2连续型随机变量及其概率密度函数
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概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
连
续
型
离
散
型
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例1 设随机变量 的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
(1) 确定常数 ;
(2) 求{ > . } ; (3) 求 的分布函数().
解 (1)由归一性, 有
+∞
න
−∞
+∞
()d = න
e− d ≈ . .
.
()是分段表
达的, 求 ()
时也分段求.
当 x ≤ 0 时, F(x)=0.
当 x＞0 时, () = න ()d = න e− d = − e− .
−∞
所以
− e− ,
() = ൝
,
> ,
≤ .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的
概念与性质
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
离散型 可能值为离散可列个点,如,次品数.
随机
变量 连续型
可能值为某个区间,如,年降水量.
←分布律
←？
1. 概率密度函数定义
设()是随机变量 的分布函数, 若存
在非负函数 (), 使对任何实数 ,有
知识点2.5
故
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
− = + ,
→−
= + .
→
−
π
+
= − = ,
π
+
= + = .
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的一种重要概念，指的是某个随机事件所对应的数值。
二维连续型随机变量指的是有两个自变量的随机变量，每个自变量都属于某个连续区间。
这种随机变量的分布函数和概率的计算是概率论研究的一个重点。
对于一个二维连续型随机变量(X,Y)，其概率密度函数f(x,y)满足以下条件：1. 对于所有的实数(x,y)，f(x,y)>=0。
2. 对于任意两个实数a和b(a<b)，有P(a<X<=b)=∫[a,b]∫f(x,y)dxdy。
3. ∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)f(x,y)dxdy=1。
f(x,y)独立于自变量的选取，并且可以看做点(x,y)在随机平面上的高度函数，表示(x,y)点上的概率密度。
定义随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)=P{X<=x,Y<=y}。
它满足以下条件：1. F(x,y)是一个单调不减的函数。
对于所有的x和y，有F(x,y)<=F(x+δx,y)<=F(x+δx,y+δy)<=F(x,y+δy)，其中δx和δy是任意正数。
2. F(x,y)是一个右连续的函数。
对于无穷小的正数h，有lim F(x+h,y)=F(x,y)。
3. F(x,y)的边界值为lim F(±∞,y)=lim F(x,±∞)=0，lim F(±∞,±∞)=1。
此外，二维连续型随机变量的分布函数F(x,y)的偏导数f(x,y)即为概率密度函数。
也就是说，f(x,y)=∂F(x,y)/∂x∂y。
概率计算是概率论中的一个核心问题，对于二维连续型随机变量而言，其概率计算可以通过积分的方式实现。
1. 概率的计算方法对于二维连续型随机变量(X,Y)，如果要计算它的概率P(X∈A,Y∈B)，其中A和B为某个区间或集合，可以通过以下公式进行计算：P(X∈A,Y∈B)=∬_{(x,y)∈D}f(x,y)dxdy，其中D为一表示A和B的笛卡尔积的二元区域，f(x,y)为随机变量(X,Y)的概率密度函数。
二维连续型随机变量及其概率密度
2 F (x, y) f (x, y) xy
5
这表示若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则当 x, y 很小时,
P{x X x x, y Y y y} f (x, y)xy
即 (X ,Y)落在小长方形 (x, x x](y, y y] 内的概率近似 地等于 f (x, y)xy
我们指出，如果随机变量 X、Y相互独立，则任一 变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，
这时我们有
fX
Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
fX (x) fY ( y) fY ( y)
fX (x)
fY
X (y
x)
f (x, y) fX (x)
fX (x) fY ( y) fX (x)
1
S
D
,
(x, y) D ,
0,
其它
其中SD 为区域 D 的面积，则称 (X,Y) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 (X,Y) 在以圆
点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分
布，求二维联合概率密度.
