张量分析-第二讲
02张量分析
1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi
ai i ai xi
18
显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成
f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i
张量分析第二部分
2.6 张量函数的导数1.张量函数的定义张量函数是指自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数。
例如()B f f =，()ij B f f = (2.6.01)()B a a =，()ijkkB a a = (2.6.02) ()BC C =，()ijk k B C C 11= (2.6.03)分别称作二阶自变量张量B 的标量值、矢量值和二阶张量值的张量函数。
一般说来，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的，如果它们对所有的单位正交基是相同的，我们就称它们是各向同性张量函数。
2.张量函数的梯度现在考虑只有一个二阶自变量B 的标量值张量函()B f 数。
B 的增量d B 和f 的微分df 仍然是二阶张量和标量。
这时ij ijdB B fdf ∂∂=(2.6.04) 写成不变性形式，则有B Bd d dfdf :=(2.6.05) 根据商法则可知Bd df也是二阶张量，称之为f 的梯度。
若B 是二阶对称张量，则f 是B 的六个独立分量的函数。
这时在求f 的梯度时，需先在f 里用()ji ijB B+21代替ij B ，求得扩充后的九个偏导数后再按ji ij B B =简化。
例如()()()2211221241B B B f +==B (2.6.06) 于是()1221121221B B B B f =+=∂∂ (2.6.07) 121221B fB B f ∂∂∂∂== (2.6.08) 这一点需要切记，否则如果对()212B f 直接求导，就会导致12212B B f =∂∂的错误结果。
任意二阶张量B 的三个主不变量也是张量函数。
现求它的梯度如下。
由式(1.11.07)—式(1.11.09)知ir ri βδ=1I (2.6.09)js ir rst ijt B B e e 212=I (2.6.10) kt js ir rst ijk B B B e e 613=I (2.6.11)于是mn rn im ri mnrri mn B B B I δδδδ∂∂δ∂∂===11 (2.6.12) ()mnjs ir rst ijt mn B B B e e B I ∂∂∂∂212= (2.6.13) ()()sn jm ir js rn im rj is js ir B B δδδδδδδδ+-=21()[]nm jj mn B B -=δ221()Tmn mn jj B B -=δ (2.6.14)()mnkt js ir rst ijk mn B B B B e e B I ∂∂∂∂613= ()tn km js ir kt js sn jm ir kt js rn im rst ijk B B B B B B B e e δδδδδδ++=61kt js nst mjk B B e e 21=()()()[]kt js js kn ks jn mt jt kn kt jn ms ks jt kt js mn B B δδδδδδδδδδδδδδδ-+---=21()[]mm jj km nk km nt kk nm kt tk kk jj mn B B B B B B B B B B B B -++--=δ21()()()tn T mt T Tmn kk mn kt tk kk jj B B B B B B B B +--=δ21 (2.6.15)把上列三式写成对任何坐标系都适用的不变性形式，则有I B =d dI 1(2.6.16) T I d dI B I B -=12(2.6.17) ()2123T T I I d dI B B I B+-= (2.6.18) 利用式凯莱—哈密顿定理(1.12.09)，我们可将式(2.6.18)写成下列形式：()313I B B-=T d dI (2.6.19)在实际应用中常出现复合函数的情形，这时可以利用链式法则进行运算。
数学张量分析
divT T
divT T Tkiek ei e j j
ij
Tki x j
ek
Tki xi
ek
iTkiek
一般地，divT di，vT当T为对称张量的时候，两者相等
5 旋度
矢量场的旋度：
左旋度：
r
r
curla a
展开后有：
uur
ur
(ekk )(ai ei )
uur
＝ ekijk ai ej
(i j f )ij
ii f 11 f 22 f 33 f
2 f 2 f 2 f
x2 y2 z2
2.3 物质导数
r 若 f f (t, r(t))
则：Df f f r f f x f y f z
Dt t r t t x t y t z t
f
x
y
z
