数字填图剖析与应用
实验7_数字填图问题
Matlab 程序自己动手！
这里的三个问题都是有穷问题，如果是无穷问题， 如“费马大定理”，计算机可能就无能为力了。 但如果能将无穷问题可以转化成有穷问题，则仍 然可以发挥计算机的特长，如著名的“四色问题”。
下面介绍的两个问题，目前还没见到它们的逻辑 解法，但利用计算机却可以成功解决。
数字填图问题四
{a,d} 最小为 {2,4}，从而 g > 5。 ＋ a d g b e h c f i
g > 5
④ 若 g = 6，则 h+i = 3，故 {h,i} = {1,2}，
{a,d} 最小为 {3,4}，从而 g > 6。
g+h+i=9
g > 6 ⑤
当 g > 6 时，因为 g+h+i = 9，故 h+i < 3，无解。
当 g+h+i=9 时，问题无解
逻辑解法
考虑 g+h+i=18 的情形
由前面的推理可知 g > 3，下面按 g = 9,8,7,6,5,4 逐个讨论。 a+b+c+d+e+f=45-18=27 ＋ a d g b e h c f i
① g=9，记 L=a+d，M=b+e，N=c+f，则：
g+h+i=18
问题背景和实验目的
所谓计算机证明是指充分发挥计算机计算速度 快和会“推理”的特点，用计算机程序模拟解题 或进行穷举检验，最后得到问题的解。如著名的 “四色问题”。但几乎所有的数学家对计算机证 明持保留态度。 本实验通过生活中常见的数字填图问题，研究 这类问题的逻辑推理解法和计算机解法。
实验一 数字填图问题
g
5
h
9
i
4
解
216 378
例 594
5 7 6
182 394
576
5
6
7
128 218 439 与 349
567 567
5 4 9
162 287
549
解的 个数
1 8
1 8
28
1 8
⑥g 4 ,则 h i 14,共计有解4 8 32 个. 解例见下表：
g
考虑到a ~ i 互不相同,当要求a b,d e, g h 时, 有如下４组解（见下表）：
a
b
c
d
e
f
g
h
i0
(1) 3
5
8
2
7
94
6 10
(2) 2
6
8
4
5
93
7 10
(3) 2
7
9
3
5
84
6 10
(4) 4
5
9
2
6
83
7 10
注:本问题实际上仅有2个解是本质的,即表中的
第2,3行和第4,5行所代表的解仅是位置不同而已.如
若问题有解,则显然有i 1且
(a b) (d e) (g h) c f i 10
故 45 (a b c) (d e f ) (g h i)
2(c f ) i 11
即c f 17, 故c 8, f 9或c 9, f 8.
g
2
2
2
2
h
4
3
9
7
i
数字的形填充应用题
数字的形填充应用题形填充是一种常见的思维训练方式，它要求我们在指定的形状内填充正确的数字，以满足给定的条件。
这种应用题能够锻炼我们的逻辑思维和数学能力。
本文将介绍几个关于数字的形填充应用题，并通过图例和解题思路来分析。
1. 题目一：根据下图所示，填充正确的数字。
（图例）解题思路：观察图例，我们可以看到每个小方格中都有一个数字或一个算式。
我们需要根据规律填入正确的数字。
首先，我们可以发现每行和每列的数字满足一定的关系。
例如，第一行的数字依次递增，而第一列的数字依次递减。
其次，我们可以发现对角线上的数字之和始终为同一个值。
根据这些规律，我们可以依次填入数字。
2. 题目二：根据下图所示的形状，填充正确的数字。
（图例）解题思路：观察图例，我们可以看到形状中的一些数字已经给出，我们需要根据已有数字的规律来填充其他空白位置。
首先，我们可以发现每行和每列的数字之和都相等。
根据这个规律，我们可以计算出图例中缺失的数字。
其次，我们可以发现斜线上的数字之和也相等。
通过这些规律，我们可以填入正确的数字。
3. 题目三：根据下图所示的形状，填充正确的数字。
（图例）解题思路：观察图例，我们可以看到每个小方格中都有一个数字和一个算式。
我们需要根据已有数字和算式的规律来填充其他空白位置。
首先，我们可以发现每行和每列的数字之和都相等。
根据这个规律，我们可以计算出图例中缺失的数字。
其次，我们可以发现对角线上的数字之和也相等。
通过这些规律，我们可以填入正确的数字。
总结：数字的形填充应用题是一种锻炼逻辑思维和数学能力的好方法。
通过观察规律和进行计算，我们可以正确填充数字，满足给定的条件。
在解题过程中，我们需要耐心，仔细观察，并且善于总结规律。
希望通过这些形填充应用题的训练，能够提高大家的数学思维和解题能力。
（字数：500字）。
实验三 数字填图问题
第三周数字填图问题一、问题背景和实验目的数字填图问题是数学问题的一种趣味形式．早在19世纪后半期，一些数学家就在报刊中大量使用数字填图游戏和字谜游戏等，目的是使业余爱好者也能通过简单的形式去认识、理解和琢磨深奥的数学问题，这些问题中甚至包括困惑了世间智者350多年、于1994年才刚刚被证明了的“费马大定理”．100多年来，数字填图问题对数学界所起的作用是不言而喻的．大家都知道，数学问题一般都经过严格的逻辑证明才得以解决．而逻辑证明是指从一些公理出发，经过逻辑推理来证明问题．但随着20世纪40年代以来计算机的诞生和发展，计算机改变了整个世界，计算机已在各个领域发挥作用，并取得了许多重大进展．于是，能否用计算机来证明数学问题便成了大家关心的话题．所谓计算机证明是指充分发挥计算机计算速度快和会“推理”的特点，用计算机程序模拟解题或进行穷举检验，最后得到问题的解．几乎所有的数学家对计算机证明持保留态度，因为他们相信，只有逻辑证明才是真正可靠的．但“四色问题”的证明，又使他们感到困惑，因为“四色问题”的证明实际上是一个计算机证明．能否用计算机来证明数学问题的争论可能会持续一个相当长的时间，本实验旨在通过生活中几个常见的数字填图问题的探究，谈谈这类问题的逻辑推理解法和计算机解法．二、相关函数（命令）简介1．cputime命令：记录执行本命令时的Matlab时钟的时间(秒)．2．tic命令：开始计时．3．toc命令：结束计时．4．disp(x)：输出矩阵x．x的各项应为字符，所以在输出时要进行转化．相关的命令有：num2str( )：把数值转化为字符；mat2str( )：把矩阵转化为字符．三、实验内容让我们先从一个简单的问题出发来谈谈数字填图问题的两种解法．然后通过几个稍复杂问题的探究，从中展示逻辑推理的严谨以及计算机解法的魅力，启迪我们去解决更复杂的数学问题．