解：
8
例2 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0
其它
0
问随机变量和是否相互独立的？
解：
34
例11 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
f (x, y)
1
1
(
x
1
)2
2
(x 1)(y2 ) ( y
2 )2
e 2(1
2
)
12
1 2Leabharlann 2 2,2 1 2 1 2
( x, y )
经济类概率统计 二维连续型随机变量及密度函数
返回
y
1 A
,
x, yG
0 , 其它
易知：（1）A为G的面积A=S(G)。
（2）P
X
,Y
D
S
D I A S A
（2）二维正态分布
X,Y ~
N
1
,
2 1
;
2
,
2
2
;
f x, y
e 2
1 1 2 1 2
1 2 1 2
x
1
2 1
2
2
x
1
y
1 2
2
y2 22
2
其中， 1 0, 2 0, 1
A (e2x ) (e3y ) A 1
6
0
06
故A 6.
(2)当x 0, y 0时 ，F ( x, y) x y 6e(2x3 y)dxdy 00
(1 e2 x )(1 e3 y )， 故
(1 e2x )(1 e3 y ), x 0, y 0
F(x, y)
0,
其它
(3)
f x , ydx
例1 已知（X、Y）的联合密度为：
ke2x3 y
f x, y 0
, ,
x 0, y 0 其它
求 （1）常数k ； （2）联合分布函数； （3）边缘密度函数；
（4） P2X 3Y 6
解
（1） 由
f ( x, y)dxdy
Ae (2 x3 y)dxdy 00
y x y x2
o
x
f X ( x)
f ( x, y)dy
x 6dy 6( x x 2 ),
x2
0 x1
0,
其它
fY ( y)
y
1 A
,
x, yG
0 , 其它
易知：（1）A为G的面积A=S(G)。
（2）P
X
,Y
D
S
D I A S A
（2）二维正态分布
X,Y ~
N
1
,
2 1
;
2
,
2
2
;
f x, y
e 2
1 1 2 1 2
1 2 1 2
x
1
2 1
2
2
x
1
y
1 2
2
y2 22
2
其中， 1 0, 2 0, 1
A (e2x ) (e3y ) A 1
6
0
06
故A 6.
(2)当x 0, y 0时 ，F ( x, y) x y 6e(2x3 y)dxdy 00
(1 e2 x )(1 e3 y )， 故
(1 e2x )(1 e3 y ), x 0, y 0
F(x, y)
0,
其它
(3)
f x , ydx
例1 已知（X、Y）的联合密度为：
ke2x3 y
f x, y 0
, ,
x 0, y 0 其它
求 （1）常数k ； （2）联合分布函数； （3）边缘密度函数；
（4） P2X 3Y 6
解
（1） 由
f ( x, y)dxdy
Ae (2 x3 y)dxdy 00
y x y x2
o
x
f X ( x)
f ( x, y)dy
x 6dy 6( x x 2 ),
x2
0 x1
0,
其它
fY ( y)
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概率密度一、概念介绍连续型随机变量是指取值范围为无限个数的随机变量，它的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）可以用来描述该随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。
二、概率密度函数的定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1. f(x)≥0，即非负性；2. ∫f(x)dx=1，即归一性；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx。
三、常见的连续型分布及其概率密度函数1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内每一个点的概率相等的分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b2. 正态分布正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，也称为高斯分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
3. 指数分布指数分布通常用来描述事件发生的时间间隔。
其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，x≥0其中，λ是事件发生率。
4. 伽马分布伽马分布是指一类连续型随机变量的分布，它经常用来描述风险事件的发生时间。
其概率密度函数为：f(x)=(1/Γ(α)β^α)x^(α-1)e^(-x/β)，x≥0其中，α和β是参数，Γ(α)是伽马函数。
四、概率密度函数的性质1. 概率密度函数f(x)的图像在x轴上方；2. 在任意一个区间内，概率密度函数f(x)所表示的面积即为该区间内随机变量X取值的概率；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a<X≤b)=∫abf(x)dx；4. 对于任意实数c，有P(X=c)=0。
五、连续型随机变量的期望和方差1. 期望对于连续型随机变量X，其期望E(X)定义为：E(X)=∫xf(x)dx2. 方差对于连续型随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X)=E((X-E(X))^2)=∫(x-E(X))^2f(x)dx六、总结连续型随机变量的概率密度函数是描述其概率分布情况的重要工具，常见的连续型分布包括均匀分布、正态分布、指数分布和伽马分布等。
连续型随机变量及其概率密度
a，有 P{X=a}=0
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x)
而F (x)连续，故x 0时，F (a) F (a x) 0
由此 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b}
b a
f
( x) d
x
f
x dx=P{X
F( x) P{X x} P{X xk } pk ( x∈R )
xk x
xk x
P{X xk} F(xk ) F(xk 0)
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。
得t ln2/2 0.3446(小时)。
15解：（迅速）设X为这批投保人一年内死亡的
人数，则X ~ b(5000, 0.00015), X 近似服从 (75)，
由题意，所求为P{X 10}=...
