北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一第一学期期末考试数学试题(解析版)
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
北京市首师大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若log＜1，则a的取值范围是（）aA．0＜a＜ B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞14．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+35．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．x 7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．11．已知三个向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），且A 、B 、C 三点共线，则k=______．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sin α=，cos β=，则α﹣β的值为______．13．已知tan θ=3，则=______． 14．使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是______．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k 为何值时：（1）k +与﹣3垂直；（2）k +与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？16．已知函数f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x+．（1）求函数f （x ）的周期；（2）求函数f （x ）在[﹣，]的取值范围．17．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）． （1）若x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2且f （x ）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f （x ）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．18．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x ；②y=x+1； ③y=x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f （x ）=sinx+cosx+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）已知f （x ）=是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．北京市首师大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故选：B．3．若loga＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜ B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．【解答】解：loga ＜1=logaa，当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．故选D．4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，∴x→x﹣3，又∵f（x）=2﹣x+x∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．故选A．5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选C6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=logx5的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．x的图象的【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5交点个数．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，可得函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数y=f（x）与y=logx的5图象的交点个数为 4，故选B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时， =（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时， =（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时， =（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°= ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=，故答案为：10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，故答案为：11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k= ﹣2或11 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出 k的值．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得 k=11或 k=﹣2．故答案为：﹣2或11．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，cosα=﹣=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣=﹣，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，=×﹣（﹣）（﹣），=﹣，∴α﹣β=．故答案为：．13．已知tanθ=3，则= ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanθ=3，则====．故答案为：．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是a≤﹣2 ．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用公式1=cos2x+sin2x，进行代换，可得cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．【解答】解：1﹣cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，令t=cosx，∵x∈R，∴t∈[﹣1，1]，t2+（1﹣a）t﹣a2≤0，由题意知a＜0∴．故答案为a≤﹣2．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．【分析】（1）由题意可得 k+和﹣3的坐标，由 k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．（2）由 k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．【解答】解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由 k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由 k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin （2x ﹣），… 由T=得，最小正周期T=π；…（2）∵x ∈[﹣，]，∴﹣≤2x ﹣≤π，…∴﹣1≤sin （2x ﹣）≤1，…函数f （x ）在[﹣，]的取值范围：[﹣1，1]．17．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2且f （x ）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f （x ）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）根据正弦型函数f （x ）的图象与性质，结合题意求出周期T ，即可得出ω的值，再根据f （x ）的最值求出φ的值；（2）根据φ=时函数f （x ）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；（3）根据φ=0时f （x ）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．【解答】解：（1）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）， 当x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2，∴T=2（6﹣2）=8=，∴ω=， ∴f （x ）=2sin （x+φ）；把（2，2）代入f （x ）得2=2sin （+φ），∴cos φ=1；∵|φ|＜，∴φ=0；（2）当φ=时，函数f （x ）=2sin （ωx+）在[0，]上单调递增，∴≤ωx+≤ω+，∴ω+≤， 解得ω≤1；又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，1]；（3）当φ=0时，f （x ）=2sin ωx ，∵f （x ）为奇函数，要使f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，只需f （x ）=0在（0，π]上恰有9个根，∴T ≤π＜5T ，即•≤π＜5•，解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．18．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x ；②y=x+1； ③y=x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f （x ）=sinx+cosx+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）已知f （x ）=是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据“X ﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X ﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），利用不等式求出a 的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B ，（0，+∞）⊆A ；（3）用反证法说明0∈A ，即得A 、B ．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X ﹣函数”，③不是“X ﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），即f （﹣x ）+f （x ）≠0；因为f （x ）=sinx+cosx+a ，所以f （﹣x ）=﹣sinx+cosx+a ，故f （x ）+f （﹣x ）=2cosx+2a ；由题意，对任意的x ∈R ，2cosx+2a ≠0，即a ≠﹣cosx ；﹣﹣﹣又cosx ∈[﹣1，1]，所以实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x ≠0，（i ）若x ∈A 且﹣x ∈A ，则﹣x ≠x ，f （﹣x ）=f （x ），这与y=f （x ）在R 上单调递增矛盾，（舍去），（ii ）若x ∈B 且﹣x ∈B ，则f （﹣x ）=﹣x=﹣f （x ），这与y=f （x ）是“X ﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f （x ）的定义域为R ，故对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）假设存在x 0＜0，使得x 0∈A ，则由x 0＜，故f （x 0）＜f （）；（i ）若∈A ，则f （）=+1＜+1=f （x 0），矛盾，（ii ）若∈B ，则f （）=＜0＜+1=f （x 0），矛盾；综上，对任意的x ＜0，x ∉A ，故x ∈B ，即（﹣∞，0）⊆B ，则（0，+∞）⊆A ；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣。
北京市首都师范大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
【解析】
【分析】
计算得到 ，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】 ,则 .
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
13.已知tan（3π+α）＝2,则 _____。
【答案】2
【解析】
【分析】
计算 ,化简得到原式 ，计算得到答案。
【详解】 。
原式 .
中，根据余弦定理求得 ，
∴ ．
(Ⅱ)由已知可得 ,
∴ ．
中，由正弦定理可得 ,
∴ 分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛 ．
【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用,意在考查学生的建模能力,实际应用能力和计算能力.
