y 1} 1 P{X 1} P{Y 1} 1 25
X ,Y不独立
4
4 48
第二章 离散型随机变量
2
34
pi 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 pj 第2二5 /章48离1散3型/ 4随8 机7变/ 4量8 3 / 48
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 9/13
A, B 相互独立
A, B 之间没有任何关系
P(AB) P(A)P(B)
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j}
甲袋中有 个红3 球 个白, 2球;乙袋中有 个红球4 5个白球.从 甲、乙两袋中各任取两球，记 X ,分Y 别表示取 到白球的个数，问 是X否,Y独立？
由于从两袋中取球是相互独立的过程，所以 X ,Y的取值是相互独立、互不相干的，故 X ,相Y 互独立.
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 12/13
设 (X ,的Y )分布律为
YX 1
23
1 1 / 8 a 1/ 24
2
b 1/ 4 1/8
a、b应满足什么条件？ 若 X ,独Y 立,求 a、. b
Q pij 1
i, j
a
b
1
(
1 8
1 24
1 4
18)
11 24
,
a
0, b
0
若 X ,相Y 互独立,则
2
0 1/ 8 1/12 1/16 13 / 48
3
0 0 1/12 1/16 7 / 48
4
0 0 0 1/16 3 / 48
pi. 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
Q P{X 1,Y 1} 1 P{X 1} P{Y 1} 1 25
X ,Y不独立
4
4 48
第二章 离散型随机变量
2
34
pi 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 pj 第2二5 /章48离1散3型/ 4随8 机7变/ 4量8 3 / 48
§2 多维随机变量、联合分布和边际分布列 9/13
A, B 相互独立
A, B 之间没有任何关系
P(AB) P(A)P(B)
第三章 多维随机变量及其分布
i 1 n
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
则称X 1 , X 2 , , X n相互独立。
3.3
多维随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布 二、最大值与最小值的分布
三、连续场合的卷积公式
四、变量变换法
一、多维离散随机变量函数的分布
泊松分布的可加性
设X P(1 ), Y P(2 )，且X 与Y 独立，则Z X Y P(1 2 ).
二项分布的可加性
设X b(n, p), Y P(m, p)，且X 与Y 独立，则Z X Y b(n m, p).
二、最大值和最小值的分布
最大值分布
设X1 , X 2 , , X n是相互独立的n个随机变量，若Y max( X1 , X 2 , , X n )， 则Y的分布称为最大值分布。
y y
0
1
U g1 ( X , Y ) V g2 ( X , Y )
则(U ,V )的联合分布函数为 p( , ) p( x( , ), y( , )) | J |
积的公式
设X 与Y 相互独立，其密度函数分别为p X ( x)和pY ( y )。则 U XY的密度函数为 pU ( )
P( X x , Y y ) P( X x ), i 1, 2,
j 1 i j i
被称为X 的边际分布列，类似地，对i求和所得的分布列
P( X x , Y y ) P(Y y ), j 1, 2,
i别地, 当n 2时( X , Y )为二维随机变量。
其联合分布函数为（ F x, y） P （X x, Y y）
若F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的分布函数, 则 它表示随机点(X,Y)落在二维区域D内的概率, 其中D 如下图所示:
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
10:42:20
19
例5 设(X,Y)在圆域D={(x, y)| x2+y2r 2}上服从均匀 分布. (1) 求X与Y的边缘密度，判断X与Y是否相互独立. 2 r2 r 2 2 ( 2)求P 8 X Y 4 . 2 y 解 1 / r , ( x , y ) D , x2+y2=r 2
即 1 2σ1σ 2 1 2 2 σ1 1 ρ 1 , 2 σ 2
从而 0.
综上，对于二维正态随 机变量( X , Y ), X和Y相互独立的充分必要条 件是
0.
10:42:20
12
例3
甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15 到 12:45 之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00到 13:00之间是均匀分布. 求先到的人等待另一人到达的时间不超过 5 分钟的概率; 又甲先到的概率是多少？ 解: 设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻. 以12时 为起点0,以分为单位.
d c
o
a
b
x
10:42:20
17
f X ( x)
f ( x , y )dy
d
y
当 a x b时，
d
1 1 f X ( x) dy . c ( b a )(d c ) ba 1 , a x b , f X ( x) b - a 0， 其它.
