连续型随机变量及其概率密度-PPT精选
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第七讲 连续型随机变量及其概率密度
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
1 2σ 2 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ ( x μ )2
的正态分布或高斯分布, 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
正态概率密度函数的几何特征
解
(1) 由
f ( x) d x 1,
x 1 得 kx d x ( 2 ) d x 1, 解之得 k . 0 3 2 6 1 ( 2) 由 k 知 X 的概率密度为 6
3 4
x 0 x 3, , 6 x f ( x) 2 , 3 x 4, 2 0, 其它.
分布函数
1 e x , x 0, F ( x) . x0 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 , 电力设备的寿命, 动物的寿 命等都服从指数分布.
例4 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 =1/2000的指数分布(单位:小时)
书后列出了标准正态分布表.
对于x 0，我们可以直接查表求出( x) P( X x) 如果x 0，我们可由公式( x) 1 ( x)
例5 已知 X ~ N (0,1), 求 P{1.25 X 2}.
解
P {1.25 X 2}
( 2) (1.25)
由此可得
P {a X b } P {a X b} P {a X b} P {a X b}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
注意 设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P { X a } 0.
连续性随机变量分布函数PPT详解
1
f ( x)dx
b
dx (b a)
∴ =1/(b-a).
a
d 1
d c
(2) P{c X d}
dx
c ba ba
（一）均匀分布 若连续型随机变量X的概率密度函数为
f
(x)
b
1
a
,
a
x
b
0, else
则称X在(a, b)上服从均匀分布，记为 X ~ U (a, b)
易知， f ( x) 0,
a
f ( x)dx
0
20
③ F(a) = F(a)
④ F(a) = 2F(a) 1
练习
2.设X为连续型随机变量，其分布函数为：
F
(
x)
A
Be
2
x
,
x0
C,
x0
求:(1)A ,B,C (2) f(x) (3) P{-2<X<1}
练习
3、设X与Y 同分布，X 的概率密度为
f
(
x)
3 8
x
2
Z的概率密度： x
1
x2
e2
2
Z的分布函数：(x) x
y ( x)
y
1 t2 e 2 dt
2
(x)
(x)
xx 1
x 0 x
x
29
标准正态分布N(0, 1)
(x)
密度函数记为 (x),
分布函数记为 (x).
(1) (0) 1 , 2
( x)
1 (x)
x 0 x
x
(2) ( x) 1 (x)
2
3 P{ X C } 3F (C ) 3(C 3) 2
连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
2021/5/11
33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
2021/5/11
36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
2021/5/11
P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
2021/5/11
27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
2021/5/11
28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
2-3.连续型随机变量的概率密度函数ppt
X越落平f在(缓xμ),的值表最附明大 近X取的值值概为越率分越f 散大.;反之21,当σ越大,则y=f(x)的图形
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
f (x)
0
x
28
连续型随机变量
（2）分布函数
若 X ~ N ， 2 ，则其分布函数为
x
Fx f tdt
1
x (t )2
e 2 2 dt x
2
若 X ~ N 0， 1，则其分布函数为
该乘客候车时间不超过5分钟的概率．
解：设该乘客于7时X 分到达乘到此客7站:3到0,之达X间此服的站从均的匀区时随间间机是[变0,73量:000]
上的均匀分布．其 密 度 函 数 为
f
x
1 30
0 x 30
0 其 它
令：B={候车时间不超过5分钟 },则
PB P10 X 15 P25 X 30
0
x
25
连续型随机变量
密度函数的验证
xdx
只验证
f
x dx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
作变换：u x ， 则 du dx
1
x2
e 2 dx 1
2
则有
见高等 数学 （下） 二重积 分
1
x 2
e 2 2 dx
2
x2
( e 2 dx 2 )
1
1
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
20
连续型随机变量
例 6 设随机变量Y 服从区间 1， 3上的均匀分布，
试求方程 4x 2 4Y x (Y 2) 0 有实根的概率．
解
常见连续型随机变量的分布ppt课件
故 b=-1.65
最新课件
26
正态变量的标准化
定理 若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
最新课件
12
三、正态分布
定义设连续型随机X变 的量 概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
最新课件
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
最新课件
18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
最新课件
最新课件
21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
最新课件
26
正态变量的标准化
定理 若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
最新课件
12
三、正态分布
定义设连续型随机X变 的量 概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
最新课件
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
最新课件
18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
最新课件
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21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
2.2连续型随机变量及概率密度33页PPT
教学要求：
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
1. 理解连续型随机变量的概率密度及性质; 2. 掌握正态分布、均匀分布和指数分布; 3. 会应用概率密度计算有关事件的概率.