20。f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α)x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2),则称f（x）为定义在D上的C函数。
根据 和 之间能否推出的关系，得到答案。
【详解】由 可得 ，
由 ，得到 或 , ，不能得到 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
2。已知向量 , 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 , 的夹角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
3。设 为第三象限角， ，则 （ ）
A. B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由同角关系求得 ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．
【详解】∵设 为第三象限角， ,∴ ，
∴ ．
故选:D．
北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年度第一学期高一数学期末试题
首都师大附中2019-2020学年第一期期末考试一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 01．设θ＝R ，则“θ=π6，是“sinθ=12”的【】 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件02．已知向量a →，b →在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a →，b →的夹角为【】A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°03．设θ为第三象限角，sinθ=−35，则sin2θ＝【】 A ．−725B ．725C ．−2425D ．242504．下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递增的是【】 A ．y ＝2|x |B ．y ＝x−23C ．y =1x−x D ．y ＝ln （x 2+l ）05．已知f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a ＝f （log 47），b =f(log 123)，c ＝f （0.2﹣0.6），则a ，b ，c 的大小关系是【】A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c06．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |（0≤x ＜3π2且x ≠π2）的图象是【】A ．B ．C ．D ．07．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →=λAC →+μAE →，则λ﹣μ的值为【】A ．3B ．2C ．1D ．﹣308．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f （x ）的图象向左平移π6个单位长度后得到函数图象过点P （0，1），则函数f （x ）＝sin （ωx +φ）【】 A ．有一个对称中心（π12，0）B ．有一条对称轴x =π6C ．在区间[−π12，5π12]上单调递减D ．在区间[−π12，5π12]上单调递增09．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）=2x x 2+1，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos π2x ，④f （x ）＝tan x 其中存在“稳定区间”的函数有【】 A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④10．如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP →=λAB →+μAE →，下列判断正确的是【】A ．满足λ+μ＝2的点P 必为BC 的中点B ．满足λ+μ＝1的点P 有且只有一个C ．λ+μ的最大值为3D ．λ+μ的最小值不存在二、填空题共6小题每小题5分共30分11．函数f(x)=1log 2(3−x)的定义域为 ．12．在△ABC 中，cos A =35，cos B =45，则cos C ＝ ．13．已知tan （3π+α）＝2，则sin(α−3π)+cos(π−α)+sin(π2−α)−2cos(π2+α)−sin(−α)+cos(π+α)= ．14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为 ．15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为C =20tt 2+4，则经过 h 后池水中药品的浓度达到最大． 16．已知函数f （x ）＝sin π2x ，任取t ∈R ，记函数f （x ）在区间[t ，t +1]上的最大值为M t ，最小值为m t ，记h （t ）＝M t ﹣m t ．则关于函数h （t ）有如下结论： ①函数h （t ）为偶函数； ②函数h （t ）的值域为[1−√22，1]；③函数h （t ）的周期为2；④函数h （t ）的单调增区间为[2k +12，2k +32]，k ∈Z ． 其中正确的结论有 ．（填上所有正确的结论序号）三、解答题共4小题共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17．已知不共线向量a →，b →满足|a →|＝3，|b →|＝2，（2a →−3b →）•（2a →+b →）＝20． （1）求a →•b →；（2）是否存在实数λ，使λa →+b →与a →−2b →共线？ （3）若（k a →+2b →）⊥（a →−k b →），求实数k 的值．18．已知函数f （x ）＝cos x （a cos x ﹣sin x ）−√3（a ∈R ），且f （π3）=−√3．（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，π2]上的最小值及对应的x 的值．19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．（Ⅰ）求sin∠BDC的值；（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？20．f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（1）试判断函数f1（x）＝x2，f2(x)=1x(x＜0)中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；（2）若f（x）是定义域为R的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．B 2．A 3．D 4．B 5．B 6．C 7．D 8．B 9．A 10．C二、填空题共6小题每小题5分共30分 11．（﹣∞，2）∪（2，3）． 12．0． 13．2． 14．（1，2）． 15．2． 16③④．三、解答题共4小题共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17．（1）向量a →，b →满足|a →|＝3，|b →|＝2，（2a →−3b →）•（2a →+b →）＝20， 所以4a →2−4a →•b →−3b →2=4×9﹣4a →•b →−3×4＝20， 解得a →•b →=1；（2）假设存在实数λ，使λa →+b →与a →−2b →共线，则以a →、b →为基底，得出坐标表示，λa →+b →=（λ，1），a →−2b →=（1，﹣2）， 由共线定理得﹣2λ﹣1×1＝0，λ=−12，即存在λ=−12，使得λa →+b →与a →−2b →共线；（3）若（k a →+2b →）⊥（a →−k b →），则（k a →+2b →）•（a →−k b →）＝0，即k a →2+（2﹣k 2）a →•b →−2k b →2=0， 所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0， 整理得k 2﹣k ﹣2＝0， 解得k ＝﹣1或k ＝2．18．（1）∵f （x ）＝cos x （a cos x ﹣sin x ）−√3（a ∈R ），且f （π3）=−√3．∴f （π3）=12（12a −√32）−√3=−√3．解得a =√3．（2）由（1）可得f （x ）＝cos x （√3cos x ﹣sin x ）−√3=√3cos 2x ﹣sin x cos x −√3=√3×1+cos2x2−12sin2x −√3=cos （2x +π6）−√32， 令2k π+π≤2x +π6≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π+5π12，k π+11π12]，k ∈Z ， （3）∵x ∈[0，π2]，可得：2x +π6∈[π6，7π6]，∴当2x +π6=π，即x =5π12时，f （x ）＝cos （2x +π6）−√32取得最小值为﹣1−√32． 19．（Ⅰ）由已知可得CD ＝40×12=20， △BDC 中，根据余弦定理求得 cos ∠BDC =212+202−3122×21×20=−17，∴sin ∠BDC =4√37．（Ⅱ）由已知可得∠BAD ＝20°+40°＝60°，∴sin ∠ABD ＝sin （∠BDC ﹣60°）=4√37×12−（−17）×√32=5√314． △ABD 中，由正弦定理可得AD =BD×sin∠ABD sin∠BAD =21×sin∠ABDsin∠BAD =15，∴t =1540×60=22.5分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 20．（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22 ＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；f2(x)=1x(x＜0)不是C函数，说明如下（举反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α=1 2，则f2（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf2（x1）﹣（1﹣α）f2（x2）＝f2（﹣2）−12f2（﹣3）−12f2（﹣1）=−12+16+12＞0，即f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），∴f2(x)=1x(x＜0)不是C函数；（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．（i）若f（m）＜f（n），记x1＝m，x2＝m+T，α＝1−n−mT，则0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），这与f（m）＜f（n）矛盾；（ii）若f（m）＞f（n），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1−n−mT，同理也可得到矛盾；∴f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾．所以f（x）不是R上的C函数．。
北京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期末考试新人教A版
北京师大附中2019—2020学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) 3-(D )33．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 1[2D. 8．如图，□ABCD 中，＝，＝，则下列结论中正确的是 （ ）（A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形 ④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||7a b a b = =＝，－．（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
首都师大附中2019-2020学年上学期高一数学期末考试卷附答案详析
