高考数学(理科)总复习—第七章 立体几何 Word版含解析(数理化网)
2020学年高考数学理一轮复习精选新题和好题归纳总结讲义：第7章 立体几何 第3讲 Word版含解析
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲解读] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点) 2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题．预测2020年高考会有以下两点命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类：位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ □01相交直线：同一平面内，有且只有一个 公共点.□02平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在□03任何一个平面内，没有公共点.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□04锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：□05⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角□06相等或互补．2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系3．必记结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定定理平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．()(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．()(4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小题热身(1)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线答案 C解析不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.(2)以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3答案 B解析①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.(3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 即为所求的角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴△B 1D 1C 为等边三角形，∴∠D 1B 1C ＝60°.(4)设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．①P ∈a ，P ∈α⇒a ⊂α；②a ∩b ＝P ，b ⊂β⇒a ⊂β；③a ∥b ，a ⊂α，P ∈b ，P ∈α⇒b ⊂α；④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β⇒P ∈b .答案 ③④题型 一 平面的基本性质如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G ，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊12AD.又BC綊12AD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．(2)由BE綊12AF，G为F A中点，知BE綊GF，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.所以EF与CH共面，又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．结论探究若举例说明中条件不变，证明：FE，AB，DC交于一点．证明由举例说明可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形，故可得四边形ECHF为平行四边形，∴EC∥HF，且EC＝12DF，∴四边形ECDF为梯形．∴FE，DC交于一点，设FE∩DC＝M.∵M∈FE，FE⊂平面BAFE，∴M∈平面BAFE.同理M∈平面BADC.又平面BAFE∩平面BADC＝BA，∴M∈BA，∴FE，AB，DC交于一点．1．证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．如举例说明(2)．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．3．证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如举例说明中的结论探究．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．题型二空间两直线的位置关系序号)．答案 ②④解析 在图①中，直线GH ∥MN ；在图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，N ∉GH ，因此直线GH 与MN 异面；在图③中，连接GM ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面； 在图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，G ∉MN ， 因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面．2．(2018·邯郸调研)在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．答案 G 1G 2∥BC解析 如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN中，SG1SM＝SG2SN，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，因此可得G1G2∥BC.1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B平行答案 D解析如图，连接C1D，∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确；在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确．∵A1B与BD相交，MN∥BD，∴MN与A1B不可能平行，D错误．题型三异面直线所成的角(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC ＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B．155C．105D．33答案 C解析解法一：如图所示，分别延长CB，C1B1至D，D1，使CB＝BD，C1B1＝B1D1，连接DD1，B1D.由题意知，C1B綊B1D，则∠AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角．连接AD，在△ABD中，由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，得AD＝ 3.又B1D＝BC1＝2，AB1＝5，∴cos∠AB1D＝AB21＋B1D2－AD22AB1·B1D＝5＋2－32×5×2＝105.解法二：将直三棱柱ABC－A1B1C1补形为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝2，AB1＝5，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝3，所以B1D1＝ 3.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212AB 1·AD 1＝5＋2－32×5×2＝105. 解法三：过B 作BH ⊥BC ，交AC 于H .以B 为原点，以BC →，BH →，BB 1→所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz .则A (－1，3，0)，B 1(0,0,1)，C 1(1,0,1)，∴AB 1→＝(1，－3，1)，BC 1→＝(1,0,1)， ∴cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝1＋15×2＝105， ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.条件探究 把举例说明的条件改为“正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1”，求异面直线AB 1与BD 所成的角．解 取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ，易知BD ∥B 1E .在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 为异面直线AB 1与BD 所成的角．设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，所以cos ∠AB 1E ＝B 1E AB 1＝12， 因此∠AB 1E ＝π3，故异面直线AB 1与BD 所成的角为π3.求异面直线所成角的方法(1)几何法①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．②证：证明作出的角为所求角．③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．(2)向量法建立空间直角坐标系，利用公式|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B ．56C ．55D ．22答案 C解析 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D (0，0,0)，A (1，0,0)，B 1(1,1，3)，D 1(0,0，3)，所以AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，因为cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝－1＋32×5＝55，所以异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，选C.。
高考数学一轮复习第7章立体几何第7讲课后作业理含解析0419160.doc
第7章 立体几何 第7讲A 组 基础关1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B ．53C ．255D ．35答案 A解析 不妨设CB ＝1，则B (0,0,1)，A (2,0,0)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)，∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)．cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝0＋4－15×3＝55.∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55. 2．(2018·沧州模拟)如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与a 值有关答案 B解析 建立如图所示空间直角坐标系．则D ′(0,0,1)，E (1－a,1,0)，B ′(1，1,1)，F (0,1－a,0)， ∴D ′E →＝(1－a,1，－1)，B ′F →＝(－1，－a ，－1)．∴D ′E →·B ′F →＝(1－a )×(－1)＋1×(－a )＋(－1)×(－1)＝a －1－a ＋1＝0. ∴D ′E →⊥B ′F →，即D ′E ⊥B ′F .故选B.3．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为( )A.15 B ．255C ．55D ．25答案 C解析 以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0，0,0)，B (1，0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛12，0,0 )，E ( 12，12，0 )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，∴PA →＝(0,0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，则n ＝(2,0,1)， 设PA 与平面DEF 所成的角为θ， 则sin θ＝|PA →·n ||PA →||n |＝55，∴PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.故选C. 4．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝2，AC ＝3，BD ＝4，CD ＝17，则该二面角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 C解析 由已知可得，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝32＋22＋42＋2×3×4cos 〈CA →，BD →〉＝(17)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，即〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°.故选C.5．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35 B ．56 C.3310D ．3610答案 A解析 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B 1(0，3，2)，F (1，0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，G (0,0,2)， B 1F →＝(1，－3，－1)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1，GF →＝(1,0，－1)． 设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·n ＝0，GF →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －32y ＋z ＝0，x －z ＝0，取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，故n ＝(1，3，1)为平面GEF 的一个法向量， 所以cos 〈n ，B 1F →〉＝1－3－15×5＝－35，所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为35.故选A.6．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.