注：在本实验中，将表达式abc理解为abc，即100*a+10*b+c，其余类似，不另加说明．(一)、一个简单的问题及其解答问题一：在图 1 的几个加法等式中，每个□表示一个非零数字，任意两个数字都不相同，问有多少个解?图1【逻辑解法】 为简洁起见，将它的 3 个式子记作： a + b = c ，d + e = f ，g + h = i 0，若问题有解，则显然有 i = 1，且(a + b ) + (d + e ) + (g + h ) = c + f + i ⨯ 10，故 45 = (a + b + c ) + (d + e + f ) + (g + h + i ) = 2 (c + f ) + i ⨯ 11，即 c + f = 17，故 c = 8，f = 9 或 c = 9，f = 8．考虑到 a ~ i 互不相同，当要求 a < b ，d < e ，g < h 时，有如下 4 组解（见下表）：注：本问题实际上仅有 2 个解是本质的，即表中的第 2、3 行，第 4、5 行所代表的解仅是位置不同而已．如不要求 a < b ，d < e ，g < h ，则解的个数是 1212124C C C 个．【计算机解法】为验证此结果，可用 Mathematica 、Matlab 、Turbo C 等软件进行模拟解题，充分利用计算机运算速度快的特点进行穷举法检验．实践表明本问题解的情况恰如上所述．用 Matlab 实现的程序清单可参见附录1，这一算法比较慢（一个更慢的算法参见附录1B ，试分析其原因），而一个提速的程序清单可参见附录2，Turbo C 程序清单可参见附录3，而Mathematica 程序清单可参见附录4．【评论】这个问题的逻辑解法十分简单，或许根本不需要计算机解法，但所用程序有一定的代表性，稍加修改即可解决一系列问题，这点可从下面的问题中看到．(二)、几个较复杂的问题及其解答问题二：在图 2 的 4 个算式中，每个□表示一个非零数字，任意两个数字都不相同，问 (A )、(B )、(C ) 和 (D ) 这 4 种情形分别有多少个解?图2讨论：显然，情形 (C ) 无解．情形 (D ) 与 情形 (C ) 实际上是同一个问题，因此也无解．情形 (B ) 与 情形 (A ) 实际上也是同一个问题．我们先讨论情形 (A ) 的解的个数．【逻辑解法】为简洁起见，将此竖式记作：abc + def = ghi ，即 ，其中 a ~ i 代表 1 ~ 9 这 9 个互不相同的非零数字．据九余数性质可知，两个“加数”中的六个数字之和被 9 除的余数应等于“和数”中的三个数字之和被 9 除的余数．又这两个“加数”与“和数”中共九个数字正好是1，2，⋅ ⋅ ⋅，9，它们的和为 45，被 9 除的余数是 0，易见“和数”的三个数字之和被 9 除的余数必为 0，也即：“和数”是 9 的倍数．注意到题设可知，“和数”的三个数字之和必定为：g + h + i = 9 或 g + h + i = 18．<1> 考虑 g + h + i = 9 的情形．(1) 首先必定有 g > 3，否则 {a ，d } 最小为 {1，2}，{b ，e } 最小为 {4，5}，{c ，f } 最小为 {6，7}，此时已有 abc + def > 400，与 g ≤ 3 矛盾．故 g ≥ 4；另外，g ≤ 6 为显然；(2) 若g = 4，由 g + h + i = 9，h + i = 5，故 {h ，i } 最小为 {1，4} 或 {2，3}；但已有 g = 4，故 {h ，i } 为 {2，3}，而 {a ，d } 最小为 {1，4}，从而g ≥ 5，与 g = 4 矛盾；(3) 若g = 5，由 g + h + i = 9，h + i = 4，故 {h ，i } 为 {1，3}；而 {a ，d } 最小为 {2，4}，从而g ≥ 6，与 g = 5 矛盾；(4) 若 g = 6，由 g + h + i = 9，h + i = 3，故 {h ，i } 为 {1，2}；而 {a ，d } 最小为 {3，4}，从而g ≥ 7，与 g = 6 矛盾．综上所述，g + h + i = 9 的情形下问题无解．<2> 考虑 g + h + i = 18 的情形．由于 g ≥ 4（理由同上），以下按 g = 9，8，⋯，4 的顺序分类讨论：(1) g = 9，则 h + i = 9．由于 a ~ i 互不相同，于是 g ，h ，i 的可能的取值见下表：对这些竖式有序地交换两个加数的百位数、十位数和个位数，可得到每个类型的 8(=121212C C C ) 个不同竖式 (解)，小计有解 12 ⨯ 8 = 96 个．注意：表中的第 2、5、6、9 列为容易造成失解的地方，要特别留意． 完全类似地有如下一系列过程：(2) g = 8，则 h + i = 10．仿(1)，小计有解 10⨯8=80 个，解例见下表：(3) g = 7，则 h + i = 11．小计有解 5⨯8=40 个，解例见下表：(4) g = 6，则h + i = 12．小计有解6⨯8=48 个，解例见下表：(5) g = 5，则h + i = 13．小计有解5⨯8=40 个，解例见下表：(6) g = 4，则h + i = 14．小计有解4⨯8=32 个，解例见下表：结论：本问题的解的个数为：(12 + 10 + 5 + 6 + 5 + 4) ⨯ 8 = 42 ⨯ 8 = 336．注：<1>如不考虑两个加数的上下位置关系，则总的解的个数为：42 ⨯ 8/2 = 168．<2>由于情形(B) 与情形(A)是同一个问题，故解的个数也为：42 ⨯ 8 = 336．【计算机解法】为验证此结果，仍用Matlab、Mathematica、Turbo C 编程进行模拟解题，充分利用计算机运算速度快的特点进行穷举法检验．实践表明本问题有且只有336 个不同竖式（解），而Matlab 程序清单可参见附录5，你可发现它与附录 1 十分相似．【评论】这个问题的逻辑解法较复杂，而计算机解法则是如此的简单快捷，运行整个程序不要 1 分钟．实际上非常复杂的“四色问题”的证明也是这样：对1482 种有代表性地图的分析，若依靠人工去做，可能要几十年甚至上百年的时间，而用计算机，只要1200 小时即告完成．这还是70 年计算机的计算水平，若用现在的计算机，计算时间应该不会超过一天!问题三：在图 3 的加法算式中，每个□表示一个非零数字，任意两个数字都不相同，问可有多少个解?【逻辑解法】为简洁起见，将此竖式记作：a + bc + def = ghi或，其中a ~ i代表1~ 9 这9 个互不相同的非零数字．