流体力学-第一讲场论与张量分析初步
1_场论与张量基础
张量表示法
张量表示法具有书写简洁，运算方便的优点。 在张量表示法中我们将坐标改写成 x1，x2，x3。 并引进以下 几种符号。 （1）ai 表示一个矢量， i 是自由指标，可取1，2，3，符号
a 可任取。
例如的 grad 张量表示法为
xi
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第二节 张量
张量表示法
（2）约定求和法则。为书写简便，我们约定在同一
张量表示法
ijk
例如：
0 1
两个以上（含两个）下标相同 下标为偶排列或奇排列
a b ijk a j bk ak rota ijk x j
ijk ist js kt jt ks
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第二节 张量
3. 二阶张量
二阶张量性质
(1)二阶张量的主值、主轴及不变量
场论中的奥高公式可以推广到张量中去。设 P 是 n 阶张量，则张量情形下的奥高公式可写为：
rotn a lim
S 0
a d r
L
S
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第一节 场论
8.无旋场及其性质
环量与旋度
rota 0 的矢量场称为无旋场。
无旋场最重要的性质是无旋场和位势场的等价性。
即若 a 是位势场，则 a 必为无旋场。
a grad rota 0
反之，若矢量 a 是无旋场，则 a 必为位势场。
（ 1） P的反对称性不因坐标转化而改变；
（2）反对称张量的三个分量 1 ,2 , 3 组成一矢量 ；
（3）反对称张量 P 和矢量 b 的内积等于矢量 和 b 的矢积，即:
P b aij bj ijk b jk ikjkb j b
流体力学 1章讲稿
第一章 数学基础知识§1.1 场论一.物理量场: 充满物理量的空间。
充满流体的空间称为流场。
流体的物理量ρ、v 、p …构成密度、速度、压力场…, 如ρ、p 、浓度c 等构成标量场, 速度V 等构成矢量场，因此流场是复合参数场。
由时间t 、空间点及其对应的物理量确定的函数为场函数。
标量场、矢量场函数: φ＝φ(r ,t)＝φ(x,y,z,t)a ＝a (r ,t)＝a (x,y,z,t) 定常场: 场函数与时间t 无关, 反之为非定常场φ＝φ(r )＝φ(x,y,z) a ＝a (r )＝a (x,y,z) 0=∂∂t φ 0=∂∂ta均匀场: 场函数为常数, 反之为非均匀场。
流体的连续性模型认为，流场中各空间点充满流体，且各点、各物理参数存在连续的各阶导数。
二.Green-Gauss 公式（对于连续场）⎰⎰⎰⎰⎰⋅=∂∂+∂∂+∂∂A zy x dA d za y a x a a n ττ)(二维时 dL dA ya x a L yA x ⎰⎰⎰∙=∂∂+∂∂a n )(推广的Green-Gauss 公式有⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂+∂∂+∂∂A dA d zy x φτφφφτn k j i )(⎰⎰⎰⎰⎰⨯=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂A x y z x y z dA d ya x a x az a z a y a a n k j i ττ)()()(三 梯度、散度与旋度1) 方向导数: 物理量φ场在M 点上沿L 方向的方向导数为L ∂∂φ=')()'(lim 0'MM M M MM φφ-→=)^cos(x L x ∂∂φ+)^cos(y L y ∂∂φ+)^cos(z L z ∂∂φ=(x ∂∂φI +y∂∂φj +z ∂∂φk )·l式中l 为沿L 方向的单位矢量。
2) 标量场的梯度grad φ: 标量场φ的梯度为上式括号中的矢量微分算式，为确定的矢量。
高等流体力学之第1讲 —— 场论与张量初步
Advanced Fluid and Gas Dynamics
大连理工大学能源与动力学院
主讲教师：刘宏升
二、怎样学习流体力学
1 透过数学公式抓物理本质 三大规律 守恒律 本构律 源律
2 结合实际问题（学位论文）
3 及时了解学科发展新动向
1
4
前言
一、关于流体力学
1 古老而年轻的科学 2 涉及众多学科与工程的基础科学 3 三大分支
练习题：设 u = f ( x , y , z ) ∈ C 2 , 求 grad u和 div(grad u ).
解： gradu = { f x , f y , f z }, div(gradu) = f xx + f yy + f zz .
散度定理——高斯定理
∫∫ S
An
d
若定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则 A·ds = An ds；若把A理解为流体的流速，则Ands就 表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。
对于闭曲面S，取其外侧为正，则： 表示A从S流出的通量.