t (1 f ) t (2 f ) t (3 f ) t
ur ur 原式 (i ei )(a j ej )
ia j ij iai
1a
右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
ur
uur
ur
(2a3 3a2 )e1 (3a1 1a3)e2 (1a2 2a1)e3
（ az
-
ay
r ）i （
ax
-
az
r ）j
（
ay
-
ax
r ）k
y z
z x
x y
右旋度：
curla a a j e j ei i
ej
第2章 张量分析(6.8)
第2章 张量分析§2.1矢量空间、基、基矢1．线性矢量空间设有n 个矢量,1,2,,i i n =a ，它们构成一个集合R ，其中每个矢量i a 称为R 的一个元素。
如()i j i j +≠a a 唯一地确定R 的另一个元素，及i k a （k 为标量）也给定R 内唯一确定的元素，则称R 为线性（矢量）空间。
R 中的零元素记为O ，且具有i ⋅=O a O .2．空间的维数设i α为m 个标量，若能选取i α，使得10mi ii =α=∑a且i α不合为零，则称此m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例1 位于同一平面内的两个矢量1a 和2a （如图）是线性无关的，即11220α+α≠a a 若1α和2α为任意值，且不全为零。
例2 位于同一平面内的三个矢量1a ，2a ，3a 是线性相关的，则恒可找到1α,2α,3α（不全为零）使1122330α+α+α=a a a 如图： 21133''=α+αa a a集合R 内线性无关元素的最大个数称为集合或空间的维数。
设R 的维数为n ，则记为n R ，欧氏空间为3R 。
3．空间的基和基元素n R 中任意n 个线性无关元素的全体称为n R 的一个基。
基的每个元素称为基元素，由于n R 的n 确良基元素是线性无关的。
于是n R 内任一个元素r 可表示成基元素的线性组合。
设(1,2,,)i i n =a 为n R 的任选的基，则有：10ni ii ='α≠∑a，i α'为任意的不全为零的标量但总可选取00≠α及i α不全等于零，使得010ni i i =α=α=∑r a或者2a1a21x2x3xi i x =r e110()nnii i i i i ==α=-=ξα∑∑r a a①i αα,00≠ 不全等于零，所以i ξ不全等于零，且为有限值。
② n R 内有无限个基，但只有一个基是独立的，因为n R 内至少只有n 个元素是线性无关的。
张量分析-第2讲
张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系 罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1
1.5 坐标变换
已知某物理量或数学物理方程在一个坐标系的表达式, 求它在其它坐标系的相应形式。 旧坐标系 新坐标系
10
3. n阶张量 设物理量T共有3 个分量，且满足坐标变换关系:
n
T
' ' i1 i n
T
' ' i1 in
' i1 j1
' i2 j2
' in j2
j1 j n
则称T为n阶张量。 T
称为n阶张量T的逆变分量。
总共多少种分量? 每种多少个分量? 坐标变换关系如何写? 指标升降关系如何写?
T ab 是二阶张量，将a, b在基矢上分解 :
T ab a i g i b j g j ai g i b j g j a i b j g i g j ai b j g i g j
相应地:
T T g i g Ti g g j T g i g j Tij g g
5
坐标变换系数求法
协变变换 旧---新
j x i 'j i ' x
j' x i j ' i x
逆变变换
i' x ij ' j x
i x ij ' j ' x
互逆
新---旧
4. 矢量分量的坐标变换关系 根据基矢的坐标变换关系可以得到矢量分量的坐标变 换关系:
弹塑性力学课件
任晓丹 第二讲：张量分析基础
矩阵的标量函数
aij bij = A : B
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
矩阵
矩阵的向量函数 y1 = f1 (B) y2 = f2 (B) y3 = f3 (B)
线性函数
∑ 1 y1 = ∑i,j aij bij y2 = i,j a2 bij ∑ ij 3 y3 = i,j aij bij
标量
标量 x, y, x1 , y1 , ...... 标量函数 y = f(x), y1 = g(x1 ), ...... 线性标量函数 (线性变换) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 )
线性函数的表示 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = ax
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
Why？