222121??????????nyx??????????????????????????????????????????????22222121212122212121exp121yyxxyxf??则若0????????????????????????????????????????222221212121exp21yxyxf??????????????????????????????????????22222212112exp212exp21yx????ryxyfxfyx????即即x与y相互独立
第四节.多维随机变量的特征数ppt
g ( x) p( x)dx
定理的重要意义在于求 知道X的分布即可。
时，不须知道 Y 的分布，而只需
3、二维随机变量函数的数学期望 设随机变量 (X,Y) 的函数 Z=g(X,Y) (1) 当 (X,Y) 是离散型随机变量时
则 (2) 当 (X,Y)是连续型随机变量时，联合密度函数为 p(x , y) 则
(Y ) (Y ) P Y E (Y ) E ( X ) c ( X ) (Y ) X 1 (X ) (X )
D( X ) Var ( X ) E[ X E ( X )]
2
又取
(X )
D( X )
称为X的标准差或均方差。
二、方差的性质 ① ②
D( c ) 0
2
c为常数
2
D(cX ) c D( X ) c为常数 D( kX b ) k D( X )
存在 ，则有
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E( X E( X ))(Y E(Y ))
* *
C ov( X , Y ) D( X ) D(Y )
注：
1） XY 描述随机变量X和Y间有无线性相关关系
2） XY是X和Y经标准化之后新的随机变量的协方差
3） XY 是一个无量纲的量。
因为 6 与 有相同的量纲。
相关系数的性质
性质1
证
- 1 Corr( X , Y ) 1
E ( max { X ,Y })
E ( min{ X ,Y })
4、数学期望的性质 1) 2)
E (c ) c ，其中 c 是常数
《多维随机变量》课件
举例
在概率论和统计学中，多维随机变量 通常用于描述多个实验的结果，如掷 骰子、抽样调查等。
多维随机变量的性质
独立性
如果两个多维随机变量相互独立 ，则它们的联合概率分布等于它 们各自概率分布的乘积。
联合概率分布
描述多维随机变量取值概率的函 数，其形式与单维概率分布类似 ，但涉及多个随机变量。
边缘概率分布
射实现智能决策和优化。
THANKS
感谢观看
在金融工程中的应用
投资组合优化
多维随机变量用于描述多种资产的价格波动，通过建立数 学模型和算法，实现投资组合的优化配置和风险管理。
风险管理
在金融风险管理中，多维随机变量用于描述多种风险的联 合分布，如市场风险、信用风险和操作风险的联合分布， 有助于更全面地评估和管理风险。
衍生品定价
多维随机变量在衍生品定价中用于描述多个相关资产的联 合变动，如期权定价模型、期货定价模型等。
多维随机变量
目 录
• 引言 • 多维随机变量的基础概念 • 多维随机变量的分布 • 多维随机变量的函数 • 多维随机变量的运算 • 多维随机变量的应用
01
引言
课程背景
概率论是数学的一个重要分支，它研究随机现象和随机事件 的规律性。多维随机变量是概率论中的一个重要概念，它描 述了多个随机变量的联合概率分布。
计算方法
可以通过条件概率密度函数或条件概率质量函数进行计算。
04
多维随机变量的函数
多维随机变量的函数定义
定义
多维随机变量是定义在样本空间上的一个向 量，其每个分量都是一个随机变量。
描述
多维随机变量通常用于描述多个相关事件的概率分 布，例如在统计学、概率论、金融等领域中经常用 到。
在概率论和统计学中，多维随机变量 通常用于描述多个实验的结果，如掷 骰子、抽样调查等。
多维随机变量的性质
独立性
如果两个多维随机变量相互独立 ，则它们的联合概率分布等于它 们各自概率分布的乘积。
联合概率分布
描述多维随机变量取值概率的函 数，其形式与单维概率分布类似 ，但涉及多个随机变量。
边缘概率分布
射实现智能决策和优化。
THANKS
感谢观看
在金融工程中的应用
投资组合优化
多维随机变量用于描述多种资产的价格波动，通过建立数 学模型和算法，实现投资组合的优化配置和风险管理。
风险管理
在金融风险管理中，多维随机变量用于描述多种风险的联 合分布，如市场风险、信用风险和操作风险的联合分布， 有助于更全面地评估和管理风险。
衍生品定价
