第1章-张量分析初步
张量分析——初学者必看精选全文
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量初步
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij ★ 替换性：δij vj = vi (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
§
2.5
勒维{契维塔(levi{civita)符号εijk （排列符号）
★ 勒维{契维塔符号εijk （三阶反对称张量） εijk = +1 εijk = −1 εijk = 0 ★ 反对称性：εijk = −εjik (ijk = 123, 231, 312) (ijk = 213, 321, 132) (ijk = 112, 233, · · · )
逐
铁 简 单
T
点 （ （
§
2.3
二阶张量
★ 二阶张量：如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等； Tij = αil αjm Tlm ★ 二阶张量可以用一个矩阵来表示； ★ 张量的含义：Tij 分量：在j方向分量作用下的i方向的反应效果； ★ 张量的自由度：任何一个张量都可以分解为三个部分： ◆ 迹（标量）Tii 自由度为1 ◆ 无迹对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij (i = j) (i = j)
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
第一章 张量分析基础知识
晶体物理性能南京大学物理系由于近代科学技术的发展，单晶体人工培养技术的成熟，单晶体的各方面物理性能（如力、声、热、电、磁、光）以及它们之间相互作用的物理效应，在各尖端科学技术领域里，都得到了某些应用．特别是石英一类压电晶体作为换能器、稳定频率的晶体谐振器、晶体滤波器等在电子技术中，比较早地在工业规模上进行大批生产和广泛应用．激光问世的四十多年来，单晶体在激光的调制、调Q、锁模、倍频、参量转换等光电技术应用中，已成单晶体应用中极为活跃的领域．《晶体物理性能》是我系晶体物理专业的专业课程之一，目的就是希望对晶体特别是光电技术中使用的晶体（包括基质晶体与非线性光学晶体）的有关物理性能及其应用方面的基本知识，有一个了解．对今后从事光电晶体的生长、检测和应用的工作，在分析问题、解决问题方面有所帮助，同时要在今后工作中不断从实践和理论两个方面扩大知识领域，有一个基础．考虑到本专业属于晶体材料性质的专业特点，本课程不仅对晶体物理性能的各个方面作深入全面的介绍，也将侧重于激光晶体有关的一些性能及其应用．鉴于以上考虑，《晶体物理性能》讲义将以离子晶体为主要对象，以光电技术上应用为线索组织内容，共分为八章．着重于从宏观角度结合微观机制介绍晶体基本物理性能以及各种交互作用过程的物理效应和它们在光电技术中的某些应用，包括弹性与弹性波（第二章），晶体光学中的各向异性（第五章），压电与铁电现象（第四章），电光效应（第七章），光学参量过程（第六章），声光效应（第八章）．由于晶体物理性能的各向异性的特点和晶体对称性有密切关系，通常正确、方便地描述这些物理性能必须使用张量来表示．因此，在第一章，我们介绍了关于张量分析基础知识方面的内容．由于水平有限，实践经验缺乏，时间仓促，因而内容安排不妥、取舍不当、错误之处一定很多，希望同学们提出宝贵意见，批评指正．第一章张量的基础知识§１．１标量、矢量和二阶张量…………………………………………………………………２§１．２坐标变换和变换矩阵……………………………………………………………………§１．３正交变换矩阵的性质……………………………………………………………………§１．４晶体对称操作的变换矩阵……………………………………………………………§１．５二阶张量的变换与张量的定义………………………………………………………§１．６张量的足符互换对称…………………………………………………………………§１．７张量的矩阵表示和矩阵的代数运算…………………………………………………§１．８二阶对称张量的几何表示和二阶张量的主轴………………………………………§１．９二阶对称张量主轴的确定……………………………………………………………§１．10晶体张量与晶体对称性的关系………………………………………………………第二章晶体的弹性与弹性波§２．１弹性性质与原子间力…………………………………………………………………§２．２应变……………………………………………………………………………………§２．３应力……………………………………………………………………………………§２．４推广的虎克定律、弹性系数…………………………………………………………§２．５立方晶体的弹性系数…………………………………………………………………§２．６各向同性材料的弹性系数……………………………………………………………§２．７弹性扰动的传播――弹性波…………………………………………………………§２．８简谐振动和驻波……………………………………………………………………§２．９弹性常数及振动衰减因子的测量方法……………………………………………第三章晶体的介电性质§３．１介质中的宏观电场强度与极化强度………………………………………………§３．２晶体中的有效场……………………………………………………………………§３．３高频电场的介电极化（光的色散与吸收）………………………………………§３．４介电常数的测量……………………………………………………………………§３．５离子晶体的静电击穿………………………………………………………………§３．６激光的电击穿（激光的电击穿损伤）……………………………………………第四章铁电与压电物理§４．１铁电体的一般性质…………………………………………………………………§４．