连续型随机变量及其概率密度
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连续型随机变量及其概率密度
(3) 计算落入各子区间内观测值频数 ni 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) 频数 6 频率 0.06
(131.5, (135.5, (139.5, (143.5, (147.5, (151.5,
135.5) 139.5) 143.5) 147.5) 151.5) 155.5)
设连续型随机变量 X 的分布函数为
x a, 0, x F ( x ) A B arcsin , a x a , a x a. 1, 求 : (1) 系数 A, B 的值; a ( 2) P{ a X }; 2 ( 3) 随机变量 X 的概率密度.
例1 某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
连续型随机变量及其概率密度函数
是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验 证f(x)性质中 的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理 意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
连续型随机变量及其概率密度
1. 均匀分布
设连续型随机变量
X
具有概率密度f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b) 区间上服从均匀分布,记为 X ~ U (a, b).
说明：
对c, l R, 如果(c, c l ) (a, b), 则
cl
l
P(c X c l ) c
f ( x)dx ba
1
( x )2
e , 2 2
2
x
, ( 0)为常数, 则称X服从正态分布,记作:X : N(, 2).
0, 1时, X : N (0,1)
概率密度: ( x)
1
x2
e2
2
说明：
f(x)满足概率条件: f(x) 0,
+ f(x)dx 1 -
证明(2): 令 x- t, 则x t, dx dt
解 : (1) 由概率密度的定义 :
f ( x)dx 1
-
f ( x)dx
3 C(9 x2 )dx 1
-
-3
C 1 36
(2)
P{ X 0}
0 -3
1 36
(9
x2 )dx
1 36
(9x
x3 3
)
|03
1 2
P{1 X 1} 1 1 (9 x2 )dx 13
-1 36
k 0
n大，p小，np=3，用=np=3的泊松近似
上式 1 N 3k e3 0.01
k0 k !
N 3k e3 0.99
k0 k !
查泊松分布表，最小N=8。至少配8名维修工。
第三节连续型随机变量及其概率密度
则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x
连续型随机变量及其概率密度
密度函数的验证
⑴．对任意的 x，有 f x 0；
a
b
⑵． f xdx f xdx f xdx f xdx
a
b
b
1
dx
a ba
由此可知，
f
x
b
1
a
0
a xb 其它
确是密度函数．
均匀分布的分布函数
则 X的分布函数为
若随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，
0
F
x
x b
1
所以 A是不可能事件 P( A) 0 反之则不成立
如何求分布函数
F(x) Pk
xk x
离散 阶梯函数
x
F(x) f(t)dt -
连续 连续函数
若概率密度f(x)为分段函数,则积分也要分段考虑.
例1 P71 18(2)
设随机变量X的密度函数为
x 0 x 1
f x 2 x 1 x 2
§4 连续型随机变量及其概率密度
概率密度及其性质 均匀分布 指数分布 正态分布
一、定义：对于随机变 量 X的分布函数 F (x),若存在非负可积函数
f(x) 使 x R , 有
F(x)
x
-
f(t)dt
则称 X为连续型随机变量 , f ( x)为X的概率密度函数或概率 密度.
