连续型随机变量及其概率密度详解
概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度
x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数
密度函数是描述连续型随机变量取值 规律的工具，通常用大写字母f(x)表示 ，f(x)在x处的函数值表示随机变量在x 点附近取值的“概率密度”。
性质与定理
非负性
密度函数f(x)在整个实数范围 内都是非负的，即f(x)≥0。
正态分布
又称高斯分布，是一种连续概率分布。正态分布 是自然界中最常见的分布之一，许多自然现象和 社会现象都服从或近似服从正态分布。其密度函 数呈钟形曲线，关于均值对称。
指数分布
常用于描述某些随机事件发生之间的时间间隔， 如无线电通信中的信号到达间隔等，其密度函数 呈指数形式衰减。
其他分布
除了上述三种分布外，还有许多其他类型的连续 型随机变量分布，如t分布、F分布、贝塔分布等 。这些分布在实际问题中也有广泛的应用。
03 概率计算与应用
概率计算公式及方法
概率密度函数
常用的概率分布
对于连续型随机变量，其概率通过概率 密度函数进行描述，该函数表示随机变 量在某个取值点附近的概率分布情况。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如正态分布、均匀分布、指数分布等，这些 分布具有特定的概率密度函数和累积分布函 数形式，可用于描述不同类型的随机现象。
累积分布函数
性质
多维随机变量具有一维随机变量的一些基本性质，如分布函数性质、独立性等。此外， 多维随机变量还具有一些特殊的性质，如多维随机变量的每一个分量都是一维随机变量。
联合密度函数概念及性质
要点一
概念
对于多维连续型随机变量(X1, X2, ..., Xn)，如果存在非负可积 函数f(x1, x2, ..., xn)，使得对Rn中的任意区域D，有P{(X1, X2, ..., Xn) ∈ D} = ∫∫...∫f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn，则 称f(x1, x2, ..., xn)为(X1, X2, ..., Xn)的联合密度函数。
连续型随机变量及其概率密度
问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布 ：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x
连续型随机变量的分布与例题讲解
解设学生成绩X~N( )，由题设知应有
从而得
即
查表得 解之得
故知，X~N( )
又设该大学实录线为a，由题设知：
即
查表得
即是说该大学的实录线约为512分。
（三）对数正态分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
=2×=
引理若 则
证 的分布函数为
令 得 可知
基 本 内 容
备 注
于是，若 则它的分布函数 可写成：
对于任意区间 ，有
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
例如，设X~N(1,4)，则
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:
1) f(x)≥0
2)
3)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 （但{X=x}并不一定是不可能事件）
因此P(a≤X≤b)= P(a<X<b)= P(a≤X<b) = P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
4）若f(x)在点x处连续，则
分布函数性质
i) 0≤F(x)≤1；
ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；
记为 相应的概率密度函数和分布函数分别记为
易知 。
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X~N(0,1)，查表计算：
(1) P(X≤；(2) P(X>；(3) P(|X|<.
解(1)P(X≤=Φ=
(2)P(X> =1- P(X≤=1-Φ=
连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量的概率密度一、概念介绍连续型随机变量是指取值范围为无限个数的随机变量，它的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）可以用来描述该随机变量在某个取值范围内的概率分布情况。
二、概率密度函数的定义对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：1. f(x)≥0，即非负性；2. ∫f(x)dx=1，即归一性；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a≤X≤b)=∫abf(x)dx。
三、常见的连续型分布及其概率密度函数1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内每一个点的概率相等的分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(b-a)，a≤x≤b2. 正态分布正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，也称为高斯分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
3. 指数分布指数分布通常用来描述事件发生的时间间隔。
其概率密度函数为：f(x)=λe^(-λx)，x≥0其中，λ是事件发生率。
4. 伽马分布伽马分布是指一类连续型随机变量的分布，它经常用来描述风险事件的发生时间。
其概率密度函数为：f(x)=(1/Γ(α)β^α)x^(α-1)e^(-x/β)，x≥0其中，α和β是参数，Γ(α)是伽马函数。
四、概率密度函数的性质1. 概率密度函数f(x)的图像在x轴上方；2. 在任意一个区间内，概率密度函数f(x)所表示的面积即为该区间内随机变量X取值的概率；3. 对于任意实数a和b（a<b），有P(a<X≤b)=∫abf(x)dx；4. 对于任意实数c，有P(X=c)=0。
五、连续型随机变量的期望和方差1. 期望对于连续型随机变量X，其期望E(X)定义为：E(X)=∫xf(x)dx2. 方差对于连续型随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X)=E((X-E(X))^2)=∫(x-E(X))^2f(x)dx六、总结连续型随机变量的概率密度函数是描述其概率分布情况的重要工具，常见的连续型分布包括均匀分布、正态分布、指数分布和伽马分布等。
第三节连续型随机变量及其概率密度
则称X服从0 1分布.