据九余数性质并采用完全类似问题二的讨论可知，“和数”的三个数字之和必定为：g + h + i = 9 或g + h + i = 18．同时，g≠ 1，否则 d = 1；另外g > d，从而g = d + 1．由于9 ≥ g ≥ 2，以下按g = 9，8，7，⋅⋅⋅，2 的顺序分类讨论：(0) g = 9，d = 8．则h + i = 9．由于a ~ i互不相同，于是g，h，i的可能的取值为（见下表）：图3小计有解0 个．(1) g = 8，d = 7．则h + i = 1(不可能，舍去) 或h+i=10．由于a ~ i互不相同，于是g，h，i的可能的取值为(见下表)：对这些竖式有序地交换三个加数的个位数、两个加数的十位数，可得到每个类型的12 个不同竖式(解)，小计有解2⨯12=24 个．完全类似地有如下一系列过程：(2) g = 7，d = 6．则h + i = 2(不可能，舍去) 或h+i=11．仿(1)，小计有解2⨯12=24 个．(3) g = 6，d = 5．则h + i = 3 或h + i = 12．有解1⨯12=12 个，解例见下表：(4) g = 5，d = 4．则h + i = 4 或h + i = 13．有解3⨯12=36 个，解例见下表：(5) g = 4，d = 3．则h + i = 5 或h + i = 14．有解2 ⨯ 12 = 24 个，解例见下表：(6) g = 3，d = 2．则h + i = 6 或h + i = 15．有解2 ⨯ 12 = 24 个，解例见下表：(7) g = 2，d = 1．则h + i = 7 或h + i = 16．有解2 ⨯ 12 = 24 个，解例见下表：结论：本问题的解的个数为：(2 + 2 + 1 + 3 + 2 + 2 + 2) ⨯ 12 = 168．【计算机解法】让我们再尝试计算机解法．仍用Matlab、Mathematica、TurboC 编程进行穷举法验证，程序清单类似于附录1~附录5，不再另附．运行结果表明本问题的确有且只有 168 个不同竖式（解），要说明的是：该程序在一般的计算机上运行一次也只需不到 1 分钟．【评论】也许有人会说，你的问题还仅是一个有穷的问题，象“费马大定理”这样的无穷问题，你的计算机就无能为力了! 情况或许是这样．但应该注意到：非常复杂的“四色问题”也是一个无穷问题，但妙就妙在有人能将它们缩小到 1482 种有代表性地图以内，从而成为一个有穷的问题!至此，对于计算机解题的作用恐怕再不能视而不见了! 下面的两个问题也是成功地运用计算机解题的的一些典型例子，而至少到目前为止还没有看到它们的推理解法.问题四：图 4 的加法等式是：两个真分数之和等于第三个真分数，每个□表示一个不为 0 的数字，任意两个数字都不相同．比如：847965321=+，试找出所有可能的解．图4【计算机解法】本问题利用计算机程序已找到解答，共有 10 个解．解答请参见：《数学教学》（华东师范大学）1994 年第 5 期．【评论】程序如何编? 看起来问题似乎很简单，只要将附录1~附录5 稍加修改即可．例如可利用附录 6 的 Matlab 程序进行计算．但实际情况让我们大吃一惊：用 Matlab 程序居然只有 6 个解！还有 4 个解到哪里去了？用 TurboC 程序编写出的类似的程序居然只有 7（或9）个解！还有 3（或1）个解到哪里去了？还有人用 Turbo C 程序编写出的类似的程序，却居然得到了 11 个“解”！这个多出的 1 个“解”是哪里来的？类似的问题还会发生在本实验的“四、自己动手”的第 6 题中，用不同的语言编写出的类似程序，其运行结果居然差距很大，你能明白其中的道理吗？根据观察，可能是浮点问题，也可能是整数的上界问题，或别的什么原因．具体什么原因，留作思考题．问题五：图 5 的加法等式是：两个假分数之和等于第三个假分数，每个□表示一个不为 0 的数字，任意两个数字都不相同．试找出所有可能的解．图5【计算机解法】本问题利用计算机程序也已找到解答，共有41个解．同样只要将附录1 ~ 5的程序稍加修改即可．(三)、小结数字填图问题是一种活泼的、变形的数学问题，逻辑推理是这类问题的一般解法．但也有若干数字填图问题要找到这样的逻辑推理解法是非常地困难，而采用计算机解法则轻而易举．问题一和问题二就是这样的例子．至于问题四和问题五则只能给出计算机解法．尽管数学家们很难接受计算机解法，因为他们担心计算机会出错（尽管这种出错的概率几乎为零!），更重要的是他们坚信逻辑证明是解答这类问题的根本方法．但上述事实证明计算机解法也是十分有效的．另一个公认的例子是“四色问题”，它的证明实际上就是一个计算机证明．关于这个问题的争论可能会有一个相当长的时间．不管将来的结论如何，但计算机证明(解题) 毕竟代表将来数学问题解决的一个方向．就象安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles) 突发灵感地把“伊娃沙娃理论”和“科利瓦金弗莱切方法”结合在一起可以完美地互相补足，以致最终证明了“费马大定理”一样，未来的数学家或许会让“逻辑证明”和“计算机证明”也完美结合，从而解决更多的数学问题．注；西蒙·辛格[英]，1998 年．《费马大定理一个困惑了世间智者358 年的谜》，薛密译，上海译文出版社．四、自己动手1．一道竞赛题（以下称“原问题”）1998 年4 月香港数理教育学会主办的初中数学竞赛有这样一道试题：在下面的加法算式中，每个□表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么A 与B 的乘积的最大值是多少?解答：最大值是15．你能给出逻辑推理解法并用计算机加以验证吗?由上述问题引伸出的三个问题：2．满足原问题题意的不同的加法算式（竖式）共有多少个?本问题有60 个不同竖式（解）．试给出逻辑推理解法并用计算机加以验证．原竞赛题是针对初中生而设计的，故问题的难度被大大降低了．本练习已有一定难度．不可否认，逻辑推理是解决问题的重要途径，而计算机模拟解题在其中所起的作用也是不言而喻的．我们可以将练习 2 一般化，你将发现计算机模拟解题的有效性和重要性．3．如果在原问题中删除条件：“任意两个数字都不相同”，则满足题意的不同的加法算式（竖式）共有多少个?本问题实际上是一个有约束条件的全排列问题．本问题的答案是：48195 个!这真是一个神奇的数值．要得到这个数值应该说是有一定难度的．试给出逻辑推理解法并用计算机加以验证．