随机变量及其概率分布典型例题
高三数学随机变量的分布列试题
高三数学随机变量的分布列试题1.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(<X<)的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝．于是P(<X<)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝，故选D．2. [2014·四川模拟]在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()A．B．C．D．【答案】C【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为pk＝p k(1－p)4－k(k＝0,1,2,3,4)，∴p0＝p0(1－p)4＝(1－p)4，由条件知1－p＝，∴(1－p)4＝，∴1－p＝，∴p＝.∴p1＝p·(1－p)3＝4××()3＝，故选C.3.[2014·唐山检测]2013年高考分数公布之后，一个班的3个同学都达到一本线，都填了一本志愿，设Y为被录取一本的人数，则关于随机变量Y的描述，错误的是()A．Y的取值为0,1,2,3B．P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝1C．若每录取1人学校奖励300元给班主任，没有录取不奖励，则班主任得奖金数为300Y D．若每不录取1人学校就扣班主任300元，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300Y【答案】D【解析】由题意知A、B正确．易知C正确．对于D，若每不录取1人学校就扣班主任300元奖金，录取不奖励，则班主任得奖金数为－300(3－Y)＝300Y－900.4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.【答案】（1）ξ的分布列为（2）3∶2∶1【解析】(1)由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝＝；当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝＝；当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝＝；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝＝；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的分布列为ξ23456由已知得到：η有三种取值即1，，所以η的分布列为所以，所以b＝2c，a＝3c，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.5.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(3)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．【答案】（1）0.5（2）0.8（3）ξ0123【解析】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品；记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品；记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种；记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·B＋A·B，P(C)＝P(A·B＋A·B)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)·P(B)＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)D＝A·B，P(D)＝P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P(D)＝0.8.(3)ξ～B(3，0.8)，故ξ的分布列P(ξ＝0)＝0.23＝0.008；P(ξ＝1)＝×0.8×0.22＝0.096；P(ξ＝2)＝×0.82×0.2＝0.384；P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．【答案】（1）、、（2）X的分布列为【解析】(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝＝，P(A2)＝××＝，P(A3)＝××＝.所以，甲队以3∶0、3∶1、3∶2胜利的概率分别是、、；(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)＝××＝.由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，P(X＝1)＝P(A3)＝，P(X＝2)＝P(A)＝，4P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.故X的分布列为7.一个袋子中装有7个小球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4，黄球3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取4个小球（假设取到任一小球的可能性相等）.（1）求取出的小球中有相同编号的概率；（2）记取出的小球的最大编号为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)随机变量的分布列为：346随机变量的数学期望 .【解析】(1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数；(2) 随机变量的可能取值为.计算相应概率即得随机变量的分布列为：数学期望 .试题解析：(1)：设取出的小球中有相同编号的事件为，编号相同可分成一个相同和两个相同 2分4分(2) 随机变量的可能取值为：3，4，6 6分， 7分， 8分9分所以随机变量的分布列为：346所以随机变量的数学期望 . 12分【考点】古典概型，互斥事件，离散型随机变量的分布列及数学期望.8.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动)．若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．【答案】(1)(2)【解析】(1)设事件A表示该顾客中一等奖，P(A)＝×＋2××＝，所以该顾客中一等奖的概率是.(2)X的可能取值为20,15,10,5,0，P(X＝20)＝×＝，P(X＝15)＝2××＝，P(X＝10)＝×＋2××＝，P(X＝5)＝2××＝，P(X＝0)＝×＝.所以X的分布列为数学期望E(X)＝20×＋15×＋10×＋5×＝.9.辽宁某大学对参加全运会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X，求随机变量X的分布列．(3)求X的数学期望．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则P(E)＝1－P( )＝1－P()P()P( )＝1－××＝.(2)由题意，得X的可能取值是，2，，3.因为P(X＝)＝P()＝，P(X＝2)＝P(A )＋P(B)＋P(C )＝，P(X＝)＝P(AB)＋P(A C)＋P( B C)＝＝，P(X＝3)＝P(ABC)＝，所以X的分布列为：(3)由(2)知E(X)＝×＋2×＋×＋3×＝＝.10.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是．【答案】.【解析】由题意，则.【考点】随机变量的期望和方差.11.一个盒子中装有分别标有数字1、2、3、4的4个大小、形状完全相同的小球，现从中有放回地随机抽取2个小球，抽取的球的编号分别记为、，记.（Ⅰ）求取最大值的概率；（Ⅱ）求的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）所以的分布列：数学期望.【解析】(1)随机变量的分布列问题,首先确定随机变量的所有可能值;(2))本题属古典概型,各随机变量所对应的事件包含的基本事件无法用公式求出,需一一列举出来.列举时要注意避免重复和遗漏，这是极易出错的地方试题解析：（Ⅰ）当时，最大。
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
随机变量及其概率分布典型例题
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结, 及典型
知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布
函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函
布列.
