2013大学物理竞赛辅导(振动和波)
物理竞赛讲义十四振动、波
当振源按简谐振动的规律振动时，在媒质中所形成的波称为简谐波。
任何复杂形式的机械波，都是由各种不同频率的简谐波叠加而成的。
简谐波的波动方程和它的解——波函数 在播的传播方向上，平衡位置为x 的质点在t 时刻偏离平衡位置的位移的函数形式——波函数y （x 、t ）。
对于平面简谐波的波函数，可以表述为下面三种形式：])(2c o s [])(2c o s [])(c o s [000),(φλνπφλπφϖ+±=+±=+±=xt A x Tt A v x t A y t x 机械波是机械振动在媒质中的传播，而媒质中的每一个质点都在做受迫振动，因而对这些物理量应当分别从波动和振动两个方面去理解。
在坐标系建立后，波函数y （x 、t ）描述的是：在播的传播方向上，平衡位置距离坐标原点为x 处的媒质质点，在t 时刻偏离平衡位置的位移。
波（振）幅A ，从波动角度讲，描述机械波的强度，对于横波，是波峰的高度或是波谷的深度；对于纵波，是从平衡位置到疏部（或密部）中心的距离。
从振动角度讲，是媒质质点做受迫振动的振幅。
在不考虑能量损失的情况下，平面简谐波的波幅由振源决定。
波长λ，从波动角度讲，在同一传播方向上，两个相邻的具有相同振动状态（位相相差2π）的媒质质点的平衡位置之间的距离，从振动角度讲，媒质中的某一质点在完成一次全振动时，这个质点的振动状态在波传播方向上传播的距离。
当波源相对媒质静止不动时，波长由媒质和振源的频率决定。
周期T ，从波动角度讲，媒质中的某一质点的振动状态在波传播方向上传播一个波长的距离所用的时间，从振动角度讲，媒质中的某一质点完成一次全振动所用的时间。
频率ν，从波动角度讲，单位时间通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在单位时间内完成的全振动的个数。
圆频率ω，从波动角度讲，2π秒内通过媒质中的某一质点的完整波的个数，从振动角度讲，媒质中的某一质点在2π秒内完成的全振动的个数。
【物理竞赛讲义】第06部分 振动和波
第六部分 振动和波第一讲 基本知识介绍《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。
一、简谐运动1、简谐运动定义：∑F = －k x①凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。
谐振子的加速度：a= －mk x2、简谐运动的方程回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x 方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。
依据：∑F x = －m ω2Acos θ= －m ω2x对于一个给定的匀速圆周运动，m 、ω是恒定不变的，可以令：m ω2 = k这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。
所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。
从图1不难得出——位移方程：x= Acos(ωt + φ) ②速度方程：v= －ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ) ④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。
运动学参量的相互关系：a = －ω2xA =2020)v (x ω+ tg φ= －x v ω 3、简谐运动的合成a 、同方向、同频率振动合成。
两个振动x 1 = A 1cos(ωt +φ1)和x 2 = A 2cos(ωt +φ2) 合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x 1 + x 2 ，解得A =)cos(A A 2A A 12212221φ-φ++ ，φ= arctg 22112211cos A cos A sin A sin A φ+φφ+φ显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅A 最大，当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。
b 、方向垂直、同频率振动合成。
当质点同时参与两个垂直的振动x = A 1cos(ωt + φ1)和y = A 2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t 后，得一般形式的轨迹方程为212A x +222A y －221A A xy cos(φ2－φ1) = sin 2(φ2－φ1) 显然，当φ2－φ1 = 2k π时（k = 0，±1，±2，…），有y = 12A A x ，轨迹为直线，合运动仍为简谐运动；当φ2－φ1 = （2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，…），有212A x +222A y = 1 ，轨迹为椭圆，合运动不再是简谐运动；当φ2－φ1取其它值，轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”，不是简谐运动。
振动、波动部分答案(新)
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
大学物理习题及解答(振动与波、波动光学)
1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ⨯10－2 m 。
假如使物体上下振动，且规定向下为正方向。
〔1〕t =0时，物体在平衡位置上方8.0 ⨯10－2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。
〔2〕t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m/s 的速度向上运动，求运动方程。
题1分析：求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω，和ϕ。
其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质〔振子质量m 与弹簧劲度系数k 〕决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。
解：物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F = mg 。
而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。
