概率论课件连续型随机变量
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连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
2021/5/11
33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
2021/5/11
36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
2021/5/11
P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
2021/5/11
27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
2021/5/11
28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数
对于连续型随机变量，其取值充满某 一个区间，不能以列举的方式表示其 所有可能取值，因此引入密度函数的 概念。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
概率论与数理统计课件 4连续型随机变量
(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布 (2) 求已知设备在无故障工作8h 情形下，再无故障
工作6h 的Leabharlann 率若X E( )P(X s t X s) P(X t) 指数分布的重要性质 :“无 记忆性” 故又把指数分布称为“永远
年轻”的分布.
第六次课结束
3. 正态分布(或高斯分布)
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
由于 P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
P{Y
2}
32
2 21 3
2 3
33
2 31 3
2 0
3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
e x , x 0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记做X E( )
分布函数
1 e x , F(x)
x 0,
0,
x 0.
指数分布例题
例2.9 假设一个大型设备在任何长为t 的时间内
发生故障的次数N (t)服从参数为t 的泊松分布
寿命大于250h的概率
例1.设X N (, 42 ),Y N (, 52 ),记p1 P( X 4) p2 P(Y 5),则
A. 对任意实数 ,均有p1 p2; B. 对任意实数 ,均有p1 p2; C . 对个别实数 ,才有p1 p2; D. 对任意实数 ,均有p1 p2; 2. 设X N(, 2 ),则随着的增大，概率P(|X -|< )的值
工作6h 的Leabharlann 率若X E( )P(X s t X s) P(X t) 指数分布的重要性质 :“无 记忆性” 故又把指数分布称为“永远
年轻”的分布.
第六次课结束
3. 正态分布(或高斯分布)
f ( x) 13 , 2 x 5, 0, 其他.
由于 P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b 3,
2 3
.
P{Y
2}
32
2 21 3
2 3
33
2 31 3
2 0
3
20 . 27
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
e x , x 0,
f (x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.记做X E( )
分布函数
1 e x , F(x)
x 0,
0,
x 0.
指数分布例题
例2.9 假设一个大型设备在任何长为t 的时间内
发生故障的次数N (t)服从参数为t 的泊松分布
寿命大于250h的概率
例1.设X N (, 42 ),Y N (, 52 ),记p1 P( X 4) p2 P(Y 5),则
A. 对任意实数 ,均有p1 p2; B. 对任意实数 ,均有p1 p2; C . 对个别实数 ,才有p1 p2; D. 对任意实数 ,均有p1 p2; 2. 设X N(, 2 ),则随着的增大，概率P(|X -|< )的值
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
概率论与数理统计-2.2连续型随机变量及其分布
8
注意
概率为零的事件未必是不可能事件；
事件A是不可能事件
P( A) 0
概率为1的事件也不一定是必然事件
事件A是必然事件
P( A) 1
9
连续型随机变量的其它若干结论 (1) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞,
(2) F(x)是 x 的单调不减函数;
(3) F () lim F ( x) 0
理解为：X落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的
可能性是相同的。或者说X落在子区间内的概率只依
赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。即X取值 在[a,b]上是均匀的。
23
若X在[a,b]上服从均匀分布，对区间内的任一个区 间[c,d]，有
0 a
d
[
c
] d
b
x
P(c X d ) f ( x)dx
分布函数为
a xb 其它
xa a xb xb
21
则称X在区间 [a，b]上服从均匀分布．记为X~U[a,b]
0, x a F ( x) , b a 1,
密度函数f (x)与分布函数F(x)的图形如图2.2.2和 图2.2.3所示
22
意义：
0
a
b
x
X“等可能”地取区间[a,b]中的值，这里的“等可能”
c
d c
1 d c dx ba ba
24
例2 102电车每5分钟发一班，在任一时刻某一乘
客到了车站. 求乘客候车时间不超过2分钟的概率.