首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[12-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +rr与-ra 2b r共线？（3）若（k a +r 2b r ）∈（-r r a kb ），求实数k 的值.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.解析首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2a b a bθ⋅===⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∵4cos 5θ===-， ∵3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫=⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>， 所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD u u u r u u u r u u u r =+，∵2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r，∵1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算 7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2fx x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈ B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. ∵f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足； ∵f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；∵f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ∵f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r 设(,)AP a b =u u u r ，由λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x-=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[1-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】∵∵.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cossin22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有∵∵正确. 【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线？（3）若（k a +r2b r）∈（-rra kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，计算得到答案.（3）计算（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20， 所以42-ra 4a r •b -r32=rb 4×9﹣4a r •b -r 3×4＝20，解得a r •b=r1；（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，故,12m m λ==-，12λ=-.即存在λ12=-，使得λa b +r r 与-r a 2b r 共线；（3）若（k a +r 2b r ）∵（-r r a kb ），则（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，即k 2+r a （2﹣k 2）a r •b -r 2k 2=r b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案. （3）计算2x 6π+∵[6π，76π]，再计算最值得到答案. 【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∵R ），且f （3π）=∵f （3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+）， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∵Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∵Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∵Z ， （3）∵x ∵[0，2π]，可得：2x 6π+∵[6π，76π]，∵当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣1. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（∵）7； （∵）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(∵) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(∵)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(∵)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∵sin 7BDC ∠=． (∵)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∵116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∵156022.540t=⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数. 【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∵（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∵f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0，即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∵()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ）， 记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾；∵f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。
【解析】北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试(5-11班)数学试题
首都师大附中2019—2020学年第一学期期中考试高一数学（5-11班）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =I （ ） A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D.{| 2 x x >或1}x <【答案】B 【分析】计算{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】{}{|(1)(3)0}=13B x x x x x =--<<<，{|2}A x x =>，故{|23}A B x x ⋂=<<.故选：B .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2.已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为（ ） A. ∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 B. ∀c ≤0，方程x 2-x +c =0有解 C. ∃c ＞0，方程x 2-x +c =0无解 D. ∃c ≤0，方程x 2-x +c =0有解【答案】A 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p ：∃c ＞0，方程x 2-x +c =0有解，则¬p 为∀c ＞0，方程x 2-x +c =0无解, 故选：A.【点睛】本题考查特称命题否定，是基础题.3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）【答案】C 【分析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题. 4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y【答案】B 【分析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断.【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减；对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y 故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题.5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c + 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c =时，不等式不成立； B.当0c <时，不等式不成立； C.当1,2a b ==-时，不等式不成立； D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题. 6.函数f (x )=1x +的最大值为 （ ） A. 2 5B. 1 2C.2D. 1【答案】B本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=，即1x =时取等号．故选B ．7.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3 B. 0C. -3D.13【答案】C 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.9.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()1212f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是 A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】 对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围．【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+- =()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ．【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【分析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②.【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B.【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中的横线上.11.计算210.00013427--【答案】134【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.12.函数y 11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【分析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围.【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1【分析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值.