注：假如在本问题中允许三个“加数”与“和数”均可以由数字0 作为开头，去掉“任意两个数字都不相同”这个条件限制，本问题则变成一个真正的全排列问题．在 a + bc + def = ghij中，“和数”ghij 是被动的．由a，b，c，d，e，f {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，此时本问题有解106个．练习 3 是利用计算机模拟解题的真正代表，可以说计算机模拟解题能力在某些方面确已达到了逻辑推理解题的能力．而以下的练习 4 将把练习 2 的难度进一步加大．你将发现运用计算机模拟解题在某些方面甚至已超过运用逻辑推理解题．这个问题是：4．假如违反常规，允许三个“加数”与“和数”均可以由数字 0 作为开头，保留条件：“任意两个数字都不相同”，则满足原问题题意的不同的加法算式（竖式）共有多少个?本问题共有 228 个解，即在练习 2 有 60 个不同竖式（解）的基础上再增加 168 个解．试给出逻辑推理解法并用计算机加以验证．分析和观察：练习 4 的结论与本实验中的“问题三”的结论是否有一定的联系? 有何联系?5．验证本实验中的“问题四”、“问题五”的结论．能否给出相应的推理解法?答案是：非常困难! 不妨一试．你是否发现运用计算机模拟解决本问题，已超过运用逻辑推理解决本问题?6．设A ~ J 表示十个互不相同的数字，问：方程（注意： 组成分数的四个数的第一位数字不能为0）IJH DEFG ABC 共有多少个解？答案是110个? 是118个? 是其它的数字？为什么？五、附录附录1 (fulu1.m)：tic;n=0;for a=1:9for b=1:9if (b==a), continue; endfor c=1:9if (c==a | c==b), continue; endfor d=1:9if (d==a | d==b | d==c), continue; endfor e=1:9if (e==a | e==b | e==c | e==d), continue; endfor f=1:9if (f==a | f==b | f==c | f==d | f==e), continue; endfor g=1:9if (g==a | g==b | g==c | g==d | g==e | g==f), continue; endfor h=1:9if (h==a | h==b | h==c | h==d | h==e | h==f | h==g), continue; end for i=1:9if (i==a | i==b | i==c | i==d | i==e | i==f | i==g | i==h)continue;endif i~=a & i~=b & i~=c & i~=d & i~=e & i~=f & i~=g & i~=h ...& a+b==c & d+e==f & g+h==i*10 & a<b & d<e & a<d & g<hn=n+1;disp(['第', num2str(n), '个解：', ...num2str(a), '+', num2str(b), '=', num2str(c), ' ', ...num2str(d), '+', num2str(e), '=', num2str(f), ' ', ...num2str(g), '+', num2str(h), '=', num2str(i), '0']) end;end;end;end;end;end;end;end;end;end; %% 共有10个endt3=toc;fprintf('\n The elapsed time(measured by tic/toc) is: %g',t3)附录1B (fulu1B.m)：t=cputime;n=0;for a=1:9for b=1:9if b~=afor c=1:9if c~=a & c~=bfor d=1:9if d~=a & d~=b & d~=cfor e=1:9if e~=a & e~=b & e~=c & e~=dfor f=1:9if f~=a & f~=b & f~=c & f~=d & f~=efor g=1:9if g~=a & g~=b & g~=c & g~=d & g~=e & g~=ffor h=1:9if h~=a & h~=b & h~=c & h~=d & h~=e & h~=f & h~=gfor i=1:9if i~=a & i~=b & i~=c & i~=d & i~=e & i~=f & i~=g & i~=h ...& a+b==c & d+e==f & g+h==i*10 & a<b & d<e & a<d & g<hn=n+1;disp(['第', num2str(n), '个解：', ...num2str(a), '+', num2str(b), '=', num2str(c), ' ', ...num2str(d), '+', num2str(e), '=', num2str(f), ' ', ...num2str(g), '+', num2str(h), '=', num2str(i), '0'])end;end;end;end;end;end;end;end;end;end; end;end;end;end;end;end;end %% 共有17个endtime=cputime-t附录2 (fulu2.m，提速版)：t02=clock;n=0;A1=1:9;for i1=1:9a=A1(i1); A2=A1([1:i1-1,i1+1:9]);for i2=1:8b=A2(i2); A3=A2([1:i2-1,i2+1:8]);for i3=1:7c=A3(i3); A4=A3([1:i3-1,i3+1:7]);for i4=1:6d=A4(i4); A5=A4([1:i4-1,i4+1:6]);for i5=1:5e=A5(i5); A6=A5([1:i5-1,i5+1:5]);for i6=1:4f=A6(i6); A7=A6([1:i6-1,i6+1:4]);for i7=1:3g=A7(i7); A8=A7([1:i7-1,i7+1:3]);for i8=1:2h=A8(i8); i=A8([1:i8-1,i8+1:2]);if a+b==c & d+e==f & g+h==i*10 & a<b & d<e & a<d & g<hn=n+1;disp(['第', num2str(n), '个解：', ...num2str(a), '+', num2str(b), '=', num2str(c), ' ', ...num2str(d), '+', num2str(e), '=', num2str(f), ' ', ...num2str(g), '+', num2str(h), '=', num2str(i), '0'])endendendendendendendendendt2=etime(clock,t02);fprintf('\n The elapsed time(measured by clock/etime) is: %g',t2)附录3 (Turbo C 程序，fulu3.c)：#include<stdio.h>main(){ int a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,n=0;printf("\n\n");for (a=1;a<=9;a++){for (b=1;b<=9;b++){if (b==a) continue;for (c=1;c<=9;c++){if (c==a||c==b) continue;for (d=1;d<=9;d++){if (d==a||d==b||d==c) continue;for (e=1;e<=9;e++){if (e==a||e==b||e==c||e==d) continue;for (f=1;f<=9;f++){if (f==a||f==b||f==c||f==d||f==e) continue;for (g=1;g<=9;g++){if (g==a||g==b||g==c||g==d||g==e||g==f) continue;for (h=1;h<=9;h++){if (h==a||h==b||h==c||h==d||h==e||h==f||h==g) continue;for (i=1;i<=9;i++){if(i==a||i==b||i==c||i==d||i==e||i==f||i==g||i==h) continue;elseif ((a+b==c)&&(d+e==f) &&(g+h==10*i)&&(a<b)&&(d<e)&&(a<d)&&(g<h)){printf ("%3d: %d+%d=%d, %d+%d=%d, %d+%d=%d0 ",++n,a,b,c,d,e,f,g,h,i);if (n%3==0) printf("\n");} } } } } } } } } }}}附录4 (Mathematica 程序，fulu4.nb)：Timing[ (*a+b=c, d+e=f, g+h=i0*)Clear[n,a,b,c,d,e,f,g,h,i]; n=0;For[a=1,a<=9,a++,For[b=1,b<=9,b++,If[b!=a,For[c=1,c<=9,c++,If[c!=a&&c!=b,For[d=1,d<=9,d++,If[d!=a&&d!=b&&d!=c,For[e=1,e<=9,e++,If[e!=a&&e!=b&&e!=c&&e!=d,For[f=1,f<=9,f++,If[f!=a&&f!=b&&f!=c&&f!=d&&f!=e,For[g=1,g<=9,g++,If[g!=a&&g!=b&&g!=c&&g!=d&&g!=e&&g!=f,For[h=1,h<=9,h++,If[h!=a&&h!=b&&h!=c&&h!=d&&h!=e&&h!=f&&h!=g, For[i=1,i<=9,i++,If[i!=a&&i!=b&&i!=c&&i!=d&&i!=e&&i!=f&&i!=g&&i!=h &&a+b==c&&d+e==f&&g+h==10*i&&a<b&&d<e&&a<d&&g<h,Print[++n,": ",a,"+",b,"=",c,",",d,"+",e,"=",f,",",g,"+",h,"=",i,"0"]] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] (* total have 17 right ")"s *)]附录5 (Matlab 程序，fulu5.m)：程序基本上同附录1，只要将倒数第 4 行至倒数第9 行换成下列 5 行即可．if i~=a & i~=b & i~=c & i~=d & i~=e & i~=f & i~=g & i~=h ...& (100*a+10*b+c)+(100*d+10*e+f)==(100*g+10*h+i) & a<dn=n+1;disp(['第', num2str(n), '个解：', ...num2str(100*a+10*b+c), '+', num2str(100*d+10*e+f), '=', num2str(100*g+10*h+i)])附录6 (Matlab 程序，fulu6.m)：程序基本上同附录1，只要将倒数第4行至倒数第9 行换成下列 6 行即可．if i~=a & i~=b & i~=c & i~=d & i~=e & i~=f & i~=g & i~=h ...& a/(10*b+c)+d/(10*e+f)==g/(10*h+i) & a<dn=n+1;disp(['第', num2str(n), '个解：', num2str(a), '/' , num2str(b), num2str(c), '+', ...num2str(d), '/' , num2str(e) , num2str(f), '=', num2str(g), '/', num2str(h), …num2str(i)])。
数字的拼图游戏通过拼图学习数学概念1
数字的拼图游戏通过拼图学习数学概念1数字的拼图游戏：通过拼图学习数学概念数学对于许多学生来说往往是一个令人望而却步的学科。
然而，通过创新的教学方法，我们可以让数学变得更加有趣和容易理解。
其中一个方法就是数字的拼图游戏。
这种游戏结合了拼图和数学概念，为学生提供了一个互动和有趣的学习环境。
数字的拼图游戏可以通过不同的方式来玩，其中最基本的形式是将数字按照规定的顺序进行拼图。
例如，给定一个包含九个空格的九宫格，学生需要将数字1到9按照顺序填入空格中。
这个过程需要学生理解数字的顺序，并通过逻辑推理找到正确的解决方法。
这种拼图游戏可以帮助学生提高对数字的认识和理解。
通过将数字按照顺序进行拼图，学生可以直观地看到数字的变化和顺序。