ψ > 0 时，表示有净流量流出，存在流体源； ψ < 0 时，表示有净流量流入，存在流体负源； ψ = 0 时，表示没有净流量流出，无净流体源。
理论流体力学 实验流体力学 计算流体力学
2
三、补充参考书
1. 吴望一：流体力学(上，下）,北京大学出版社 2. 张兆顺等:流体力学(第二版),清华大学出版社 3. Zacrow,Hoffman: Gas dynamics Vol.1,2 4. 邹高万等：粘性流体力学，国防工业出版社 5. 王新月等：气体动力学基础，西北工业大学出版社
∂x ∂y ∂z 在点 M (x, y, z) 的散度。记为 :
张量与场论
标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
设 M 0 为标量场 u uM 中的一点，从 M 0 出发引一条
射线 l ，在 l 上点 M 0 的邻近取一动点 M ，记 M0M
．若当 M M0 时比式 u uM u(M 0 ) 的极限存在，则
M0M
称它为函数 l u uM 在点 M 0 处沿 方向的方
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（2）笛卡尔张量
二阶张量的代数运算 张量乘积 设 A aij 、B bkl ，分量相乘，
cijkl aijbkl
cijkl 是 4 阶张量。 可以证明一个 m 阶张量和一个 n 阶张量的乘积是 m + n 阶张量。
30
（2）笛卡尔张量
共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
对称张量
若二阶张量分量 sij 之间满足
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
i, j, k 奇排列， 213，321，132
23
（1）指标表示法和符号约定
置换符号 ijk
ijk 有以下重要性质：
ijk ist js kt jt ks
ijk ijt 2 kt
ijk ijt jjkt jtkj 3kt kt 2kt
ijk ijk 2 kk 6
13
笛卡尔张量
14
§3 笛卡尔张量
一、张量
坐标旋转时能自身转换而保持不变的量，统称为张量
在三维空间和选定的坐标系中，需要用3n个数来 定义的量称为n阶张量
1 场论与张量基本知识
（3） 矢量的代数运算
1）矢量的加减
（a）矢量的加法
c a b
平行四边形法则 性质： 满足交换律： 满足结合律：
a b b a
(a b ) c a (b c )
（3） 矢量的代数运算
（b）减法为加法的逆运算
若从矢量 a 中减去矢量 b ，则可将矢量 a 加
a1b1 a 2 b2 a3b3 a1 a 2 a3
2 2 2
b1 b2 b3
2
2
2
（3） 矢量的代数运算
（c）、矢量的叉积（矢性积、矢量积） c a b
两矢量的叉积是一个矢量
a 模：absin(a, b ) ——以 , b 为棱边的平行四边形面积
、 若 a 、 b 、 c 为单位矢量， a 、 c u3 ， u1 b u2
则 d mu1 nu2 pu3 上式各项称为矢量 d 的可分解分量
u 1 、u 2 、u3 正交，则上式各项称为矢量 d 的投影分量 若 若 d 为零矢量 ，d ma nb pc 0 ，则矢量 a 、 b 、c 共面，退化为： c ma nb
rj rj rj rj
关于矢量的投影有下列基本定理
（3） 矢量的代数运算
三维笛卡尔坐标系中，任一矢量 a 可写为 a ax i a y j az k 其中， ax , a y , az ——矢量 a 在坐标轴 x,y,z上的投影 上述表达式称为矢量 a 的投影式
流体的温度、密度、浓度等均是标量。
只有大小，没有方向
流体力学-第一讲 场论与张量分析初步
ax ay az
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所以有： （向量线方程）
dx dy dz
ax ay az
向量管：在场内取任一非向量的封闭曲线C，通过C上每一点 作矢（向）量线，则这些矢量曲线的区域为向量管。
流线方程 迹线方程
dx dy dz ux uy uz dx dy dz dt ux uy uz
迹线的描述 是从欧拉法
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二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field：
(1)用等值线（面）表示
令：
t0 f(r,t0)f0
t1 f(r,t1 )f1
等值线（等位面）图
(2)它的疏密反映了标量函数的变化情况
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二、场的几何表示
2、 vector field： 大小：标量. 可以用上述等位线(等位面)的概念来几何表示。
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数量三重积： c ab
ax ay az
a bc abc abc bx by bz
cx cy cz
a b c c a b b c a
abcacb
循环置换向量次序, 结果不变.
改变循环向量次序, 符号改变.
