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连续型随机变量
连续型随机变量连续型随机变量是统计学中的一个重要概念，它指的是取值可以是一段连续的数值区间的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量可以取无限个可能的取值，这对于处理实际问题中的测量数据非常有用。
一个典型的连续型随机变量可以是某个人的身高，身高可以是从0厘米到无穷大的任意一个数值。
这个身高的分布可以用一个概率密度函数来描述，例如正态分布。
这意味着大多数人的身高会集中在某一个区间，而在极端的身高上有较少的人。
连续型随机变量的概率密度函数有一些特殊的性质。
首先，概率密度函数必须非负且总体积为1，因为随机变量必然会取一个值。
其次，概率密度函数在某一个取值上的积分可以表示该随机变量小于或等于该值的概率。
以在一个公共汽车站等待下一辆公共汽车的时间为例。
假设公共汽车的到达时间是一个连续型随机变量。
这个随机变量可以取任意的非负数值，而且可能的取值范围是无限的。
如果我们对这个随机变量进行建模，可以使用指数分布来描述公共汽车的到达时间。
指数分布的概率密度函数非常有用，因为它可以很好地反映出公共汽车到达的随机性。
概率密度函数在某个时间点上的值表示了在这个时间点下等待公共汽车的概率。
通过计算概率密度函数在一个区间上的积分，我们可以得到在这个区间内等待公共汽车的概率。
连续型随机变量在统计学中有很多应用。
它们可以用于模拟实际问题中的随机变量，如股票价格、交通流量和天气变化等。
通过对连续型随机变量进行建模和分析，我们可以更好地理解随机现象，并做出相应的预测和决策。
总之，连续型随机变量是一种重要的概念，它可以描述取值在一段连续区间上的随机变量。
概率密度函数是描述连续型随机变量的常用工具，它可以帮助我们分析随机现象并做出相应的推断和决策。
通过数学建模和统计分析，我们可以更好地理解和应用连续型随机变量。
连续型随机变量是统计学中的一个重要概念，它指的是取值可以是一段连续的数值区间的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量可以取无限个可能的取值，这对于处理实际问题中的测量数据非常有用。
概率统计2.4(绝对)连续型随机变量
4.正态分布
正态分布是应用最广 泛的一种连续型分布.
德莫佛（De Moivre)最早发现 了二项分布的一个近似公式，这 一公式是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由高 斯(Gauss)加以推广，所以通常称 为高斯分布.
德莫佛
(I) 正态分布的定义
若X 的 p.d.f. 为
f (x)
1
＝P{a X b}＝ b f (x)dx a
注1 密度函数的几何意义为
P(a X b)＝ b f (u)du a
例2、设X的密度函数为
Ax(3x 2) 0 x 2
f (x) 0
其他
试确定常数A,并求 P(1 X 1)
f (x)dx 1
2
Ax(3x 2)dx 1
A 1
0
12
1
0
1
P(1 X 1) f (x)dx f (x)dx f (x)dx
1
1
0
1 1 x(3x 2)dx 1
0 12
6
二、几个常用的连续型分布
1. 均匀分布 U(a, b) 若r.v.X的p.d.f.为
( x)2
e 2 2
2
, 为常数， 0
亦称高斯 (Gauss)分布
x
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布。
记作 X ~ N ( , 2 )
(II)正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
x x
(a)正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形 曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
c
c ba ba
例3.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分 发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻 随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的 概率。
第三章 连续型随机变量
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分布函数的性质（2） 使用分布函数计算以下概率： P{ξ(ω)≥x}＝1 - P{ξ(ω)<x} =1-F(x) P{ξ(ω)≤x}＝F(x＋0) P{ξ(ω)＞x}＝ 1 - P{ξ(ω) ≤ x} ＝ 1-F(x＋0) P{ξ(ω)＝x}＝ P{ξ(ω) ≤ x} - P{ξ(ω) <x} ＝ F(x＋0)－F(x) 对于离散型随机变量 P(ξ＝ai)＝pi 来说， ξ(ω)的分布函数为