3. 连续型随机变量及其概率密
数及边际概率密度.
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
度函数.
4. 常用的随机变量.
1 1
0 0
e
x y
dxdy 1 e1 .
2
随机变量及其概率分布典型例题解析
X \Y 7.设二维随机变量 X , Y 的联合概率分布为 1 2 1 1
5 20 3 20 2 20 3 20
返回
2
6 20 1 20
.求(1) X Y ; (2) X Y 的概率分布.
1 1 P X k 2 1 k 3. 3 ,故 P X k 3 ,即 F k 3 ,从而
5) 3 x 6时，F x dx
dx 0dx 1.
6
0 x
1
解
1) 1
f x, y dxdy
题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二
随机变量及其分布列习题(含解析)
一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。
《概率论与数理统计》习题随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P α723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时0)(=x X ϕ当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X xdy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ.8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,181)3(,91)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X －Y 的分布律______. iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{max()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{min(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π 解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B).21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度:当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m i n (1))2,(m i n ()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m i n (1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m i n (1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m i n(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.13)()1(1===A P X P1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====P P A P A P X P1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii. 每次抽取后总以一个正品放回X 1 2 3 4p13101311133⋅ 1312132133⋅⋅ 1331321311⋅⋅⋅ 1310)()1(1===A P X P1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|a r c s i n 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dxX P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当－1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时⎰⎰∞--=-==xdt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x t d t dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x xϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤= 当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219928181)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解.i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数
概率计算练习题随机变量的分布函数与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念，它是一种随机现象的数值表示。
概率计算是概率论的核心内容之一，通过计算随机变量的分布函数和概率密度函数，我们可以更好地理解和分析随机事件的发生概率。
本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固对随机变量的分布函数和概率密度函数的理解。
练习题一：离散型随机变量设随机变量X的分布列为：X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4----------------------------------P(X=x) | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.21. 求随机变量X的分布函数F(x)。
解析：分布函数F(x)定义为P(X≤x)，根据分布列可以求得如下分布函数：F(0) = P(X≤0) = 0.2F(1) = P(X≤1) = 0.2 + 0.3 = 0.5F(2) = P(X≤2) = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6F(3) = P(X≤3) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 = 0.8F(4) = P(X≤4) = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 = 12. 求随机变量X的概率密度函数f(x)。
解析：概率密度函数f(x)只对连续型随机变量有意义，对于离散型随机变量，f(x)恒为0。
因此，对于该题中给定的随机变量X，概率密度函数f(x)不存在。
练习题二：连续型随机变量设随机变量Y的密度函数f(y)如下：f(y) = 0.5，0≤y≤2f(y) = 0，其他1. 求随机变量Y的分布函数F(y)。
