2105 常用的连续型随机变量的数学期望.
常用的连续型随机变量
常用的连续型随机变量(1) 均匀分布U a b (,)(Uniform distribution)a. 定义称X 在区间(,)a b 上服从均匀分布，X 的概率密度为 ϕ(),,x b a a x b =-<<⎧⎨⎪⎩⎪10其它记为X U a b ~(,)。
.2:ba EX +=数学期望方差：12)(2a b DX -=b.意义a b F x ()0x1X 具有下述意义的等可能性，即X 落在(,)a b 中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。
换句话说，它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与子区间的位置无关。
即∀+⊂(,)(,),c c l a bab ldx a b dxx l c X c P l c cl c c-=-==+<≤⎰⎰++1)(}{ϕF x x a x ab a a x b x b(),,,=≤--<≤>⎧⎨⎪⎩⎪010xϕ()x 1b a-a b例1 某公共汽车站从上午7时起每15min 来一班车，即7：00，7：15，7：30等时刻有汽车到达车站。
如果某乘客到达此站的时间是7：00—7：30之间的均匀随机变量。
试求他等候（1）不到5min ，（2）超过10min 的概率。
ξξ⎰⎰=+=<<+<<302515103130130130251510dx dx P P )()(ξξ解设乘客于7时分到达此站，由于是区间（0，30）上的均匀随机变量，故为使等候时间不到5min ，必须且只需在7：10—7：15之间或7：25—7：30之间到达此站，因此（1）所求的概率为：类似的，当且仅当在7：00—7：05之间或7：15—7：20之间到达此站时，需要等候10min 以上，故（2）所求概率为：31201550=<<+<<)()(ξξP P210t X t 例2、设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。
随机变量期望值公式
随机变量期望值公式
期望：在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望是试验中每次某个可能结果的概率乘以这个结果数值的总和。
如果假设每次试验出现结果的概率相等，期望就是随机试验在同样的机会下重复多次的结果相加，计算出的等概率“期望”的平均值。
需要注意的是，期望值也许与每一个结果都不相等，因为期望值是该变量输出值的平均数，期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。
离散型随机变量期望的公式化表示为如下，假设随机变量为XX，取值x i(i=1,2,...,n)x i(i=1,2,...,n)，对应发生概率p i(i=1,2,...,n)p i(i=1,2,...,n)，E(X)E(X)为随机变量的期望：E(X)=∑n i=1p i x i E(X)=∑i=1np i x i。
当p i(i=1,2,...,n)p i(i=1,2,...,n)相等时，也即p i=1np i=1n时，E(X)E(X)可以简化为：E(X)=1n∑n i=1x i E(X)=1n∑i=1nx i
连续型随机变量的期望，可以使用求随机变量取值与对应概率乘积的积分求得，设XX为连续性随机变量，f(x)f(x)为对应的概率密度函数，则期望E(X)E(X)为：E(X)=∫xf(x)dxE(X)=∫xf(x)dx。
1。
连续性数学期望的公式
连续性数学期望的公式
连续性数学期望是概率论中用来衡量随机变量平均值的重要概念。
许多概率论问题都将连续性数学期望作为其中的重要研究中心，用来深入分析并探索一般变量的相关特性。
连续性数学期望的公式为：E[X] = ∫(-∞，∞)*f(x)dx，其中E[X]是对随机变量X的数学期望，f(x) 是随机变量 X 的概率分布函数，(-∞，∞)表示随机变量 X 可能取值范围。
这个公式能够衡量一个随机变量的平均值，以及这个随机变量在特定范围内的概率分布情况。
通过这个公式，可以在实际的概率论问题中获得更加准确的问题解决方案。
例如，通过知道随机变量 X 的概率分布函数 f (x)，就可以得到它的数学期望值，从而可以更精确的判断该随机变量的概率特性。
连续性数学期望是概率论中一个重要的概念，它能够很好的帮助我们研究概率论问题，得出更正确的解决方案。
此外，通过连续性数学期望计算机可以实现自动化仿真，从而研究不同变量不同概率特性之间的相关性，从而得到更为全面的问题解决方案。
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量
期望与方差公式离散型随机变量连续型随机变量概述:在概率论和数理统计中，期望和方差是两个重要的统计量。
它们用于描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望和方差公式:离散型随机变量是指在有限或可数的样本空间内取值的随机变量。
对于一个离散型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:期望是用来衡量随机变量取值的中心位置，常表示为E(X)。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∑[x * P(X = x)]其中，x表示随机变量X取到的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率。
2. 方差公式:方差是用来衡量随机变量取值的离散程度，常表示为Var(X)或σ²。
方差的计算公式为：Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]其中，x表示随机变量X的每个可能值，P(X = x)表示相应取值的概率，E(X)表示X的期望。
二、连续型随机变量的期望和方差公式:连续型随机变量是指取值在某一连续区间内的随机变量。
对于一个连续型随机变量X，其期望和方差的公式如下：1. 期望公式:连续型随机变量的期望的计算公式为：E(X) = ∫[x * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
2. 方差公式:连续型随机变量的方差的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，E(X)表示X的期望。
总结:本文介绍了期望和方差的定义及其计算公式，并分别讨论了离散型和连续型随机变量的情况。
对于离散型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∑[x * P(X = x)]，方差的计算公式为Var(X) = ∑[(x - E(X))² * P(X = x)]。
对于连续型随机变量，期望的计算公式为E(X) = ∫[x * f(x)] dx，方差的计算公式为Var(X) = ∫[(x - E(X))² * f(x)] dx。
第4.1节数学期望
【泊松分布】
设 ξ ~ P (λ ), 且分布律为
λ k −λ P{ξ = k } = e , k = 0,1, 2,L , λ > 0. k!