如此弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。
系统作简谐运动的角频率为1s 10//-=∆==l g m k ω〔1〕设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向。
由初始条件t = 0时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相πϕ=1。
如此运动方程为])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x〔2〕t = 0时，020=x ，120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，2/2πϕ=；如此运动方程为]5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x2．某振动质点的x －t 曲线如下列图，试求：〔1〕运动方程；〔2〕点P 对应的相位；〔3〕到达点P 相应位置所需要的时间。
题2分析：由运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。
此题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。
曲线最大幅值即为振幅A ；而ω、0ϕ通常可通过旋转矢量法或解析法解出，一般采用旋转矢量法比拟方便。
高中物理竞赛：振动与波
高中物理竞赛：振动与波一、知识网络与概要1.机械振动(1)弹簧振子,简谐运动,简谐运动的振幅、周期和频率,简谐运动的位移—时间图象.(2)单摆,在小振幅条件下单摆做简谐运动,周期公式.(3)振动中的能量转化.(4)自由振动和受迫振动,受迫振动的振动频率,共振及其常见的应用.2.机械波(1)振动在介质中的传播——波,横波和纵波,横波的图象,波长、频率和波速的关系.(2)波的叠加,波的干涉、衍射现象. (3)声波、超声波及其应用. (4)多普勒效应.二、巩固：夯实基础1.机械振动的意义：物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动，叫机械振动.回复力：使偏离平衡位置的振动物体回到平衡位置的力，叫回复力.回复力总是指向平衡位置，它是根据作用效果命名的，类似于向心力.振动物体所受的回复力可能是物体所受的合外力，也可能是物体所受的某一个力的分力.2.描述振动的物理量(1)位移x ：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量.(2)振幅A ：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量.表示振动的强弱.(3)周期T 和频率f ：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数.它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系：T=f1. 当Ｔ和f 是由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动)，则叫做固有周期和固有频率.3.简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动.(1)受力特征：回复力F=-kx.(2)运动特征：加速度a=-kx/m ，方向与位移方向相反，总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动.在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大.判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征.(3)振动能量：对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒.（4）物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期T.物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为21T. 4.单摆：（1）周期公式：T=2πgl 其中摆长l 指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值.（2）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关（单摆的振动周期跟振子的质量也没有关系）.（3）单摆的应用：A.计时器.（摆钟是靠调整摆长而改变周期，使摆钟与标准时间同步）B.测重力加速度：g=224Tl . 5.简谐运动的位移—时间图象如图所示为一弹簧振子做简谐运动的图象.它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线.6.受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关.7.共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.8、机械波的产生：的条件有两个：一是要有作为波源的机械振动，二是要有能够传播机械振动的弹性介质。
大学物理-振动和波ppt课件
定的象限
便于对两个或多个简谐振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状
x x态 间A A 变c c化o o 所tt需2 1 s s 的 (( 时) )间 . t ( t t2 2 t1 ) ( t 1 )
弹性势能
简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均
等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量)。
24
谐振系统中动能、势
E
E
Ep
能间的关系如右图：
Ek
• 由起始能量求振幅：
x
t
A 2E 2E0
k
k
t
2. 谐振系统的平均动能和平均势能 周期函数 f(tT)f(t)在一个周期内的平均值:
1 tT
f
T
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
解 A＇ x02v022 0.070m7
tan＇v0 1 x0
＇π 或3π
44
o π 4 x
A＇
因为 v0 0，由旋转矢量图可知 ＇ π4
xA cots ()(0.07m 0 )c7o6s.0s[1()tπ] 4
例2 一质量为 0.01kg的物体作简谐运动，其振
簧的劲度系数 k0.7N 2m 1 ，物体的质量 m20g.