弹塑性力学的三要素：非线性、多维、基础。 张量是适用于多维函数、方程以及微分系统 等的表示工具。 张量的本质是（多维、一般）线性变换。
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
What？
任晓丹
第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
任晓丹 第二讲：张量分析基础
张量概述 张量的运算和性质 张量分析初步
向量
向量 x = [x1 , x2 , x3 ]T , y = [y1 , y2 , y3 ]T
向量的标量函数 y = f(x) = f(x1 , x2 , x3 )
线性函数 f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ) ⇐⇒ y = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 =
张量分析课件-2.2 正则与退化的二阶张量
T
1 1
T
T T
T 1
满射性 对于正则的二阶张量T 对于任意矢量u 所做的线性 变换T· u=w，必存在唯一的逆变换，使T -1· u=w。
i 1 i 1
I
I
定理 三维空间中任意二阶张量T 将任意矢量组u，v，w 映射 为另一矢量组，满足
T u
T v T w detT u v w
证明 （式1.8.25）、(1.8.22)
detT
lmn
u v w detT u v w
l m n
Hale Waihona Puke T uT v T w
ijk
T uT v T w
i l
l
j m m
k n
n
2.2.2 正则与退化
定义 detT≠0的二阶张量T 称为正则的二阶张量；否 则称为退化的二阶张量。 若T 是正则的，则T T 也是正则的。 正则二阶张量的性质： （1）定理 二阶张量是正则的必要且充分条件是将每一组 线性无关的矢量组u(i)(i=1，2，3)映射为另一组线性无关的 矢量组T· u(i)(i=1，2，3)。 等价表述： 二阶张量是正则的必要且充分条件是 T· u=0，当且仅当u=0；或者，二阶张量是退化的必要且 充分条件是存在u≠0 使得T· u=0。 （2）正则的二阶张量T 映射的单射性 对于任意2 个不等 的矢量u≠v，被T 映射以后仍不相等：T· u≠T· v。
（3）正则的二阶张量T 映射的满射性 定义 对于正则的二阶张量T，必存在唯一的正则二 阶张量T -1，使
T T 1 T 1 T G
T -1 称为正则的二阶张量的逆，正则的二阶张量也称为可逆 的二阶张量。可证
第二章张量分析
rT
ij
k
r i
g
j
g
k
rT rj k g j k
若 T a ai )
gr [(rai )gi ai pri g p ]
r
ai
r i
ai
p r ri p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
每项偏导只对其后带点的符号求导
2.10.1协变导数
i p
gr[(rT ij k )gi
gj
gk
T ij k
(
g p ri p
gj
gk
g p rj i
gp
gk
g k rp i
gj
g p )]
j p
k p
g r [(rT ij k ) gi
gj
gk
T ijk (
g i
rp i
gj
gk
g j
rp i
iak
ak ;i
iak
ap
k ip
2.10.2 逆变导数
协变导数的指标是张量指标，故可通过逆 变度量张量升高协变导数的指标来定义逆变 导数如下：
sT ij k g srrT ij k
2.10 不变性微分算子
––– 梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子
以三阶混合张量
T T ij k gi g j gk T ij k gij k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
gr r ai gi gr gir ai srir ai gs
2.10.4拉普拉斯算子 设 T T ij k gi g j gk 2T T rrT ij k gij k
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i k
j j j
3
j j i
j i
i i
i
k j
l k
l i
• 2. 张量相关的概念
P g ( P g1 P g 2 ) g P
1 1 2 1 2 1 2 2
1 2
P g ( P g1 P g 2 ) g P P g1 ( P 1g P 2 g ) g1 P 1
并矢表示法 Tij g g
i
T ij
j ij
T ij T gi g j
Ti j T gi g
i j j
Ti g i g j
j
1.7 张量的代数运算
• 相等
• 相加
同阶张量才可相加
• 数乘
• 并乘
l TS T ij g i g j S k g k gl l T ij S k iu g u '
i
j
ab a1b1g 1 g 1 a1b2g 1 g 2 a1b3g 1 g 3 a2b1g 2 g 1 a2b2g 2 g 2 a2b3g 2 g 31 a3b1g 3 g 1 a3b2g 3 g 2 a3b3g 3 g 3
