连续型随机变量及其概率密度
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概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
连续型随机变量及其概率密度函数
是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
连续型随机变量及其概率密度
1. 均匀分布
设连续型随机变量
X
具有概率密度f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
说明：
对c, l R, 如果(c, c l ) (a, b), 则
cl
l
P(c X c l ) c
f ( x)dx ba
1
( x )2
e , 2 2
2
x
, ( 0)为常数, 则称X服从正态分布,记作:X : N(, 2).
0, 1时, X : N (0,1)
概率密度: ( x)
1
x2
e2
2
说明：
f(x)满足概率条件: f(x) 0,
+ f(x)dx 1 -
证明(2): 令 x- t, 则x t, dx dt
解 : (1) 由概率密度的定义 :
f ( x)dx 1
-
f ( x)dx
3 C(9 x2 )dx 1
-
-3
C 1 36
(2)
P{ X 0}
0 -3
1 36
(9
x2 )dx
1 36
(9x
x3 3
)
|03
1 2
P{1 X 1} 1 1 (9 x2 )dx 13
-1 36
k 0
n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似
上式 1 N 3k e3 0.01
k0 k !
N 3k e3 0.99
k0 k !
查泊松分布表，最小N=8。至少配8名维修工。
第三节连续型随机变量及其概率密度
则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
连续型随机变量及其概率密度
a，有 P{X=a}=0
0 P{X a} P{a x X a} F(a) F(a x)
而F (x)连续，故x 0时，F (a) F (a x) 0
由此 P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b}
b a
f
( x) d
x
f
x dx=P{X
F( x) P{X x} P{X xk } pk ( x∈R )
xk x
xk x
P{X xk} F(xk ) F(xk 0)
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。
得t ln2/2 0.3446(小时)。
15解：（迅速）设X为这批投保人一年内死亡的
人数，则X ~ b(5000, 0.00015), X 近似服从 (75)，
由题意，所求为P{X 10}=...
第四节 连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度的概 念与性质 二、常见连续型分布
x0
x
x0
x
若不计高阶无穷小，有P{x X x x} f (x)dx
.
P{X=x}
50 连续型随机变量x的分布函数F(x)是连续函数
因为对x，lim F (x) lim[F (x x) F (x)]
x0
x0
xx
lim f (t)dt 0 x0 x
说明： 若 X 为连续型随机变量，则对任一实数
Ⅰ：确定X及其分布，A={X∈L} Ⅱ：P{X∈L}= →F(x) 【分布律、概率密度f(x)】 →高等数学、 F(x) 、分布律、密度函数f(x)的性质、 各种概型的规律。
连续型随机变量及其概率密度函数
§2.4 连续型随机变量及其概率密度函数
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
一、连续型随机变量的概念 定义2.8 设随机变量 的分布函数为 F (x ) ，若存在非负可 设随机变量X的分布函数为 定义 积函数 f (x )，使得对于任意实数 x ，都有 x （2—15） ） F ( x ) = ∫ f ( x )dx
∞
则称X为连续型随机变量， 则称 为连续型随机变量， 称 f (x )为X的概率密度函数 的 （Probability Density Function），简称概率密度或密度 ），简称概率密度或密度. ），简称概率密度或密度 由定义可知，连续型随机变量X的分布函数 由定义可知，连续型随机变量 的分布函数 F (x)在x点的函 点的函 上的积分． 数值等于其概率密度函数 f (x )在区间( ∞, x] 上的积分． 类似于离散型随机变量， 类似于离散型随机变量，连续型随机变量 f (x )的概率密度 函数具有如下基本性质： 函数具有如下基本性质：
P { x1 < X ≤ x 2 } = Φ ( x2
σ
) Φ(
x1
σ
)
关于标准正态分布，一个重要的公式是： 关于标准正态分布，一个重要的公式是：对于任意实数 x . Φ ( x) + Φ ( x) = 1 (2-31) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了. 这可用 Φ(x ) 的定义证明或由下图说明．这里就不做证明了
∞
σ x+
1 2π σ
( x )2
2σ
2
e
∫
x ∞
1 2π
e
t2 2
dt
(令 σ = t ) 令
x
所以 X * ~ N (0, 1).
这样我们便有如下定理： 这样我们便有如下定理： 2 定理2.2 若 X ~ N ( , σ )，其分布函数为F ( x ) ，则对任意 定理 实数 ，有 x （2—29） ） F (x) = Φ ( )
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dt
0
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第23页
2. 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质
1 f ( x) e 2 ( x- )2 2 2
,- x
(1) f(x) 关于 是对称的. 在 点 p(x) 取得最大值. (2) 若 固定, 改变, f(x)左右移动, 形状保持不变.
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第3页
下面根据这些数据绘制频率分布直方图．
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第4页
从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中 间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多， 往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称．
f(x) σ 小 0 μ x
σ大 (3) 若 固定, 改变, 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第24页
标准正态分布N(0, 1)
密度函数记为 (x), 分布函数记为 (x).