以上说法正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥平面DCC 1D 1，A 1M ∥平面D 1PQB 1.①③④正确．7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )A. 2 B ．322C ．2 2D ．2 3 答案 B解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，A 1(0,0,4)，D 1(0,2,4)，E (2,0,2)，F (1,2,0)，A 1D 1→＝(0,2,0)，A 1E →＝(2,0，－2)易知平面A 1D 1E 的法向量可取n ＝(1,0,1)，A 1F →＝(1,2，－4)，d ＝|A 1F →·n ||n |＝322.8．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于________．答案155解析 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∴F (1,0,0)，D 1(0,0,2)，O (1,1,0)，E (0,2,1)． ∴FD 1→＝(－1,0,2)，OE →＝(－1,1,1)． ∴cos 〈FD 1→，OE →〉＝1＋25·3＝155.∴异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值为155. 9．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________． 答案 平行解析 如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ， 由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .10．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点．则二面角F －OE－A 的余弦值为________．答案33解析 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题知，OA ＝OB ＝2，则A (0，－2,0)，B (2,0,0)，P (0,0,2)，E (1，－1,0)，F (0，－1,1)，则OE →＝(1，－1,0)，OF →＝(0，－1,1)， 设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OE →＝0，m ·OF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得m ＝(1,1,1)．易知平面OAE 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33. 由图知二面角F －OE －A 为锐角， 所以二面角F －OE －A 的余弦值为33. B 组 能力关1．(2018·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD ＝60°，∠BAD ＝90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为( )A.34 B ．134 C.3913D ．393答案 C解析 取AD 中点O ，连接OA 1，易证A 1O ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系，得B (2，－1,0)，D 1(0,2，3)，BD →1＝(－2,3，3)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设BD 1与平面ABCD 所成的角为θ，∴sin θ＝|BD →1·n ||BD →1||n |＝34，则cos θ＝134，∴tan θ＝3913.故选C.2．如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．设二面角D －AE －C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，则三棱锥E －ACD 的体积为________．答案38解析 因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，A B →的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，所以A E →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m >0)，则C (m ，3，0)，A C →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A C →＝0，n 1·A E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3.易知n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的一个法向量，由题设知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E －ACD 的高为12.所以三棱锥E －ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.3．(2017·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号) 答案 ②③解析 依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC 的直角边长为1.由题意知点B 在平面xOy 中形成的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．设直线a 的方向向量为a ＝(0,1,0)，直线b 的方向向量为b ＝(1,0,0)，CB →以Ox 轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B (cos θ，sin θ，0)，∴AB →＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB →|＝ 2. 设直线AB 与a 所成夹角为α，则cos α＝||AB →·a ||a ||AB →＝22|sin θ|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误．设直线AB 与b 所成夹角为β， 则cos β＝||AB →·b ||b ||AB →＝22|cos θ|.当直线AB 与a 的夹角为60°， 即α＝60°时，则|sin θ|＝2cos α＝2cos60°＝22，∴|cos θ|＝22.∴cos β＝22|cos θ|＝12. ∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB 与b 的夹角为60°.∴②正确，①错误．4．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上，∴AM →＝35AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)，∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，－165，125，则A P →·B M →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎪⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ，∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC .又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .C 组 素养关1．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD .(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值．解 (1)证明：在△ABD 中，由正弦定理知AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD， 所以sin ∠ADB ＝AB ·sin∠ABD AD ＝2AD ·sin π6AD＝1， 所以∠ADB ＝90°，即BD ⊥AD .因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD .又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE .因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE .(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ，又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以可以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)，所以AE →＝(－1,0，3)，AC →＝(－2，3，0)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AE →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧ －x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2,1)为平面AEC 的一个法向量．因为AF →＝(－1，3，3)，所以cos 〈n ，AF →〉＝n ·AF →|n ||AF →|＝4214， 所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 2．如图，球O 内接四面体ABCD ，AB 为球O 的直径，平面BCD 截球得圆O ′，BD 为圆O ′的直径，C 为圆O ′上一点，AD ⊥平面BCD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．解 (1)证明：连接PO ′，由中位线易知PO ′∥AD ，从而PO ′⊥平面BCD .如图，以O ′为原点，O ′D ，O ′P 所在射线分别为y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O ′xyz .由题意知A (0，2，2)，B (0，－2，0)，D (0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)，因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，PQ →·u ＝0，PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量．由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)，可知⎩⎨⎧ －x 0x ＋2－y 0y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝12， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋2x 02＝3.① 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.②联立①②，结合点C 在圆O ′上且|y 0|<2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝±62，y 0＝22.所以BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±62，322，0，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±62，－22，0，|BC →|＝6，|DC →|＝2， 所以tan ∠BDC ＝|BC →||DC →|＝ 3. 又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考数学(理科)大一轮复习第七章立体几何【精编教师学生用书】
第七章立体几何第一节空间几何体及其体积、表面积教材细梳理知识点1空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征的关系如何？提示：A B D E C思考2：设A＝{棱锥}，B＝{正棱锥}，C＝{正四面体}，D＝{正三棱锥}，它们之间的关系如何？提示：A B D C知识点2三视图与直观图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)画三视图应遵循的原则和注意事项①务必做到“长对正(正视图与俯视图一样长)高平齐(正视图与侧视图一样高)、宽相等(侧视图与俯视图一样宽)”．②在三视图中，看不见的线用虚线，看得见的线用实线．③确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同．(3)斜二测画法规则①夹角：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直．②方向：原图形中与x轴、y轴、z轴平行的，在直观图中与x′轴，y′轴，z′轴平行．③长度：原图形中与x轴、z轴平行的，在直观图中长度不变，原图形中与y轴平行的，长度变成原来的12．知识点3圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和侧面积名称表面积侧面积圆柱S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)S侧＝2πrl圆锥S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)S侧＝πrl圆台S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S侧＝π(r＋r′)l球 S ＝4πR 2知识点4名称 体积 柱体 V ＝Sh 锥体 V ＝13Sh台体 V ＝13(S ＋S ′＋SS ′)h球体V ＝43πR 3[拓展]1.平面化：求空间几何体的表面积，就是求其展开图的面积． 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图如下表(1)棱长为a 的正四面体，其高为63a .其内切球和外接球的球心重合，是正四面体的中心．其外接球和内切球的半径分别为64a 和612a .其正四面体体积为212a 3. (2)棱锥的体积是等底、等高的棱柱体积的13.四基精演练1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)斜二测画法中，原图形中的平行、垂直关系在直观图中不变．( ) (2)斜二测画法中，三角形的直观图应是三角形．( ) (3)斜二测画法中，正方形的直观图应是正方形．( ) (4)一个几何体的三视图完全相同，这个几何体只能是球．( ) (5)已知球O 的半径R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) (6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)×2.(知识点1)如图，长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′.剩下的几何体是( ) ⇐源自必修二P 10B 组T 1A ．棱台B ．四棱柱C ．五棱柱D ．简单组合体答案：C3.