解析：分布函数F(y)定义为P(Y≤y)，根据密度函数可以求得如下分布函数：F(y) = ∫[0, y] f(t)dt根据密度函数的定义域可知，在区间[0, y]上f(t)=0.5，因此：F(y) = ∫[0, y] 0.5dt = 0.5y，0≤y≤2F(y) = ∫[0, y] 0dt = 0，其他2. 求随机变量Y在区间[1, 2]上的概率P(1 ≤ Y ≤ 2)。
概率论典型例题
20
4
故Y
~
B
⎛ ⎜⎝
3,
1 4
⎞ ⎟⎠
。
于是
C P{Y = 2} =
2⎛ 3 ⎜⎝
1 4
⎞2 ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
3 4
⎞ ⎟⎠
=
9 64
。
注：本例既需要掌握二项分布的由来及其概率分布，还需掌握连续型随机变
量由密度函数求其在某个区间上的取值概率。 有离散也有连续，需要区分清楚，
掌握牢固，这是容易出问题的地方。
解：(1)当 y > 0 时，
FY ( y) = P(Y
≤
y)
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
=
P
⎛ ⎜⎝
1 X
≤
0
⎞ ⎟⎠
+
P
⎛ ⎜⎝
0
<
1 X
≤
y
⎞ ⎟⎠
当 y < 0 时，
=
P(X
<
0) +
⎛ P⎜
⎝
X
≥
1 y
⎞ ⎟ ⎠
=
FX
(0) +1−
FX
⎛ ⎜ ⎝
1 y
⎞ ⎟
；
⎠
FY ( y) =
P(Y
≤
X2 0
1
4
9
pk 0.1 0.3 0.3 0.3
注：对离散型随机变量，其函数的分布列的求法比较简单。只要从分布列定
义中包含的两部分：可能取值与对应概率出发，必定能求出。
另外，值得提醒的是，如果分布列中有未知参数，一定要通过分布列的性质
（一般是归一性的应用），将其求出，再进行其他计算。
专题练 第22练 随机变量及其分布
第22练随机变量及其分布1．(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p 等于()A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3答案 B解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)<P(X＝6)，所以C410p4(1－p)6<C610p6(1－p)4，所以p>0.5，所以p＝0.6.2．(2019·浙江)设0<a<1，则随机变量X的分布列是X 0 a 1P 131313则当a在(0,1)内增大时，() A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大答案 D解析由题意可知，E(X)＝13(a＋1)，所以D (X )＝(a ＋1)227＋(1－2a )227＋(a －2)227＝6a 2－6a ＋627＝29⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122＋34，所以当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．3．(2021·新高考全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N (10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 答案 D解析 对于A ，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B 正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D 错误．4．(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X 的均值E (X )＝54125×1＋36125×2＋8125×3＝150125＝65.5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 答案 1.96解析 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.6．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P (ξ＝2)＝________，E (ξ)＝________. 答案1635 127解析 由题意知ξ的可能取值为1,2,3,4， P (ξ＝1)＝C 26C 37＝1535＝37，P (ξ＝2)＝C 12C 24＋C 22C 14C 37＝1635， P (ξ＝3)＝C 23C 37＝335，P (ξ＝4)＝1C 37＝135，所以ξ的分布列为E (ξ)＝1×37＋2×1635＋3×335＋4×135＝127.7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与均值． 解 (1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ，B ，C ， 所以甲学校获得冠军的概率为P ＝P (ABC )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2 ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30， 所以P (X ＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P (X ＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44， P (X ＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34， P (X ＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06. 则X 的分布列为E (X )＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.8．(2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与均值E (X )． 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1425211021521142E (X )＝0＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2.9．(2022·温州模拟)已知随机变量X 的分布列是X －1 0 1 Pa13b若E (X )＝0，则D (X )等于( ) A ．0 B.13 C.23 D ．1答案 C解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋13＝1，E (X )＝－a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝13，因此，D (X )＝13[(－1－0)2＋(0－0)2＋(1－0)2]＝23.10．(2022·常州模拟)俄国著名飞机设计师埃格·西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的.1992年，为了在远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障相互独立．