二、性质 : 00 连续型随机变量的分布 函数F ( x)必为连续函数 (离散
0.1}
0.1 f(x)dx
0.1 3e 3xdx
e 3x
0.1
e 0.3
F
(
x)
0 x
0
3e3t dt
1
e3x
x0 x0
五、常见的连续型分布 （一）、均匀分布
连续型随机变量与概率密度函数
连续型随机变量与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念之一，它描述了在一次试验中可能发生的不确定事件的数值结果。
随机变量分为离散型和连续型两种。
在本文中，我们将重点介绍连续型随机变量以及与之相关的概率密度函数。
连续型随机变量是指在一定区间内可能取任意实数值的随机变量，其结果可以是无限多的。
与离散型随机变量相比，连续型随机变量通常与测量、计量有关，例如时间、长度、重量等。
为了描述这种连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数的概念。
概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。
它在某个取值点上的值并不代表概率，而是表示这个点附近的概率密度。
具体来说，对于概率密度函数f(x)而言，它满足以下两个条件：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负；2. 在概率密度函数的取值范围内，其面积等于1，即∫f(x)dx = 1。
概率密度函数与概率的关系可以通过累积分布函数来进行描述。
累积分布函数F(x)定义为概率密度函数f(x)在某一取值点x及其左侧区间上的积分，即：F(x) = ∫[a,x]f(t)dt其中a表示概率密度函数f(x)的定义域起点。
连续型随机变量的期望值和方差也可以通过概率密度函数来计算。
对于一个随机变量X，其期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx通过概率密度函数的求积分运算，我们可以计算出连续型随机变量的期望值和方差，从而更好地理解和描述随机变量的特征。
在实际应用中，连续型随机变量与概率密度函数经常用于模型建立、数据分析和统计推断等领域。
例如，在物理学中，速度、温度、能量等变量通常是连续型随机变量，通过概率密度函数的分析，可以研究其分布规律以及相应的统计特性。
在金融学中，股票价格的变化、利率的波动等也可以视为连续型随机变量，利用概率密度函数可以预测未来风险并制定相应的投资策略。
总结起来，连续型随机变量与概率密度函数的概念和应用在概率论和统计学中至关重要。
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f (x)
p l ba
l
l
1
a
ba
o
bx
分布函数
0,
x a,
F(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1
1,
x b.
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
(二) 指数分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
1 ex
,
F
(
x
)
1
e
x
,
x 0,
0,
其他.
(4.8)
1 , 1, 2时F ( x)的图形如下
3
性质(4.9)称为无记忆性. 如果X是某一元件的 的寿命, 那么(4.9)式表明: 已知元件已使用s小时, 它总共能使用至少s t小时的条件概率, 与从开 始 使 用 时 算 起 它 至 少 能使 用t 小 时 的 概 率 相 等.这 就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆.
6当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
S1
x2 f ( x)d x
x1
1
S1
o
x1 x2
x
同时得以下计算公式
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
f ( x) d x f ( x) d x
f ( x)d x f ( x)d x f ( x)d x.
连续型随机变量的分布函数是连续函数.
2.概率密度函数的性质
1 f ( x) 0;
2
f ( x)dx 1;
3 对于任意实数x1,x2 ( x1 x2 ),
P{ x1
X
x2}
F ( x2 )
F ( x1 )
x2 x1
f
( x)dx;
4 若f ( x)在点x处连续, 则有F ( x) f ( x).
型
二、常见连续型随机变量及其概率分布
(一)均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
(4.5)
0,
其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b).
概率密度函数图形
f (x)
均匀分布概率密度函数演示
a
o
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
x 0,
f (x)
(4.7)
0,
其他,
其中θ 0为常数, 则称 X 服从参数为 的指数分布.
易知f ( x) 0, 且 f ( x)dx 1. 图2-11画出了
1 , 1, 2时f ( x)的图形.
3
图2-11
由(4.7)式容易得到随机变量X的分布函数为
连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布
一、概率密度的概念与性质
1.概率密度函数的定义
如果对于随机变量X的分布函数F ( x), 存在 非负函数f ( x), 使对于任意实数x有
x
F( x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量, 其中函数f ( x)称为X的 概率密度函数, 简称概率密度.
令 ( x ) t, 得到
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt
2
2
记 I e t2 2dt, 则有 I 2 e(t2u2 ) 2dt du
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
I 2 2 rer2 2drd 2 00
(三) 正态分布 正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N( μ,σ2 ).
高斯资料
显然f ( x) 0, 下面来证明 f ( x)dx 1.
证明 (2)
1 F() f (x)d x.
(3) P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1 )
x2 f ( x) d x x1 f ( x) d x
x2 f ( x)d x.
x1
f (x)
S f ( x)d x 1
2 当x 时取到最大值 f () 1 . 2
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 , 改变 的值, 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定. 称
为位置参数.
P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{X a} 0.
连
若 P{ X a} 0,
续 型
则不能确定{X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
而 I 0, 故有 I 2 , 即有
于是
e t2 2dt 2 ,
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt 1.
2
2
f ( x)的图形如图所示.
性质:
1 曲线关于x 对称. 这表明对于任意h 0, 有 P{ h X } P{ X h}.
a
a
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F ( x) f ( x).