p ( y ) F ( y )
p ( x ) p ( y x ) d x （3.55）
由对称性可知
p ( y ) F ( y )
p ( y x ) p ( x ) d x （3.56）
由（3.35）和（3.36）给出的运算称为卷积，通常 记为：
n
服从 N ( i , i2 ) 分布的随机变量，则
n n
i 1
i
仍然是
一个服从 N ( , 2 ) 的随机变量，并且其参数为
i 1
i
,
2
i 1
2 i
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多维随机变量函数的分布（7-4）
（二）商的分布
设（ξ, η）是一个二维随机变量，密度函数为
F ( x ) P ( ( ) x )
ai x
P ( ( ) a i )
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例3.1 等可能的在[a，b]上投点，以ξ表示落点的位置， 则ξ的分布函数为： 当x＜a时， F ( x ) P ( ( ) x ) 0 当a＜x＜b时，
连续型随机变量
0.4 0.3 0.2 0.1
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P(| X |< a ) = 2Φ (a ) − 1
例2
设ξ～N(0,1)，求使P{︱ξ︱>x}=0.1 的x。
解： P { ξ > x } = 2[1 − Φ( x )]
1 Φ( x ) = 1 − P{ ξ > x } = 1 − 0.5 × 0.10 = 0.95 2
如ξ ~ N (0,1)，则P{ ξ > x } = 2[1 − Φ( x )]
证明：
P{ ξ > x } = 1 − P{ ξ ≤ x } = 1 − P{ ξ < x } = 2[1 − Φ( x )]
例1：设ξ～N(0,1)，借助于标准正态分布的分 布函数 Φ(x)的表计算： (1) P{ξ < −1.24};
解：（１）由分布函数性质得
1 x⎞ ⎛ 0 = lim F ( x ) = lim ⎜ A + e ⎟ = A x → −∞ x → −∞ 3 ⎠ ⎝ 1 −2 x ⎞ ⎛ 1 = lim F ( x ) = lim ⎜ B − e ⎟ = B x → +∞ x → +∞ 3 ⎠ ⎝
1 1 2 （２）因为 lim− F ( x ) = ≠ F (0) = 1 − = x→0 3 3 3
x=µ
µ
x
（5）
Fµ ,σ ( x ) = Φ(
x−µ
σ
x=µ
)
φ(x)
µ
f 0 , 0. 1 ( x )
f 0 ,1 ( x )
f 0 , 2 .5 ( x )
µ固定时， σ的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。 σ的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。
-3
-2
-x -1
1
x
2
3
P(| X |< a ) = 2Φ (a ) − 1
例2
设ξ～N(0,1)，求使P{︱ξ︱>x}=0.1 的x。
解： P { ξ > x } = 2[1 − Φ( x )]
1 Φ( x ) = 1 − P{ ξ > x } = 1 − 0.5 × 0.10 = 0.95 2
如ξ ~ N (0,1)，则P{ ξ > x } = 2[1 − Φ( x )]
证明：
P{ ξ > x } = 1 − P{ ξ ≤ x } = 1 − P{ ξ < x } = 2[1 − Φ( x )]
例1：设ξ～N(0,1)，借助于标准正态分布的分 布函数 Φ(x)的表计算： (1) P{ξ < −1.24};
解：（１）由分布函数性质得
1 x⎞ ⎛ 0 = lim F ( x ) = lim ⎜ A + e ⎟ = A x → −∞ x → −∞ 3 ⎠ ⎝ 1 −2 x ⎞ ⎛ 1 = lim F ( x ) = lim ⎜ B − e ⎟ = B x → +∞ x → +∞ 3 ⎠ ⎝
1 1 2 （２）因为 lim− F ( x ) = ≠ F (0) = 1 − = x→0 3 3 3
x=µ
µ
x
（5）
Fµ ,σ ( x ) = Φ(
x−µ
σ
x=µ
)
φ(x)
µ
f 0 , 0. 1 ( x )
f 0 ,1 ( x )
f 0 , 2 .5 ( x )
µ固定时， σ的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。 σ的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。
连续型随机变量
21
下面是我们用某大学学生的身高的数据画出的频率 直方图. 直方图
红线是拟合 红线是拟合 的正态密度 曲线
可见，某大学学生的身高应服从正态分布 可见，某大学学生的身高应服从正态分布.