已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则A340飞机引擎的故障率应控制的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫0，23D.⎝⎛⎭⎫0，13 答案 C解析 由题意得，飞机引擎正常运行的概率为p ，则A310飞机能成功飞行的概率为C 22p 2＝p 2，A340飞机能成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋C 44p 4＝－3p 4＋4p 3， 令－3p 4＋4p 3>p 2，即－3p 2＋4p >1， 解得13<p <1.所以0<1－p <23，所以A340飞机引擎的故障率应控制的范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 11．(多选)(2022·重庆质检)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产量已经实现1 100公斤．现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量(分别记为ξ，η)均服从正态分布，其中ξ～N (μ1，σ21)，η～N (μ2，σ22)．如图，已知μ1＝1 150，μ2＝1 130，σ21＝2 500，σ22＝1 600，两正态密度曲线在直线x ＝μ2左侧交于点M (x 0，y 0)，则下列说法正确的是( )A ．P (ξ<μ1)<P (ξ<μ2)B ．P (η<μ1)>P (η<μ2)C ．P (ξ>x 0)<P (η>x 0)D ．P (ξ>1 250)>P (η<1 050) 答案 BC解析 由图可知P (ξ<μ1)>P (ξ<μ2)，故A 错误； 由图可知P (η<μ1)>P (η<μ2)，故B 正确； ∵P (ξ>x 0)＝1－P (ξ≤x 0)，P (η>x 0)＝1－P (η≤x 0)， 由图可知P (ξ≤x 0)>P (η≤x 0)， ∴P (ξ>x 0)<P (η>x 0)，故C 正确； μ1＝1 150，σ1＝50，μ2＝1 130，σ2＝40， P (ξ>1 250)＝P (ξ>μ1＋2σ1)， P (η<1 050)＝P (η<μ2－2σ2) ＝P (η>μ2＋2σ2)，根据正态密度曲线的性质和3σ原则，应该有P (ξ>1 250)＝P (η<1 050)，故D 错误． 12．(多选)(2022·唐山模拟)下列说法正确的是( )A ．某投掷类游戏闯关规则是参加游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为12，则闯关成功的概率为3132B ．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生的概率为C 15C 314C 415C ．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a i (i ＋1)(i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)＝29D ．若随机变量η～N (2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P (η<2)＝0.5，E (δ)＝6 答案 AC解析 选项A,5次都没投中的概率为⎝⎛⎭⎫125＝132.所以闯关成功的概率为1－132＝3132，故A 正确； 选项B ，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有1名女生分为1名女生、3名男生，2名女生、2名男生，3名女生、1名男生，4名都是女生4种情况．共有C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45＝1 155(种)情况．而C 15C 314＝1 820，所以其中至少有1名女生的概率为C 15C 310＋C 25C 210＋C 35C 110＋C 45C 415≠C 15C 314C 415，故B 不正确； 选项C ，由P (X ＝i )＝ai (i ＋1)(i ＝1,2,3)， 则a ⎝⎛⎭⎫12＋16＋112＝1，解得a ＝43， 所以P (X ＝2)＝43×12×3＝29，故C 正确；选项D ，随机变量η～N (2，σ2)，则P (η<2)＝0.5，E (η)＝2，所以E (δ)＝E (3η＋1)＝3E (η)＋1＝7，故D 不正确．13．(2022·咸阳模拟)经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为________． 答案 0.35解析 ∵学生成绩X 服从正态分布X ～N (85，σ2)，且P (80<X <90)＝0.3， ∵P (X ≥90)＝12[1－P (80<X <90)]＝12(1－0.3)＝0.35， ∴从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35.14．(2022·绍兴模拟)袋子中有3个白球，2个红球，现从中有放回地随机取2个球，每次取1个，且各次取球间相互独立．设此过程中取到红球的个数为ξ，则P (ξ＝1)＝______，E (ξ)＝______. 答案1225 45解析 有放回地取球，每次取一球， 则每次取到红球的概率为C 12C 15＝25，P (ξ＝1)＝C 12×25×35＝1225， 在此过程中取到的红球个数为ξ，ξ的可能取值为0,1,2. 则ξ～B ⎝⎛⎭⎫2，25，则E (ξ)＝2×25＝45. 15．(2022·武汉模拟)某校高三年级非常重视学生课余时间的管理，进入高三以来，倡导学生利用中午午休前40分钟，晚餐后30分钟各做一套试卷．小红、小明两位同学都选择做数学或物理试卷，对两位同学过去100天的安排统计如下：假设小红、小明选择科目相互独立，用频率估计概率：(1)请预测在今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率；(2)记X 为两位同学在一天中选择科目的个数，求X 的分布列和均值E (X )；(3)试判断小红、小明在晚上做物理试卷的条件下，哪位同学更有可能中午选择做数学试卷，并说明理由．解 (1)由表格数据知，小红中午和晚上都选数学的概率为25100＝14，∴今后的5天中小红恰有3天中午和晚上都选数学的概率P ＝C 35×⎝⎛⎭⎫143×⎝⎛⎭⎫342＝45512. (2)由表格数据知，小红选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为14，选择物理1科的概率为110；选择2科的概率为1120；小明选择0科的概率为110；选择数学1科的概率为15，选择物理1科的概率为310；选择2科的概率为25；则X 所有可能的取值为0,1,2， ∴P (X ＝0)＝110×110＝1100，P (X ＝1)＝110×⎝⎛⎭⎫15＋310＋110×⎝⎛⎭⎫14＋110＋14×15＋110×310＝33200， P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－1100－33200＝3340，∴X 的分布列为E (X )＝0×1100＋1×33200＋2×3340＝363200.