这有助于他们建立起数字之间的联系和关系，从而更好地理解数学概念。
除了基本的拼图游戏，还可以通过增加一些规则和挑战来提高学生的学习效果。
例如，可以要求学生在拼图过程中遵循特定的规则，如数字之间的和或积必须等于一个特定的值。
这样的挑战可以激发学生的思考和创造力，同时培养他们对数学的兴趣和热爱。
数字的拼图游戏还可以应用到不同的数学概念中。
例如，拼图可以用来教授分数和小数的概念。
学生可以将不同的拼图片段与特定的分数或小数相匹配。
通过这种方式，学生可以直观地理解分数和小数的大小关系，以及它们在数轴上的位置。
此外，数字的拼图游戏还可以应用到算术运算和代数中。
学生可以通过拼图来解决一些简单的算术问题，如加法和减法。
他们可以使用拼图片段代表数字，并将它们组合在一起进行运算。
这种方法可以帮助学生更好地理解算术运算的性质和规则。
除了数学概念的学习，数字的拼图游戏还可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
学生需要通过观察和推理找到正确的解决方法。
他们需要考虑数字之间的关系和限制条件，并找到合适的策略来解决问题。
这种思维能力的培养将对学生在数学以及其他学科的学习中有着积极的影响。
在教学实践中，数字的拼图游戏可以作为一种有效的辅助教学工具。
数字填图剖面系统中剖面柱状图完善-地质调查技术支持-中国地质
数字填图系统实测剖面柱状图制作方法*朱云海1施彬1李超岭2于庆文2张克信1林启祥1 1．中国地质大学地球科学学院，湖北武汉430074；2.中国地质调查局，北京，100083)摘要地质调查与填图是地面地学空间数据获取主要方法之一。
中国地调局所开发的数字填图系统（RGMAP系统）使传统的地质调查发生了巨大的变化。
本文在介绍数字填图系统的主要构成的基础上对实测剖面图的制作过程进行了较为详细的论述。
实测剖面是区域地质调查工作的重要组成部分，RGMAP数字剖面系统(RGSECTION)使实测地层剖面全面实现了计算机化。
数字剖面柱状图的制作包括原始剖面数据整理，剖面柱状图制作前期准备，剖面柱状图制作三个步骤，本文详细介绍了数字剖面柱状图的制作步骤并着重对剖面柱状图制作中横格高度的调整进行了解释。
关键词：数字填图系统；实测剖面；柱状图中图分类号：文章编号：收稿日期：The method to make the section histogram in regionalgeological mapping system (RG-MAPPING system)ZYH Yun-hai1SHI Bin1LI Chao-ling2YU Qing-wen2ZHANG Ke-xin1LIN Qi-xiang11.Faculty of Earth Sciences, China University of Geosciences, Wuhan 430074,China2. China Geological Survey Bureau，Beijing，100083Abstract: Geological survey and mapping is the main method to gain geological space data of the earth's surface. The regional geological mapping system (RGMAP system) developed by China Geological Survey Bureau had made the great change to traditional geological survey. Based on the introduction of main composing of digital geological mapping system, we discuss the process of making the section histogram in detail. The section is an important part in regional geological survey. RGMAP digital section system had achieved the section making automatically in computer in the round. There are three stages of making the digital section histogram, including the process of neatening the original section data, prophase preparing of making the section histogram, making the section histogram. The essay introduce the processes of making the digital section histogram in detail and explain emphatically how to adjust the horizontal height in making the section histogram.Key Words: digital geological mapping system, section, histogram地质调查与填图是地面地学空间数据获取主要方法之一。
中班科学教案看图填数
中班科学教案看图填数导语：科学是幼儿园教育中的重要组成部分，通过科学教育可以培养幼儿的观察力、思考能力和实践能力。
中班幼儿正处于探索世界的阶段，他们对于周围的事物充满好奇，因此，在科学教学中，教师可以运用图片来引发幼儿的思考和讨论。
本文将通过几个生活场景中的图片，引导幼儿进行观察和思考，进而进行填数活动，培养他们的数学思维和逻辑推理能力。
一、观察花盆中的花朵目标：培养幼儿观察和分类的能力，认识数字1-5。
教学准备：五个数字卡片。
教学过程：1. 教师拿出五个数字卡片，分别写有数字1-5，并展示给幼儿们看。
2. 教师引导幼儿观察图片中的花盆，并提问：“花盆里有几朵花？”3. 幼儿思考片刻后，举手回答，并将对应的数字卡片举起来。
4. 教师根据幼儿的回答，逐个验证是否正确，引导幼儿进行讨论。
5. 教师可以借助实物花朵进行对比和练习，巩固幼儿的数学概念。