(知识点4)正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) ⇐源自必修二P 27练习T 1 A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144 答案：A4.(知识点2、3)(2018·全国卷Ⅰ改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图，则圆柱的表面积为________． 答案：32＋128π5.(知识点3、4)(2018·全国卷Ⅲ改编)设A 、B 、C 、D 是同一个半径为4的球的球面上四点，则正四面体ABCD 的体积为________．答案：512327考点一 几何体的三视图与直观图[基础练通][例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成正方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：两木构件咬合成长方体时，榫头完全进入卯眼，易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为 A.故选A.答案：A(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．解析：如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .图①在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1. ∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可得原图形如图②所示．图②在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′ ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22. 答案：2＋22[母题变式]1.若本例(1)改为：将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到如图②所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )解析：选B.正方体截去两个三棱锥后的几何体的侧视图可以看见的实线段为AD 1、AD 、DD 1、D 1B 1、AB 1，而线段B 1C 被遮住，在侧视图中为虚线，所以侧视图为选项B 中的图形．故选B.2.若本例(2)改为：正三角形AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是________．解析：画出平面直角坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点．易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)＝12×32a ＝34a .∴S △O ′A ′B ′＝12O ′A ′22D ′B ′＝24×a ×34a ＝24×34a 2＝616a 2. 答案：616a 21.由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴，y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．2.对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S 与其直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能进行相关问题的计算． 3.识别几何体的三视图，首先确定正视、侧视、俯视的方向，从几何体的边界想象平行投影的结果，从而得到各个视图．考点二 几何体的三视图与表面积、体积[探究变通][例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217B．2 5C．3 D．2解析：由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝14×16＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.答案：B(2)(2018·安徽皖南八校二联，8)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A．24＋52π，34＋52πB．24＋52π，36＋54πC．24＋54π，36＋54πD．24＋54π，34＋52π解析：由三视图可知，这个榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积V＝4×2×3＋π×32×6＝24＋54π，表面积S＝2×π×32＋2×π×3×6＋4×3×2＋2×2×3＝54π＋36.故选C.答案：C[母题变式]1.将本例(1)中的“圆柱”改为“底面边长为4，高为2的正四棱柱”，且M、N都在正四棱柱顶点上，其余条件不变，则从M到N的最短路径是多少？解：如图①，MN＝AB＝2.如图②，MN＝AB＝22＋42＝2 5.如图③，将正四棱柱沿AC 侧面展开，如图④， 则MN ＝AB ＝22＋82 ＝217.综上，从M 到N 的最短路径可为2或25或217.2.将本例(2)中榫卯构件的凹凸部分改为圆柱形．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是该构件的三视图，该构件是一个底面半径为3，高为6的圆柱切削得到，则切削掉的部分的体积与原来圆柱的体积的比值为( )A.1727 B ．59C.1027D ．13解析：选C.由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V 1＝π·22·4＋π·32·2＝34π，原来的圆柱体的体积为V ＝π·32·6＝54π，则切削掉部分的体积为V 2＝54π－34π＝20π，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体体积的比值为20π54π＝1027.故选C.已知三视图求几何体表面积或体积时，首先根据几何体的三视图还原出直观体，此时需要利用线与线、线与面的关系分析各面相对位置关系，并根据三视图中数据确定对应线段的长度，再利用几何体的特征，结合公式求解．考点三 单独规则几何体或组合体的体积与表面积[创新贯通]命题点1规则几何体的表面积与体积[例3] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12π解析：因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.答案：B(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．解析：由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是得12l 2＝8，得l 圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，＝32l ＝2 3.故＝4.在Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.答案：8π命题点2不规则几何体的体积与表面积[例4] (1)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B ．33C.43 D ．32解析：如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，则△BHC 中BC 边的高h ＝22. ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E ADG ＋V F BHC ＋V AGD BHC ＝2V E ADG ＋V AGD BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.答案：A(2)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜平行六面体．由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为32＋62＝3 5.故该几何体的表面积S ＝32×2＋(3×6)×2＋(3×35)×2＝54＋18 5.答案：B命题点3与球有关的组合体[例5] (1)(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.答案：B(2)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球的半径为R ，V 2＝43πR 3.V 1＝πR 2·2R ＝2πR 3，∴V 1V 2＝2πR 343πR3＝32.答案：321.若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．2.求不规则几何体的表面积或体积时，通常将该几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差，从而获得该几何体的表面积．或者将不规则几何体补成规则几何体，再作体积之间的运算．3.解决球与其他几何体的切、接问题(1)关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系．(2)选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．(3)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．1.(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3解析：选C.连接BC1，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以∠AC 1B ＝30°，AB ⊥BC 1，所以△ABC 1为直角三角形．又AB ＝2，所以BC 1＝2 3.又B 1C 1＝2，所以BB 1＝（23）2－22＝22，故该长方体的体积V ＝2×2×22＝8 2.2.(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2，则该正八面体的体积为13×(2)2×2＝43.答案：43★3.(2018·四川达州模拟)如图(2)，需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后，组合体的三视图均为图(1)所示，且平面A 1C 1B 截得小球的截面面积为2π3，则该小球的体积为( )A.π6 B ．4π3C.32π3D ．82π3解析：选B.由题意知该小球为正方体的内切球，设正方体的棱长为2a ，则内切球的半径为a ，△A 1BC 1是边长为22a 的正三角形，且内切球与以点B 1为公共点的三个面的切点恰为△A 1BC 1三边的中点，∴平面A 1C 1B 截得小球的截面的面积是该正三角形的内切圆的面积， 设△A 1BC 1的内心为O ，连接BO 并延长交A 1C 1于点M ，连接OA 1，如图，由图可得，△A 1BC 1内切圆的半径是2a ×tan 30°＝63a ，则△A 1BC 1内切圆的面积是π×63a ×63a ＝2π3a 2， 由题意可知，2π3a 2＝2π3，∴a ＝1，∴该小球的体积V 球＝4π3·13＝4π3.故选B.化归与转化思想在求空间几何体体积中的应用1．“转”：指的是转换底面与高，将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解长度的高；2．“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；3．“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥还原成一个三棱柱，有时将一个三棱柱还原成一个四棱柱，还台为锥，这些都是拼补的方法．[例6] 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一个动点P 、Q ，且满足A 1P ＝BQ ，M 是棱CA 上的动点，则V M ABQPVABC A 1B 1C 1－V M ABQP的最大值是__________．解析：设VABC A 1B 1C 1＝V ，V M ABQP ＝VM B 1BA ≤VC B 1BA ＝VB 1CBA ＝13V ，即M 与C 重合时V M ABQP最大，即V M ABQP VABC A 1B 1C 1－V M ABQP＝V 3V －V 3＝12.答案：12函数、不等式思想在立体几何中的应用对于立体几何中的有关最值问题，常用建立目标函数求其最值或利用基本不等式求最值．[例7] (2018·湖北沙市模拟)如图，∠ACB ＝90°，DA ⊥平面ABC ，AE ⊥DB 交DB 于E ，AF ⊥DC 交DC 于F ，且AD ＝AB ＝2，则三棱锥D -AEF 体积的最大值为________．解析：因为DA ⊥平面ABC ，所以DA ⊥BC ，又BC ⊥AC ，DA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AF ，又AF ⊥CD ，BC ∩CD ＝C ，所以AF ⊥平面DCB ，所以AF ⊥EF ，AF ⊥DB ，又DB ⊥AE ，AE ∩AF ＝A ，所以DB ⊥平面AEF ，所以DE 为三棱锥D -AEF 的高．因为AE 为等腰直角三角形ABD 斜边上的高，所以AE ＝2，设AF ＝a ，FE ＝b ，则△AEF 的面积S ＝12ab ≤12·a 2＋b 22＝12×22＝12，所以三棱锥D -AEF 的体积V ≤13×12×2＝26(当且仅当a ＝b ＝1时等号成立)． 答案：26[例8] 如图所示，在侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1.设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C.如图，过M 作MQ ∥DD 1，交AD 于Q ，连接QN .∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1， MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1， 又QN ⊂平面MNQ ，∴NQ ∥平面DCC 1D 1，∴NQ ∥DC ，∵AQ ＝BN ＝x ，DD 1＝AA 1＝2，AD ＝AB ＝1， ∴MQ ＝2x ，在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1， ∴y 2－x 214＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图象为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.[素材库]1.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π4解析：选B.设圆柱底面的半径为r ， 由题意可得12＋(2r )2＝22，解得r ＝32. ∴圆柱的体积V ＝πr 2×1＝3π4，故选B. 2.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由三视图得几何体的直观图如图所示．其中SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，SD ＝AD ＝CD ＝2，AB ＝1，故△SDC ，△SDA 为直角三角形，∵AB ⊥AD ，AB ⊥SD ，AD ∩SD ＝D ，∴AB ⊥平面SDA ，∴AB ⊥SA ，故△SAB 是直角三角形，从而SB ＝SD 2＋AD 2＋AB 2＝3，易知BC ＝22＋12＝5，SC ＝22＋22＝22，则SB 2≠BC 2＋SC 2，故△SBC 不是直角三角形，故选C.3.