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x0.05m处停
下后再释放，求简谐运动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A
处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x0.05m处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v00.30ms，1求其运动方程.
大学物理习题解答8第八章振动与波动(1)
第八章 振动与波动本章提要1. 简谐振动· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。
· 简谐振动运动方程()cos x A t ωϕ=+其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+ϕ）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位ϕ 称为初相位。
· 简谐振动速度方程d ()d sin xv A t tωωϕ==-+ · 简谐振动加速度方程222d ()d cos xa A t tωωϕ==-+· 简谐振动可用旋转矢量法表示。
2. 简谐振动的能量· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为212k E mv =· 弹簧的势能为212p E kx =· 振子总能量为P22222211()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=++3. 阻尼振动· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。
· 阻尼振动的动力学方程为222d d 20d d x x x t tβω++= 其中，γ是阻尼系数，2mγβ=。
（1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。
（2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。
（3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。
4. 受迫振动· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为22P 2d d 2d d cos x x F x t t t mβωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。
· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。
2013年高考物理二轮课件第一部分专题六振动与波动光及光的本性
一完整曲线 表示一个周期
表示一个波长
图象信息
(1)波长、振幅
(1)振动周期
(2)任意质点在此时刻
(2)振幅
的位移
(3)各时刻质点位移 (3)任意质点在此时刻
(4)各时刻质点速度及 加速度方向
加速度的方向
(4)传播方向、振动方
向的互判
2.横波的传播方向与质点振动方向常用的判断方法
内容
图象
上 下 坡 法
2．光的干涉、衍射和偏振现象 (1)光的干涉 ①产生条件：两光源频率相等且相位差恒定 ②出现明暗条纹的条件 Δr＝ kλ，明条纹
Δr＝k＋12λ，暗条纹．
③相邻条纹间距：Δx＝dl λ ④薄膜干涉的应用
a．检查平面的平整度 b．增透膜 (2)光的衍射：①条件：d≤λ ②单缝衍射：中央条纹最亮最宽，向两侧变暗变窄 圆孔衍射：明暗相间的圆形条纹 圆板衍射：圆形阴影的外侧是干涉条纹，中间是亮斑(泊 松亮斑) (3)光的偏振：偏振光平行透过偏振片时光最强，垂直时 最弱．
专题六 振动与波动 光及光的本性
2013高考导航 知识网络
热点视角
考查形式以选择题为主，也有计算或作图题．考题表现在 以下方面： 1.机械振动和机械波，波长、波速与频率的关系； 2.光的折射定律和全反射； 3.振动图象和波动图象结合波速公式仍然是振动与波动部分 的命题热点； 4.光学部分还应注意光的波动性考点，如利用双缝干涉测定 光的波长等．
当 n＝0 时，Δx′＝23 m
当 n＝1 时，Δx′＝83 m
……
综上所述，选项 B、D 正确．
【答案】 BD
强化训练1 (2012·高考福建卷)一列简谐横波沿x轴传播，t＝ 0时刻的波形如图6－4甲所示，此时质点P正沿y轴负方向运 动，其振动图象如图乙所示，则该波的传播方向和波速分 别是( )
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共鸣时气柱内形成驻波，共鸣时的气柱高度应满足
L n1 ) n (2
4
故第一、二次共鸣时气柱的高度差
2 ( LL ) 1 . 3 8 m 2 1
L2 L1
2
u= v
1 1 . 3 8 2 4 8 . 5 s 3 4 3 m s
6. 驻波可看作两列行波叠加而成，下面的图中圆点 （· ）代表一维驻波的波节位置，叉（×）代表其波 腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时 序图（a）、（b）、（c）所示。试在各图中画出另 一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）。
u 3 4 0 v 1 0 0 01 0 6 3 uv 3 4 02 0