解1：设随机变量X为候车时间，则X～U[0,5]均匀分布， 故
P( X 2) F (2)
解2 （几何概率）
0 2
注意
概率为零的事件未必是不可能事件；
事件A是不可能事件
P( A) 0
概率为1的事件也不一定是必然事件
事件A是必然事件
P( A) 1
9
连续型随机变量的其它若干结论 (1) 0≤F(x)≤1, －∞＜x＜＋∞,
(2) F(x)是 x 的单调不减函数;
(3) F () lim F ( x) 0
理解为：X落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的
可能性是相同的。或者说X落在子区间内的概率只依
赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。即X取值 在[a,b]上是均匀的。
23
若X在[a,b]上服从均匀分布，对区间内的任一个区 间[c,d]，有
0 a
d
[
c
] d
b
x
P(c X d ) f ( x)dx
分布函数为
a xb 其它
xa a xb xb
21
则称X在区间 [a，b]上服从均匀分布．记为X~U[a,b]
0, x a F ( x) , b a 1,
密度函数f (x)与分布函数F(x)的图形如图2.2.2和 图2.2.3所示
22
意义：
0
a
b
x
X“等可能”地取区间[a,b]中的值，这里的“等可能”
c
d c
1 d c dx ba ba
24
例2 102电车每5分钟发一班，在任一时刻某一乘
客到了车站. 求乘客候车时间不超过2分钟的概率.
解1：设随机变量X为候车时间，则X～U[0,5]均匀分布， 故
P( X 2) F (2)
解2 （几何概率）
0 2
概率统计ppt 连续型随机变量
2
0
x
(1)曲线关于 x 对称；
(2)曲线在 x 处取得最大值；
(3)曲线以 y 0 为渐近线；
(4)曲线在 x 处取得拐点；
(5) 决定曲线的位置； 确定曲线的陡
峭程度。 (6)对于某固定长度的区间[a,b]，若此区
间越靠近 ，则X落在此区间的概率越大。
X ~ N , 2 时，X的分布函数为：
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率密度
1. 定义 对于一随机变量X，若存在一
非负函数 f x 使得 b
Pa X b f xdx
a
则称X为连续型随机变量，f x 称为X的
(概率)密度函数。
显然，X的分布函数 F x 满足：
x
F x PX x f t dt
2. 性质
解 P6 X 8
8
6
8
7.3 2
6
7.3 2
0.35 0.65
0.35 1 0.65 0.379
练习 设X ~ N , 2 ，则 PX 1
（A）随 的增大而增大 （B）随 的增大而减小
（C）随 的增大而增大 （D）随 的增大而减小
a x
(6) F x f t dt F x f x
(7)连续型随机变量的分布函数 F x
必为连续函数。
例1 设连续型随机变量X的密度函数为
f
x
kx 0
1
0 x2 其他
求 1 k 2 F x 3 P1 X 3
解 1 f xdx 1
2 0
kx
1dx
1 2
kx 2
x
2 0
2k
2 0
x
0 x1 其他
练习 下面哪些函数可作为X 的密度函数
0
x
(1)曲线关于 x 对称；
(2)曲线在 x 处取得最大值；
(3)曲线以 y 0 为渐近线；
(4)曲线在 x 处取得拐点；
(5) 决定曲线的位置； 确定曲线的陡
峭程度。 (6)对于某固定长度的区间[a,b]，若此区
间越靠近 ，则X落在此区间的概率越大。
X ~ N , 2 时，X的分布函数为：
第三节 连续型随机变量
一、连续型随机变量的概率密度
1. 定义 对于一随机变量X，若存在一
非负函数 f x 使得 b
Pa X b f xdx
a
则称X为连续型随机变量，f x 称为X的
(概率)密度函数。
显然，X的分布函数 F x 满足：
x
F x PX x f t dt
2. 性质
解 P6 X 8
8
6
8
7.3 2
6
7.3 2
0.35 0.65
0.35 1 0.65 0.379
练习 设X ~ N , 2 ，则 PX 1
（A）随 的增大而增大 （B）随 的增大而减小
（C）随 的增大而增大 （D）随 的增大而减小
a x
(6) F x f t dt F x f x
(7)连续型随机变量的分布函数 F x
必为连续函数。
例1 设连续型随机变量X的密度函数为
f
x
kx 0
1
0 x2 其他
求 1 k 2 F x 3 P1 X 3
解 1 f xdx 1
2 0
kx
1dx
1 2
kx 2
x
2 0
2k
2 0
x
0 x1 其他
练习 下面哪些函数可作为X 的密度函数
连续随机变量及分布 PPT
解：方程 x2 Yx 1 0 有实根的充要条件是
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、 这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分 布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间； （2）电话问题中的通话时间； （3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分 布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的 寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规 定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改 厂被退换元件的数量大约占总产量的百 分之几？
解 因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、 这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分 布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间； （2）电话问题中的通话时间； （3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分 布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的 寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规 定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改 厂被退换元件的数量大约占总产量的百 分之几？
解 因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300
概率论 7连续型随机变量
作业
• 习题2 10，11，12，13，15
随机变量 X 的分布函数为 x0 0 2 F ( x) x 0 x 1 1 x 1
(1)求 P (0.3 X 0.7)
(2)X的密度函数
2 2
(1) P (0.3 X 0.7) F (0.7) F (0.3) 0.7 0.3 0.4
P{ a X b}＝ P{ a X b} P{ a X b} ＝ P{ a X b}＝ f ( x ) dx
a b
例1：已知密度函数求概率
随机变量 X 的概率密度为 a cos x f ( x) 0
x
求 P (0 X
P ( A ) P{10 X 15 } P ( 25 X 45 } P{55 X 60 }
5 20 5 60 1 2
2、 指数分布(exponential distribution)
e ,x 0 若 X ~ f ( x )＝ 0, x 0