【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14.如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.15.能说明“若()()f x g x f 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______． 【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =- 【分析】由不等式恒成立可设()f x x =，()1g x x =-，结合单调性求出其在[]0,2上的最大值，即可得到符合题意．【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】 (1). R (2). []0,1 【分析】（1）根据分段函数单调性求值域，（2）先根据分段函数解+析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=U（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案为：(1). R (2). []0,1【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题：共40分.17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式得解；（2）由题得22a -≥-且23a +≤，解不等式得解. 【详解】（1）||2x a -<Q22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+∵2112x x -<+ ∴302x x -<+∴(2)(3)0x x +-<∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.【答案】⑴b ＝2；⑵见解+析.【分析】（1）把点的坐标代入f （x ）计算；（2）对f （x ）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f （x ）的单调性，利用单调性解出b ，再求出最大值．【详解】解：（1）把（4，3）代入f （x ）得16﹣8b +3＝3，∴b ＝2．（2）f （x ）的图象开口向上，对称轴为x ＝b ．①若b ≤﹣1，则f （x ）在[﹣1，2]上是增函数，∴f min （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝1，解得b ＝﹣32． ∴f max （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝13．②若b ≥2，则f （x ）在[﹣1，2]上是减函数，∴f min （x ）＝f （2）＝7﹣4b ＝1，解得b ＝32（舍）． ③若﹣1＜b ＜2，则f （x ）在[﹣1，b ]上是减函数，在（b ，2]上增函数．∴f min （x ）＝f （b ）＝﹣b 2+3＝1，解得b 或b （舍）．∴f max （x ）＝f （﹣1）＝4+2b ＝4+22．综上，当b ≤﹣1时，f （x ）的最大值为13，当﹣1＜b ＜2时，f （x ）最大值为4+22．【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题． 19.如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】（1）炮的最大射程是10千米．（2）当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标．试题分析：（1）求炮的最大射程即求()221120y kx k x =-+（k ＞0）与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解试题详细分析：（1）令y ＝0，得kx －120（1＋k 2）x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝2201k k +＝201k k+≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． （2）因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120（1＋k 2）a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）≥0⇔a≤6.所以当a 不超过6（千米）时，可击中目标．考点：函数模型的选择与应用20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.（1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围； （3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x A x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B . 【答案】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0）【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，∴f （-x ）=-f （x ）无实数解，即x 2+a =0无实数解，∴a ＞0，∴a 的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x ≠0， 若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去；若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.。
北京北京师范大学附属实验中学高一数学上册期末试卷
北京北京师范大学附属实验中学高一数学上册期末试卷一、选择题1．设集合U =R ，{}220A x x x =--<，则UA =（ ）A ．[12]-，B ．(12)-， C ．(1)(2)-∞-+∞，， D ．(][),12,-∞-⋃+∞2．函数()12x f x x -=-的定义域为（ ） A ．[)()122+∞，， B ．()1+∞， C ．[)12， D ．[)1+∞，3．若02πα-<<，则()sin ,cos Q αα所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3p ，则2sin cos θθ+=（ ）A ．132+B ．312+C ．312+ D ．31+5．已知函数()52xf x x a =+-在()1,2上存在零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()7,29B ．()7,+∞C ．()1,29D ．()7,146．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，弧长等于83π米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（ ）平方米.A ．16433π-B ．16233π-C ．43+D ．23+7．已知定义域为[]7,7-的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，且满足()()0f x f x -+=.若(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >，则满足()()()()212144m f m m f m --≤++的实数m 的取值范围为 （ ）A ．[]1,3-B ．[]1,5-C ．[]3,5-D ．[]3,3-8．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=-，当,1,1a b且0a b +≠时()()0f a f b a b+>+.已知,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题9．已知函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)2f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()11f -=B ．(0)0f =C ．(4)2f =D ．(10)2f =10．给出下列四个选项，其中能成为x y >的充分条件的是（ ） A ．22xt yt >B ．22x y >C ．xt yt >D ．110x y<< 11．设2log 6a =，31log 6b =，则下列结论正确的是 A ．111a b-=B ．0ab <C ．0a b +<D ．221112a b +> 12．若函数()f x 同时满足：①对于定义域内的x ∀，都有()()0f x f x +-=；②对于定义域内的1x ∀，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“颜值函数”.下列函数中，是“颜值函数”的有（ ） A ．()sin f x x =B ．()2f x x =C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩D ．()3f x x =-三、多选题13．命题“0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan sin x x ≥”的否定是________．14．已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.15．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c +++≠+的最小值是___________． 16．已知正实数a ，b 满足21ab a b ++=，则188a b a b+++的取值范围为_________． 四、解答题17．已知a R ∈，集合{}2230A x x x =--≤，{}220B x x ax =--=.（1）若a =1，求A B ，R C A ； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），最后向下平移2个单位得到()y g x =图象，求函数()y g x =的解析式及在R 上的对称中心坐标．19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(6)()f x f x +=，当(0,3)x ∈时，()2()log 1a f x x x =-+.（1）当(3,0)x ∈-时，求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在[3,3]-上的零点构成的集合. 20．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为h 米，试将h 表示为时间t 的函数； （2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值.21．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间；（3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围.22．已知函数()22254f x x b b x =--+-，b 是常数. （1）当2b =时，写出函数()f x 的单调区间；（2）记2()sin cos 1g x x x =-+，若函数()f x 与()g x 在0x x =处同时取得最小值，求整数b 的值；（3）对于满足（2）中条件的b ，记()lg[(21)]h x f x =-.若()h x m =有4个不相等的实数根，记为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，求1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围.【参考答案】一、选择题 1．D解一元二次不等式求出集合A ，再利用集合的补集运算即可求解. 【详解】{}()(){}{}22021012A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，所以{U2A x x =≥或}(][)1,12,x ≤-=-∞-⋃+∞，故选：D 2．A 【分析】由给定函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】 函数()f x =1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1≥x 且2x ≠，所以原函数的定义域是[1,2)(2,)⋃+∞. 