(3)记事件A 1：小红晚上做物理试卷；事件A 2：小明晚上做物理试卷； 事件B 1：小红中午做数学试卷； 事件B 2：小明中午做数学试卷； 由表格数据可得 P (A 1)＝30100＝310，P (A 2)＝55100＝1120，P (A 1B 1)＝20100＝15，P (A 2B 2)＝25100＝14；∴P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝15310＝23，P (B 2|A 2)＝P (A 2B 2)P (A 2)＝141120＝511，∵23>511，即P (B 1|A 1)>P (B 2|A 2)， ∴在晚上做物理试卷的条件下，小红更有可能中午选择做数学试卷．16．(2022·桂林模拟)某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化、精细化管理，使得葡萄产量有较大提高．葡萄采摘并去掉残次品后，随机按每箱10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量(单位：kg)，将称量结果分成5组：[1.0，1.2)，[1.2,1.4)，[1.4,1.6)，[1.6,1.8)，[1.8，2.0]，并绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x (残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表)；(2)若这批葡萄每串葡萄的质量X 服从正态分布N (μ，0,04)，其中μ的近似值为每串葡萄质量的平均值x ，请估计10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数；(3)规定这批葡萄中一串葡萄的质量超过1.8 kg 的为优等品，视频率为概率，随机打开一箱，记优等品的串数为ξ，求ξ的均值．附：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解 (1)由频率分布直方图可知，0.2(0.4＋1.0＋2a ＋2.0)＝1，解得a ＝0.8. 估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值x ＝1.1×0.4×0.2＋1.3×1.0×0.2＋1.5×2.0×0.2＋1.7×0.8×0.2＋1.9×0.8×0.2＝1.524. (2)由题意可知，μ＝1.524，σ＝0.2， 所以μ－2σ＝1.124，μ＋2σ＝1.924， μ－σ＝1.324，μ＋σ＝1.724.所以P (1.124<X <1.724)＝P (μ－2σ≤X ≤μ＋σ)＝12[P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＋P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)]≈0.818 6. 所以10 000箱葡萄中质量位于(1.124,1.724)内的葡萄的串数的估计值为 10 000×0.818 6×10＝81 860.(3)在这批葡萄中随机抽取一串，葡萄的质量超过1.8 kg 的频率为0.8×0.2＝0.16， 因此随机打开一箱，再从中随机抽取一串，这串葡萄为优等品的概率为P ＝0.16＝425，依题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…，10，且ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，425， 所以ξ的均值为E (ξ)＝10×425＝85.[考情分析] 高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上．一、分布列的性质及应用 核心提炼1．离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n离散型随机变量X 的分布列具有两个性质： (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； (2)∑i ＝1np i ＝1(i ＝1,2,3，…，n )．2．E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝∑i ＝1nx i p i ；D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i .3．均值、方差的性质(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )． (2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． (3)X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 练后反馈题目 2 4 7 9 正误错题整理：二、随机变量的分布列 核心提炼1．n 重伯努利试验与二项分布X ～B (n ，p )，P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 2．超几何分布一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品．从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝m ，m ＋1，m＋2，…，r .其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ， m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }． 练后反馈题目 1 5 6 8 10 12 14 15 正误错题整理：三、正态分布 核心提炼 正态曲线的特点(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π.(3)曲线与x 轴之间的区域的面积总为1.(4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 练后反馈题目 3 11 13 16 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下表：ξ 1 a 9 Pb1－2bb其中1<a <9,0<b <12，则下列说法正确的是( )A ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而增大B ．若a ＝5，则当0<b <12时，E (ξ)随b 的增大而减小C ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最小值D ．若b ＝13，则当a ＝5时，D (ξ)有最大值答案 C解析 若a ＝5，则E (ξ)＝1×b ＋5×(1－2b )＋9b ＝5，故A ，B 均错误； 若b ＝13，则E (ξ)＝1×13＋a ×13＋9×13＝a ＋103，D (ξ)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1032＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－a ＋1032＝127(6a 2－60a ＋438)， 其对称轴为直线a ＝6012＝5，则a ＝5时，D (ξ)有最小值，故C 正确，D 错误．