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两 年的概率为多少？ 解
3e 3 x f ( x) 0
x0 x 0,
6
(1) p{ X 2}
3e
2
3 x
dx e
( 2 ) p{ X 3 .5 | X 1 .5}
p{ X 3 .5, X 1 .5} { X 1 .5}
密度函数的几何意义为
P ( a X b )＝ f ( u ) du
a
b
X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分
2. 密度函数的性质
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P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
指数分布
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
P{ X
s
t
|
X
s}
P{(
X
st) (X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t s}
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
连续型随机变量分布函数的性质
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
较线密度的定义）. 由(2)式，若不计高阶无穷小，则有
易见， (1) f ( x) 0;
f (x)
(2) f ( x)dx 1.
f ( x)的几何图形如图.
注：指数分布常用来
O
x
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 x
0, x 0 f ( x) F ( x) 2x, 0 x 1
0, 1 x
2 x,
0,
0 x1 其它 .
完
均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb
其它
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为 X ~
U (a,b). 易见，(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求
(2) X 的密度函数.
解
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
x
2
,
1,
求 (2) X 的密度函数.
解 (2) X 的密度函数为
x0 0 x 1,
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
P{c X c l}
cl
f ( x)dx
c
cl c
b
1
adx
b
l
a
.
易求得 X 的分布函数
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
完
例4 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 10 30
dx
30 1 25 30
dx
1 3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
完
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
ex ,
f (x) 0,
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为X ~ e( ).
注： 在区间 (a,b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
其取值落在 (a,b) 中任意等长度的子区间内的概率
是相同的，且与子区间的长度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
解 X 的分布函数为
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
解
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
解
F(x)
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30),
f ( x) 310 , 0 x 30 0, 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
P{a X b}. 3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
当 x 1, F ( x) 1, 故
F ( x) x
3 t dt 06
x 0
t 6
dt
,
x 2 3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
x2 12,
3
2x
x2
4,
1,
x0 0 x3 3 x4 .
x4
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
f
(
x)
2
x 6
,
x 2
0,
,
0 x3
3 x4.
其它
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx, 0 x 3
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
3 x 4. 其它
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
(1) 确定常数 k;
0 x3 3 x 4.
其它
解 由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
0,
1
x2
1
arcsin
x
1 2
,
1,
x 1
1 x 1.
x 1
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2 Βιβλιοθήκη x 20,,
0 x3 3 x 4.
其它
(1) 确定常数 k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
解
P{1 X 7 / 2}
7/2
f ( x)dx
1
3 1
1 6
xdx
7/ 2 3
2
x 2
dx
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解 P{1 X 7 / 2}
连续型随机变量分布函数的性质
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
为0.
P{ X a} lim P{a x X a} x0 a lim f ( x)dx 0, x0 ax
故对连续型随机变量 X , 有
指数分布
服从指数分布的随机变量 X具有无记忆性，即对任意
s,t 0, 有 P{ X s t | X s} P{ X t}. (*)
P{ X
s
t
|
X
s}
P{(
X
st) (X P{X s}
s)}
P{X s P{X
t s}
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
连续型随机变量分布函数的性质
X 在点 x 的密度 f ( x), 恰好是 X 落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度x 之比的极限(比
较线密度的定义）. 由(2)式，若不计高阶无穷小，则有
易见， (1) f ( x) 0;
f (x)
(2) f ( x)dx 1.
f ( x)的几何图形如图.
