连续型随机变量练习题
概率统计练习册习题解答[定]
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习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。
解：{},18543，，，＝Ω ；{}18,,12,11 ＝A 。
（2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
（3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量长度与规格的误差不超过0.1。
3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ，B ，C 都发生：解： ABC ；（2） A ，B ，C（3） A 发生，B 与C（4） A ，B ，C 中至少有一个发生：解：C B A ⋃⋃（5）A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2）至少有一个次品；（3）恰好有两个是次品；（4习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P，则)(A P)(AB P)(B A P )(B A P =)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P AB 0.6（3）盒子中有10个球，其中3（4）一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中任取3件产品，其中恰有1件次品的概率为（5）某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日恰好在同一个月的概率为2．选择题（1）如果A 与B 互不相容，则（C ）(A) AB =∅ (B) A B = (C ) AB =Ω (D) A B =Ω（2）设A 、B 是任意两事件，则=-)(B A P （ B 、C ）。
数学期望练习题
数学期望练习题数学期望是概率论中的一个重要概念，在实际问题中有着广泛的应用。
下面，我将为大家提供一些关于数学期望的练习题，帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
一、离散型随机变量的数学期望1.问题描述：某餐厅每天的顾客量服从泊松分布，已知平均值为20。
每个顾客消费的金额是一个服从均值为6的离散型随机变量。
求每天餐厅的总收入的数学期望。
解答：设每天的顾客数为X，每个顾客的消费金额为Y。
餐厅总收益为Z，有Z = X * Y。
已知X符合泊松分布，平均值为20，即E(X) = 20。
Y为均值为6的离散型随机变量，即E(Y) = 6。
因为Z = X * Y，根据离散型随机变量的数学期望的性质，有E(Z) = E(X * Y) = E(X) * E(Y) = 20 * 6 = 120。
所以餐厅的总收益的数学期望为120。
2.问题描述：某电商平台上，某商品的销售量服从泊松分布，平均每天销售50件。
已知每件商品的利润为30元，求每天该商品的总利润的数学期望。
解答：设每天的销售量为X，每件商品的利润为Y。
该商品的总利润为Z，有Z = X * Y。
已知X符合泊松分布，平均值为50，即E(X) = 50。
Y的值为固定的30元，即E(Y) = 30。
因为Z = X * Y，根据离散型随机变量的数学期望的性质，有E(Z) = E(X * Y) = E(X) * E(Y) = 50 * 30 = 1500。
所以该商品的总利润的数学期望为1500元。
二、连续型随机变量的数学期望1.问题描述：某公司的年度利润服从正态分布，已知平均利润为100万美元，标准差为20万美元。
求该公司的年度利润的数学期望。
解答：设该公司的年度利润为X。
已知X符合正态分布，平均值为100万美元，标准差为20万美元。
根据连续型随机变量的数学期望的性质，有E(X) = 平均值 = 100万美元。
所以该公司的年度利润的数学期望为100万美元。
2.问题描述：某品牌的汽车寿命服从指数分布，已知平均寿命为10年。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
2.4连续型随机变量及其概率密度1
c
ba
例 在PGA巡回赛中，前100名最好的高尔夫运动员 的击球距离在260米和284米之间，假设这些运动员的 击球距离在该区间上服从均匀分布。
(1)写出击球距离的概率密度函数； 解：令X表示击球距离，根据题意可知X~U(260,284)
f
(x)
1 24
,
260 x 284
0,
0
x0
P{X 1} F(1) 1 (11)e1 1 2e1
二、几个重要的连续型随机变量及其密度函数
1.均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
Байду номын сангаас
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U(a,b).
概率密度函数图形
0
0dx
0.5 3x2dx x3 0.5 0.125
1
0
0
A3
3x2, 0 x 1,
例题 1 设 X 概率密度 f (x) 0
, 其它.
求（3）求 F(x) .