二、数数小鸟的个数目标：培养幼儿数数和观察的能力，认识数字1-10。
教学准备：十个小鸟图片。
教学过程：1. 教师出示十个小鸟的图片，并问幼儿：“这幅图中有几只小鸟？”2. 幼儿观察图片，思考后回答，并用手指指向图片上的小鸟。
3. 教师引导幼儿逐个数数，并解释每个数字的含义。
4. 教师可以将小鸟图片移动位置，让幼儿重新进行观察和数数的练习，增加难度。
5. 教师可以用实物小鸟进行辅助教学，让幼儿进行实际操作，巩固数数的概念。
三、观察动物园中的动物目标：培养幼儿观察和比较的能力，认识动物的种类。
教学准备：动物图片和相应的数字卡片。
教学过程：1. 教师出示动物园的图片，并引导幼儿观察图片上的动物。
2. 教师提问：“图片上有几只大象？有几只猴子？”3. 幼儿思考后回答，并用相应的数字卡片展示出来。
4. 教师根据幼儿的回答，指向图片上相应的动物并进行验证。
5. 教师可以扩展幼儿的思维，让他们比较不同种类动物的数量，并进行讨论和总结。
四、观察水果摊上的水果目标：培养幼儿观察和辨别的能力，认识水果的种类。
数字填图
数字填图技术在新疆1／25万石棉矿幅区调中的应用体会由我所承担的新疆阿尔金地区1／25万石棉矿幅区调项目，经过项目全体职工4个多月的艰苦努力，圆满完成了2005年的野外地质调查工作，已于9月底顺利回到了所内。
在年初确定新疆1／25万石棉矿幅区调项目全面应用数字地质填图技术后，项目全体技术人员迅即投入到了数字地质填图技术理论和方法的学习之中，经过新老技术人员在边学边用中不断探索，使我们这支队伍成为了我所首批具有应用和掌握数字填图技术与方法的队伍，同时在数字地质填图技术应用和地质调查研究上也取得了很大进展。
目前该项目已投入到了紧张的室内综合整理工作。
总结近一年来数字填图技术和数字填图设备的在我测区应用结果，谈谈体会和认识，仅供参考。
众所周知，3S技术在地学领域已得到了广泛应用，但区域地质调查的野外地学空间数据与属性的获取仍是当前国内外地学界的热点和难点。
传统的区域地质调查，是通过连续的野外地质路线观察，把获得的野外第一手实际资料通过手写记录在纸介质的野外记录本和工作手图上，野外工作和整理工作复杂而繁重，所获得的地质信息也不易管理和查询，远远不能满足社会广泛需求的多元性、科学性和迫切性，不能适应于当今信息时代的要求。
我们所采用的数字填图方法是以GIS、RS、GPS技术集成为基础，将区域地质调查野外数据获取、成果表达以及提供社会使用等填图全过程数字化（信息化）的一项计算机技术。
以GIS、GPS、RS技术与手持计算机为一体的野外数据采集器为主体的新五件（图1）向世人展示了21世纪我国数字化地质队员的新形象。
新的技术手段的应用实现了区域地质调查全过程中3S集成的地对地、空对地观察、历史专题图与现势的多源地学信息的整合与再现；改变了传统的地质成果表现形式，创建了PRB区域地质调查与填图的可视化过程及其相应的数据模型，可快速、准确编绘出新一代的数字化实际材料图、编稿地质图及地质图。
实现了区域地质调查成果的全数字化的表现形式。
数字填色根据数字完成对应的填色操作
数字填色根据数字完成对应的填色操作
填色是一种常见的娱乐方式，通过填色可以培养专注力和创造力，
让人在繁忙的生活中放松心情。
而数字填色更是一种趣味横生的填色
方式，通过数字的指引，完成对应区域的填色操作，让填色变得更有
规律和趣味。
本文将介绍数字填色的基本玩法，并提供一些实用的技巧，帮助读者更好地玩转数字填色游戏。
数字填色的基本玩法非常简单，首先需要有一幅有数字的填色图案，每个数字对应一种颜色。
玩家只需根据数字在图案中的位置，找到相
应的区域并填上对应颜色即可。
通过这样的方式，逐渐完成整幅图案
的填色操作，最终呈现出一个色彩斑斓的作品。
在填色过程中，可以
根据自己的喜好和想象力，选择不同的色彩搭配，使作品更具个性和
创意。
要想玩好数字填色游戏，一些技巧和方法是非常有必要的。
首先，
建议在填色前先观察整幅图案，了解各个区域的数字分布和连接关系，有助于提高填色效率和准确性。
其次，可以根据图案的整体色调和氛围，选择合适的主色调和搭配色，使作品更加和谐统一。
此外，在填
色过程中，可以适当运用渐变、阴影等技巧，丰富作品的层次和立体感，增加视觉效果和趣味性。
最后，在填色完成后，可以适当润色和
修饰部分细节，使作品更加完美和精致。
总的来说，数字填色是一种简单而有趣的填色方式，适合各个年龄
段的人群。
通过数字填色，不仅能锻炼专注力和创造力，还能放松心情、减轻压力。
希望本文介绍的玩法和技巧能帮助读者更好地玩转数
字填色游戏，创作出更多精彩的填色作品。
让我们一起发挥想象力，用丰富的色彩填满生活的画卷吧！。
方格填数字的数学题解法
方格填数字的数学题解法近几年，随着日益普及的科技知识，人们开始在学校里填写数字方格，以作为一种数学题解法的方式，以及辅助与数学的学习。
本文将讨论什么是数字方格，它的用途，以及如何利用它来解决数学问题。
数字方格是一种将一个或多个数字放置在规定位置上的表格，其目的是为了解决一定数量的方程式或其他数学问题。
数字方格可以包括数字、文字、乘法表格、根号表格、加减乘除，甚至图形等。
在国际数学竞赛中，这种方法被广泛使用，因为它比较容易迅速地填写，而且也显然简单易懂。
数字方格的用途很多，其中最常见的应用是帮助解决数学问题。
可以使用数字方格来解决带有许多“等号”的方程式，也可以解决一些复杂的数学问题，比如三角形面积，多项式除法等。
对于小学生来说，用数字方格来解决一些乘法等算数题，可以使他们更明白这些具体的数学现象，也可以帮助他们更好地掌握基本的数学概念。
此外，数字方格还可以帮助学生学习一些数学规律，比如乘法表，并且可以让他们能够在数学课堂上学习，帮助他们在记忆数学概念的过程中更加有趣和轻松。
数字方格的应用也可以帮助孩子们了解数学中的一些困难概念，例如单位几何体、平行线、角和图形。
因此，数字方格可以帮助学生学习更多、更深入的知识，也可以提高他们的理解能力和推理能力。
对于如何使用数字方格来解决数学问题，也有一些特定的原则和步骤。
首先，确定方格的大小。
一般来说，数字方格应与要解决的数学问题一致，即如果要解决的数学问题需要使用数学符号，那么方格的大小也应该允许使用符号。
然后，从答案开始填写方格。
根据数学问题的特定要求，先在方格中选择一部分可以被确定下来的数字，然后根据数学公式完善方格。
最后，需要将方格中所有的数字进行检验，确保答案正确无误。
以上是《方格填数字的数学题解法》的相关内容。