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C.由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的边长分别为1 cm ，2 cm ，高为2 cm ，直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V ＝1＋22×2×2＝6 cm 3.4.(2018·天津卷)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为________．解析：四棱锥的底面BB 1D 1D 为矩形，其面积为1×2＝2，又点A 1到底面BB 1D 1D 的距离，即四棱锥A 1BB 1D 1D 的高为12A 1C 1＝22，所以四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为13×2×22＝13. 答案：13限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④解析：选D.①中正、侧、俯三视图均相同，不符合题意；②中正、侧视图均相同，符合题意；③中正、侧、俯三视图均不相同，不符合题意；④中正、侧视图均相同，符合题意．2.圆环内圆半径为4，外圆半径为5，则圆环绕其对称轴旋转一周形成的几何体的体积为( )A.244π3B ．500π3C.200π3D ．256π3解析：选A.该旋转体是大球体中挖掉一个小球体，该旋转体体积为V ＝4π3×53－4π3×43＝244π3.3.已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A.83 B ．38C.43D ．34解析：选C.设点A 1到截面AB 1D 1的距离是h ，由VA 1AB 1D 1＝VA A 1B 1D 1，可得13S △AB 1D 1·h ＝13S △A 1B 1D 1·AA 1，即13×12×2×2×4＝13×⎝⎛⎭⎫12×22×32h ，解得h ＝43. 4.已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：选C.如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O -ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ABC ＝V C AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.5.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为S 1，S 2，则( )A.1S 1－1S 2为定值 B.S 21＋S 222为定值 C.1S 1＋1S 2为定值 D.S 1S 22＋2S 21＋S 22为定值解析：选A.设投影面与侧面所成的角为α⇒S 1＝sin α＋cos α，S 2＝sin(90°－α)＋cos(90°－α)＝sin α＋cos α，S 1＝S 2⇒1S 1－1S 2为定值．6.现有一块半球形原料，若通过切削将该原料加工成一个正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为( )A.63π B ．66πC.328πD ．324π解析：选A.当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为a ，则球的半径为R ＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝62a ，所以所求体积比为a 312×43π×⎝⎛⎭⎫62a 3＝63π，故选A.7.如图，BD 是边长为3的正方形ABCD 的对角线，将△BCD 绕直线AB 旋转一周后形成的几何体的体积等于________．解析：对角线BD 绕着AB 旋转，形成圆锥的侧面；边BC 绕着AB 旋转形成圆面；边CD 绕着AB 旋转，形成圆柱的侧面，所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥，所以V ＝π·32·3－13·π·32·3＝18π.答案：18π8.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________． 解析：设圆锥的母线长是R ，则扇形的弧长是90πR 180＝πR2，设底面半径是r ， 则πR 2＝2πr ，所以r ＝R4， 所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4. 答案：149.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点，PD ＝AD ＝2，AB ＝4.则点A 到平面PMN 的距离为________． 解析：取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，则在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点，所以NE ∥AM ，NE ＝AM ，所以四边形AENM 是平行四边形，所以AE ∥MN ，所以点A 到平面PMN 的距离等于点E 到平面PMN 的距离，设为h ，在△PMN 中，PN ＝5，PM ＝23，MN ＝5，所以S △PMN ＝12×23×2＝6，由V E PMN ＝V M PEN ，可得13×6h ＝13×12×1×2×2，所以h ＝63. 答案：6310.如图直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为________．解析：由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，所以∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1的边长为x .在Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，所以⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1， 即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， 所以S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2. 答案： 2B 级 能力提升练11.(2019·吉林实验中学月考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，8解析：选B.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积V ＝13×22×2＝83；四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5，∴S 侧＝4×12×2×5＝4 5.12.若三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝215，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．63πC ．65πD ．32π解析：选A.设球O 的半径为R ，∵AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，∴BC 2＝1＋4－2×1×2×cos 60°＝3，所以AB 2＋BC 2＝AC 2.即△ABC 为直角三角形，那么△ABC 所在截面圆的直径为AC ，所以(2R )2＝SA 2＋AC 2＝64.所以S 球＝4πR 2＝64π.13.已知四面体P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ＝8，BC ＝4，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，且平面PBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．65πC ．66πD ．128π解析：选B.如图，D ，E 分别为BC ，P A 的中点，易知球心O 在线段DE 上． ∵PB ＝PC ＝AB ＝AC ，∴PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，PD ＝AD .又平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ， ∴PD ⊥平面ABC .∴PD ⊥AD .∴PD ＝AD ＝4 2. ∵点E 是P A 的中点，∴ED ⊥P A ，且DE ＝EA ＝PE ＝4. 设球O 的半径为R ，OE ＝x ，则OD ＝4－x .在Rt △OEA 中，有R 2＝16＋x 2，在Rt △OBD 中，有R 2＝4＋(4－x )2，解得R 2＝654，所以S ＝4πR 2＝65π，故选B.14.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为( ) A ．3 B ．32C ．1D ．32解析：选C.∵D 是等边三角形ABC 的边BC 的中点， ∴AD ⊥BC .又ABC -A 1B 1C 1为正三棱柱， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C . 又四边形BB 1C 1C 为矩形，∴S △DB 1C 1＝12S 四边形BB 1C 1C ＝12×2×3＝ 3.又AD ＝2×32＝3，∴VA B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×3×3＝1.故选C. 15.(2018·安徽黄山模拟)如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．解析：根据题意可知，该几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示，则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和，即表面积为π×1×12＋12＋2π×12＋π×12＝(2＋3)π.答案：(2＋3)π16.(2018·贵州贵阳适应性考试)已知底面是正六边形的六棱锥P -ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．解析：因为六棱锥P -ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P -ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h ，则13×⎝⎛⎭⎫6×12×1×1×sin 60°h ＝3，解得h ＝2.记球O 的半径为R ，根据平面截球面的性质，得(2－R )2＋12＝R 2，解得R ＝54，所以球O 的表面积为4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫542＝25π4.答案：25π4第二节 直线、平面的平行关系教材细梳理知识点1 平面的基本性质(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2．思考1：“分别在不同平面内的两条直线”是异面直线吗？ 提示：不一定．思考2：若直线a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面吗？提示：不一定．异面直线不具有传递性，a 与c 可能异面，可能平行，也可能相交． [拓展]平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线． 知识点3 直线与平面平行的判定定理和性质定理[1.一条直线与一个平面平行，那么它与这个平面内的直线平行或异面．2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．3.垂直于同一条直线的两个平面平行．4.夹在两个平行平面间的平行线段相等．5.若α、β、γ是三个不同的平面，α∥β，β∥γ，则α∥γ.四基精演练1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．()(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(6)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2.(知识点2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF 所成的角的大小为() ⇐源自必修二P52B组T1A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C3.(知识点3)(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.4.(知识点4)平面α∥平面β的一个充分条件是()⇐源自必修二P58练习T3A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案：D5.(知识点1)如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是________．⇐源自必修二P52A组T7答案：CD考点一空间点、线、面的基本关系[基础练通]1.(2018·山东烟台模拟)如图所示的是正方体和四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则各图形中，P，Q，R，S四点共面的是________(填序号)．答案：①②③2.(2018·山西临汾模拟)如图，在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC ＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是()A．B，C，A1B．B1，C1，AC．A1，B1，C D．A1，B，C1解析：选D.过点B作BD∥AC，则BD∥A1C1，连接A1B，C1D，CD，如图所示：则平面α可以为平面A1BDC1，则α∩平面ABC＝BD＝l，且l∥A1C1，所以这3个点可以是A1、C1、B.故选D.3.下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B．若一直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行解析：选C.A选项中的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交；B中一直线可以与两垂直平面所成的角都是45°；由两平面平行的性质定理知C正确；D中的两平面也可能相交．1．共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．2．]异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．考点二直线与平面平行的判定与性质[创新贯通]命题点1线面平行的基本问题[例1](1)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：。
高考数学(理)(人教通用)复习配套 重点内容精选：第七章 立体几何
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)求简单几何体的体积． 若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接 利用公式求解．
