常见的连续型随机变量

31
标准正态分布的计算
如果随机变量 X ~ N 0, 1 ，则 X 的密度函数为
x
1
x2
e2
2
x ．
其分布函数为
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
x ．
教材的附录中给出了x 在某些点处的值．
对于 x 0，我们可以直接查表求出x PX x的
某些值．
第五节 常见的连续型随机变量
率为 0．
⑵ 随机变量 X 在区间 a, b 内的任一子区间上取值
的概率仅与该子区间的长度成正比，而与该子区间的形
状及子区间在 a, b内的位置无关．
第五节 常见的连续型随机变量
4
均匀分布的分布函数
如果随机变量 X 服从区间 a, b 上的
均匀分布，则 X 的分布函数为
0
F
x
x b
1
a a
为 f
1
2 ，可知当 越小时，曲线 y f x 的图形就越
陡，因而随机变量 X 落在点 附近的概率就越大；反之，
当 越大时，曲线 y f x 的图形就平坦，因而随机变量 X 的
取值就越分散．
第五节 常见的连续型随机变量
30
正态分布的重要性
正态分布是概率论中最重要的分布．这是因为：
⑴ 自然界及大量的科学、工程、技术、经济、社会中
a
b
a
0dx
b a
b
1
a
dx
0dx
b
1
．
这表明， f x 满足密度函数的条件．
第五节 常见的连续型随机变量
3
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间 a, b上的均匀分布，则随 机变量 X 在区间 a, b上取值是“等可能”的，即：
⑴ 随机变量 X 只在区间 a, b内取值，而不在a, b 外取值．或者说，随机变量 X 在区间 a, b外取值的概
§2.3 常见的连续型随机变量 (continuous random variable)
第五节 常见的连续型随机变量
1
1．均匀分布(uniform distribution)
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
则 称 随 机 变 量 X 服 从 区 间 a, b 上 的 均 匀 分
上的均匀分布．
第五节 常见的连续型随机变量
6
例 1（续）
其密度函数为
f
x
1 60
0
0 x 60
其它 ．
令 B 被带往甲地 ．
开往甲地汽车的到达时间：
7:00， 7:15， 7:30， 7:45， 8:00； 开往乙地汽车的到达时间：
7:10， 7:25， 7:40， 7:55， 8:10．
2
12
第五节 常见的连续型随机变量
11
2．指数分布(exponential distribution)
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
ex
x0
0 x0
其中 0 为参数，则称随机变量 X 服从参
数为 的指数分布．
第五节 常见的连续型随机变量
12
密度函数的验证
对于函数
f
x
ex
0
x0
x 0 ，我们有
即随机变量
T
的分布函数为
FT
t
0 1
et
t0
t 0 ，因此T 的
密度函数为
fT
t
FT t
0
et
从参数为 的指数分布．
t0
t 0 ．这表明，随机变量 T 服
第五节 常见的连续型随机变量
19
指数分布的数学期望与方差
如果随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则
X 的数学期望与方差分别为
EX
1
正态分布也称为 Gauss 分布．
第五节 常见的连续型随机变量
21
标准正态分布(standard normal distribution)
如果 0, 1，称 N 0, 1 为标准正态
分布．标准正态分布的密度函数为
x
1
x2
e2
2
x ．
第五节 常见的连续型随机变量
22
正态分布与标准正态分布的分布函数
y
x
O
第五节 常见的连续型随机变量
27
正态分布密度函数的图形性质
对于正态分布的密度函数
f x
1
e
x 2
2 2
2
x ，
由一元函数微积分中的知识，我们有如下结论：
⑴ 曲线 y f x 关于直线 x 对称．这表明，对于
任意的 h 0 ，有
P h X P X h．
2 2
0
2
⑵ 下面证明： f xdx
． 1
e
x 2
2 2
dx
1
2
我们首先验证： xdx
， 1
x2
e 2 dx 1
2
x2
或证： I e 2 dx 2 ．
第五节 常见的连续型随机变量
24
密度函数的验证（续）
为此，我们只需证明： I 2
e
x2 2
dx
2
2
．
的许多指标都服从或者近似服从正态分布．可以证明：
如果一个随机指标受到许多随机因素的影响，但其中任
何一个随机因素的影响都不起决定性作用，则该随机指
标一定服从或者近似服从正态分布．
⑵ 正态分布有着许多良好的性质，这些性质是其它分
布所不具备的．
⑶ 正态分布可以作为许多其它分布的近似分布．
第五节 常见的连续型随机变量
2 2
dx
1
2
第五节 常见的连续型随机变量
25
密度函数的验证（续）
作变换 u
x
，则 du
dx
，则
． 1
e
x 2
2 2
dx
2
1
u2
e 2 du
2
1 2 1 2
综上所述，有
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
确实是一个密度函数．
第五节 常见的连续型随机变量
26
正态分布密度函数的图形
一般正态分布与标准正态分布之间的关系
根据上面的讨论，我们得到以 下重要的结论：
如果随机变量 X ~ N , 2 ，则
X ~ N 0,
1 ．
第五节 常见的连续型随机变量
29
正态分布密度函数的图形性质（续）
⑶ 曲线 y f x 在 x 处有拐点．曲线 y f x 以 x 轴
为水平渐近线．
⑷ 若 固定，而改变 的值，则曲线 y f x 沿 x 轴水平 移动，但其形状不改变．因此曲线 y f x 的位置由参数
所确定．
⑸ 若 固定，而改变 的值，由于函数 y f x 的最大值
x
f
t
dt
1
0 ex
x0
x0．
第五节 常见的连续型随机变量
14
指数分布的无记忆性
如果随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则对于任意的
s 0, t 0，有
PX s t X s PX t．
解：
PX
s
t
X
s
PX
s tX PX s
s
PX s PX
t s
1 F s t 1 F s
I 2
e
x2 2
d
2
x
e
x2 2
d
x
e
y2 2
d
y
x2 y2
e 2d
x
d
y
作极坐标变换 x r cos, y r sin ，则有
． I 2
2
r2
d e 2 rdr
r2
2 e 2 rdr
r2
2e 2
2
0
0
0
0
下面验证： ． 1
e
x 2
X
20
20 1 10 10
x
e 10dx
e1
e2
0.2325 ．
第五节 常见的连续型随机变量
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例4
设在长度为 t 的时间间隔内某一随机事件 A 发生的 次数 X 服从参数为 t 的 Poisson 分布．试求在相邻 两次事件发生之间的等待时间T 的密度函数．
解： 随机变量 X 的分布律为
PX k tk et
布．记作 X ~ U a, b．
注释：类似地，可以定义区间 a, b、 a, b、
a, b上的均匀分布．
第五节 常见的连续型随机变量
2
密度函数的验证
对于
f
x
b
1
0
a
a xb
其它 ，我们有
⑴ 对任意的 x ，有 f x 0 ；
a
b
⑵ f xdx f xdx f xdx f xdx
xa a xb
．
xb
第五节 常见的连续型随机变量
5
例1
设公共汽车站从上午 7 时起每隔 15 分钟有一辆开往
甲地的汽车，从上午 7 时 10 分起每隔 15 分钟有一辆开
往乙地的汽车．某乘客到达该车站的时间是 7 时到 8 时
之间的均匀随机变量，而且他见车就上，求该乘客被带
往甲地的概率．
解：
设该乘客于 7 时 X 分到达车站，则 X 服从区间0, 60
P 1 或者 2