则有
λ −λ E (ξ ) = ∑ k ⋅ e k! k =0
∞ k
k −1 λ = e −λ ∑ ⋅λ k =1 ( k − 1)! ∞
= λe − λ ⋅ e λ = λ .
ξ
p
10000 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1 2 E (ξ ) = 10000 × 5 + 5000 × 5 + L + 0 × p0 10 10
= 0.5(元 ), 每张彩票平均可赚 2 − 0.5 − 0.3 = 1.2(元 ), 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000 × 1.2 = 120000(元 ).
已知随机变量 ξ 的分布列为
ξ
p
则有
1 p
0 1− p
E (ξ ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ q = p ,
【二项分布 】
设随机变量 ξ 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k P {ξ = k } = p (1 − p )n − k ,( k = 0,1, 2,L , n), k 则有 0 < p < 1.
设以 k 个人为一组时 , 组内每人化验的次数为 ξ, 则 ξ 为一随机变量 , 且其分布列为
ξ
pk
1 k q
k
k +1 k 1− q
kபைடு நூலகம்
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
13个期望计算公式
13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。
在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。
1. 离散型随机变量的期望计算公式。
对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。
其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。
2. 连续型随机变量的期望计算公式。
对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。
其中，f(x)表示X的概率密度函数。
3. 二项分布的期望计算公式。
对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。
其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
4. 泊松分布的期望计算公式。
对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。
其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
5. 几何分布的期望计算公式。
对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。
其中，p表示每次试验成功的概率。
6. 均匀分布的期望计算公式。
对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。
其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。
7. 指数分布的期望计算公式。
对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。
其中，λ表示事件发生的速率。
8. 正态分布的期望计算公式。
对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。
其中，μ表示分布的均值。
9. 超几何分布的期望计算公式。
对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。
其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。
随机变量的数学期望
P{ X = xiY = y j } = pij ,i , j = 1,2,
则 E( Z ) = E[ g ( X , Y )] = ∑ ∑ g ( x i , y j ) pij .
j i
型随机变量, (2) 若(X,Y)是连续型随机变量,联合概率密度为 , ) 连续型随机变量 f(x,y),则 ( , )
1 k 1 1 k k E 因此, 因此, ( X ) = q + (1 + ) (1 q ) = 1 q + , k k k
N个人需化验的次数的数学期望为 个人需化验的次数的数学期望为 例如, 例如,
0.9910 0.1 = 0.804 , 1 k 就能减少验血次数. 当 q > 时, 就能减少验血次数.
E( X) = ∫ xf ( x)dx
∞
+∞
13
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望. 求X的数学期望. 的数学期望
解
E( X ) = ∫
+∞ ∞
1 0
xf ( x ) dx
2
=∫
3 x 3 x dx = . 4
+∞
+∞
=∫
+∞ 0
x e dx = 2 .
2
18
x
设随机变量( , ) 例8 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 y f ( x, y) = 2 x y x 0, else 1 ). 求 E(Y ), E( XY
解 E(Y ) =
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的分布密度为
p(x)
b
1
a
,
axb
0, x a, x b
E
xp( x)dx
a
b
xp(x)dx
a
xp ( x)dx
b
xp( x)dx
b
xp( x)dx
a
b
x
1 dx
1
a ba
ba
b
xdx
a
1 1 x2 b a b
ba 2 a
2
01 均匀分布
若 R.V .
R[a, b],
则 E a b
2
02 指数分布
设随机变量
的分布密度为
p(x)
ex ,
x0 ,
0, x 0
E
xp(x)dx
0
xp(x)dx xp(x)dx
0
xp(x)dx
xexdx
0
0
xexdx 0
1
02指数分布
若 R.V .
e( ),
则 E 1
03 正态分布
设随机变量 的分布密度为
p(x)
1
( x )2
e , 2 2
2π
E
xp(x)dx
x
1
( x )2
e 2 2 dx
2π
03 正态分布
03 正态分布
若R.V .
N (, 2 ),
则 E
常用的连续型随机变量的数学期望
分布名称
简略记法
分布密度
数学期望
均匀分布 指数分布 正态分布
R[a, b]
p(x)
b
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常用的连续型 随机变量的数学期望
目录
01 均匀分布 02 指数分布 03 正态分布
连续型随机变量的数学期望
设连续型随
xp( x)dx
绝对收敛，则称
xp( x)dx
为随机变量
的数学期望。
即：
E
xp( x)dx
01 均匀分布
设随机变量
1
a
,
axb
ab
0, x a, x b
2
e( )
ex , x 0
p(x)
0, x 0
1
N(, )2
p(x)
1
( x )2
e 2 2
2π
谢谢