(2)求组合体的体积． 若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式 求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
(3)求以三视图为背景的几何体的体积． 应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据 条件求解．
【命题角度】
高考对三视图的考查常有以下几个命题角度： (1)由几何体的直观图求三视图； (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图； (3)由几何体的三视图还原出几何体的形状．
高频考点全通关——空间几何体的三视图
闯关二：典题针对讲解——由几何体的三视图求直观图
[例 1] (2013·四川高考)一个几何体的三视图如图所示，
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状． 要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理， 结合空间想象将三视图还原为实物图．
高频考点全通关——空间几何体的三视图 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1. 底面水平放置的正三棱柱的所有棱长 3
B．3
C. 3
D．4
解析：选 A 当正视图的面积达到最大时可知 其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所 示位置放置，此时侧视图的面积为 2 3.
高频考点全通关——空间几何体的三视图 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
2. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示，
则该几何体的俯视图不可能是( )
解析：选 D A 图是两个圆柱的组合体的俯视图； B 图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图； C 图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一 个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选 D.
高考数学一轮复习第七章立体几何阶段检测试题(含解析)文(new)
第七章立体几何阶段检测试题时间：120分钟分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分)1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（）A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析:根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．答案：B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（)A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知,BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1C,EF∩D1C＝F,则A1B与EF相交．答案:A3．（2017·嘉兴月考）对于空间的两条直线m,n和一个平面α，下列命题中的真命题是( ）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α,则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故选项A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故选项B错误；对C，m与n垂直而非平行，故选项C错误；对D,垂直于同一平面的两直线平行，故选项D正确．答案:D4．设P是异面直线a,b外的一点，则过点P与a,b都平行的平面（)A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个解析：过点P作a1∥a，b1∥b，若过a1，b1的平面不经过a，b，则存在一个平面同时与a,b平行；若过a,b1的平面经过a或b,则不存在这样的平面同时与a,b平行．1答案：C5．若平面α∥平面β，点A，C∈α,B，D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是（）A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A,B，C，D四点共面解析:由平面α∥平面β知，直线AC与BD无公共点，则直线AC∥直线BD的充要条件是A，B，C，D四点共面．答案：D6．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α,b⊥β，则下列命题中的假命题是（)A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α,β相交，则a，b相交解析：若α,β相交,则a，b可能相交，也可能异面,故D为假命题．答案：D7．一个几何体的侧视图和俯视图如图所示，若该几何体的体积为错误!,则它的正视图为（)解析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，由几何体的体积为错误!，可知上方为棱锥,下方为正方体．由俯视图可得,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1，所以选B.答案：B8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．27－错误!B．18－错误!C．27－3πD．18－3π解析：由几何体的三视图可知该几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱，所以所求体积为错误!×（2＋4)×2×3－错误!π×12×3＝18－错误!。
高考数学(理)一轮复习文档 第七章 立体几何 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图 Word版含答案
第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．1．辨明三个易误点(1)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要强调截面与底面平行．(2)注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．(3)几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．2．由三视图还原几何体的方法3．用斜二测画法画直观图(1)一般在已知原图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．(2)一定要注意在原图形中与y轴平行的线段的长度在直观图中变为原来的一半，在由直观图还原时，与y′轴平行的线段的长度要变为原来的二倍．在斜二测画法中，真实图形的面积和直观图的面积之比是22∶1.1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球D．圆柱、圆锥、球的组合体C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )B 根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．4.教材习题改编若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体5.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.矩形8空间几何体的结构特征(1)下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．【答案】(1)B (2)B判定与空间几何体结构特征有关命题的方法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．①②③④空间几何体的三视图(高频考点)空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．高考对三视图的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据几何体的结构特征确认其三视图；(2)根据三视图还原直观图；(3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．(1)(2015·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B． 2C. 3 D．2(2)(2017·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为( )【解析】(1)根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.(2)如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥PA1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．【答案】(1)C (2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1)已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找到各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．(2)已知三视图，判断几何体的技巧①对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．②明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．③遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．角度一根据几何体的结构特征确认其三视图1．(2017·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．角度二根据三视图还原直观图2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台A 因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥形，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．角度三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图3.(2016·高考天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.空间几何体的直观图如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是( )A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm，所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，因此选C.【答案】 C若本例中直观图为如图所示的一个边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是多少？将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中OB＝22，AB＝12＋（22）2＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．直观图的面积S ′＝12×(1＋1＋2)×22＝2＋12.故原平面图形的面积S ＝S ′24＝2＋ 2.2＋ 2——忽视三视图中的虚实线而致误将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )【解析】 侧视图中能够看到线段AD 1，应画为实线，而看不到B 1C ，应画为虚线．由于AD 1与B1C 不平行，投影为相交线，故应选B ．【答案】 B(1)因对三视图的含义认识不到位，区分不清选项A 和B ，而易误选A ；(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D ．在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓线用虚线画；(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图．(2017·河北省五校联盟质量检测)某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2C. 3 D．2 3D 在正方体ABCDA1B1C1D1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即为D1BCB1，如图所示，其四个面的面积分别为2，22，22，23，故选D．1．(2017·沈阳质检)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示．这是一个三棱柱．2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是ADB 由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上B 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A 、C 正确，且在它的高所在的直线上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确，B 不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．4．(2017·山西省四校联考)如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5A 根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.5．(2017·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A.152B ．6＋ 3 C.32＋3 3 D ．4 3A 侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152.6．(2017·海口市调研测试)一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为( )A.33 B．17C.41 D．42C 依题意，题中的几何体是四棱锥EABB1A1，如图所示(其中ABCDA1B1C1D1是棱长为4的正方体，C1E＝1)，EA＝32＋42＋42＝41，EA1＝12＋42＋42＝33，EB＝32＋42＝5，EB1＝12＋42＝17，AB＝BB1＝B1A1＝A1A＝4，因此该几何体的最长棱的棱长为41，选C.7．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝24S＝52(cm2)．5 2 cm28．如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．两个圆锥的组合体9．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有________个．由三视图知该几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形．210.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．由正三棱柱的特征及侧(左)视图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正(主)视图的面积为2 3.2 311.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 cm.由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝63(cm)．12．如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥VABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA 1的中点D ， 连接VD ，则VD ⊥AA 1，∠AVD ＝60°. 在Rt△VAD 中，AD ＝VA ·sin 60°＝3，所以AA 1＝2AD ＝6， 即△AEF 周长的最小值为6.13．(2017·石家庄市教学质量检测(二))一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )D 分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD ，故选D ．14.如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．设三棱锥V ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33.3315．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． (1)正六棱锥． (2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.16．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．。