故选：A 3．B 【分析】由α的范围，求出cos ,sin αα的正负，从而可确定点所在象限． 【详解】 ∵02πα-<<，∴cos 0,sin 0αα><，∴点()sin ,cos Q αα在第二象限． 故选：B ． 4．A 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出sin θ，cos θ，从而代入计算可得； 【详解】解：因为角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(p ，所以sin θ==1cos 2θ=，所以112sin cos 222θθ+=+=5．A 【分析】根据零点存在定理及函数单调性可知()10f <,()20f >,解不等式组即可求得a 的取值范围. 【详解】因为()f x 在()1,2上单调递增,根据零点存在定理可得()()1702290f a f a ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩, 解得729a <<. 故选:A 【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题. 6．D 【分析】由已知求得矢和弦长，再由公式计算． 【详解】 设半径为r ，则8233r ππ=，4r =，所以弦长为2sin 243r π=⨯= 矢为1cos44232r r π-=-⨯=，所以弧田面积为21(22)22S =⨯⨯=．故选：D ． 7．A 【分析】根据(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2112f x f x x x >，转化为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <，时，总有()()2211x f x x f x >，令()()g x xf x =，则()g x 在(]0,7上递增，再根据()()0f x f x -+=，得到()g x 在[]7,7-上是偶函数，将()()()()212144m f m m f m --≤++，转化为()()214g m g m -≤+求解.【详解】令()()g x xf x =，因为(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2112f x f x x x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()2211x f x x f x >， 即(]12,0,7x x ∀∈，当12x x <时，总有()()21g x g x >， 所以()g x 在(]0,7上递增， 又因为()()0f x f x -+=， 所以()g x 在[]7,7-上是偶函数，又因为()()()()212144m f m m f m --≤++， 所以()()214g m g m -≤+，即()()214g m g m -≤+， 所以21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩即3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，解得13m -≤≤，所以实数m 的取值范围为 []1,3- 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题令()()g x xf x =是关键，利用()g x 在(]0,7上递增，结合()g x 在[]7,7-上是偶函数，将问题转化为()()214g m g m -≤+求解. 8．A 【分析】由奇偶性分析条件可得()f x 在[]1,1-上单调递增，所以()max 1f x =，进而得2143sin 2cos θθ<+-，结合角的范围解不等式即可得解.【详解】因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数， 所以当,1,1a b且0a b +≠时()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，根据,a b 的任意性，即,a b -的任意性可判断()f x 在[]1,1-上单调递增， 所以()max (1)(1)1f x f f ==--=，若()243sin 2cos f x θθ<+-对[]1,1x ∀∈-恒成立，则2143sin 2cos θθ<+-，整理得(sin 1)(2sin 1)0θθ++>，所以1sin 2θ>-，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,62ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()f a f b f a f b a b a b +-->⇔>+--，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二、填空题9．CD 【分析】根据函数的周期，计算求值. 【详解】由条件()()3f x f x +=，可知函数的周期3T =， 因为()12f =，则()()4102f f ==. 故选：CD 10．AD 【分析】根据选项是x y >的充分条件，即选项所给的不等式可以推出x y >， 【详解】对于A 选项：若22xt yt >，则20t ≠，能推出x y >，故选项A 正确；对于B 选项：由22x y >，不能推出x y >，例如取3,1x y =-=，故选项B 错误； 对于C 选项：xt yt >时，若0t <，则x y <，所以不能推出x y >，故选项C 不正确； 对于D 选项：1()f x x=在(0,)+∞单调递减，若110x y <<，则x y >，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 11．ABD 【分析】由题意得0a >，0b <，61log 3=-b，61log 2a =，代入选项逐一判定.【详解】解：由题意可得2log 60=>a ，3log 60=-<b ，61log 3=-b ，6211log 2log 6a ==； 对于A.6611log 2log 31-=+=a b，故A 正确；对于B. 0ab <成立，故B 正确；对于C.666112log 2log 3log 03+-=<=a b ，则0a bab +<，所以0a b +>，故C 不正确； 对于D. 由对于A ：得111=+a b 所以222222*********(1)12()22+=++=++=++a b b b b b b ，因为661log 3log 2>，则112<-b ，所以221112a b +>，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】比较指数式和对数式的大小策略：（1）比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量，有时也可用数形结合的方法；（2）解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 12．CD 【分析】由条件得出“颜值函数”在定义域内为奇函数、减函数，再对选项进行逐一判断即可. 【详解】由题意知，函数()f x 是定义域上单调递减的奇函数， A 选项，()sin f x x =在是定义域上不是单调递减，故错误；B 选项，()2f x x =不是奇函数，故错误；C 选项. 作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨-->⎩的图象，如下根据图象，函数()f x 在定义域内为奇函数且为减函数，所以是“颜值函数”.则C 正确. D 选项, ()2f x x =-在定义域内为奇函数且为减函数, 所以是“颜值函数”，则D 正确. 故选: CD.三、多选题13．(0,),tan sin 2x x x π∈<∃【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【详解】命题为全称命题，则命题的否定为(0,),tan sin 2x x x π∈<∃，故答案为：(0,),tan sin 2x x x π∈<∃14．[1,)+∞【解析】 【分析】由题知：对数函数有一个零点，二次函数由二个零点，分别求出a 的范围，再求交集即可. 【详解】由对数函数和二次函数知： 2log ()0x a +=在(,0]-∞上有一个根.解得：1x a +=，即：1x a =-.因为10a -≤，所以1a ≥.230x ax a -+=在(0,)+∞有两个不相等的根.即：21212940300a a x x a x x a ⎧∆=->⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得：49>a .综上：1a ≥ 故答案为：[1,)+∞ 【点睛】本题主要考查函数与方程的关系，同时考查了二次方程根的分布，属于中档题.15．【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()6b c b c =++≥+，当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.16．()6,9【分析】先根据正实数a ，b 满足21ab a b ++=找到a ，b 的关系及a ，b 的范围，然后把188a b a b+++通换元法转化为函数求值域． 【详解】由21ab a b ++=得21ab a b ++=，∴121ab a -=+，且(1)(2)3a b ++=． ∵0,0a b >>，∴120a ->，∴12a <∴102a <<．则3321311a b a a a a +=+-=++-++，令31,1,2u a u ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭则33a b u u+=+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，（因为32<∴112a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，． 令=+t a b ，则112t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴188a b a b +++=18t t +在112⎛⎫⎪⎝⎭，上单增， ∴()1886,9a b a b++∈+． 故答案为：(6,9)． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．四、解答题17．（1）{}12A B =-，，()()13R C A =-∞-+∞，，；（2）713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 【分析】（1）当1a =，先求出集合B ，再利用集合的交集和补集计算即可；（2）先利用已知条件得到B A ⊆，由一元二次方程的根的分布建立不等式组，即可得出结果. 【详解】（1）由题意知：{}[]223013A x x x =--≤=-，，当a =1时，{}{}22012B x x x =--==-，， 所以{}12A B =-，，()()13R C A =-∞-+∞，，； （2）A B A B A ⋃=∴⊆，，因为()2+8>0a =-∆恒成立，所以B ≠∅，所以要使B A ⊆，则需()()2213211203320a a a ⎧-<<⎪⎪⎪--⨯--≥⎨⎪--≥⎪⎪⎩，解得713a ≤≤，所以实数a 的取值范围为：713⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.18．（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()4sin 423g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，,2()412k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z ． 【分析】（1）结合图象求出A ，ϕ，代入点的坐标，求出ϕ，从而求出函数()f x 的解析式； （2）通过图象变换，求出函数()g x 的解析式，根据三角函数的性质求出()g x 的对称中心即可． 