连续型随机变量及其概率密度ppt课件
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第七讲 连续型随机变量及其概率密度
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
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33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
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36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
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P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
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27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
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28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
连续型随机变量及其概率密度
密度函数的验证
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
1
dx
a ba
由此可知，
f
x
b
1
a
0
a xb 其它
确是密度函数．
均匀分布的分布函数
则 X的分布函数为
若随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，
0
F
x
x b
1
所以 A是不可能事件 P( A) 0 反之则不成立
如何求分布函数
F(x) Pk
xk x
离散 阶梯函数
x
F(x) f(t)dt -
连续 连续函数
若概率密度f(x)为分段函数,则积分也要分段考虑.
例1 P71 18(2)
设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
§4 连续型随机变量及其概率密度
概率密度及其性质 均匀分布 指数分布 正态分布
一、定义：对于随机变 量 X的分布函数 F (x),若存在非负可积函数
f(x) 使 x R , 有
F(x)
x
-
f(t)dt
则称 X为连续型随机变量 , f ( x)为X的概率密度函数或概率 密度.
二、性质 : 00 连续型随机变量的分布 函数F ( x)必为连续函数 (离散
0.1}
0.1 f(x)dx
0.1 3e 3xdx
e 3x
0.1
e 0.3
F
(
x)
0 x
0
3e3t dt
1
e3x
x0 x0
五、常见的连续型分布 （一）、均匀分布
2.2连续型随机变量及概率密度33页PPT
教学要求：
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
若连续型随机变量X的概率密度函数为精选课件
有f (x拐) 以点μ为(对称, 轴，1
2
e
);
即正(4曲态)当f 线(分fxx)(布yx→=)N以f((1∞x2x)时向轴,(e，左为2()xf2右水的(2x)2伸平密))→展渐度 0时近函+(2,2x,线数2(越x;图来23)形e)越2(的ex2贴(2特x)22近2点)2x:轴.
若两固f 头定( x低)，决,中改定22变间1了1高图的e3,形[值左(x2e中，右2)(2峰x[2对2的)2称2陡(的xf(峭(x“)程2峰)2,度])”2反=e0之状(，x亦22然)2 ]，
的正态分布，写出 X 的概率密度，并求该地区明年 8 月份降雨量
超过250mm的概率. 解 ∵ X～N (185 , 282)，
f (x)
1
e
(
x 185 )2 2282
28 2
,
x
所求概率为
P(X
> 250) =
1-
P(X
250)
1(
250 185 ) 28
= 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 .
类似可得 (u/2 )= 1- /2 ，
可查表得值
若 X～N( , 2)时，要求满足 P(X >x0 )= 的 x0 ：
(u )= 1- u
x0
u
x0 u
§4 随机变量函数的分布
已知圆轴截面直径 d 的分布，
求截面面积 A= d 2 的分布.
4
再如, 已知t =t 0 时刻噪声电压V 的分布, V
x
x
( x)
！
例7(P64.例20) 设 X～N(0, 1)，求 P(X < 0. 5), P(X > 2. 5)及
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0
| x | 1 | x | 1
试求 (1)系数A；(2) 随机变量X的分布函数；
（3） 随机变量落在区间（- 1 ，1 ). 2 2 10
例1 设随机变量X具有概率密度
kx,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
（1）确定常数k;（2）求X的分布函数F ( x)；
（3） 求P 1
X
c l
Pc X c l
1 dx
l
c ba ba
如果随机变量 X 服从
区间 a， b上的均匀分布，
X
X
则随机变量 X 在区间 a， b a l 0 l
上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间
的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
bx
17
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
G
7
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
8
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f (x)x
它表示随机变量 X 取值于( x, x x] 的 概率近似等于 f ( x)x.
4 若f (x)在点x处连续，则有F '(x) f (x)
4
请注意:
(1) 连续型r.v.取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
这是因为
0 PX a Pa x X a F a F a x
当 x 0 时, 得到 PX a 0 .
由P(A)=0, 不能推出 A 由P(B)=1, 不能推出 B=S
若 已 知 连 续 型 随 机 变 量X 的 密 度 函 数 为f x，
则 X 在 任 意 区 间G（G可 以 是 开 区 间,也 可 以 是 闭 区 间 ， 或 半 开 半 闭 区间 ； 可 以 是 有 限 区 间 ， 也 可 以 是 无 穷 区 间 ） 上取 值 的 概 率 为 ，
PX G f xdx (此公式非常重要)
15
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x
)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，记作
X ～ U(a, b) 16
若X ~ U (a, b),
与c无关
1.对于长度l为的区间(c, c l), a c c l b,有
x2 f (x)dx
x1
3
若x是 f(x)的连续点，则：
xx
lim P( x X x x) lim x
f (t)dt
x0
x
x0
x
=f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x]上的概率与区间长度 x
之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
解 以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
5
注：由(3)可知: p{X x0} 0.{X x0} ,故一个事件 的概率为0,只表示这事件发生的可能性很小,但这事件 并不一定是不可能事件。
对连续型 r.v. X,有
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
P(a X b)
6
说 明:
由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们 关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
7
2
11
kx,
解
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
f ( x)dx
1得k
1
6
x
0
34
12
F
x
x
f
t
dt
,
x
(2) 分布函数
0,
x0
xx dx,
0 6
0 x3
F ( x)
3x dx
x 2 x dx,
3 x4
06
3 2
1,
x4
x0
x
x
3 x4x
13
即分布函数
0,
x0
x2
,
0 x3
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x4
1,
x4
（3）P 1
X
7
F
7
F 1
41
2 2
48 14
例3 设连续型随机变量 X 的分布函数为
F x 1 1 arctgx x
2
试求 X 的密度函数．
解： 设 X 的密度函数为f x，则
f
F
x
1
1
1 x
2
x
PX
x
x
b
a a
,
a xb
1
xb
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差；
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
18
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此 站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的 均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
第四节 连续型随机变量及其概率密度
教学重点
1 连续型随机变量的概率密度 2 正态分布
要求：
1、连续型随机变量的密度函数的定义和性质，
2、均匀分布、指数分布的定义及性质；
4、正态分布的定义、性质、密度函数及几何性质；
5、一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系；
6、会利用正态分布密度函数的性质求积分
1
2 概率密度的性质
1 非负性 f (x) 0
2 规范性
f (x)dx 1
利用概率密度可确 面积为1
定随机点落在某个
范围内的概率
这两个性质是判 断一个函数是否 为一个连续型 r.v.X的概率密度 的充要条件
f (x)
分布曲 线
o
x
3
对x1, x2, p(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
f ( x)x 在连续型r.v理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
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例题选讲
例题1 设随机变量X具有随机密度函数
试求 (1) c
f
(
x)
1
c x2
(2) X的分布函数；(3)P{0 X 1}
例题2 设随机变量X的概率密度为
A
f
(x)
1 x2
一 连续型随机变量 1 定义
设随机变量X的分布函数为F x，若存在 一个非负函数f x , 使对于任意x，恒有
x
F (x) f (t)dt
成立，则称X为连续型随机变量，F x 称为X的分布函数，f x 称为X的概率
密度函数，简称密度函数 2
由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数