高考理科数学要点-第七章立体几何(275页)
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考点二 空间几何体的三视图 多维探究 题点多变考点——多角探明
解析：从几何体的左侧看，对角线AD1在视线范围内，故画为 实线，右侧面的棱C1F不在视线范围内，故画为虚线，且上端 点位于几何体上底面边的中点．故选B. 答案：B
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易错通关
1．认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时， 易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征 的认识． 2．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平 行． 3．画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线 和棱用虚线表示． 4．一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．
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考点一 空间几何体的结构特征自主探究 基础送分考点——自主练透
解析：当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两 个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故 A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不 是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B 错误；若六棱 锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知， 若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故 C 错误． 答案：D
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考点一 空间几何体的结构特征自主探究 基础送分考点——自主练透
2．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个
平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱
锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的
高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲课后作业理含解析0419156.doc
第7章立体几何第3讲A组基础关1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析因为M∈AB⊂平面ABC，C∈平面ABC.M∈l⊂β，C∈β，所以γ∩β＝直线CM.2．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．3．(2018·华南师大附中模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F 是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是( ) A．相交且垂直B．共面C．平行D．异面且垂直答案 D解析如图所示，AB1⊥平面BCD1，EF⊂平面BCD1，故AB1⊥EF且AB1与EF异面．4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是( )A．A1，M，O三点共线B．M，O，A1，A四点共面C．A1，O，C，M四点共面D．B，B1，O，M四点共面答案 D解析由正方体的性质知，O也是A1C的中点，因此A1，M，O三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以B，C中的结论正确．由BB1与A1C异面知D中的结论错误，故选D.5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( )A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D解析在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点，如图：所以D正确．6．下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )答案 D解析①在A中易证PS∥QR，∴P，Q，R，S四点共面．②在C中易证PQ∥SR，∴P，Q，R，S四点共面．③在D中，∵QR⊂平面ABC，PS∩面ABC＝P且P∉QR，∴直线PS与QR为异面直线．∴P，Q，R，S四点不共面．④在B中P，Q，R，S四点共面，证明如下：取BC中点N，可证PS，NR交于直线B1C1上一点，∴P，N，R，S四点共面，设为α，可证PS∥QN，∴P，Q，N，S四点共面，设为β.∵α，β都经过P，N，S三点，∴α与β重合，∴P，Q，R，S四点共面．故选D.7．如图所示，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.15 B ．25 C.35 D ．45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.故选D.8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为________．解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面直线的有3对．9．如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB 的中点为M ，DD ′的中点为N ，则异面直线B ′M 与CN 所成的角是________．答案 90°解析 取AA ′的中点Q ，连接QN ，BQ ，且BQ 与B ′M 相交于点H ，则QN 綊AD 綊BC ，从而有四边形NQBC 为平行四边形，所以NC ∥QB ，则有∠B ′HB 为异面直线B ′M 与CN 所成的角．又∵B ′B ＝BA ，∠B ′BM ＝∠BAQ ＝90°，BM ＝AQ ，∴△B ′BM ≌△BAQ ，∴∠MB ′B ＝∠QBM .而∠B ′MB ＋∠MB ′B ＝90°，从而∠B ′MB ＋∠QBM ＝90°，∴∠MHB ＝90°.B 组 能力关1．正四棱锥P －ABCD 中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 是正方形，E 为PC 的中点，若异面直线PA 与BE 所成的角为45°，则该四棱锥的体积是( )A ．4B ．2 3C ．43D ．233解析 如图，连接AC ，BD .设AC ∩BD ＝O ，连接PO ，OE ，∵O ，E 分别是AC 和PC 的中点，∴OE ∥PA ，OE ＝12PA ＝1，则∠BEO 即为异面直线PA ，BE 所成的角，即∠BEO ＝45°，易证PO ⊥平面ABCD ，OB ⊥平面PAC ，所以PO ⊥OB ，△BOE 是等腰直角三角形，所以OB ＝OE ＝1，BC ＝2，PO ＝PB 2－OB 2＝3，所以四棱锥的体积V ＝13×BC 2×PO ＝13×2×3＝233. 2．(2018·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案 ②③④解析 还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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第七章立体几何29.空间几何体的结构、三视图、几何体的表面积与体积1.(2016·全国Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π第1题图第2题图2.(2016·全国Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π3.(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12 D.1第3题图第4题图4.(2016·全国Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.18＋36 5B.54＋18 5C.90D.815.(2016·全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π36.(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π7.(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.8.(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.考点1 三视图与直观图1.(2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2＋ 5B.4＋ 5C.2＋2 5D.52.(2014·福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱3.(2014·江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()4.(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18第4题图第5题图5.(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.46.(2014·课标全国Ⅰ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6 2B.6C.4 2D.47.(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8－2πB.8－πC.8－π2D. 8－π48.(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.72考点2 柱、锥、球的表面积和体积9.(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3B.4π3C.5π3D.2π10.(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 311.(2014·陕西)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4πB.3πC.2πD.π12.(2014·陕西)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3B.4πC.2πD. 4π313.(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4B.16πC.9πD.27π414.(2014·湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227B.258C.15750D. 35511315.(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________.16.(2014·山东)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.1.(2015·山东莱芜模拟)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.2B.92C.32D.32.(2015·山东省实验中学模拟)设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A.2π3B.8－π3C.8－2πD. 8－2π3第2题图 第3题图3.(2015·河南天一大联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.12＋πB.8＋πC.12－πD.6－π4.(2015·湖北七州模拟)某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为( ) A.92＋24π B.82＋24πC.92＋14πD.82＋14π5.(2015·安徽安庆模拟)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则nq ＝( ) A.8πB.6πC.π6D.π86.(2015·福建龙岩模拟)如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是( ) A.33B.32C.3＋7D.3＋7＋1第6题图 第7题图7.(2015·福建莆田模拟)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( ) A.12B.32C.1D. 38.(2016·广东汕尾模拟)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A.34B.64C.4 3D.4 69.