• 3 张量的解析定义及表示
在坐标系变换时,满足如下变换关系的量称为张量
'
k m'
s' j
g s'
k m'
gm
'
m'
n' l
g n'
u' i
u' i
T
s' j ij s' j
n' l
S g u' g s' g
m'
l k
g n'
k m'
U
n' l
ijl k
gu' g s' g
g n'
U
u ' s ' n ' m '
11 12 13 (n ) 22 23 n t 21 31 32 33
σ
张量
• 1.8 张量矢积
置换符号
eijk e
ijk
1 若i, j , k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 1 若i, j , k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2 0 若有两个或三个指标相 等
置换符号与克罗尼克尔记号
eijk e ijk
1 若i, j , k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 1 若i, j , k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2 0 若有两个或三个指标相 等
1 i 0
j
当i j 当i j
1 i 1 2 i 2 3 i 3
i a j a a a ai
j
Amj A A2 j A3 j Aij
m i 1 i 1j 2 i 3 i
3
i
i
1 1
2 2
3 3
i
U
k m'
u' i
s' j
n' l
ijl k
• 缩并
k l S T Tij g g g g kl i j l k Tij kl j gig
i' k '
k Tij g g kj i
Sik g i g k
S T
主讲：黄生洪
中国科学技术大学近代力学系
小结
1 张量相关的一些简化表示方法
指标记法和爱因斯坦求和约定 关于置换符号与克罗尼克尔记号
2 张量相关的概念
协变、逆变基矢量、协变/逆变分量 并矢，基并矢
3 张量的解析定义及表示
1. 张量相关的一些简化表示方法
指标记法和爱因斯坦求和约定
例如, 三维空间任意一点P在任意坐标系
t
(e1 )
(n )
t
(e1 )
n1 t
(e2 )
n2 t
Байду номын сангаас
(e3 )
n3
t 11e1 12e2 13e3 (e2 ) t 21e1 22e2 23e3 n n1e1 n2e2 n3e3 (e3 ) t 31e1 32e2 33e3
T (i , j , k ,...l ) T (i, j , k ,...l )
' ' ' '
i' i
j' j
k' k
l' l
i, j , k ,..l 1,2,...n
m个
m次线性齐 次变换
n维空间m阶张量
张量的阶——自由指标的数目
分量表示法 Tij
x ,x ,x
1 2
3
用指标记法 表示为
x,
i
i 1,2,3
爱因斯坦求和约定
S a1x 1 a2 x 2 an x n
S ai x i a j x
i 1 j 1
约定
n
n
j
求和指
标与所用 的字母无 关
S ai x a j x
i
j
指标重
复只能一 次
31 32 33
A xi y j zk
ijk
代表27项 的和式
自由指标
A11 x 1 A12 x 2 A13 x 3 b1 A21 x 1 A22 x 2 A23 x 3 b2 A31 x 1 A32 x 2 A33 x 3 b3
筒写为
Aij x bi
j
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
i' j' k ' j ' i' u
j' s
'
m k'
T
n j'
us mn
降价张量
m k snTus mn i' u i' u
T
m k'
un mn
i' u
m k S u m
'
• 点积
• 转置
• 对称化与反对称化
• 商法则
用于判定某些量的张量性！
1 2
P g2 (P 1g P 2g ) g 2 P 2
1 2
g g gj
i
ij
g i g ij g
j
j
g g g
ij i
g ij g i g j
并矢，基并矢
a ai g , b b j g
i i j
j
ab ai g b j g ai b j g g
置换张量与
等式
可以证明
gi g
j
ijl g l mnl im
n j
gl
mnl (g m g i )(g n g j )g l
mnl (g i g m )(g j g n )g l
j
mnl g m g n g l : g i g
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2
维
指标范
围
A xi y j
ij
3
3
双重求和
i 1 j 1
ij
A xi y j A x1 y1 A x1 y2 A x1 y3
11 12 13
A 21 x2 y1 A 22 x2 y2 A 23 x2 y3 A x3 y1 A x3 y2 A x3 y3