2．[T12补偿]某公司采用网络远程面试招聘新员工，其面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的应聘者才可通过面试．已知应聘者小王在6道备选题中有4道题能正确完成，2道题不能完成，则小王正确完成面试题数的均值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 设小王正确完成的面试题数为X ，则X 的可能取值为1,2,3. P (X ＝1)＝C 22·C 14C 36＝420＝15；P (X ＝2)＝C 12·C 24C 36＝1220＝35；P (X ＝3)＝C 02·C 34C 36＝420＝15.∴E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2.3．[T10补偿](2022·重庆模拟)通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低(低于0.1%)时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为0.000 5.若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当0<p <0.001时，(1－p )n ≈1－np (n ∈N *)，据此计算E (X )∶E (Y )的近似值为( ) A.12 B.1427 C.611 D.59 答案 B解析 由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行“10合1”混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次， 概率分别为(1－p )10和1－(1－p )10，故10人组检测次数的均值为11－10(1－p )10，相当于每个个体平均检测[1.1－(1－p )10]次， 同理，采用“5合1”混检，每个个体平均检测 [1.2－(1－p )5]次，∴E (X )∶E (Y )＝1.1－(1－p )101.2－(1－p )5≈1.1－(1－10p )1.2－(1－5p )＝0.1＋10p 0.2＋5p ＝0.1＋0.0050.2＋0.002 5＝1427.4．[T6补偿]盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P (ξ＝0)＝________，E (ξ)＝________. 答案 131解析 当ξ＝0时，有两种情况： 第一种为第一次拿到红球，第二种为第一次拿到绿球，第二次拿到红球， 故P (ξ＝0)＝14＋14×13＝13.当ξ＝1时，有三种情况，即黄红、绿黄红、黄绿红， 故P (ξ＝1)＝24×13＋14×23×12＋24×13×12＝13.当ξ＝2时，有四种情况，即黄黄红、黄绿黄红、绿黄黄红、黄黄绿红， 故P (ξ＝2)＝24×13×12＋24×13×12＋14×23×12＋24×13×12＝13.所以E (ξ)＝0×13＋1×13＋2×13＝1.5．[T8补偿]某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响． (1)当p ＝15时，①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量X ，求X 的分布列和均值；(2)乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲、乙两人各答2道题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p (0<p <1)的最小值．解 (1)①记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲自己答对”， 则P (A )＝12＋12×15＝35，P (AB )＝12，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1235＝56.②根据题意得，X 的可能取值为0,1,2,3,4， 甲答对某道题的概率P (A )＝12＋12×15＝35，则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，35， P (X ＝k )＝C k 4×⎝⎛⎭⎫35k ×⎝⎛⎭⎫254－k (k ＝0,1,2,3,4)， 故随机变量X 的分布列为E (X )＝4×35＝125.(2)记事件A i 为“甲答对了i (i ＝0,1,2)道题”， 事件B i 为“乙答对了i (i ＝0,1,2)道题”， 其中甲答对某道题的概率为12＋12p ＝12(1＋p )，答错某道题的概率为1－12(1＋p )＝12(1－p )，则P (A 1)＝C 12×12(1＋p )×12(1－p ) ＝12(1－p 2)， P (A 2)＝⎣⎡⎦⎤12(1＋p )2＝14(1＋p )2， P (B 0)＝⎝⎛⎭⎫132＝19， P (B 1)＝C 12×23×13＝49， 所以P (A 1B 0∪A 2B 1∪A 2B 0)＝12(1－p 2)×19＋14(1＋p )2×49＋14(1＋p )2×19＝136×(3p 2＋10p ＋7)≥1536， 又0<p <1，所以23≤p <1，则p 的最小值为23.。
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5.设随机变量
X
的概率密度为
f
x
1 3
2 9
, ,
0,
x 0,1;
x 0,1;
,若
PX
k
2 3
,求
k 的取值范围.
其他.
解答
6.设二维随机变量 X ,Y 的联合密度为
f
x
cex y,
0,
x 0, y 0; 其他.
.求(1)常数 c
PX
x
x
f
xdx :
1)
注意到 y x,否则 y x时 PY y X x 0,由此得:
xn
xn
P Y y
P X x PY yX x
e p q x x!
y xy
x!
y!x y !
q 1 p
x y
x y
e e py n qxy
y!
x y !
n y
p y
q k
y!
k!
x y
k 0
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系 第8讲 随机变量及其概率分布习题课
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结,及典型 题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二 项,Poisson,均匀,指数,正态(具体内容见第12单元)),多维随机变 量(二维为主),随机变量的独立性,随机变量的分布函数.
解 若将7:00作为计算时间起点,则乘客到达时刻X 服从均匀分布: X ~ U0,30 ,为使等候时
间不超过5分钟,当且仅当乘客在7:10到7:15之间活7:25到7:30之间到站,故所球概率为:
P P10 X
15 P25 X
30
15
10
1 30
dx
30
25
1 30
dx
1 3
.