(2016·河南郑州模拟)如图是正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是( )A.4B.5C.6D.710.(2016·广东广州五校联考)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( ) A.5B.4C.3D.211.(2016·豫南九校联考)如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( ) A.3＋2＋ 3 B.23C.2＋2＋ 3D.5＋ 212.(2016·河南八市模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.36 cm 3B.48 cm 3C.60 cm 3D.72 cm 313.(2016·湖北七校联考)某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是( )A.12πB.43πC.48πD.323π14.(2016·福建漳州八校联考)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.20B.24C.16D.16＋321015.(2016·天一大联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.95π3－5 B.95π3－10 C.125π3－5D.125π3－1016.(2016·湖南衡阳二模)某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面面积之比为( )A.13B.23C.34D.2517.(2016·河北名校模拟)某几何体的三视图如图所示，记A 为此几何体所有棱的长度构成的集合，则( )A.3∈AB.5∈AC.26∈AD.43∈A18.(2016·湖北黄冈八校联考)如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A.8πB.252π C.12πD.414π30.点、线、平面之间的位置关系1.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n2.(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·全国Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.134.(2016·全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.(2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).5.(2016·全国Ⅰ)如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体P－DEF的体积.6.(2016·全国Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置. (1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积.考点1 点、线、平面之间的位置关系1.(2015·安徽)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面2.(2015·福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2014·辽宁)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α4.(2014·浙江)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则正确的结论是( )A.若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥αB.若m ∥β，β⊥α，则m ⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α5.(2014·广东)在空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定考点2求空间角6.(2015·浙江)如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则()A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥αC.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α7.(2014·大纲全国)已知二面角α-l-β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A.14 B.24 C.34 D.128.(2014·大纲全国)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD 所成角的余弦值为()A.16 B.36 C.13 D.339.(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110 B.25 C.3010 D.2210.(2015·浙江)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.11.(2015·四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________. 考点3 空间距离的计算12.(2015·广东)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A.大于5 B.等于5 C.至多等于4D.至多等于313.(2015·广东)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.1.(2015·山东泰安模拟)已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是( ) A.m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α B.m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α C.m ⊂α，n ⊂β，n ∥m ⇒α∥β D.n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β2.(2015·山东省实验中学模拟)对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β，其中，可以判定α与β平行的条件有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2015·安徽安庆模拟)b 、c 表示两条不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，下列命题中正确的是( ) A.⎭⎬⎫c ∥αb ⊂α⇒c ∥b B.⎭⎬⎫c ∥αα⊥β⇒c ⊥βC.⎭⎬⎫c ⊥αc ⊥β⇒α∥β D.⎭⎬⎫b ∥c c ⊂α⇒b ∥α 4.(2015·湖南怀化一模)设m ，n ，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；④若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①和③ B.②和③ C.③和④ D.①和④5.(2015·福建厦门模拟)长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与BG 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°6.(2015·福建泉州模拟)设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A.存在唯一直线l ，使得l ⊥a ，且l ⊥bB.存在唯一直线l ，使得l ∥ a ，且l ⊥bC.存在唯一平面α，使得 a ⊂α，且 b ∥αD.存在唯一平面α ，使得a ⊂α，且b ⊥α7.(2016·江西赣中南五校联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B.若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β C.若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β D.若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α8.(2016·广西柳州模拟)若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l ，则( ) A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α B.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l D.垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直9.(2016·河南八市模拟)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.(2016·广东汕头模拟)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若m∥α，α⊥β，则m⊥β；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β，其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.311.(2016·安徽合肥一模)已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD.若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α12.(2016·安徽芜湖一模)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中，正确命题的个数是()①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a∥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β.A.3B.2C.1D.013.(2016·湖北孝感六校联考)已知直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确命题的序号有________(把所有正确命题的序号都填上).14.(2016·湖南雅礼中学模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l15.(2016·广东深圳模拟)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是()A.①②③B.②③④C.①③D.②④16.(2016·浙江押题卷)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱A1B1中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，若∠PBQ＝∠PBD1，则动点Q的轨迹所在曲线为()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线17.(2016·山东青岛一模)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件18.(2016·四川押题卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC，PA⊥PB，PA⊥PC，△PBC为等边三角形，则PC与平面ABC所成角的正弦值为________.19.(2016·山东潍坊模拟)已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n②若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n③若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n其中正确命题的个数是()A.4B.3C.2D.120.(2016·威海模拟)已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是()①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，l ⊥m ，则l ⊥n ； ③若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n ④若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥n . A.②③ B.③ C.②④D.③④21.(2016·上海宝山区模拟)若a ，b 是异面直线，则下列命题中的假命题为( ) A.过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行 B.过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直 C.唯一存在一个平面α与直线a 、b 等距 D.可能存在平面α与直线a 、b 都垂直22.(2016·山东青岛模拟)在空间给出下面四个命题(其中m 、n 为不同的两条直线，α、β为不同的两个平面) ①m ⊥α，n ∥α⇒m ⊥n ； ②m ∥n ，n ∥α⇒m ∥α； ③m ∥n ，n ⊥β，m ∥α⇒α⊥β；④m ∩n ＝A ，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β⇒α∥β. 其中正确的命题个数有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个23.(2016·甘肃张掖一模)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( ) A.AC ⊥BE B.EF ∥平面ABCDC.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D.三棱锥A －BEF 的体积为定值24.(2015·河北衡水模拟)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π625.(2016·湖南衡阳二模)如图，等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是()A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B.异面直线A′E与BD不可能垂直C.三棱锥A′－EFD的体积有最大值D.恒有平面A′GF⊥平面BCDE26.(2015·安徽黄山模拟)一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果：将容器倒置，水面也恰好过点P有下列四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；②若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P；④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P.