uv 3 4 02 0 v 1 0 0 01 0 5 9 u 3 4 0
多普勒效应
8.飞机在空中以速度u=200m/s作水平飞行，它发出频
率为 0 2000 H z 的声波，静止在地面上的观察者在飞机 飞越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在4s 的时间内测出声波的频率由 0 2400 H z 降为 0 1600 H z ， 已知声波在空气中的速度v=330m/s，由此可求出飞机
>0
d
q< 0
0 q q 受 的F 电 qE 场 x 力 ( q 0 )
0
x
o
此式与弹簧振子受力规 律相同 F kx
q 以oo为中心，在两平面内做简谐振动
q k q k 0 m m 0
2 T
T t 4
3.一波脉冲在弦上向x正方向传播，t=0时刻的波形图如 下所示，画出自t=0时刻起，P点的位移与时间的关系 曲线
1. 如图所示，在坐标原点o 处有一波源，它所激发 的振动表达式为 yA ，该振动以平面波形 cos 2 t 式沿轴正方向传播，在距波源d处有一平面将波全反 射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波 的表达式为 。
x
x
d
d ( d x ) 2 d x y A cos 2 ( t ) A co 2 s ( t )
2 2
由归一化条件：
A
C 2 A x
2 2
A
d x1 C2
p(x)
ln (2n1 )
l 2 l1
4
L
2
1 .38
解：拍频为1.5Hz时有两种可能
v v 1 . 5 H z ， vv 1 . 5 H z 0 0
音叉粘上橡皮泥后质量增加，频率应减小， 此时拍频增加，由此可知 v v 1 .5 H z 0
v v 1 . 5 H z 2 4 8 . 5 H z 0
p(x)
1
A x
2
2
解：因振子在x→x+dx区间内出现的概率正比于振子 在上述区间的时间间隔dt与振动周期T的比值，设比例 常量为C，则有pdx=Cdt/T
pdx Cdt
T
dt dx
|v|
C p |v |T
| v| A|sin ( t )| x A c o s ( t ) A x C C C p p 2 2 2 2 |v |T TA x 2 A x
z z (b) z (c)
(a)
解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处 引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据 此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。
(a)
z z
(b) z (c)
7. 两个实验者A和B各自携带频率同为1000Hz的声源， 声波在空气中的传播速度为 340m/s。设A静止，B以 速率20m/s朝着A运动，则A除了能收到频率为 1000Hz的声波外，还能接收到频率为 Hz 的声波；B除了能收到频率为1000Hz的声波外，还能 接收到频率为 Hz的声波。
2. 有一半球形光滑的碗，小球Ⅰ在碗的球心处， 小球Ⅱ 在碗壁离底部中心A点很近的地方，如图 所示。现同时从静止释放两个小球，所有阻力均 不计，则小球Ⅰ与Ⅱ到达碗底A点所需时间之比 为 。 I 2R t1 g A II T R t2 4 2 g
t1 / t2 0.9
例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 > 0的均匀 带电空间，如图示有一质量为m，电量为q( < 0 )的点 电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考 虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面 oo的时间是多少？ o 解：由高斯定理可求 E x
的飞行高度h=
m。
A v
解：由多普勒效应可知： v 1 0 vucos v 2 0 v ucos
s 0 . 2 7 5 0 , c o s 0 . 4 1 2 5
A M h t t 1 1 v vs in
u
A
v
v M
B
B M h t2 t2 v vsin
( t tuA ) B h ( c t g c t g ) 2 1
1 h 1 t t ( t t ) 2 1 2 1 v s i n s i n
t1 4 t2
h 1 . 0 3 41 0 m
3
9.一维谐振子沿x轴作振幅为A的简谐振动。求证：在 振动区间内任一x处出现的概率密度（即x处附近无限 小区间内单位距离上振子出现的概率）
y
t
4 。某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦 段中，振动动能最大的部位在 处，势能最大的 部位在 处。
A B C
波的能量
5。标准声源能发出频率为250Hz的声波，一音叉与 该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若 在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的 固有频率 。 将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高 度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在 L=0.34m和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数 据算得声波在空气中的传播速度为 。