一.连续型随机变量的密概度率 二. 几种常用的连续型分布 三.正态分布 四. 注意事项及课堂练习
一、连续型随机变量的概率密度
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这 种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而 是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
f (x)
面积为1
o
x
( 3 )P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2 f ( x ) d ;x
(4)在 f(x)的连,F 续 (x)点 f(x);处
在 f(x)的不连 ,F续 (x)不 点 存 ;处 在
F( x)
x b
a a
,
1 ,
xa a xb xb
2.
指数分布 若 r.vX的概率密度为：
f
(x)
1
x
e
,
x0
0, x 0
其 中 0 为,则 常 X 服 称 数 从 的 参 指 数 . 数
记X 为 ~E().
其分布函数为: F(x)1ex, x0
0,
x0
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.
ex4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(以分计)服 从指数分布，其密度函数为
f (x) 15e15x 0
x0 其它
某顾客等待时间超过10分钟，他就离开.一个月他去银
行5次.以X表示一个月内他未等到服务而离去的次数，
若连续型随机变量X的概率密度函数为精选课件
有f (x拐) 以点μ为(对称, 轴，1
2
e
);
即正(4曲态)当f 线(分fxx)(布yx→=)N以f((1∞x2x)时向轴,(e，左为2()xf2右水的(2x)2伸平密))→展渐度 0时近函+(2,2x,线数2(越x;图来23)形e)越2(的ex2贴(2特x)22近2点)2x:轴.
若两固f 头定( x低)，决,中改定22变间1了1高图的e3,形[值左(x2e中，右2)(2峰x[2对2的)2称2陡(的xf(峭(x“)程2峰)2,度])”2反=e0之状(，x亦22然)2 ]，
的正态分布，写出 X 的概率密度，并求该地区明年 8 月份降雨量
超过250mm的概率. 解 ∵ X～N (185 , 282)，
f (x)
1
e
(
x 185 )2 2282
28 2
,
x
所求概率为
P(X
> 250) =
1-
P(X
250)
1(
250 185 ) 28
= 1-(2. 32) = 1- 0. 9898 = 0. 0102 .
类似可得 (u/2 )= 1- /2 ，
可查表得值
若 X～N( , 2)时，要求满足 P(X >x0 )= 的 x0 ：
(u )= 1- u
x0
u
x0 u
§4 随机变量函数的分布
已知圆轴截面直径 d 的分布，
求截面面积 A= d 2 的分布.
4
再如, 已知t =t 0 时刻噪声电压V 的分布, V
x
x
( x)
！
例7(P64.例20) 设 X～N(0, 1)，求 P(X < 0. 5), P(X > 2. 5)及
高等数学第三节连续型随机变量及其概率密度函数
▲ P() 0 (不可能的事件的概率为0),但概率
为零的事不一定是不可能事件.
概率统计
2. 概率密度函数的性质
性质1 f ( x) 0
性质2
f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定 一个函数 f(x) 是否 为某随机变量 X 的 概率密度函数的充 要条件.
面积为1
o
x
概率统计
性质3
F ( x0 x) F ( x0 )
x0x f (t)dt x0
当 x 0时， 两边取极限：
0
P(X
x0 )
lim
x0
x0x f (t)dt
x0
0
P( X x0 ) 0
概率统计
注 ▲ 这个结论的意义:
(1). P( X x0 ) 0 从积分的几何意义上说，当 底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零。
(2).由此可知连续型随机量X 在某区间上取值的 概率只与区间长度有关，而与区间是闭、开、 半开半闭无关，即有:
P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 )
P( x1 X x2 )
x2 x1
f ( x)dx
F ( x2 ) F ( x1 )
概率统计
注 P( x X x x) F( x x) F(x)
不计高阶 无穷小
x x
x f (t) dt
f ( x)x
b
(相当于积分中值定理 f ( x)dx f ( x)(b a) ) a
这表示落在区间 ( x, x x] 上的概率近似等 于 f ( x)x ，称 f ( x)x 为概率微分。
P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明：
f (x)
对 c,lR, 如 果 (c,cl)(a,b), 则
cl
l
P(cXcl)c
f(x)dx ba
•
a
o
•
b
x
X落在(a,b)任子区间的概率只与区间宽度有关，与区间位置无关
例 3 向 区 间 [ 0 , a ] 上 任 意 投 点 , 用 X 表 示 该 点 坐 标 . 设 该 点 落 在 ( 0 , a ) 中 任 一 子 区 间 的 概 率 与 区 间 长 度 成 正 比 , 与 区 间 位 置 无 关 . 求 :( 1 ) 概 率 密 度 f ( x ) ;( 2 ) X 落 在 [a 3,3 4 a)的 概 率 .
x3 3
)|0312
P { 1X 1 }11(9x 2)d x1 3
- 13 6
2 7
P {X2}31(9x2)dx2
236
27
例2 某型号电子元件的寿命X的概率密度函数为:
(1) 任取一只,其寿命大于1500小时的概率;
1000 f(x)= x2
x>1000
求: ((32))
任取4只, 寿命均大于1500小时的概率; 任取4只, 至少有1只寿命大于1500的概率.