【详解】（1）由图象知：3532,41234A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 解得：T π=，故22πωπ==，故()2sin(2)f x x ϕ=+，将点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得：2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 故()223k k ϕππ=+∈Z ，而2πϕ<，故3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，解析式转化为2sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），解析式转化为4sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后向下平移2个单位得到()y g x =图象，则()4sin 423y g x x π⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，令()4sin 43h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令4()3x k k ππ-=∈Z ，解得：()412k x k ππ=+∈Z ，故()h x 的对称中心是,0()412k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ， 故()g x 的对称中心是,2()412k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z ． 【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；（2）代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．19．（1）()2()log 1a f x x x =-++；（2）{3,1,0,1,3}--.【分析】（1）由(3,0)x ∈-，可得x -的范围，并得()f x -，然后结合()f x 是奇函数可得结果. （2）根据（1）的条件，令()0f x =，以及函数的奇偶性和周期性，可得结果. 【详解】（1）当(3,0)x ∈-时，(0,3)x -∈，所以2()log ()()1a f x x x ⎡⎤-=---+⎣⎦， 即()2()log 1a f x x x -=++因为()f x 是定义在R 上的奇函数，()2()()log 1a f x f x x x =--=-++，所以当(3,0)x ∈-时，()2()log 1a f x x x =-++.（2）因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)0f =，且(3)(3)f f -=-， 因为(6)()f x f x +=，所以(3)(3)f f -=， 所以(3)(3)0f f -==， 当(0,3)x ∈时，令()2()log 10a f x x x =-+=，得211x x -+=，解得0x =（舍去），或1x =，即(1)0f =， 又因为()f x 是奇函数， 所以(1)(1)0f f -=-=， 所以函数()f x 在[3,3]-上的零点构成的集合为{3,1,0,1,3}--. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，难点在于如何求出另外一部分的表达式，属中档题. 20．（1）()5040cos()15t h t π=-；（2）5t =分钟或25t =分钟；（3）h 最大值为40米.【分析】（1）由题意可知高度h 与时间t 的关系符合()sin()h t A t B ωϕ=++，根据已知求出,,,A B ωϕ的值，写出解析式即可.（2）设()30h t =，解方程求出(0,30)t ∈即为距离地面的高度恰好为30米的时间. （3）有题意列出游客甲、游客乙距离地面的高度解析式分别为12(),()h t h t ，利用三角函数有12|()()|h t h t -的最大值为所求h 的最大值. 【详解】（1）由题意，设()sin()h t A t B ωϕ=++，得：9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得40,50A B ==，又当0t =时，(0)40sin 5010h ϕ=+=， ∴22k πϕπ=-，不妨令0k =有2πϕ=-，而230T πω==得15πω=，∴()5040cos()15t h t π=-，（2）由题意有()5040cos()3015t h t π=-=，即1cos()152tπ=， ∴153t ππ=或5153t ππ=，得5t =或25t =. （3）若游客甲高度解析式为1()5040cos()15t h t π=-，则游客乙高度解析式为2()5040cos()153t h t ππ=--，∴12cos()cos()1515|()()|40|cos()cos()|40||40|cos()|1531522153ttt tt h t h t πππππππ-=--=-=+ ∴令153t πππ+=，解得10t =，此时12|()()|h t h t -的最大值为40米.【点睛】关键点点睛：根据实际问题构建三角函数模型，进而由题设求对应高度的时间，以及应用三角恒等变换求两游客的高度差最大值.21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤.【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间；（3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果. 【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立， 令()4g t t t=+，[]1,2t ∈，任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解. 22．（1）()f x的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为)+∞；（2）1b =或4b =；（3）(),0-∞【分析】（1）直接根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意2()cos cos 2g x x x =--+，令cos t x =，[]1,1t ∈-，即可得到()21924g t t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，从而求出0cos 1x =时，()g x取得最小值，则02,x k k Z π==∈，即可求出整数b 的值；（3）依题意可得()2lg 21h x x =-，由()()()()1234h x h x h x h x m ====，且1234x x x x <<<，即可得1234,,,x x x x 的关系，然后将多变量问题转化为单变量问题，进而可求1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围. 【详解】解：（1）当2b =时，()2f x x =-为开口向上的二次函数，对称轴为x 故()f x的单调递减区间为(-∞，单调递增区间为)+∞；（2）因为222()sin cos 11cos cos 1cos cos 2g x x x x x x x =-+=--+=--+ 令cos t x =，[]1,1t ∈-，则()2219224g t t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭所以当1t =，即0cos 1x =时，()g x 取得最小值，此时02x k π=，所以02,x k k Z π∈，由22599054244b b b ⎛⎫≤-+-=--+≤ ⎪⎝⎭，所以0032x ≤≤，所以0k =，即2540b b -+-=，解得1b =或4b =；（3）由（2）知()2f x x =，所以2()lg[(21)]lg(21)2lg 21h x f x x x =-=-=-因为()()()()1234h x h x h x h x m ====，且1234x x x x <<<， 所以1lg(21)2m x -+=，2lg(21)2m x -+=-，3lg(21)2m x -=-，4lg(21)2mx -= 所以由对称性有141x x +=，231x x +=，又2112121x x -+=-+，3412121x x -=-，所以141x x =-，424121x x x -=-，43421x x x =-， 所以()()()2244441234442444111212121x x x x x x x x x x x x x --⋅⋅⋅=-⨯⨯⨯=----()41x >， 因为()()2444444412121x x x x x x x ϕ--=-=---()41x >， 令421m x =-，则1m ，所以221111122()44m m m F m m m m m ++⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=-=-=- ⎪⎝⎭在()1,+∞上单调递减， 所以()(1)0F m F <=，即()40x ϕ<， 所以()240x ϕ>， 所以()1234,0x x x x ⋅⋅⋅∈-∞. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是找到1234,,,x x x x 的关系，将多变量问题转化为单变量问题，再根据函数的性质求出取值范围.。
北京首都医科大学附属中学2020年高一数学理上学期期末试题含解析
北京首都医科大学附属中学2020年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等比数列中，若，且则为（）A． B． C． D．或或参考答案：D 解析：，当时，；当时，；当时，；2. 设集合，，若,则的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15 B．105C．245 D．945参考答案：B运行程序框图中的程序，可得：第一次：，不满足条件，继续运行；第二次：，不满足条件，继续运行；第三次：．满足条件，停止运行，输出105．故选B．4. 方程的解的个数为……………（）A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 2个参考答案：D略5. 已知函数的最小正周期π，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A.向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度参考答案：A6. 某几何体三视图及相关数据如右图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．16C．64+16 D． 16+参考答案：D略7. 已知全集A．｛３｝ B．｛２,３｝ C． D．｛２｝参考答案：A8.A． B． C． D．参考答案：B略9. 平面截球的截面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A．π B．4π C．4π D．6π参考答案：B略10. 若那么下列各式中正确的是（）A． B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若f(x)＝，0<a<b<e，则f(a)、f(b)的大小关系为________．参考答案：f(a)<f(b)略12. 设集合A＝{－1,0,3}，B＝{a＋3,2a＋1}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．参考答案：a=0或a=1略13. 设集合则参考答案：{1，2，3，4}14. 函数在区间上的最小值为．参考答案：解析：15. 若，则=参考答案：116. 设函数，满足，则的值是__________。
北大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
北大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知变量a b 、已被赋值，要交换a b 、的值，采用的算法是（ ）A ．a b =，b a =B ．a c =，b a =，c b =C ．a c =，b a = ，c a =D ．c a =，a b =，b c =2.从某年纪1000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）A ．1000名学生是总体B ．每个被抽查的学生是个体C ．抽查的125名学生的体重是一个样本D ．抽取的125名学生的体重是样本容量3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ． 34.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是（ ）A.抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D.系统抽样5.下列抽样实验中,最适宜用系统抽样的是（ ）A.某市的4个区共有2000名学生,且4个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200人入样B 从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样6.某学院A B C 、、三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的A 专业有380名学生,B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取的学生人数为（ ）A ．30B ．40 C. 50 D ．607.当5x =，20y =-时，下边程序运行后输出的结果为（ ）A ．22，-22B ．22,22 C. 12，-12 D ．-12,128.现要完成下列3项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈;③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本。