其中正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号).31.空间中的平行关系1.(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM的体积.2.(2016·山东)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB ＝BC ，AE ＝EC .求证：AC ⊥FB ；(2)已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC .3.(2016·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ；使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由.考点 空间中的平行关系1.(2015·新课标全国Ⅰ)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.2.(2014·新课标全国Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P －ABD 的体积V ＝34，求点A 到平面PBC 的距离.3.(2014·安徽)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为27.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积.1.(2015·四川德阳模拟)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱DD 1 、C 1D 1的中点. (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值； (2)证明：B 1F ∥平面A 1BE .2.(2016·湖南雅礼中学模拟)在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BD ＝8，E 是线段AD 的中点.如图所示，沿直线BD 将△BCD 翻折成△BC ′D ，使得平面BC ′D ⊥平面ABD . (1)求证：C ′D ⊥平面ABD ；(2)求直线BD 与平面BEC ′所成角的正弦值.3.(2015·四川雅安模拟)如图，圆O 为三棱锥P －ABC 的底面ABC 的外接圆，AC 是圆O 的直径，PA ⊥BC ，点M 是线段PA 的中点.(1)求证：BC ⊥PB ；(2)设PA ⊥AC ，PA ＝AC ＝2，AB ＝1，求三棱锥P －MBC 的体积；(3)在△ABC 内是否存在点N ，使得MN ∥平面PBC ？请证明你的结论.4.(2015·东北三省三校模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、PC 的中点. (1)求证：EF ∥平面PAD ；(2)若PA ＝2，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角Q －AP －D 的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.32.空间中的垂直关系1.(2016·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC . (1)求证：DC ⊥平面PAC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA ∥平面CEF ？说明理由.2.(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1. 求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .3.(2016·四川)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由.(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .1.(2015·湖南)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积.2.(2014·福建)如图所示，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积.3.(2014·江西)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1.(1)求证：A1C⊥CC1；(2)若AB＝2，AC＝3，BC＝7，问AA1为何值时，三棱柱ABC－A1B1C1体积最大，并求此最大值.4.(2014·新课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高.1.(2015·湖北七市模拟)如图，在△AOB 中，∠AOB ＝π2，∠BAO ＝π6，AB ＝4，D 为线段BA 的中点.△AOC 由△AOB 绕直线AO 旋转而成，记∠BOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.(1)证明：当θ＝π2时，平面COD ⊥平面AOB ； (2)当三棱锥D －BOC 的体积为1时，求三棱锥A －BOC 的全面积.2.(2016·江西临川模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°，E 为BC 的中点，AA 1⊥平面ABCD . (1)证明：平面A 1AE ⊥平面A 1DE ；(2)若DE ＝A 1E ，试求二面角E －A 1C －D 的余弦值.3.(2015·江西红色六校模拟)如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAD；(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M－EFG的体积.4.(2015·广西江门模拟)如图1，直角梯形ABCD，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直(如图2).在图2所示的几何体D－ABC中：(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积.33.空间平行与垂直的综合应用1.(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.2.(2016·全国Ⅰ)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值.1.(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.2.(2014·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积.3.(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.4.(2014·天津)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，PA＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点.(1)证明：EF∥平面PAB；(2)若二面角P－AD－B为60°.①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.1.(2015·山东济宁一模)如图，已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，且∠BCD ＝∠BCE ＝π2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2. (1)求证：EC ⊥CD ； (2)求证：AG ∥平面BDE ； (3)求几何体EGBDC 的体积.2.(2015·安徽黄山模拟)如图所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱AB ，BB ′，B ′C ′，C ′D ′的中点分别是E ，F ，G ，H .(1)求证：AD ′∥平面EFG ； (2)求证：A ′C ⊥平面EFG ：(3)判断点A ，D ′，H ，F 是否共面？并说明理由.3.(2015·四川遂宁模拟)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD, PD ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，DC ＝2AB ＝2a ，DA ＝3a ，E 为BC 中点. (1)求证：平面PBC ⊥平面PDE ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使PA ∥平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.4.(2015·湖北八市模拟)如图，ABC －A 1B 1C 1是底面边长为2，高为32的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ，设C 1P ＝λC 1A 1(0<λ<1). (1)证明：PQ ∥A 1B 1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ ⊥截面APQB ？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由.34.空间向量及其运算(一)1.(2016·山东)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线.(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值.2.(2016·全国Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置. OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D ′A －C 的正弦值.1.(2015·天津)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点. (1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长.2.(2014·新课标全国Ⅱ)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D －AE －C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E －ACD 的体积.3.(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点.(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.4.(2014·安徽)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.1.(2016·天一大联考)如图1，已知四边形ABFD为直角梯形，AB∥DF，∠ADF＝π2，△AED为等边三角形，AD＝DF＝2AB＝2，C为DF的中点，如图2，将平面AED，BCF分别沿AD，BC折起，使得平面AED⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，连接EF，DF，设G为AE上任意一点.(1)证明：DG∥平面BCF；(2)求平面DEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.2.(2015·湖北八市模拟)如图1在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，AB ＝4，BC ＝2 2.以DE 为折痕，将Rt △ADE 折起到图2的位置，使平面A ′DE ⊥平面DBCE ，连接A ′C ，A ′B ，设F 是线段A ′C 上的动点，满足CF →＝λCA ′→.(1)证明：平面FBE ⊥平面A ′DC ；(2)若二面角F －BE －C 的大小为45°，求λ的值.3.(2015·山东青岛一模)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.(1)求证：平面BDGH ∥平面AEF ； (2)求二面角H －BD －C 的大小.4.(2015·河南商丘模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°. (1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与平面BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值.35.空间向量及其运算(二)(2016·四川)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.考点 利用向量解决立体几何中的探索问题1.(2015·湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE 、DF 、BD 、BE . (1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC 的值.2.(2014·江西)如图，四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥PD ；(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P －ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.3.(2014·湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2). (1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.1.(2015·福建厦门模拟)已知等边三角形PAB 的边长为2，四边形ABCD 为矩形，AD ＝4，平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是线段AB ，CD ，PD 上的点.(1)如图(1)，若G 为线段PD 的中点，BE ＝DF ＝23，证明：PB ∥平面EFG ；(2)如图(2)，若E, F分别为线段AB，CD的中点，DG＝2GP，试问：矩形ABCD 内(包括边界)能否找到点H，使之同时满足下列两个条件，并说明理由.(ⅰ)点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4；(ⅱ)GH⊥PD.2.(2015·广东六校联盟模拟)如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD －A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t，(0<t<2)，连接A1B，A1C，A1D.(1)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B－A1C－D的值；(2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由.3.(2016·广东揭阳一模)已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC 上的动点.(1)是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；(2)若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.。