２常用铁电体的实验规律……………………………………………………………§４．３铁电体的相变热力学………………………………………………………………§４．４铁电体相变的微观机制……………………………………………………………§４．５晶体的压电效应……………………………………………………………………§４．６压电方程和机电耦合系数…………………………………………………………§４．７压电晶体的应用实例――石英……………………………………………………第五章晶体光学§５．１光学各向异性晶体…………………………………………………………………§５．２各向异性介质中光的传播…………………………………………………………§５．３折射椭球与折射率曲面……………………………………………………………§５．４晶体表面上的折射…………………………………………………………………§５．５晶体偏光干涉及其应用……………………………………………………………第六章倍频与参量频率转换§６．１非线性极化…………………………………………………………………………§６．２非线性极化系数……………………………………………………………………§６．３非线性介质中电磁场耦合方程……………………………………………………§６．４光倍频………………………………………………………………………………§６．５光倍频的相匹配……………………………………………………………………§６．６第II类相匹配………………………………………………………………………§６．７角度匹配和温度匹配扫描实验曲线………………………………………………§６．８内腔倍频……………………………………………………………………………§６．９光参量放大…………………………………………………………………………§６．10参量振荡器…………………………………………………………………………§６．11参量振荡器的调谐方法……………………………………………………………§６．12参量频率上转换……………………………………………………………………§６．13非线性材料的性能要求……………………………………………………………第七章电光效应及其应用§７．１线性电光效应………………………………………………………………………§７．２两种典型材料的电光效应…………………………………………………………§７．３电光滞后……………………………………………………………………………§７．４电光调制原理………………………………………………………………………§７．５实际调制器的几个问题……………………………………………………………§７．６晶体电光开关………………………………………………………………………§７．７电光Q开关…………………………………………………………………………§７．８电光偏转……………………………………………………………………………§７．９电光材料……………………………………………………………………………§７．10晶体均匀性的实验检测……………………………………………………………§７．11晶体的激光损伤……………………………………………………………………§７．12晶体均匀性实验检测………………………………………………………………第八章声光效应及其应用§８．１弹光效应……………………………………………………………………………§８．２声光交互作用产生的衍射现象……………………………………………………§８．３声光交互作用的理论………………………………………………………………§８．４声光效应在一些物理常数测量中的应用…………………………………………§８．５声光调制器…………………………………………………………………………§８．６声光偏转器…………………………………………………………………………§８．７声光调Q……………………………………………………………………………§８．８声光材料……………………………………………………………………………附录A．３２点群投影图…………………………………………………………………………B．各阶张量在不同点群中的矩阵形式……………………………………………………C．主要常数表………………………………………………………………………………D．单轴晶体中光线离散角α的推导………………………………………………………E．双轴晶体中双折射面相差Γ的推导……………………………………………………F．贝塞尔函数的基本性质…………………………………………………………………第一章 张量分析基础知识以前学的课程中，有关力学、热学、电学、光学等的性质都是以各向同性介质来表述的或以一维问题来说明问题，这对于突出某些物理现象的微观的物理原因方面是必要的，但晶体物理性能是讲晶体中的力学、电学、光学、声学、磁学、热学等物理性能，而晶体的各向异性却是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应……等等物理现象则完全因为晶体具有各向异性性质才能表现出来．因此，晶体结构对称性和这些性质之间的关系成为问题的主要方面。
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
第一章 张量初步
1
上式两端同时点乘g1得到
所以 同理
g
2
1 g 1 g c g 1 ( g 2 g 3 ) c[ g 1
1
g2
g3 ] c
g
g
1
1 g
( g2 g3 )
1 g
( g 3 g1 ) ( g1 g 2 )
13
g
3
1 g
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x
1
e 1
x
2
e 2
x
3
e 3
x
k
ek
16
空间点的局部基矢量
下面证明：空间一点的局部逆变基矢量可表示为坐标面的
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梯度，即