0
其它
(4) 若已知一元件寿命大于1500小时,则其
寿命大于2000小时的概率是多少?
解 : X 为 连 续 型 随 机 变 量 , 设 A i { 第 i 个 元 件 寿 命 大 于 1 5 0 0 } ( i 1 , 2 , 3 , 4 )
( 1 )P 1= P ( X > 1 5 0 0 ) =1 + 5 0 0f ( x ) d x=1 + 5 0010 x0 20dx10 x 001 5 002 3
( 2 ) P 2 = P ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) = P ( A i ) 4 = [ P ( X > 1 5 0 0 ) ] 4
=(1 + 5 0010 x0 20dx)4(2 3)41 86 1
( 3 )P 3= P ( A 1U A 2U A 3U A 4) = 1 - P (A 1) P (A2) P (A3) P (A4)
X:U (2,5),
f(x) 5 1 -2 1 3 0
2< x< 5 其 它
5
5
P (A )P (X3) f(x)dx 3
3
1 3
dx
2 3
设Y为3次独立观测中A发生的次数
Y :b (3 , 2 3 ) b (3 ,P (A ))
P ( Y 2 ) C 3 2 ( 2 3 ) 2 1 3 C 3 3 ( 2 3 ) 3 2 2 7 0
解 :根 据 题 意 ,X :U [0 ,a ]
(1) f(x)=0a1
0x<a 其它
3a
(2)P(a 3X<34 a)=a4 f(x)dx 3
3a
4 a
1 a
dxa1152a
152
3
例4 随机变量X 服从(2，5)上均匀分布，现对X 进行3次独
立重复观察，试求至少有2次观测值大于3的概率？
解：令A={观测值大于3}
2. f(x)dx=1.
3. a,bR (ab),
成立P{aXb}
b
f(x)dx
a
则称X为连续型随机变量, f(x)称为X的概率密度.
说明：
f(x)、x轴所围曲边梯形面积等于1
P{a<X≤b}等于 f(x)、x轴、直线x=a、x=b所围曲边梯形面积
改变f(x)在个别点的值，不影响P{a<X≤b}的值
用直方图近似正态分布的概率密度演示
矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率 高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然 分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度
一、概率密度定义及性质(重点)
1、概率密度的定义
设X是随机变量,如果存在非负可积函数f(x), 满足:
Hale Waihona Puke 1. f(x)0.(1 )求 常 数 C ; (2 )求 概 率 P {X 0 }, P { 1X 1 }, P {X 2 }.
解 :( 1 ) 由 概 率 密 度 的 定 义 : f(x ) d x 1 -
f(x)d x3C (9x2)d x1
-
- 3
C 1 36
(2)P{X0}- 0 33 1 6(9x2)dx316(9x
= 1 - [ P ( A 1 ) ] 4 = 1 - [ 1 - P ( A i ) ] 4 = 1 - [ 1 - P ( X > 1 5 0 0 ) ] 4
=1-[1-32]4=8801
( 4 ) 所 求 概 率 为 P 4 = P ( X > 2 0 0 0 | X > 1 5 0 0 ) P 4=P ( { X > 1 P 5 { 0 X 0 > } 1 I5 { 0 X 0 > } 2 0 0 0 } )P P { { X X > > 1 2 0 5 0 0 0 0 } }
2、概率密度的主要性质（重点）
( 1 ) 对 a R , P { X a } af(x ) d x 0 a 启示：概率为0，不一定是不可能事件。概率为1，不一定为必然事件
( 2 )若 a b ,则 P {a X b } P {a X b } P {a X b }
b
P {a X b } af(x )d x
( 3 ) 如 果 f ( x ) 在 x 处 连 续 , 则 P { x X x x } f ( x ) x
x x
P {xX x x}x f(x)d x f(x)x
例 1 (P 3 5 ,例 2 ) 随 机 变 量 X 具 有 概 率 密 度 f(x ) C (9x 2) 0
3x3 其 它
第三节 连续型随机变量及其概率密度
主要内容（2学时）
一、概率密度的定义及性质（重点） 二、常见的连续型随机变量（重点）
1、均匀分布； 2、指数分布； 3、正态分布。
背景:
例子：1、灯泡（电视机）的寿命； 2、股票的收益率等。
特点：1、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。 2、随机变量取任一值的概率为0，即P(X=x)=0。
d x + 1 0 0 0
2000 x2
P{X>1500}
1
2 2
3
3 4
二、常见的连续型随机变量 (重点）
1. 均匀分布
设 连 续 型 随 机 变 量 X具 有 概 率 密 度 f(x) b 1a, axb, 0, 其 它 ,
则 称 X在 区 间 (a,b)区 间 上 服 从 均 匀 分 布 ,记 为X~U(a,b).