第四节 连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度的概 念与性质 二、常见连续型分布
x0
x
x0
x
若不计高阶无穷小，有P{x X x x} f (x)dx
.
P{X=x}
50 连续型随机变量x的分布函数F(x)是连续函数
因为对x，lim F (x) lim[F (x x) F (x)]
x0
x0
xx
lim f (t)dt 0 x0 x
说明： 若 X 为连续型随机变量，则对任一实数
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。
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并且概率密度 f ( x ) 也满足所谓的归一性, 也就是
f ( x )dx 1
⑷ “ 连续随机变量的点概为零” , 即连续型随机变量 X 在其任一可取点处的取值概率恒等于零; 但 “离散随机变 量的点概不尽为零”, 因为后者在其任一可取之点处的取 值概率肯定不为零.
要点重申
⑸ 连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间 的开闭与否无关, 它恒等于概率密度在该区间上的积分， 即
解: (1) 由
f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1
f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
即有C 1
36.
于是概率密度为
1 (9 x 2 ), 3 x 3, f ( x ) 36 其它. 0,
4
3
f ( x )dx 1, 得
0, x0 x （2） t dt , 0 x3 0 6 F ( x) 3 t dt x t 2 dt , 3 x 4 0 6 3 2 1, x4
0, 2 x 12 , 2 3 2x x 4, 1,
1
1
0
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 13 9x . 18 3 0 27
3
1
P{ X 2}
2
f ( x )dx
3 3
3
2
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 2 9x . 36 3 2 27
而且：
f ( x)
b a
a
S f ( x )dx
a
b
X ……. b
P{a X b} S f ( x )dx
P{ X } f ( x )dx 1
由此推出连续 型随机变量 的定义
一、 连续随机变量及其分布密度
定义1(P40.定义) 对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 若存在非负 可积 可积函数 f (x)，使得对任意实数 x，有 x 连续型的分布函数必连续 F ( x ) f ( t )d t , 则称 X 为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数， 简称为 y 概率密度或密度. 判定一个函数 f (x) 为 面积为1 某连续型随机变量的 密度函数的基本特性： y = f (x) 概率密度的充要条件 (1) f (x) 0 ；
( 2) P{ X 0}
0
1 2 f ( x )dx ( 9 x )dx 3 36
0
1 x 3 0 1 ( 27 9) 1 , (9 x ) | 3 36 2 36 3
P{1 X 1} f ( x )dx 2
1
x0 0 x3 3 x4 x4
0 F ( x) 1
不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的分 布函数却是实轴上处处连续的函数 .
要点重申
⑶ 只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f (x), 它与 分布函数 F (x) 的相互关系是
F ( x)
x
dF ( x ) f (t )dt , f ( x ) dx
1
0
P{1 X 1 } ; ⑶ 分布函数 F ( x ) .
f ( x )dx Ae dx
x 0
Ae | x|dx
Ae x dx
A ( A) 2 A ,
P{1 X 1 } 0.5 e dx 1
同样： 必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然 事件。
注意 若X是连续型随机变量， { X=a }是不可能事件，则有 P { X a } 0.