g x
i i
x x
i k
ek,
i , k 1, 2 , 3 x x
i k
i i ik ik
det( j ) det( g g kj ) 1
i ik
这再次证明(gij)与 (gij)互为逆矩阵。
12
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g g j j,
i i
i , j 1, 2 , 3
由上式可知，逆变基矢量g1与协变基矢量g2 、 g3垂直， 可以用协变基矢量g2 、 g3的叉积表示逆变基g1：
dr
g ij g
i
dx g idx
gi g j ,
i , j 1, 2 , 3
称为度量张量G=(gij)的分量。
9
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g ij g i g j ,
i , j 1, 2 , 3
[工学]第一章 张量分析初步
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2 x j
(
xi
)
两个特殊符号
两个特殊符号
为书写的方便，可以使用kronecker符号和排列符号简化书 写。
kronecker符号
定义
1 i j ij 0 i j
11 22 33 1 12 21 13 31 23 32 0
例题
Qii, S展开？ 步骤：分析i,指标类型？字母类型？再展开 2. 写出a=Aijbicj的展开式。
1. 3. 4.
5.
写出 ti ji n j 的展开式。 写出 bik b jk ij 的展开式。 u j 的展开式。 ?写出 1 ui
eij
6.
1 ?写出 w 2 ij eij 的展开式。
第一章 张量分析初步
第一章 张量分析初步
本章学习目的 引入最基本的张量概念，为今后学习应变张量、 应力张量、广义虎克定律和弹性波方程等专业概 念及运算做准备。是本门课的数学基础。 ? 1 已学习过的物理量
标量？ 向量？
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a 21 x1 a 22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
2
有了标量和向量是否足够描述自然现象？
如何用一个最简单 的式子来表示？
用矩阵？ 还有更简单的表示方法吗? aij x j bi 可总结为： aij, xj, bi是些什么量？
§1.1 指标记号及两个特殊符号
指标记号
空间有个坐标系OXYZ，P (x, y, z)是其中的一点，坐 z 标为：x, y ,z P(x, y, z) 直角坐标系中的基向量：
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二、矢量的基本运算
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
e1 , e2 , e3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量的分量
x3
P
e3
r
e2 x2
o
x1 e1
二、矢量的基本运算
1、矢量点积
ei e j ij
张量分析
一、指标符号 二、矢量的基本运算 三、坐标变换与张量的定义 四、张量的代数运算 五、二阶张量（仿射量） 六、张量分析
一、指标符号
1、指标符号 例如 , 三维空间任意一点 P 在笛卡儿坐 x 标系
3
P
e3
r
e2 x2
x1 , x2 , x3 xi , i 1,2,3
o
x1 e1
用指标符 号表示为
三、坐标变换与张量的定义
旧坐标系： O x1 x2 x3 单位基矢量： (e1 , e2 , e3 ) 新坐标系： O x1 x2 x3 单位基矢量： (e1 , e2 , e3 ) 新旧基矢量夹角的方向余弦：
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
4、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Kronecker-符号定义
1 ji ij 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有 11 22 33 1
12 21 23 32 31 13 0
4、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
eijk
偶次置换
1 若i, j , k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 1 若i, j , k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2 0 若有两个或三个指标相 等
e321
31 32 33 0 0 1 21 22 23 0 1 0 1 11 12 13 1 0 0
eijk e jik eikj ekji eijk e jki ekij
Kronecker delta符号与置换符号的关系
若
e1 , e2 , e3
是相互垂直的单位矢量，则
ei e j i j ，但 ei ei e1 e1 e2 e2 e3 e3 3 而 i i 11 22 33 3 ，故 ei ei i i
i i 是一个数值，即 注意：
奇次置换
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
ei jk 也称为三维空间
的排列符号。
4、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号) Ricci符号定义
i1 i 2 i 3 i1 j1 k1 eijk j1 j 2 j 3 i 2 j 2 k 2 k1 k 2 k 3 i 3 j 3 k 3
