数理统计

+¥ x p
f ( x) dx = p
则称 x p 为 X 的 p 分位点（分位数） 。 x 0.5 称为 X 的中位数。
x, 0 < x < 1 例：设 X ~ f ( x ) = 2 0.84 0, otherwise ，求 x0.5 , x x £ 0 ì ï 0, 2 解： F ( x) = í x , 0 < x < 1 x ³ 1 ï î 1,
2 1 n （2）样本方差： S = X X ( ) å i n - 1 i =1 2 2 1 n （3）样本标准差： S = S = X i - X ) ( å n - 1 i =1 2
1 n k （4）样本 k 阶原点矩： Ak = å X i , k = 1 , 2 ,L n i =1 1 n （5）样本 k 阶中心矩： Bk = å ( X i - X ) k , k = 1 , 2,L n i =1
位数）= 42 ， Q3 = 46.50 ，IQR= 46.50－14.25=32.25 4、分位点（分位数） 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ，密度为 f ( x ) ， 0 < p < 1 ，若 x p 满足
F ( x p ) = P( X > x p ) = ò
i =1
其中 P ( X = xi ) 由总体 X 的分布律获取。
若总体 X 是密度为 f ( x ) 的连续型总体，则样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的联合密度函数为
f * ( x1 , x2 ,L xn ) = f ( x1 ) f ( x2 )L f ( xn )
第三节 统计量 1、统计量的定义：设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自于总体 X 的样本，若样本的实值可测函数
g ( X 1 ,L , X n ) 的一个观测值。
例：若 X 1 , X 2 ,X 3 是来自于正态总体 N ( m ,s 2 ) 的样本，其中 m 已知，s 2 未知，则下列哪 些是统计量？哪些不是？
T1 = X 1 , T2 = X 1 + X 2 e X 3 , T6 = 1 1 T3 = ( X 1 + X 2 + X 3 ), 3
（ a £ yi £ yk £ b ）
（3） X ( i ) (1 £ i £ n) 的密度为
g ( yi ) = n ! n -i ( F ( yi ))i -1 f ( yi )(1 - F ( y i )) (i - 1)!(n - i )!
（ a £ yi £ b ） 特 别 地 ， X (1) 的 密 度 为 g ( y1 ) = nf ( y1 )(1 - F ( y1 )) n -1 ， （ a £ y1 £ b ） 。 X ( n ) 的 密 度 为
对于正态总体，样本中位数还有如下结论： 定理 2 设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自于正态总体 N ( m ,s 2 ) 的样本， m 0.5 为样本中位数，则
2 n
ps
2
L (m0.5 - m ) ¾¾ ® N (0,1)
（当 n ® +¥ ）
（2）样本极差： Rn = X ( n ) - X (1) （3）样本四分位数：将数据样本分成四个相等部分的值。 第一四分位数记为 Q 1 ，又称较小四分位数或下四分位数，等于该样本中所有数 值由小到大排列后第 25%的数字。 第二四分位数记为 Q 2 ，也就是中位数。 第三四分位数记为 Q 又称较大四分位数 或上四分位数， 等于该样本中所有数 3 ， 值由小到大排列后第 75%的数字。
2 1 - F ( x0.5 ) = 0.5 Þ F ( x0.5 ) = 0.5 Þ x0.5 = 0.5 Þ x0.5 =
{
2 2
2 1 - F ( x0.84 ) = 0.84 Þ F ( x0.84 ) = 0.16 Þ x0.84 = 0.16 Þ x0.84 = 0.4
n
（10）样本相关系数： r =
å(X
i =1 n i =1
i
- X )(Yi - Y )
n
å ( X i - X )2
å (Y - Y )
i i =1
2
（11）众数：观测值中最大频数对应的样品。 3、关于次序统计量 设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自于总体 X 的样本，其观测值为 x1 , x2 ,L, x n ，对观测值重新 排列并使得 x(1) £ x(2) £ L £ x( n ) ，则 x ( i ) 为 X 1 , X 2 ,L , X n 中第 i 个次序统计量 X ( i ) 的观测值。
7、总体与样本的表达形式 总体用 X、Y 等表示。总体中每个个体的出现都是一次随机试验的结果，这与 随机变量具有相同的性质，所以总体的记号与随机变量相同。 样本用 X 1 , X 2 ,L, X n 表示，由于抽样的结果也是随机试验的结果，所以样本也沿 用随机变量的记号。用 x1 , x2 ,L, x n 表示某一次抽样的具体结果，称为样本观测值。 8、简单随机样本：来自于同一个总体 X，且相互独立的样本 X 1 , X 2 ,L, X n 。 简单随机样本的两个基本特征：相互独立、与总体具有相同的分布。 9、样本的分布 设总体 X 的分布函数为 F ( x ) ，则样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的联合分布函数为
g ( y1 , y2 ,..., yr ) = n ! n - r f ( y1 ) f ( y2 )... f ( yr )(1 - F ( y r )) (n - r )!