这时X的分布函数为：
F(x)
1
0， x p，0
0， x
1，
1， x 1.
2. 二项分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，，n，且分布律为：
P(X
k)
C
k n
pk qnk，k
0，1，，n，0
p
1，q
1
p，
则称X服从二项分布， 记为：X～B(n，p). 3. 泊松分布：若随机变量 X所有可能取值为 0，1，2,，且分布律为：
2
Acos
xdx
2 A sin
x
2
0
2 A，
2A 1，
(2) (3)
P(0 X
当x
2
时4，) F
( x042)故12coAsxxdf12x(.t)d12t
sin
x
4
0
x
0dt
2 4
.
0.
当
2
x
2
时，
F
(
x)
2 0dt
x
2
1 2
cos
tdt
1 2
(sin
x
1).
当x
2
时，F
6
三、几种常见的连续型分布
1. 均匀分布：设X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b，
0， 其它.
则称X在区间[a，b]上服从均匀分布，记为 X～U[a，b].
0， x a，
易求X的分布函数为
F
(
x
)
x b
a a
，a
1， x
w4-2-§4 连续型随机变量及其概率密度
练习1: 有一批晶体管，已知每只的使用寿命X为 连续型随机变量,其概率密度函数为
( c 为常数)
(1) 求常数 c； 解(1)
c = 1000
故
练习1: 有一批晶体管，已知每只的使用寿命X为 连续型随机变量,其概率密度函数为
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只 晶体管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500 小时只有一个损坏的概率。 解(2) 设事件A表示一只晶体管的寿命小于1500小时, 则
一、 连续型随机变量及其概率密度
理解： (1) 只有连续型随机变量才有概率密度函数。 (2) 如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么 分布函数 F(x) 在 x 处的函数值就表示 X 落在区间 (-, x]上的概率。 (3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数。
一、 连续型随机变量及其概率密度
a.
b. 对于任意区间（x1，x2］，有：
练习1：设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6) 解：
练习2 已知 求 P ( X < 0 ).
解一
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
练习2 已知 求 P ( X < 0 ).
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
P{ X 1} 2 (1) 1 = 0.6826 P{ X 2} 2 (2) 1 = 0.9544
P{ X 3} 2 (3) 1 = 0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3，3] 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。
4. 计算概率
（1）ＸＮ(0，1) （2）ＸＮ(, 2)
理解：(3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数。
连续型随机变量与概率密度函数
连续型随机变量与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念之一，它描述了在一次试验中可能发生的不确定事件的数值结果。
随机变量分为离散型和连续型两种。
在本文中，我们将重点介绍连续型随机变量以及与之相关的概率密度函数。
连续型随机变量是指在一定区间内可能取任意实数值的随机变量，其结果可以是无限多的。
与离散型随机变量相比，连续型随机变量通常与测量、计量有关，例如时间、长度、重量等。
为了描述这种连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数的概念。
概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。
它在某个取值点上的值并不代表概率，而是表示这个点附近的概率密度。
具体来说，对于概率密度函数f(x)而言，它满足以下两个条件：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负；2. 在概率密度函数的取值范围内，其面积等于1，即∫f(x)dx = 1。
概率密度函数与概率的关系可以通过累积分布函数来进行描述。
累积分布函数F(x)定义为概率密度函数f(x)在某一取值点x及其左侧区间上的积分，即：F(x) = ∫[a,x]f(t)dt其中a表示概率密度函数f(x)的定义域起点。
连续型随机变量的期望值和方差也可以通过概率密度函数来计算。
对于一个随机变量X，其期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx通过概率密度函数的求积分运算，我们可以计算出连续型随机变量的期望值和方差，从而更好地理解和描述随机变量的特征。
在实际应用中，连续型随机变量与概率密度函数经常用于模型建立、数据分析和统计推断等领域。
例如，在物理学中，速度、温度、能量等变量通常是连续型随机变量，通过概率密度函数的分析，可以研究其分布规律以及相应的统计特性。
在金融学中，股票价格的变化、利率的波动等也可以视为连续型随机变量，利用概率密度函数可以预测未来风险并制定相应的投资策略。
总结起来，连续型随机变量与概率密度函数的概念和应用在概率论和统计学中至关重要。