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1. “sin x =12”是“x =π6”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2. 已知√2|a ⃗ |=|b ⃗ |≠0，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角大小为( )A. π2B. π3C. π4D. π63. 已知sinθ=45，sin θcos θ<0，则sin 2θ= ( )A. −2425B. −1225C. −45D. 24254. 下列既是偶函数，又在区间[−3,−1]上单调递增的是( )A. f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0B. f(x)=ln |x|C. f(x)=−x 4D. f(x)=−1x5. 已知偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数．若a =f(log 215)，b =f(log 123)，c =f(2−0.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. c <a <b6. 函数y =tanx (π4≤x ≤3π4且x ≠π2)的值域是( )A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)C. (−∞,1]D. [−1,+∞)7. 在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 1 B. 2C. 32D. 48. 设函数f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则( )A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减 C. f(x)在(0,π2)单调递增D. f(x)在(π4,3π4)单调递增9. 函数y =sinx 1−x的部分图像大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +u AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,u ∈R)，则λ+u 的值为( ) A. 14B. 13C. 1D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 函数f(x)=11−x +lg(x +1)的定义域是________12. 在△ABC 中，已知sinA =23，cosB =12，则 cos C 的值为______ ． 13. 已知tanα=2，则cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)= ______ ．14. 已知y =log a (2−ax)的图象在区间[0,1]上是单调递减的，则2a 的取值范围是_________． 15. 下列不等式：①lg(x 2+14)>lg x(x >0)； ②sin x +1sin x ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)；③x 2+1≥2|x|(x ∈R)； ④1x 2+1<1(x ∈R)．其中一定成立的是________(填序号)．16. 若函数f(x)=(2−a)x 2+(a −1)x +3是偶函数，则函数f(2x +1)的值域为______________三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值；(2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．18. 已知(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间(2)若关于x 的方程f(x)−k =0在区间上有解，求k 的取值范围19. 在某海域A 处正东方向相距80海里的B 处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30∘，相距40海里的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tanθ的值．20.设f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，当x∈(−1,1)时，f(x)=x2.求x∈(1,3)时，f(x)的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的公式是解决本题的关键． 解：当x =π6时，sinx =sin π6=12， 当x =5π6时，满足sinx =12，则x =π6不成立， 即“sin x =12”是“x =π6”的必要不充分条件． 故选B ．2.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算与两向量夹角的计算，是基础题． 通过向量的数量积运算与平面向量夹角的范围，即可求出夹角θ的大小． 解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )，即a ⃗ ·(a ⃗ −b ⃗ )=0， ，∴cosθ=|a ⃗ ||b⃗ |=√22， 由于θ∈[0,π]， ∴θ=π4．故选C ．3.答案：A解析：本题考查了二倍角公式及应用，先求余弦值，再代入公式，属于基础题． 解：∵sinθ=45，sinθcosθ<0， ∴cosθ=−√1−sin 2θ=−35， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故选A ．4.答案：C解析：本题考查函数奇偶性以及单调性的判定，属于基础题． 利用函数的性质即可求解．解：f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减；f(x)=ln |x|为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减； f(x)=−x 4为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； f(x)=−1x 为奇函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； 故选C ．5.答案：A解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数， ∴函数f(x)在[0,+∞)上是减函数， a =f(log 215)=f(−log 25)=f(log 25)，b =f(log 123)=f(−log 23)=f(log 23)，∵0<2−0.8<1<log 23<2<log 25， ∴f(2−0.8)>f(log 23)>f(log 25)， 即c >b >a ， 故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．6.答案：B解析：本题考查正切函数的单调性及运用：求值域，考查运算能力，属于基础题． 由正切函数的单调性可知，函数y =tanx 在上都是增函数，即可得到值域．解：函数y =tanx 在上都是增函数， 当时，y =1，当时，y =−1，则有y ≥1或y ≤−1． 则值域为(−∞,−1]∪[1,+∞)． 故选B ．7.答案：A解析：本题考查向量的加减运算，考查了平面向量的基本定理及其应用，考查运算能力，属于中档题． 解：在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， (λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得λ+μ=1． 故选A ．8.答案：A解析：本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象和性质，属于中档题． 根据周期算出ω，然后根据f(−x)=f(x)求出ϕ． 解：由于f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)， 由于该函数的最小正周期为π=2πω，得出ω=2，又根据f(−x)=f(x)，以及|ϕ|<π2，得出ϕ=π4． 因此，f(x)=√2sin(2x +π2)，若x ∈(0,π2)，则2x +π2∈(π2,3π2)，从而f(x)在(0,π2)单调递减， 若x ∈(π4,3π4)，则2x +π2∈(π,2π)， 此时函数f(x)不是单调的， 故B,C,D 都错， 故选A ．9.答案：B解析：本题考查函数图象及函数定义域，分析函数的定义域及特殊点的函数值即可求解.属基础题．解： 因为函数y =sinx 1−x的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，所以排除A ，D ， 又当x =0时，y =0， 所以排除C ． 故选B ．10.答案：A解析：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于三点B,M,C 共线，所以4λ+4μ=1，从而λ+μ的值为14，故选A ．11.答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：本题主要考查函数的定义域，以及对数函数的性质，根据题意列出关于x 的式子，解出即可得到结果．解：要使函数有意义，需满足：{1−x ≠0x +1>0，解得x >−1且x ≠1，∴函数的定义域为：(−1,1)∪(1,+∞)． 故答案为(−1,1)∪(1,+∞)．12.答案：2√3−√56解析：解：∵△ABC 中，sinA =23，cosB =12， ∴B =60°，假设A 为钝角，sinA =23>sin120°=√32，则A >120°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴A 为锐角 ∴cosA =√53，sinB =√32， 当cosA =√53时，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−√53×12+23×√32=2√3−√56，故答案为：2√3−√56利用同角三角函数的基本关系求出cos A ，sin B ，再由cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB 求出结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．13.答案：−1解析：解：由cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=cos 2α−sin 2α−cosαsinαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanαtan 2α+1，∵tanα=2，∴cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=1−4−24+1=−1．故答案为：−1．利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式和二倍角公式化简应用，属于基本知识的考查．14.答案：(2,4)解析：【分析】本题考查对数函数，指数函数及复合函数的单调性，属于基础题．根据题意令u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数，可知y =log a u 是增函数，即可得到a >1，结合2−a >0以及指数函数的性质，即可求解2a 的取值范围． 