（ a £ y1 £ y2 £ ... £ yr £ b ） 特别地， X (1) , X (2) ,L, X ( n ) 的联合密度为
T4 = max( X 1 , X 2 , X 3 ), T5 = E ( X 1 + X 2 - X 3 )
s
2
( X 12 + X 2 2 + X 3 2 ).
2、常用统计量
设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自于总体 X 的样本
1 n （1）样本均值： X = å X i n i =1
g ( yn ) = n( F ( yn )) n -1 f ( yn ) ， （ a £ yn £ b ） 。
需要注意的是，任意两个次序统计量并不独立，任意两个次序统计量的联合分 布也不相同。 由次序统计量衍生出来一些新的统计量，主要有：
X n +1 , 当n 为奇数时 ì ( ) ï 2 （1）样本中位数： m 0.5 = í 1 ）， 当n为偶数时 ï （X ( n ) + X ( n +1) î 2 2 2
g ( y1 , y2 ,..., yn ) = n! f ( y1 ) f ( y2 )... f ( yr )
（2） X ( i ) , X ( k ) (1 £ i < k £ n) 的联合分布为
g ( yi , yk ) = n ! ( F ( yi ))i -1 ( F ( yk ) - F ( yi ))k -i -1 (1 - F ( yk ))n- k f ( yi ) f ( y k ) (i - 1)!(k - i - 1)!(n - k )!
Q Q IQR = Q3 - Q1 . 3 与 1 的差称为样本四分位距，记作 IQR，即
对于四分位数的求法，可利用中位数使数据分成两列（不要把中位数放入已分 好的数列） ，第一四分位数为第一组数列的中位数；第三四分位数为第二组数列的中 位数。 例如， 对于以下数据： 7, 9, 16, 36, 39, 45, 45, 46, 48, 51 ， 可得 Q1 = 14.25 ， Q （中 2
B 3 B
3 2 2 n
更精确的计算表达式为： SK =
B 4 - 3 2 B2
n i =1 (n - 1)(n - 2)
å( X
i
3 - X ) 3
2 B2
（8）样本峰态系数： KU =
n
n(n + 1) 更精确的计算表达式为： KU = (n - 1)(n - 2)(n - 3)
F * ( x1 ,x2 ,L , xn ) = F ( x1 ) F ( x2 )L F ( xn )
若总体 X Байду номын сангаас离散型总体，则样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的联合分布律为
n
P ( X 1 = x1 , X 2 = x2 ,L,X n = xn ) = Õ P( X = xi )
由上述定义易知： A1 = X , B1 = 0 （6）样本变异系数： CV =
S ´ 100% X
例：已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为 190kg，标准差为 10.5kg，而大约克 成年母猪平均体重为 196kg，标准差为 8.5kg，试问两个品种的成年母猪，那一个体
重变异程度大。 解：此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系 数来比较其变异程度的大小。 由于，长白成年母猪体重的变异系数：CV = 10.5 / 190 * 100% = 5.53% 大约克成年母猪体重的变异系数：CV = 8.5 / 196 * 100% = 4.34% 所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。 （7）样本偏态系数： SK =
å(X
i =1
i
- X ) 4
2 B2
2 (n - 1) - 3 (n - 2)(n - 3)
设 ( X 1 , Y1 ),( X 2 , Y2 ),...,( X n , Y ) 的样本 n ) 是来自于总体 ( X , Y （9）样本协方差： S XY
1 n = å ( X i - X )(Yi - Y ) n i =1