多维随机变量在衍生品定价中用于描述多个相关资产的联 合变动，如期权定价模型、期货定价模型等。
多维随机变量
目 录
• 引言 • 多维随机变量的基础概念 • 多维随机变量的分布 • 多维随机变量的函数 • 多维随机变量的运算 • 多维随机变量的应用
01
引言
课程背景
概率论是数学的一个重要分支，它研究随机现象和随机事件 的规律性。多维随机变量是概率论中的一个重要概念，它描 述了多个随机变量的联合概率分布。
计算方法
可以通过条件概率密度函数或条件概率质量函数进行计算。
04
多维随机变量的函数
多维随机变量的函数定义
定义
多维随机变量是定义在样本空间上的一个向 量，其每个分量都是一个随机变量。
描述
多维随机变量通常用于描述多个相关事件的概率分 布，例如在统计学、概率论、金融等领域中经常用 到。
多维随机变量及分布[概率与统计
独立性检验的应用
独立性检验在多元统计分析中具有广泛的应用，例如在因子分析、主成分分析和聚类分析等领域。通过 独立性检验，我们可以更好地理解数据之间的关系和结构，从而更好地进行数据分析和建模。
06 多维随机变量的应用
在统计学中的应用
01
多元统计分析
多维随机变量在多元统计分析中有着广泛的应用，如多元回归分析、主
标准化变换
标准化变换
标准化变换是一种常用的数据预处理技术，它通过对数据进行缩放和平移，使得数据满足一定的特性或满足某种 规范。在多维随机变量的背景下，标准化变换通常是指对每个维度进行缩放和平移，使得所有维度都具有零均值 和单位方差。
标准化变换的作用
标准化变换的作用在于使得不同维度的数据具有可比性，并且使得数据的分布更加接近正态分布。此外，标准化 变换还可以消除量纲和单位对数据分析的影响，使得分析结果更加可靠和稳定。
多维指数分布
定义
多维指数分布是所有维度都服从指数分布的多维随机变量的概率 分布。
特征
具有指数概率密度函数，各维度之间相互独立。
应用
在排队论、可靠性工程等领域有应用。
04 多维随机变量的期望与方 差
期望的定义与性质
定义
01
多维随机变量的期望值是所有可能结果的加权平均，其中权重
为每个结果的概率。
性质
独立性检验
独立性检验
独立性检验是统计学中用于检验两个或多个随机变量是否相互独立的一种方法。在多维随机变量的背景下，独立性检 验通常用于判断各个维度之间是否存在相关性或依赖关系。
独立性检验的方法
独立性检验的方法有很多种，其中常用的有卡方检验、斯皮尔曼秩相关系数和皮尔逊相关系数等。这些方法可以帮助 我们判断两个或多个随机变量是否相互独立，或者是否存在某种依赖关系。
独立性检验在多元统计分析中具有广泛的应用，例如在因子分析、主成分分析和聚类分析等领域。通过 独立性检验，我们可以更好地理解数据之间的关系和结构，从而更好地进行数据分析和建模。
06 多维随机变量的应用
在统计学中的应用
01
多元统计分析
多维随机变量在多元统计分析中有着广泛的应用，如多元回归分析、主
标准化变换
标准化变换
标准化变换是一种常用的数据预处理技术，它通过对数据进行缩放和平移，使得数据满足一定的特性或满足某种 规范。在多维随机变量的背景下，标准化变换通常是指对每个维度进行缩放和平移，使得所有维度都具有零均值 和单位方差。
标准化变换的作用
标准化变换的作用在于使得不同维度的数据具有可比性，并且使得数据的分布更加接近正态分布。此外，标准化 变换还可以消除量纲和单位对数据分析的影响，使得分析结果更加可靠和稳定。
多维指数分布
定义
多维指数分布是所有维度都服从指数分布的多维随机变量的概率 分布。
特征
具有指数概率密度函数，各维度之间相互独立。
应用
在排队论、可靠性工程等领域有应用。
04 多维随机变量的期望与方 差
期望的定义与性质
定义
01
多维随机变量的期望值是所有可能结果的加权平均，其中权重
为每个结果的概率。
性质
独立性检验
独立性检验
独立性检验是统计学中用于检验两个或多个随机变量是否相互独立的一种方法。在多维随机变量的背景下，独立性检 验通常用于判断各个维度之间是否存在相关性或依赖关系。
独立性检验的方法
独立性检验的方法有很多种，其中常用的有卡方检验、斯皮尔曼秩相关系数和皮尔逊相关系数等。这些方法可以帮助 我们判断两个或多个随机变量是否相互独立，或者是否存在某种依赖关系。
概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
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F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2