若 P{ X a} 0,
不能确定 { X a} 是不可能事件
连 续 型
若 X 为离散型随机变量,
{ X a} 是不可能事件
⑹ 连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零; 但概率为零的事件不尽为不可能事件.
Kx 2 例1 设 X ~ f ( x ) Kx 0
0 x2 2 x 3 求常数K 其它
解
由性质 得
2
f ( x )dx 1,
3 2
2
0
Kx dx Kxdx 1
点概为零的重要启示
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =
x2
x1
f ( x )dx
连续型随机变量取值落在某一区间 的概率与区间的开闭无关
(2) 若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ；
试求概率 (1) P{ X 10} ; (2)
解 (1) P{ X 10}
10
P{10 X 20}
10
.
f ( x )dx
10
20 10
0.1e 0.1 x dx
10
20 10
e
0.1 x
e
0.1 x
e 1
(2) P{10 X 20 ( t )d t
x1
b
x2
独点 概率
P(a<Xb)= P(a X< b)= P(aX b)= P(a<X<b ) P(A)= 0 A = ； P(B)=1 B = .
1
0
a f ( t )d t ,
几乎不可能事件
几乎必然事件
0 x 3 kx , x f ( x ) 2 , 3 x 4. 2 其它 0,
(1) 确定常数
k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x ); (3) 求
P{1 X 7 / 2}.
解（1） 由
x kxdx 2 dx 1, 0 3 2 解得 k 1 / 6, 于是 X 的概率密度为 x, 0 x3 6 f ( x) 2 x , 3 x 4 . 2 0, 其它
非负性 (2)
f (t )dt
X 取值于(x , x+x]的概率= F 其密度在此区间上的积分 ) F ( ) = 1 - 0 1(；
O
x1
x1
x2
x
规范性 (3) P(x 由定义 概率 公式
1< X x2) =
F(x2) - F(x1)
x1 x2
1
2
((x (4) 若 f (x) 在点 x 处连续， )d f (x )f ; ( t )d t f ( t )d t则 xFf t) t x x x lim lim f ( x) dx = 0 =0 . P ( x f0( t )X d t;x0 x ) 可微性 (5) P( X = x0 ) x 0 x x 0x
P { X a } 0.
离 散 型
要点重申
⑴ 分布函数F (x) 的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷 区间 (－∞, x ] 上的取值概率, 即
F ( x ) P{ X x }
⑵ 只要函数 F (x) 是随机变量 X 的分布函数, 那就必有
F () 0 ,
F () 1
下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量 — 连续型随机变量的描述方法.
第三讲 连续型随机变量及其概率密度
连续随机变量; 密度函数及其性质; 均匀、指数与正态分布
(1) 定义的引出
设离散型随机变量X在［a, b］内取n个值: x1=a, x2, x3, x4,… , xn=b． 概率 小矩形高
1o 2o
f ( x) 0
f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 概率密度的充要条件
面积为1
o
x
密度函数的几何意义
P (a X b)＝ f (t )dt
a
b
密 度 函 数 曲 线 位 于 x 轴 上 方
即 y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。
P
小矩形宽度
X的概率 直方图：
s1
即小矩形的面积为 Ｘ取对应点的概率
s2 s3
sn
x1=a x2
n
x3
…….
xn=b
X
P{a X b} si ＝折线下面积之和！
i 1
若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内连续 取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 f ( x ).
P
f ( x)
解之得
6 K 31
6 2 31 x ， 0 x 2 6 X ~ f ( x) x， 2 x 3 31 其它 0，
例2 设连续型随机变量 X 具有概率密度
f ( x ) Ae | x| , x
求 ⑴ 常数A ；⑵ 概率 解
然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是 说零概率事件也是有可能发生的。如 X为被测灯泡的寿 命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而 P (X=1000)=0， 但事件 (X = 1000) 是一定会 发生的，否则不会出现事件 (X >1000)，所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是 不可能事件。