例 特别地，
Tk j Ti j
i kTk j i iTij Tij
i k k j ij
例
, i k k j jm i m
个数，
Ami Bn j , 34 81
求
mn
项的和。
nm Ami Bn j An i Bn j Ami Bm j
Kronecker-和Ricci符号的关系
ekijekst is jt js it
ekijekst is jt js it
eijkerjk ir jj ij jr 3ir ir 2ir eijkeijk 2 ii 6
ii 3
ei e j i j
ei ei i i
4 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号)
i j
的作用：1）换指标；2）选择求和。
ij a j i1a1 i 2 a2 i 3a3 ai im Amj Aij
图2.1
数
a1 , a2 , a3 , , an x1 , x2 , x3 , , xn
变量
ai , i 1,2, , n xi , i 1,2, , n
指标符号
i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数
n—维数
2、求和约定和哑指标
S a1 x1 a2 x2 an xn
二、矢量的基本运算
3、矢量的混合积
a b c eijk ai b j ek cr er eijk ai b j cr kr eijk ai b j ck
ei e j ek eijrer ek eijr rk eijk
Ricci符号
ei jk ei jlel ek (ei e j ) ek (ek ei ) e j (e j ek ) ei
新 旧
e1
e 2
e3
e1
11
21
1 2
13
e2
2 2
3 2
23
ei ei e j e j ije j ei ei e j e j ije j ij 变换系数 ij ji ij ei e j ik ek jt et ik jt kt ik jk ij ei e j ikek jtet ik jt kt ik jk
u j jiui
u j ij ui
矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变
三、坐标变换与张量的定义
推广矢量的概念
ui iiui
张量的定义
Ti1 i1i1Ti1
Ti1i2 i1 i1 i2 i2 Ti1i2
若在空间任一组基 e i 下,有用n个指标编号的 3n个数 Ti1i2in 当基矢量按 ei iiei 变换成 ei 时, 3n 个数 Ti1i2in 如下规律变换 按
张量的阶——自由指标的数目
i i i i
' '
不变性记法
ijkl ei e j ek el
三、坐标变换与张量的定义
标量
矢量
零阶张量，不随坐标变换而变的不变量
一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它
随坐标系的变化而变化 在一个坐标系中,某一张量的所有分量为零,按定义, 则在其它坐标系中的所有分量也为零,这个张量为零 张量,O
eijk e pqr
i1 i 2 i 3 p1 q1 r1 j1 j 2 j 3 p 2 q 2 r 2 k1 k 2 k 3 p 3 q 3 r 3
i1 p1 i 2 p 2 i3 p3 i1 p1 ip
eijke pqr
ip iq ir jp jq jr kp kq kr
eijke pqr
ip iq ir jp jq jr kp kq kr
pk eijk ekqr
iq ir iq jr ir jq jq jr
例:证明 eijk 是一个三阶张量(置换张量)
三、坐标变换与张量的定义
eijk ei (e j e k ) ii ei ( j j e j k k e k ) ii jj k k ei (e j e k ) ii jj k k eijk
Ti1i2 in i1 i1 i2 i2 in in Ti1i2 in
3 个数 Ti1i2in 的有序集合为一个n阶张量.称Ti1i2in
n
三、坐标变换与张量的定义
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
S ai xi a j x j
i 1 j 1 n n
求和指标 与所用的 字母无关 指标重复 只能一次 指标范围
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
约定
S ai xi a j x j
2、求和约定和哑指标
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
双重求和
Aij xi y j A11 x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21 x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31 x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
Aijk xi y j zk
代表27项 的和式
3、自由指标
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同e1 e2 e3 Nhomakorabea证明
ei ik ek e j jk ek
a×b b a
erst ir jset eijtet eijk ek
二、矢量的基本运算
2、矢量叉积
a b ai ei b j e j ai b j ei e j ai b j eijk ek eijk ai b j ek c ck eijk ai b j
4 、 Kronecker- 符 号 和 置 换 符 号 (Ricci符号)
Kronecker-符号定义