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x1 x 2
S1
x
(5) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ) x p( x)dx
证明
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
(3) 计算落入各子区间内观测值频数 ni 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, ···, m；
子区间 (127.5, 131.5) 频数 6 频率 0.06
(131.5, (135.5, (139.5, (143.5, (147.5, (151.5,
135.5) 139.5) 143.5) 147.5) 151.5) 155.5)
12 24 28 18 8 4
0.12 0.24 0.28 0.18 0.08 0.04
(4)
以小区间 [ti-1，ti] 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, …, m) 为高作一系列小矩形，组成了频 率直方图，简称直方图。
由于概率可以由频率近似， 因此这个直 方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。 用上述直方图刻画随机变量 X的概率分布 情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画 X的概 率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同 时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分 组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来 越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量 X 的概率密度曲线，可用来准确地刻画 X 的概 率分布情况。
第4.3节
连续型随机变量 及其概率密度
一、连续型随机变量及其概率密度 二、常见连续型随机变量的分布
三、小结
连续型随机变量 X 所有可能取值充满若 干个区间。对这种随机变量，不能象离散型 随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用“概率密度函数”表 示随机变量的概率分布。
一 频率直方图Leabharlann 这100个数据中，最小值是128，最大值是155。
作频率直方图的步骤
(1)先确定作图区间 [a, b] ; a = 最小数据-ε/ 2，b = 最大数据+ε/ 2，
ε 是数据的精度。 本例中 ε = 1, a = 127.5, b = 155.5 。
(2)确定数据分组数 m = 7，组距 d = (b − a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, ···, m；
密度函数的性质
(1)
(2)
p( x ) 0 ；
p( x ) dx 1 ；
这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。
f(x)与 x 轴所围 面积等于1。
(3) 对 p(x)的进一步理解： 若x是 p(x)的连续点，则 x x p( t )dt P( x X x x) lim lim x x 0 x 0 x x = p (x ) ， 故, X的概率密度函数p (x)在 x 这一点的值, 恰 好是X 落在区间 [x , x +△x]上的概率与区间长 度△x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为 质量, p(x)相当于物理学中的线密度。
P { X a } lim a
x 0
a x
p( x ) d x 0.
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有 P { X a } 0.
若 P{ X a } 0,
连 续 型
则不能确定{ X a } 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
{ X a } 是不可能事件 P{ X a } 0.
离 散 型
p( x )
S1 x p( x ) d x
1
x2
1
0
x2
1
例1 某工厂生产一种零件，由于生产过程中各 种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测 得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:
129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.
二
概率密度函数
设 X为 随 机 变 量 ，F ( x )为X 的 分 布 函 数 ,若 存 在 非负可积函数 p( x ), 使 对 于 任 意 实 数 x有 F ( x)
x
p( t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量 , 其 中 p( x ) 称 为 X 的 概 率密度函数 ,简 称 概 率 密 度 .
若不计高阶无穷小，有：
P{ x X x x } p( x )x .
表示随机变量 X 取值于(x , x +△ x]上的概率 近似等于 p(x) × △x 。 p(x) × △x 在连续型随机变量中所起的作用 与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作 用类似。
(4) 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的 概率等于零.即 P { X a } 0. 证明