p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
首页 返回 退出
例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。
多维随机变量及其分布
多维随机变量的期望和方差
总结词
期望和方差是多维随机变量的重要统计量，用于描述随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是随机变量所有可能取值的加权平均，反映了随机变量的中心趋势。方差则是描 述随机变量取值分散程度的量，即离散程度。在多维随机变量中，期望值是一个向量，
方差是一个矩阵。
多维随机变量的协方差和相关系数
定义
连续型随机变量是在一定范围内 可以取任何值的随机变量，通常 用X表示。
例子
人的身高、体重、时间等。
概率分布
连续型随机变量的概率分布可以 用概率密度函数（PDF）表示， 即f(x)表示随机变量取某个值的概 率密度。
随机变量的期望和方差
期望
期望是随机变量取值的平均值，用E(X)表示。对于离散型随机变量，E(X)=∑xp(x)； 对于连续型随机变量，E(X)=∫xf(x)dx。
复杂度并提高模型的泛化能力。
Part
07
总结与展望
总结多维随机变量及其分布的主要内容
定义与性质
多维随机变量是多个随机变量的组合，具有多维度的特性 。其定义基于概率空间，每个维度都有独立的概率分布。
联合概率分布
多维随机变量的联合概率分布描述了所有维度同时发生的 概率。通过联合概率分布，可以计算各种联合事件的概率 。
总结词
独立性是多维随机变量的一个重要性质，表示多个随机变量之间没有相互依赖关系。
详细描述
在多维随机变量中，如果多个随机变量之间相互独立，那么一个随机变量的取值不会影响到另一个随 机变量的取值。独立性的判断对于概率论和统计学中的许多问题至关重要，如联合概率分布、条件概 率和贝叶斯推断等。
Part
06
边缘概率分布
概率论与数理统计图文课件最新版-第3章-多维随机变量及其分布
比如:
概率统计
比如：
1 x y 0
F( x, y) 0 x y 0
对这二元函数来验证第4条性质。
现找 4 个点如下：
( x2 , y2 ) (1, 1); ( x1, y2 ) (1, 1)
( x2 , y1 ) (1, 1); ( x1, y1 ) (1, 1)
F(1,1) F(1,1) F(1, 1) F(1, 1)
0
x 0, y 0 其它
求: (1) 分布函数 F( x, y)
(2) ( X ,Y )落在G内的概率
其中 G: x y 1 及 x 轴、y 轴所围区域
解: (1) Q
x
F(x, y)
y
f ( x, y)dxdy
当 x 0, y 0 时
xy
F( x, y)
0 dx 0
2,4,8,10,14,16,20这7个 数不能被3整除,但能
被2整除
6,12,18这3个数能被2 整除,又能被3整除
不难验证:
1 1
7473
pi j 0, 0 0 pi j 21 21 21 21 1
概率统计
故 得： (X,Y) 的 联合分布 律为:
XY
0 1
01
7
4
21 21
7
P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 )
如图:
y
y2 L
y1 L M
M
x
0 x1
x2
概率统计
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1 F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
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第五章
多维随机变量
在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时 需要两个或两个以上的随机变量来描述.要研究这 些随机变量之间的关系,就应同时考虑若干个随机 变量，即多维随机变量及其取值规律。本章主要 讨论多维随机变量的分布及其性质.
本章内容
§5.1 二维随机变量的概念() §5.2 边缘分布、条件分布() §5.3 随机变量的独立性() §5.4 数字特征 () §5.5 二维随机变量函数的概率分布() §5.6 中心极限定理简介() 小结 课程要求 习题选讲 本章测验
i j
例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列.