注意 对于任意指定值 a, 连续型随机变量取 a的概 率等于零. 即 P{X a} 0.
证明 P{X a} lim
a x
f ( x)d x 0.
x0 a
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
p l ba
l
l
1
a
ba
o
bx
分布函数
0,
x a,
F(x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1
1,
x b.
ao
b
x
均匀分布分布函数图形演示
(二) 指数分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
1 ex
,
F
(
x
)
1
e
x
,
x 0,
0,
其他.
(4.8)
1 , 1, 2时F ( x)的图形如下
3
性质(4.9)称为无记忆性. 如果X是某一元件的 的寿命, 那么(4.9)式表明: 已知元件已使用s小时, 它总共能使用至少s t小时的条件概率, 与从开 始 使 用 时 算 起 它 至 少 能使 用t 小 时 的 概 率 相 等.这 就是说, 元件对它已使用过s小时没有记忆.
6当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对 称轴不变, 而形状在改变, σ 越小, 图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
S1
x2 f ( x)d x
x1
1
S1
o
x1 x2
x
同时得以下计算公式
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
a
f ( x) d x f ( x) d x
f ( x)d x f ( x)d x f ( x)d x.
连续型随机变量的分布函数是连续函数.
2.概率密度函数的性质
1 f ( x) 0;
2
f ( x)dx 1;
3 对于任意实数x1,x2 ( x1 x2 ),
P{ x1
X
x2}
F ( x2 )
F ( x1 )
x2 x1
f
( x)dx;
4 若f ( x)在点x处连续, 则有F ( x) f ( x).
型
二、常见连续型随机变量及其概率分布
(一)均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
(4.5)
0,
其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b).
概率密度函数图形
f (x)
均匀分布概率密度函数演示
a
o
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
x 0,
f (x)
(4.7)
0,
其他,
其中θ 0为常数, 则称 X 服从参数为 的指数分布.
易知f ( x) 0, 且 f ( x)dx 1. 图2-11画出了
1 , 1, 2时f ( x)的图形.
3
图2-11
由(4.7)式容易得到随机变量X的分布函数为
连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布
一、概率密度的概念与性质
1.概率密度函数的定义
如果对于随机变量X的分布函数F ( x), 存在 非负函数f ( x), 使对于任意实数x有
x
F( x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量, 其中函数f ( x)称为X的 概率密度函数, 简称概率密度.
令 ( x ) t, 得到
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt
2
2
记 I e t2 2dt, 则有 I 2 e(t2u2 ) 2dt du
利用极坐标将它化成累次积分, 得到
I 2 2 rer2 2drd 2 00
(三) 正态分布 正态分布的概率密度函数
若连续型随机变量X 的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x μ 2σ2
)2
x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为μ, σ 的
正态分布或高斯分布. 记为 X ~ N( μ,σ2 ).
高斯资料
显然f ( x) 0, 下面来证明 f ( x)dx 1.
证明 (2)
1 F() f (x)d x.
(3) P{ x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1 )
x2 f ( x) d x x1 f ( x) d x
x2 f ( x)d x.
x1
f (x)
S f ( x)d x 1
2 当x 时取到最大值 f () 1 . 2
3在x 处曲线有拐点;
4曲线以 x 轴为渐近线;
5如果固定 , 改变 的值, 则图形沿着Ox
轴平移, 而不改变其形状, 可见正态分布的概率密
度曲线 y f ( x)的位置完全由参数 所确定. 称
为位置参数.
P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{X a} 0.
连
若 P{ X a} 0,
续 型
则不能确定{X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
而 I 0, 故有 I 2 , 即有
于是
e t2 2dt 2 ,
1
e
(
x )2 2 2
dx
1
e t2 2dt 1.
2
2
f ( x)的图形如图所示.
性质:
1 曲线关于x 对称. 这表明对于任意h 0, 有 P{ h X } P{ X h}.
a
a
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F ( x) f ( x).
注意 对于任意指定值 a, 连续型随机变量取 a的概 率等于零. 即 P{X a} 0.
证明 P{X a} lim
a x
f ( x)d x 0.
x0 a
P{a X b} P{a X b} P{a X b}