解（3）由定义知 F(x) x f (t)dt
x
x
当 x 0 时， F(x) f (x)dx 0dx 0 ；
0.06
0.04
0.02
连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关
-10
-5
a
5
bx
x
F( x) f (t)dt
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{ X a} 0. 反之不一定
概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)
第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。
随机变量练习题(答案)
随机变量练习题（答案）1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（B ）（A ）取到的球的个数 （B ）取到红球的个数（C ）至少取到一个红球 （D ）至少取到一个红球的概率提示：（A ）的取值不具有随机性，（C ）是一个事件而非随机变量，（D ）是概率值而非随机变量，而（B ）满足要求．2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（D ）（A ）一颗是3点，一颗是1点 （B ）两颗都是2点（C ）两颗都是4点 （D ）一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点提示：对（A ）、（B ）中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而（D ）是ξ=4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻划的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．提示（A ）、（D ）不满足分布列的基本性质②，（B ）不满足分布列的基本性质①，正确选择是（C ）．4．在三次独立重复试验中，若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为31 。
提示：1927=1－(1－p )3, ⇒P (A )=p =31. 5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=(1)c k k +，k =1，2，3，c 为常数，则P (0.5<ξ<2.5)= 98 . 提示：1=c ·(111122334++⨯⨯⨯)=43c , 故c =34. 所以P (0.5<ξ<2.5)=p (1)+p (2)=32+92=98. 6．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若 P (ξ>1)=95，则 P (η≥1)= 6581· 提示：95=P (ξ≥1)=1－P (ξ=0)=1－(1－p )2, 即(1－p )2=94, p =31,故P (η≥1)=1－P (η=0)=1－(1－p )4=1－(32)4=6581. 7．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31。
概率统计练习册习题解答(定)
概率统计练习册习题解答（定）习题1-1 样本空间与随机事件A,B,C 为三个事件，则A,B,C 中至少有一个不发 ”这一事件可表示为(D )(A ) ABU AC U BC (B ) AU BUC ( C ) ABC U ABC U ABC ( D )BUC 2）设三个元件的寿命分别为T”T 2,T 3，并联成一个系 ，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作， 件 系统的寿命超过t”可表示为（D ）B TT 2T 3t C min T I ,T 2,T 3 t用集合的形式表示下列随机试验的样本空间 机事件A : 1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和, 件A 表示 点数之和大于10”。
O2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射 击的次数；事件A 表示 射击次数不超过5次o3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。
现抽查一轴干测量其长度，事件 A 表示测1.选择题（1）设 生AUT i T 2 T 3tTT 2T3t 2. 随( 事 解： =3,4,5, ,18； A = 11,12, ,18解： =簽2,3，- A = ^2,3,4,5量长度与规格的误差不超过0.1。
O3 .设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关0.3； A= x; x-15 0.1x; x -15 解:系表示下列各事件：(1)A, B, C 都发生：解：ABC；(2)A, B, C都不发生：解：ABC(3)A发生，B与C不发生：解:A§C (或A-B-C)；(4)A, B, C中至少有一个发生：解：AuBuC(5)A, B, C中不多于两个发生：解：刁MUJ4.设某工人连续生产了4个零件，人表示他生产的件:(1 ) 只有一个是次品；A( A2A3A4 u A】A? A3A4 u A t A2 A3A4U A!A2A3A4(2)至少有一个次品；A-55uA。
(3)恰好有两个是次品；1.填空题(1)已知AuB, P(A) = 0.4 9 P(B) = 0.6 9贝|| P(A)=_0.6, P(AB)=0.4,P(JU^)=_0.6, P(AB) =_0.2 , P(AB) = 0 9 P(A B)=A P42A3 A4 uA] A2J3 A4 uAj A2A3J4A2 A3A4 u J]J2J3A4<J A}A2A3A4(4)至多有三个不是次品；A, u A2 u A? u A4 0习题1-2机事件的概率及计算第,个零件是正品(i = 1,2,3,4 ), 试用4表示下列各事0.4 o(2)设事件/与B互不相容，P(A) = 0A9 P(B) = 0.3,贝!| P(AB)=0.3 9 P(A\JB)= 0.6 o(3)盒子中有10个球，其中3个红球，接连不放回抽取五次，第一次抽到红球的概率 三次抽到红球的概率 4) 一批产品由45件正品、5件次品组成，现从中 任取3件产品，其中恰有 1件次品的概率为5)某寝室住有6名学生，至少有两个同学的生日 恰好在同一个月的概率为0.3 ， 0.3 。
概率统计练习册习题解答
苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t >2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。
解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。
3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则)(A P)(AB P=)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P A B 0.62．选择题（1）如果()0P AB =，则（ C ）(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。