解: 由已知条件，二维随机变量( , ) 所有可能的取值为： (i , j )
其中 i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4 且 2 i j 4, 由古典概率公式,有
X：表示该地区学龄前儿童的身高； Y：表示该地区学龄前儿童的体重； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 3、考察某地区的气候状况： X：表示该地区的温度； Y：表示该地区的湿度； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。
4、考察某钢厂钢材的质量： X：表示该钢厂钢材的硬度； Y：表示该钢厂钢材的含碳量； Z：表示该钢厂钢材的含硫量；
其中 pi
pij
j 1 3
i 0,1,2,3
边缘分布律
p j pij
i 1
j 0,1,2,3,4
1 1 1 例2 设A,B为随机事件,且 P ( A) , P ( B | A) , P ( A | B ) , 4 3 2 A发生 1 1 B发生 令 X Y 0 A不发生 0 B不发生
则（X，Y，Z）就是一个三维随机变量。
对于多维随机变量[如二维( X,Y )]，其性质不仅与X 及Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.因 此,逐个地来研究X 或Y 的性质是不够的,还需将( X,Y )作 为一个整体来进行研究.
5.1.1 二维离散型随机变量的联合概率分布
1、二维离散型随机变量的定义 如果二维随机变量 ( , ) 的所有可能取的值是有限对或 可列无限对,则称 ( , ) 是离散型随机变量. 2、二维离散型随机变量的联合概率分布 若 及 的全部不同的可能取值分别为 : x1 , x2 , , xn , : y1 , y2 , , ym , 则( , ) 的全部可能取值为:
3 5 2 i j 4 i pij P{ i , j } 10 4 j
依上式可得 ( , ) 的联合概率分布列如下:
例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列. 解:
( xi , y j )
i 1,2,, n,
j 1,2,, m,
称概率函数
P ( xi , y j ) pij i 1,2,, n,; j 1,2,, m, 为二维离散型随机变量 ( , ) 的(联合)概率分布(律).
或列表为 (概率分布也称为联合分布列)
3 5 2 pij P{ i , j } i j 4 i 10 4
j
且 2 i j 4, 4 pi 5/210 35/210 0 105/210 0 0 63/210 7/210
x1 x2 xn pi
y1 p11 p21 pn1
pi 1
i
ym p1m p2 m pnm pim
i
p1 j p2 j
j j
pi
Байду номын сангаас
pnj
j
1
3、概率分布的性质 (1) pij 0 (2)
pij 1
0 1 2 3
0 0 0
1 2 3 0 10/210 20/210 15/210 60/210 30/210 0 0
4 pi 5/210 35/210 0 105/210 0 0 63/210 7/210 1
3/210 30/210 30/210 2/210 5/210 0
4
p j
5/210 50/210 100/210 50/210 5/210
第一节 二维随机变量的概念
5.1.1 二维离散型随机变量的联合概率分布 5.1.2 联合分布函数 5.1.3 二维连续随机变量的联合概率密度
多维随机变量举例:
1、对一目标进行射击： X：表示弹着点与目标的水平距离； Y：表示弹着点与目标的垂直距离； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 2、考察某地区学龄前童的身体发育情况：
求:(I) 二维随机变量 ( X ,Y )的概率分布; (II) X与Y的相关系数.
解: (I) 易见 ( X ,Y ) 的可能取值为: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
相应概率分别为 1 1 1 P{ X 1,Y 1} P ( AB) P( A) P( B | A) 4 3 12 1 1 1 P{ X 1,Y 0} P( AB ) P( A) P( AB) 4 12 6 P{ X 0,Y 1} P( A B) P( B) P( AB)
0 1 2 3
0 0 0
1 2 3 0 10/210 20/210 15/210 60/210 30/210 0 0
3/210 30/210 30/210 2/210 5/210 0
p j
5/210 50/210 100/210 50/210 5/210
1
例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列.
多维随机变量
在实际问题中,一些随机试验的结果往往同时 需要两个或两个以上的随机变量来描述.要研究这 些随机变量之间的关系,就应同时考虑若干个随机 变量，即多维随机变量及其取值规律。本章主要 讨论多维随机变量的分布及其性质.
本章内容
§5.1 二维随机变量的概念() §5.2 边缘分布、条件分布() §5.3 随机变量的独立性() §5.4 数字特征 () §5.5 二维随机变量函数的概率分布() §5.6 中心极限定理简介() 小结 课程要求 习题选讲 本章测验
i j
例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列.