随机变量及其概率分布典型例题解析 返回
P
X
3
1 C53
1 10
;
类似地
P
X 4
C32 C53
3 10
;
P
X 5
; C42
6
C53
10
制成表格有: X 3 4 5
P1 3 6 10 10 10
此即X的概率分布.
2. 某汽车占从上午7时起每15分钟发一般车,即7:00,7:15, …始发,如果乘客在7:00-7:30任一 时刻到达车站,试求乘客等候时间不超过5分钟的概率.
教学难点：随机变量函数的分布,边际分布,随机变量的独立性. 知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
布列. 3. 连续型随机变量及其概率密
度函数. 4. 常用的随机变量.
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布 函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函 数及边际概率密度.
间不超过5分钟的概率. 解答
3.
随机变量 X 的概率密度为
f
x
A,
1 x2
x 1;
0, x 1.
,求(1)系数 A ;(2)
X 落在
1 2
,
1 2
内的概率;(3) X
的分布函数 F
x
.
解答
4.设一只昆虫所产虫卵数X服从Poisson分布P .而每个虫卵发育为幼虫的概率为 ,且每个虫卵是否发育为幼虫始相互
f
x,
y
1 2
e x2 y2
,求 Z
X 2 Y 2 的概率分布密度 z. 解答
9.设某班车站上客人数X 服从参数为 的Poisson分布,每位乘客在中途下车的概率为 p0 p 1 ,且中途下车与否相互
独立,以 Y 表示在中途下车的人数求:
(1)在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m 人下车的概率. 解答
(2)二维随机变量X ,Y 的概率分布.
随机变量及其概率分布典型例题解析 返回
1. 袋中有5球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,用X表示取出的3球中编号最大的号码,试求X 的概率分布.
解 X 的可能取值为3,4,5.只有取出的3球号码分别时1,2,3时(此时只有一种取法),事件
{X=3}才发生,由古典概型:
1 2
,
F
1 2
x
2
1
1 2
1 x
PX x
dx
2
0;
1
arc sin x
2
1 2
1 3
.
当 1 x 1时,
F x P X x
x 1
dt 1t 2
1
arcsin
x
1 2
;
F
当 x 1时, F x PX x 1 dt 1. 1 1t 2
x
0,
1
arc s in
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
随机变量及其概率分布典型例题
1. 袋中有5球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,用 X 表示取出的3球中编号最大的号码,试求 X 的概率分布. 解答
2. 某汽车占从上午7时起每15分钟发一般车,即7:00,7:15, …始发,如果乘客在7:00-7:30任一时刻到达车站,试求乘客等候时
;(2)分布函数F x, y ;(3)边际分布函数和
边际概率密度;(4)概率P0 X 1,0 Y 1. 解答
X \Y 1 1 2
7.设二维随机变量 X ,Y 的联合概率分布为 1
5 20
2 20
6 .求(1)
20
X Y
;
(2)
X Y 的概率分布.
解答
2
3
31
20 20 20
8.设X ,Y
的概率分布密度
n
n 时，P Y y
p y
y!
e eq
p y
y!
ep ,
y 0,1,2, .
由此可见: Y ~ Pp .
随机变量及其概率分布典型例题解析 返回
5.设随机变量
X
的概率密度为
f
x
1 3
2 9
, ,
0,
x 0,1;
x 0,1;
,若
PX
k
2 3
,求
k 的取值范围.
其他.
解
先求出 X
的分布函数 Fx
x
1 2
,
1,
x 1; 1 x 1;
x 1.
4.设一只昆虫所产虫卵数X服从Poisson分布P .而每个虫卵发育为幼虫的概率为 ,且每个虫卵是否发育为幼虫始相互
独立的,求一只昆虫所生幼虫数 Y 的概率分布.
解
按题意
PX
x
x x!
e , x
0,1,2,
,
Y ~ Bx, p,
P Y y X x Cxy p yqxy , y 0,1,2, , x.
3.
随机变量 X 的概率密度为
f
x
A,
1 x2
x 1;
0, x 1.
,求(1)系数 A ;(2)
X 落在
1 2
,
1 2
内的概率;(3) X
的分布函数 F
x
.
解 1由1
f xdx
1 1
A 1 x2
dx
A arcsin
x1 1
A ,
A
1
.
1
1
2
3
P X
当 x 1时,