【解答】解：因为y =log a (2−ax)在[0,1]上单调递减， u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数， 所以y =log a u 是增函数， 所以a >1，又2−a >0， 所以1<a <2， 2<2a <4． 故答案为(2,4)15.答案：③解析：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．解：对于①，lg(x 2+14)>lgx(x >0)等价于x 2+14>x ，即(x −12)2>0，故得x ≠12，而题设x >0，当x =12时不成立；对于②，sinx +1sinx ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)当且仅当sin 2x =1时取等号，此时x =kπ2，与题设x ≠kπ2,k ∈Z 矛盾，所以不成立；对于③，x 2+1≥2|x|(x ∈R)等价于|x|+1|x|≥2，当且仅当x =±1时取等号，故成立； 对于④，1x 2+1<1(x ∈R)等价于x 2+1<1，即x 2<0，无解，故不成立． 故答案为③．16.答案：解析：本题考查函数单调性、奇偶性及函数值域，属于基础题.根据函数f(x)是偶函数，求出a 的值，在利用换元法即可求出函数值域．解：∵f(x)=(a −2)x 2+(a −1)x +3是偶函数，∴f(−x)=f(x)，则(a −2)x 2−(a −1)x +3=(a −2)x 2+(a −1)x +3，即a −1=0，解得a =1，所以f (x )=x 2+3，所以f (2x +1)=(2x +1)2+3=22x +2×2x +4，令2x =t(t >0)，则f(t)=t 2+2t +4，对称轴为t =−1，所以f(t)在(0,+∞)为增函数，最小值4， 故值域为故答案为．17.答案：解：(1)因为向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)． 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)，所以3(m +1)−m =0．所以m =−32．(2)由(1)可知，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,m +3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −4,m +2)．因为△ABC 为直角三角形，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −1)+m +3=0，解得m =0； 当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −4)+m +2=0，解得m =52； 当AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有(m −1)(m −4)+(m +3)(m +2)=0，解得m ∈⌀．所以实数m 的值为0或52．解析：(1)通过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平行的充要条件，列出关系式即可求实数m 的值；(2)利用三角形的直角的可能性，通过向量的数量积为0，求实数m 的值．本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直与平行关系的应用，考查计算能力．18.答案：解：(1)由题意，．故f(x)的最小正周期为， 由，解得．故f(x)的单调递增区间为； (2)由(1)可知，， ，，， 此时． 又因为方程f(x)−k =0有解，故k ∈[0,3]．故实数k 的取值范围为[0,3]．解析：本题考查三角函数的恒等变形以及正弦，余弦函数的图象与性质，属于中档题.熟练掌握三角函数的两角和与差公式，二倍角公式是解题的关键．(1)通过三角函数的恒等变形，得出，可求出f(x)的最小正周期和单调递增区间； ，，，则可求得k 的取值范围． 19.答案：解：(1)在图中的△ABC 中，AB =80，AC =40，∠BAC =120°，由余弦定理可知：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ·AC ·cos120°，即BC 2=802+402−2⋅80⋅40⋅(−12)=11200，故BC =40√7，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40√760=2√73小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin∠ACB =BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB =AB BC sin∠BAC =√217， 显然∠ACB 为锐角，故cos∠ACB=2√77，tan∠ACB=√32，而θ=∠ACB+30°.故tanθ=tan(∠ACB+30∘)=tan∠ACB+tan30∘1−tan30∘tan∠ACB =5√33．解析：本题主要考查解三角函数的应用问题．(1)直接利用余弦定理求出BC的值即可;(2)根据正弦定理以及同角三角函数关系求出∠BAC的正弦以及余弦，而θ=∠ACB+30°，再根据两角和与差的三角函数关系求值即可．20.答案：本题主要考查利用函数的周期推导函数的解析式．解：当x∈(1,3)时，x−2∈(−1,1)，又因为函数f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，所以当x∈(1,3)时，f(x)=f(x−2)=(x−2)2．解析：本题考查了函数的基本性质(周期)的运用．属于基础题．。
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首都师范大学附属中学2019-2020学年高一第一学期期末考试数学试题一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos a b a bθ⋅===⋅r r r r又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B.5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【解析】【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD u u u r u u u r u u u r =+，∴2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．①②③ B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r 设(,)AP a b =u u u r，由λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy = B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项. 【详解】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x-=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞ 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5 当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论： ①函数()h t 为偶函数；②函数()h t的值域为[1；③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】③④.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos 12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos sin 22h t t t ππ=-； 当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin2h t t π=-；当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin2f t t π=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[1-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有③④正确. 【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.四、解答题17．已知不共线向量a r ，b r 满足|a r |＝3，|b r |＝2，（2-r a 3b r ）•（2a b +r r ）＝20.（1）求a r •b r； （2）是否存在实数λ，使λa b +r r 与-r a 2b r 共线？（3）若（k a +r 2b r ）⊥（-r r a kb ），求实数k 的值.【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +r r 与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，计算得到答案. （3）计算（k a +r 2b r ）•（-rr a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】 （1）向量a r ，b r 满足|a r |＝3，|b r |＝2，（2-r a 3b r ）•（2a b +r r ）＝20，所以42-r a 4a r •b -r 32=r b 4×9﹣4a r •b -r 3×4＝20，解得a r •b =r 1； （2）假设存在实数λ，使λa b +r r 与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ， 故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +r r 与-r a 2b r 共线； （3）若（k a +r 2b r ）⊥（-r r a kb ），则（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，即k 2+r a （2﹣k 2）a r •b -r 2k 2=rb 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0， 整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案. 【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）=∴f （3π）12=（12a =解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+）， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ， （3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]，∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣1. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ43； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(Ⅰ) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯， ∴3sin 7BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒， ∴43113536027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力. 20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数. 【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x =＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii）若f（m）＞f（n），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾；∴f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾. 所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。