解: 由已知条件，二维随机变量( , ) 所有可能的取值为： (i , j )
其中 i 0,1,2,3; j 0,1,2,3,4 且 2 i j 4, 由古典概率公式,有
X：表示该地区学龄前儿童的身高； Y：表示该地区学龄前儿童的体重； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 3、考察某地区的气候状况： X：表示该地区的温度； Y：表示该地区的湿度； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。
4、考察某钢厂钢材的质量： X：表示该钢厂钢材的硬度； Y：表示该钢厂钢材的含碳量； Z：表示该钢厂钢材的含硫量；
其中 pi
pij
j 1 3
i 0,1,2,3
边缘分布律
p j pij
i 1
j 0,1,2,3,4
1 1 1 例2 设A,B为随机事件,且 P ( A) , P ( B | A) , P ( A | B ) , 4 3 2 A发生 1 1 B发生 令 X Y 0 A不发生 0 B不发生
则（X，Y，Z）就是一个三维随机变量。
对于多维随机变量[如二维( X,Y )]，其性质不仅与X 及Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.因 此,逐个地来研究X 或Y 的性质是不够的,还需将( X,Y )作 为一个整体来进行研究.
5.1.1 二维离散型随机变量的联合概率分布
1、二维离散型随机变量的定义 如果二维随机变量 ( , ) 的所有可能取的值是有限对或 可列无限对,则称 ( , ) 是离散型随机变量. 2、二维离散型随机变量的联合概率分布 若 及 的全部不同的可能取值分别为 : x1 , x2 , , xn , : y1 , y2 , , ym , 则( , ) 的全部可能取值为:
3 5 2 i j 4 i pij P{ i , j } 10 4 j
依上式可得 ( , ) 的联合概率分布列如下:
例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列. 解:
( xi , y j )
i 1,2,, n,
j 1,2,, m,
称概率函数
P ( xi , y j ) pij i 1,2,, n,; j 1,2,, m, 为二维离散型随机变量 ( , ) 的(联合)概率分布(律).
或列表为 (概率分布也称为联合分布列)
3 5 2 pij P{ i , j } i j 4 i 10 4
j
且 2 i j 4, 4 pi 5/210 35/210 0 105/210 0 0 63/210 7/210
x1 x2 xn pi
y1 p11 p21 pn1
pi 1
i
ym p1m p2 m pnm pim
i
p1 j p2 j
j j
pi
Байду номын сангаас
pnj
j
1
3、概率分布的性质 (1) pij 0 (2)
pij 1
0 1 2 3
0 0 0
1 2 3 0 10/210 20/210 15/210 60/210 30/210 0 0
4 pi 5/210 35/210 0 105/210 0 0 63/210 7/210 1
3/210 30/210 30/210 2/210 5/210 0
4
p j
5/210 50/210 100/210 50/210 5/210
第一节 二维随机变量的概念
5.1.1 二维离散型随机变量的联合概率分布 5.1.2 联合分布函数 5.1.3 二维连续随机变量的联合概率密度
多维随机变量举例:
1、对一目标进行射击： X：表示弹着点与目标的水平距离； Y：表示弹着点与目标的垂直距离； 则（X，Y）就是一个二维随机变量。 2、考察某地区学龄前童的身体发育情况：
求:(I) 二维随机变量 ( X ,Y )的概率分布; (II) X与Y的相关系数.
解: (I) 易见 ( X ,Y ) 的可能取值为: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
相应概率分别为 1 1 1 P{ X 1,Y 1} P ( AB) P( A) P( B | A) 4 3 12 1 1 1 P{ X 1,Y 0} P( AB ) P( A) P( AB) 4 12 6 P{ X 0,Y 1} P( A B) P( B) P( AB)
0 1 2 3
0 0 0
1 2 3 0 10/210 20/210 15/210 60/210 30/210 0 0
3/210 30/210 30/210 2/210 5/210 0
p j
5/210 50/210 100/210 50/210 5/210
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例1 已知10件产品中有3件一等品,5件二等品,2件三等品,现从 这批产品中任意抽出4 件, 求其中一等品件数 与二等品件数 的联合分布列.