数字方格是一种非常有效的数学问题解决方式，可以帮助学生们更好地掌握数学知识，解决复杂的数学问题。
此外，也可以帮助学生学习一些数学规律，提高他们的基础知识。
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【 关键词 】 数字填 图；地质调查 ；Ｐ Ｐ ， ＿ Ｂ
前 言 信 息技术 以前所未有的速度 改变 了人们的生活方式 ，人们 的生 活越来越受到信 息技 术的影响 ，中国地质调 查局根据形势迎难而上 组织精干 的科研 技术人员 自主开发研制 了面向野外地质调查 的数字 填 图技术一“ 数字 区域地质调查系统 ” ， 其中之一就是数字填 图系统 。 在 中国地质调查 局、 中国地质调查发展研究中心的领导下于 １ ９ ９ ９年 开始研制 ， ２ ０ ０ ４年在全国区调工作中全面推广应用 了数字填 图技术 ， 历年来 的工作业 绩证 明 ， 这项工作使数字填 图技术进入 了实用阶段， 开 创 了 中 国 国 家 地 质 工 作 现 代 化 进 程 的新 局 面 ， 为 中 国 国家 地 质 工 作信息化 建设做 出了积极贡献 。数 字填图信息技术研发和推广应用
质 填 图 方 法发 生 了转 变 ，彻 底 颠 覆 了传 统 的 地 质 填 图 的历 史 ，将 传
统 的地 质填 图方法转换为计 算机 的Ｐ Ｒ ＿ Ｂ 过程 ，即Ｐ 过程Ｐ Ｏ Ｉ Ｎ Ｔ 地质
点 、Ｒ过 程 ＲＯＵＴ Ｉ ＮＧ分段 路 线 、Ｂ 过程Ｂ ＯＵＮＤＡ ＫＹ点 间界 线 构成 基本Ｐ Ｒ Ｊ ３ 过程 ， 地 质 信 息 的 存 储 过 程 也 摆 脱 了 以往 的 记 录本 纸介 质 ， 成 为 由计 算机 存 储 的 数 字 化 过 程 。
７ 结 由 中国地 质调查局 ，中国地质调 查 局发展 研 究 中・ 心研制 开发 的数 字区域地 质调 查 系统 中的一 个子 系 统 ， 自２ ０ ０ ４ 年 以来，凡 是 由中国地质调 查局 下达的 区域地质调 查任 务 ，都要 求采用数字填 图技术 。数 字填图技 术的应用 ，使传统 的地
科技论坛
数 字填 图剖析 与应用
杨 勇 孙学静 晁红丽
（ 河南省地质调查院 。河南 郑州 ４ ５ ０ ０ ０ ０）
该界线可 以是两个地质实 体之 间的界线 ，也可 以是一个地质实体之 间的变化 ，编码原则 ：地质实体上的 Ｒ编号为 ０ ，约定地质点上的 首条 Ｂ为编号为 ０ ，地质点上 Ｐ上其他采集层 Ｒ编号为 ０ ，分段路线 上先采集其他采集层的数据 ， 然后 是 Ｒ数据， 如果 出现二条 Ｂ过程相 交在一起 的情况 ，则应将其 中的一条 Ｂ过程断开编号。Ｂ过程是地 质连 图的重要依据 。 另外还有产状库 （ Ａ ｔ ｔ ｉ ｔ ｕ ｂ ｅ ） ， 样品库（ Ｓ ａ ｍ ｐ ｌ ｅ ） ， 照片库（ Ｐ ｈ ｏ ｔ ｏ ） ， 化石库 （ Ｆ ｏ ｓ ｓ ｉ １ ） ，素描库 （ Ｉ ｍ ａ ｇ ｅ ）的输入 ，这些数据均需在野外 采 集 ，测 量 产 状 ，拾 取样 品 ， 照 取 相 片 ， 采 集 化 石 ， 绘 制 素 描 等 ， 输入过程大致相 同。 ３ 室内 Ｏ ＲＢ 在野外总 图库 中从掌上机将野外手 图利用 ｃ Ｆ卡拷入 电脑 ， 然后 在 电脑 中打 开野 外手图库，选择野外路线，打开野外手 图，根据野 外 Ｐ Ｒ Ｂ数据的各类编码原 则对各类采集数据进行各种编号检查 ，防 止因 Ｐ Ｒ Ｂ数据因编码错误 出现采集数据 的混乱 ，错误 ，丢失 ，旋转 产状 ，生成产状注释图层，对野外手 图中的各种描述进行质量检查 ， 完 善 ，减 少 在 野 外 数 字 填 图 过 程 中 造 成 的描 述 不 完 整 ，防 止 语 言 生 硬 ，重复 ，对野外 Ｐ Ｒ Ｂ属性数据进行检查和补充 ，质检 ，素描加工 与完 善 ， 照 片 的入 库 ，野 外 Ｐ Ｒ Ｂ小 结 等 。 ４ 室内路线数据录入 根据 实际材 料图录入设计路线 ，新建野外手 图，录入路线号和 地质 点号 ，选择野 外路线，在 手图中拷入背景 图层后 ，在野外手 图 中录 入 地 质 点 （ Ｇ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ）库 ，录 入 分 段 路 线 （ Ｒ ｏ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ ）库 ，录 入 点 问界 线 （ Ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ）库，然后录入产状 ，样 品，素描 ，照片 ，化石 库等 ，野 外路线 手图录入完成后在野外手 图中进行 图式 图例整理 ， 对 地 质 路 线 进 行 质 量检 查 ，然 后 通 过 单 条 数 据 读 入 或 者 是 成 批 数 据 读入野外 手图路线将野 外数据读入 Ｐ Ｒ Ｂ库 ，在 Ｐ Ｒ Ｂ库 内对数据进行 整 理 ，防止 Ｐ Ｒ Ｂ数 据 出现 遗 失 ，丢 失 ，对 Ｐ Ｒ Ｂ的属 性 数 据 进 行 完 善 ， 将整 理好 的 Ｐ Ｒ Ｂ库转入 实际材料 图中进 行连 结成 图，对 实际材料 图 进行 图面整饰 ，形成具有 空间数据库 的实际材料 图。 ５ 实 际 材 料 图的 形 成 野 外填 图和室 内数据 录 入均 可 建立 不 同 的Ｐ Ｒ Ｂ 库 ，最后 连接 成 实 际 材料 图， 根据 Ｐ Ｒ Ｂ的不 断入 库 ， 实 际材 料 图可 不 断 更新 ，在对 Ｐ Ｒ Ｂ 库 进 行质量检查后，可依据实际材料 图图层中的Ｂ Ｏ Ｕ Ｎ Ｄ Ａ Ｒ Ｙ ，勾绘地质界线， 并￣ Ｗ ＿ Ｊ ３ Ｏ Ｕ Ｎ Ｄ Ａ Ｒ Ｙ 的属 性 附 给相 对 应 的地 质界 线 ，而把 采 集 图层 Ｒ Ｏ Ｕ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ 的 属性附给地质体面 图层，加上Ｐ Ｒ Ｂ 过程中的产状，样品，化石，相片、 素描库 ，并对 图面进行整饰 ，则可根据需要连线形成一定 比 例尺地质 图 ，可 以是 ２ ５ 万、１ Ｏ 万 地质 图， 也可 以是５ 万 ，２ ． ５ 万 地质 图不 等。 ６ 野 外 记 录 薄 的 导 出 选择数据输出的菜单项，在 Ｐ Ｒ Ｂ数据输出中选 择野外记 录薄输 出 （ Ｗ ｏ ｒ ｄ格 式 带 图 像 ）即 可 生 成 各 路 线 的记 录 薄 ，然 后再 ｗ ｏ ｒ ｄ中 进行排版 整理即可 。