( - x )
2
(x)
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第17页
2. 指数分布
设连续型随机变量X具有概率密度
x 1 - x0 e f ( x) 0 x0 则称X服从参数为θ 的指数分布。记作X~E(θ).
其分布函数为
F ( x) P( X x)
x - x 1 - e f (t )dt 0
1. 定义 若X的概率密度为
1 f ( x) e 2
( x- )2 2 2
,- x
其中μ,σ(σ>0)为常数，则称X服 从参数为μ,σ2的正态分布或高 斯（Gauss）分布。记作 X～ N（μ,σ2） 分布函数为：
F(x)
F ( x)
x
1 2
-
e
( x- )2 2 2
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第15页
分布函数为：
f ( x) a
F( x)
xa 0, x-a F ( x) a xb b - a xb 1,
b
x
a
b
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第16页
例3
X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立 观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.
P(a<Xb) = F(b)-F(a).
4. P(X=a) = 0 5. F(x)为连续函数。 F(a-0) = F(a).
4. 点点计较 5. F(x)为阶梯函数。 F(a-0) F(a).
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第9页
例1 设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（ -<x<+ ） 试求: (1) 常数A ；(2) P{0<X<2}；(3) 分布函数F(x). 解 (1) 由
样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中的小 矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小， 那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑 曲线 y f ( x)，我们把这条曲线叫做概率密度曲线（如图）．
第2章
第5页 §2.3 连续型随机变量及其概率密度 概率密度曲线精确地反映了随机变量 在各个范围内取值 的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做 的概率密度
第2页
为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的女 生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm） 167 154 159 166 169 159 156 166 162 158 159 156 166 160 164 160 157 151 157 161 158 158 153 158 164 158 163 158 153 157 162 162 159 154 165 166 157 151 146 151 158 160 165 158 163 163 162 161 154 165 162 162 159 157 159 149 164 168 159 153
a b
(4) 在f(x)的连续点处有：
f ( x) F ' ( x)
(5) 连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而 且是连续函数。 (6) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 由性质(6)可得：
P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b}
x0 x0
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第18页
指数分布的另一种表示形式 若随机变量X的密度函数为
e - x , f ( x) 0,
x0 x0
f ( x)
0
x
其中λ＞0是常数，则称X服从参数 为λ的指数分布。记作X~E(λ). 分布函数为
1 - e - x , F ( x) 0, x0 x0
F ( x) P{X x} f (t )dt
- x
则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数， 简称为概率密度或密度函数或密度。 二、性质 (1) f(x)≥0
(2)
-
f ( x)dx 1
1
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第7页
二、性质
(3) P{a X b} f ( x)dx
100 0
100 -
f ( x)dx
0.002e-0.002 x dx 1 - e-0.2 0.1813
（2）P{能无故障使用600 h以上} P( X 600)
600
0.002e-0.002 xdx e-1.2 0.3012
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
f ( x)dx
a b
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第8页
离散型
1. 分布列: pn = P(X=xn)
2. F(x) =
xi x
连续型
1. 密度函数 X ~ p(x) 2. F ( x) p(t )dt
- x
P( X x )
i
3.
F(a+0) = F(a);
函数． 如图， 在区间（a，b）内取值的概率 P(a b)恰好为 图中阴影部分的面积． 在区间（-∞，a）取值的概率 P( a) 恰好是位于曲线与x轴之间，直线x＝a左侧部分图形的面积．
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第6页
§2.3
连续型随机变量及其概率密度
一、定义 如果对于随机变量X的分布函数，存在非负 可积函数f (x) ，使对任意实数x，有
P{a X b} F (b) - F (a - 0)
f(x)
P(a X b) F (b - 0) - F (a)
0
x
x -
P(a X b) F (b - 0) - F (a - 0)
F ( x) P{ X x} f ( x)dx
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第14页
2.3.2 常见的连续型随机变量的分布 1 、均匀分布 如果随机变量X的概率密度为
1 , a xb f ( x) b - a 0, 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为 X～U[a,b] d d 1 d -c 由P{c x d } f ( x)dx dx c c b-a b-a 可知X落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间 的长度成正比，而与该小区间的位置无关．
第10页
1 -x (3) F ( x) e dx - 2 1 x x 1 x 当x<0时， F ( x) e dx e 2 - 2 当x≥0时, 1 x -x 1 0 x 1 x -x 1 -x F ( x) e dx e dx e dx 1 - e 2 - 2 - 2 0 2
解: 因为 P(A) = P(B), 且由A、B 独立，得 P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) = 2P(A) - [P(A)]2 = 3/4 从中解得: P(A)=1/2, 由此得 0<a <2 , 23 a3 2 因此 1/2 = P(A) = P( X > a ) x dx 1 a 8 8 3 从中解得 a 4
F( x) 1
0
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
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指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电 子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间 都常假定服从指数分布．
特别：指数分布具有无忆性，即： P( X > s+t | X > s )=P( X > t )
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
- -x
f ( x)dx 1 得：
0
-
Ae dx 2 A
e- x dx 2 A 1
故：A = 0.5；
1 2 -x 1 - e-2 (2) P{0 X 2} e dx 0.4323 2 0 2
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度