注：指数分布常用来
O
x
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来 描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
指数分布
注：指数分布常用来
描述对某一事件发生的等待时间，例如，乘客在公交
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 x
0, x 0 f ( x) F ( x) 2x, 0 x 1
0, 1 x
2 x,
0,
0 x1 其它 .
完
均匀分布
定义 若连续型随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb
其它
则称 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布，记为 X ~
U (a,b). 易见，(1) f ( x) 0; (2) f ( x)dx 1.
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F
(
x
)
x
2
,
0 x 1,
1, 1 x
求
(2) X 的密度函数.
解
(2) X 的密度函数为
例3 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F
(
x
)
x
2
,
1,
求 (2) X 的密度函数.
解 (2) X 的密度函数为
x0 0 x 1,
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
P{c X c l}
cl
f ( x)dx
c
cl c
b
1
adx
b
l
a
.
易求得 X 的分布函数
0,
F
(
x)
x b
a
a 1,
,
xa a x b. xb
完
例4 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一 班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达
求概率为
P{10 X 15} P{25 X 30}
15 1 10 30
dx
30 1 25 30
dx
1 3
即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.
完
指数分布
定义 若随机变量 X 的概率密度为
ex ,
f (x) 0,
x0
其中 0,
则称 X 服从参数为 的指数分布，简记为X ~ e( ).
注： 在区间 (a,b) 上服从均匀分布的随机变量 X ,
其取值落在 (a,b) 中任意等长度的子区间内的概率
是相同的，且与子区间的长度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
是相同的，且与子区间的和度成正比. 事实上，任取
子区间 (c,c l) (a,b),
均匀分布
解 X 的分布函数为
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
解
0,
F(x)
3 t dt 06
x t dt, 06 x 2
3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
解
F(x)
X ~ U (0,30), f ( x) 310 , 0 x 30
0, 其它
解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意
X ~ U (0,30),
f ( x) 310 , 0 x 30 0, 其它
为使候车时间 X 少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到
7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所
P{a X b}. 3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
(1)
连续型随机变量分布函数的性质
3. 若 f ( x) 在点 x 处连续，则
F ( x) f ( x)
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
解
x
F ( x) P{X x} f (t)dt
当 x 1, F ( x) 0; 当 1 x 1,
F( x)
1
0 dt
x2
1
1 t 2dt
x
1
x2
1
arcsin
x
1 2
当 x 1, F ( x) 1, 故
F ( x) x
3 t dt 06
x 0
t 6
dt
,
x 2 3
1,
t 2
dt
,
x0 0 x3
3 x4 x4
0,
x2 12,
3
2x
x2
4,
1,
x0 0 x3 3 x4 .
x4
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
f
(
x)
2
x 6
,
x 2
0,
,
0 x3
3 x4.
其它
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx, 0 x 3
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
3 x 4. 其它
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
(1) 确定常数 k;
0 x3 3 x 4.
其它
解 由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
解
由
f ( x)dx 1,
得
3 kxdx
0
4 3
2
x 2
dx
1,
解得 k 1/ 6, 于是 X 的概率密度为
0,
1
x2
1
arcsin
x
1 2
,
1,
x 1
1 x 1.
x 1
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2 Βιβλιοθήκη x 20,,
0 x3 3 x 4.
其它
(1) 确定常数 k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x);
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
完
例2 设随机变量 X 具有概率密度
解
P{1 X 7 / 2}
7/2
f ( x)dx
1
3 1
1 6
xdx
7/ 2 3
2
x 2
dx
1 12
x2
3 1
2x
x2 4
7/2 3
例2 设随机变量 X 具有概率密度
kx,
f
(
x
)
2
x 2
0,
,
0 x3 3 x 4.
其它
(3) 求P{1 X 7 / 2}.
解 P{1 X 7 / 2}
连续型随机变量分布函数的性质
2. 连续型随机变量 X 取任一指定值 a(a R)的概率
为0.
P{ X a} lim P{a x X a} x0 a lim f ( x)dx 0, x0 ax
故对连续型随机变量 X , 有