22
标准正态分布
f (x) =
1 2 πσ
e
−
( x − µ )2 2σ 2
dx = −
−2
−e
= 0.2325
10
10
λe−λx , x ≥ 0 f ( x) = X ~ e(λ) 0, x<0 s X：表示某元件的寿命 对任意的 , t > 0
P(( X > s + t ) ∩( X > t )) P( X > s + t | X > s) = P( X > s) P( X > s + t ) 1 − P( X ≤ s + t ) 1 − F(s + t ) = = = = P( X > s) 1 − P( X ≤ s) 1 − F(s)
−
2
dt
σ 2π
∫
t2 ∞ − e 2 −∞
dt +
∫
t2 − ∞ te 2 −∞
dt
=µ
D( X ) = σ 2
20
正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、 测量误差 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、 正常情况下生产的产品尺寸 直径、长度、重量 直径 高度等都近似服从正态分布. 高度等都近似服从正态分布
= − xe
常见的连续型随机变量
02 均匀分布
定义和性质
定义
均匀分布是一种连续型概率分布，在 概率论和统计学中，均匀分布也叫矩 形分布，它是对称概率分布，在相同 长度间隔的分布概率是等可能的。
性质
均匀分布具有等可能性、对称性、均 匀性等特点。其分布函数是一条斜线 ，概率密度函数是一个常数。
概率密度函数和分布函数
概率密度函数
均匀分布的概率密度函数是一个常 数，表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a 和b是区间的端点，x属于[a, b]。
伽玛分布的概率密度函数具有指数函数和幂函数的乘积形式，形状 参数和尺度参数分别控制分布的形状和尺度。
性质
伽玛分布具有可加性，即多个独立同分布的伽玛随机变量的和仍然 服从伽玛分布。
贝塔分布
定义
贝塔分布是一种在[0,1]区间上的连续型概率分布，常用于描述比例、概率等随机变量的分布情况。
概率密度函数
贝塔分布的概率密度函数具有幂函数和Beta函数的乘积形式，形状参数控制分布的形状。
跨学科交叉融合
连续型随机变量的研究涉及数学、统 计学、计算机科学等多个学科领域。 未来，跨学科交叉融合将成为推动连 续型随机变量研究发展的重要趋势。 通过整合不同学科的优势和资源，我 们可以更深入地理解连续型随机变量 的本质和规律，为解决实际问题提供 更有效的手段和方法。
THANKS FOR WATCHING
均匀分布
在某一区间内，每个取值的可能性都 相等。
03
指数分布
描述某些随机事件发生的时间间隔的概率分 布，如放射性元素的衰变时间、电话交换台
的呼叫间隔时间等。
05
04
正态分布
一种钟形曲线分布，具有广泛的应用 背景，如自然和社会科学中的各种测 量误差、产品质量控制等。
连续型随机变量.
任给长度为l的子区间(c,c+l), ac<c+lb, 有
P{c < X c l}
c l
c
c l
f ( x)dx
1 dx l . ba ba
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c
例5： 某观光电梯从上午8时起，每半小时运行一趟. 某人在上午8点至9点之间到达，试求他等候时间少 于5分钟的概率．
解：对任意实数t， f(t)非负，又
f (t )dt 0dt et dt e t
0
0
0
1
则 f(t)是连续型随机变量的概率密度.
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退 出
参数的确定
例2： 设随机变量X的概率密度为
x Ae ,x<0 f ( x) x Ae , x 0
P{X < t} 1 F (tF )( t) 1 et , t 0
指数分布的特点：无后效性（无记忆性）
若X服从指数分布, 则任给s,t >0, 有 P{X>t+s| X > t}=P{X > s}， 事实上 P{ X t , X t s} P{ X t s | X t} P{ X t}
f ( x) Ae ,
x
求（1）系数A;（2）X的分布函数. ( < x < ) 解：
(1)1
f ( x)dx
0
Ae dx
x
0
Ae dx
x
Ae
x 0
Ae
x 0
连续性随机变量详解
解 X 的分布函数为
F(
x)
1
e
1x 2000
,
0,
x 0, x 0.
第22页
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607. (2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000}
4
(2
x)d
x
1,
解之得
0
3
2
(2)由 k 1 知 X 的概率密度为 6
x 6
,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x 3, 3 x 4, 其它.
k 1. 6
第11页
由 F ( x) x f ( x)d x 得
0, x 0,
x x d x,
0 x 3,
F ( x)
0 3
(2) f ( x)d x 1;
证明
1 F() f (x)d x.
(3)
P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x)d x;
x1
证明 P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
x2 f ( x) d x x1 f ( x) d x x2 f ( x)d x.
0
f (t)dt
x
f (t)dt
0
0
x
0dt 1dt ,
则F(x) x;
0
当1 x时， x
f (t)dt
0
f (t)dt
1
f (t)dt
x
f (t)dt
0
1