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③在任一方向的变形等于该方向的方向导数。
④梯度的方向是标量变化最快的方向。
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梯度的基本运算法则有：
C C
C( 为 常 数 )
1 2 1 2
1 2 1 2 2 1
f f
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四、向量的散度(divergence)
a ba xi a yj a zkb xi b yj b zk
教材张量分析及场论
张量分析与场论 第一章 张量代数任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的，这是客观的存在，而不以人们的意志为转移。
但是，在研究、分析这些物理现象时，采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。
无数事实证明，研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关，而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。
由于物理量的分量与坐标的选择有关，所以由物理量的分量表示的方程，其形式就必然与坐标系的选取有关。
在建立基本方程时，每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。
张量分析能以简洁的表达式，清晰的推导过程，有效地描述复杂问题的本质，并突出现象的几何和物理特点。
张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质，即由张量表示的方程，其形式不随坐标的选择而变化。
第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数，第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论，作为进一步的学习的基础，在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。
1.1点积、矢量分量及记号ij δ我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量，如位移u ρ，力F ρ等。
这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则，即设u ρ，v ρ为矢量，则v u w ρρρ+=的运算如右图所示。
在理论力学中我们还知道，如u ρ表示某一点的位移，F ρ表示作用在该点上的力，则该力对物体质点所做的功为 其中F ρ、|u ρ|分别表示矢量F ρ、u ρ的大小，θ表示矢量F ρ与矢量u ρ之间的夹角，这就定义了一种称为点积的运算。
点积的定义：设u ρ，v ρ为两个任意矢量，设|u ρ|，|v ρ|分别为其大小（也称为模）。
θ为这两个矢量之间的夹角，则u ρ与v ρ的点积为由点积定义可知，点积具有交换律，即u ρ•v ρ=v ρ•u ρ。
可以用几何的方法证明点积也具有分配率，即如w ρ=u ρ+v ρ，则或可写为如果0v u =⋅ρρ则称u ρ垂直于v ρ，记为u ρ⊥v ρ。
由点积的定义可知，2u u u ρρρ=⋅。
流体力学讲义第一讲优秀课件
i jk v
x y z vx vy vz
旋度运算基本公式
(ca)ca (a b ) a b
(a ) a a
()0
( a b ) b ( a ) a ( b ) (a)0
小总结
梯度，散度和旋度代表一种向量场或标量场，他们的大小 、方向和表达形式都不因直角坐标的变换而变化。
流体力学讲义第一 讲
2、克罗内克尔符号
1,i j
ij
0,i j
3、交变符号
ijk
1,ijk1,2,3, 1,ijk3,2,1,
2,3,1, 2,1,3,
3,1,2 1,3,2
0
四、张量定义
任二下标相同时
定义1：张量作为向量定义的推广
当由一个坐标系转换到另一个坐标系时，向量 P 按下
式变换
pi Pjij
1、 i jk 叫梯度（标量场的最大变
x y z
gradijk化率和变化率的方向）
x y z
2、微分形式和积分形式是否等价：
证明：取 的二等值面和两二等值面之间的小圆柱, 如图
沿柱面积分 n d s ，该积分由三部分组成，即 s
n ds nQQ w nPP w
s
w
nQPl源自n散度是一个标量，它表示单位体积内物理量通过其表面的
通量。若diva>0，称该点有源；若diva<0，称该点有汇。
|diva|称为源或汇的强度。若diva＝0（处处），称该物理场
为无源场，否则为有源场。
散度的基本运算公式：
n
a
⑴ (ca)ca （ c常数）
M
S
（2) (ab ) a b
V
（3) (a ) a a ( 为标量）
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主讲人：倪玲英
2018/8/8
1
引言
工程流体力学 从实用角度，对工程中涉及的问题建立相 应的理论基础，并进行计算。
静力学
运动学 动力学 高等流体力学 运动学 动力学
2018/8/8 2
以理想流体为主
对于实际流体讨论了管 流阻力计算,是在理想流 体得出规律基础上进行 修正,并结合实验.
以理论分析为主，讨论实际流体运动规律。 以实际流体为主
• 定常流场（steady field）：f (r ) • 非定常流场(unsteady field)：f (r , t )
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(1)标量:是一维的量，它只须1个数量及单位来表 示，它独立于坐标系的选择。 流体的温度，密度等均是标量。 (2)向量(矢量):不仅有数量的大小而且有指定的 方向，它必须由某一空间坐标系的 3个坐标轴方向的 分量来表示,因此向量是三维的量。 速度,加速度是向量. 常用黑体字母 x、 u 表示空间坐标位置向量和流 类似表示。 速向量。也用 u 、 x
a c b
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矢量的标量积(数量积)（点积）(内积)：
功:当力F作用在质点上使之移动一无限小位移 ds,此力所做功定义为力在位移方向的投影乘以 位移的大小.
a b a b cos a , b
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a x bx a y by a z bz cos a , b ab
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对于笛卡儿坐标，X的3个分量为x1，x2，x3。而三个坐标方向的单 位分别用e1，e2，e3表示。有时也常用i，,j，k表示。因此位置向量和速 度向量可以写为：
x=x1e1+ x2e2+ x3e3
向量的加减 ：
u u x i u y j uzk
a＋b c
ax cx ay by cy az bz cz
a b c a b c ab c bx
a b c c a b b c a a b c a c b
组成平行 四边行的 面积
右手法则，拇 指方向即为c方 向，由a指向b
a b 0 a // b
a b c a b a c
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a b －b a
ma b a mb m a b
11
a b ax i a y j az k bx i by j bz k i j k ax a y az bx by bz
平面面积可作为 一个向量
s sn
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12
数量三重积：
c a b
a b c a c b a b c a c b
a b c b c a
括号不能交换或移动
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二、场的几何表示
变化快
变化慢
1、scalar field： (1)用等值线（面）表示 令： t0 f (r , t0 ) f 0
ma b a mb m a b
a a a a
2 x 2 y 2 z
2 2 2 b bx by bz
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矢量的矢量积(向量积)（叉乘）(外积)：
a b c a b c a b sin a , b
循环置换向量次序, 结果不变. 改变循环向量次序, 符号改变.
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数量三重积几何意义：作为平行六面体的体积 。
a b c
c a b =0， 是 a, b , c 共面的充分条件
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向量三重积：
a b c
主要内容：
第一章 场论与张量分析初步
第二章
第三章
流体运动学
流体力学基本方程组
第四章
第五章
粘性流动基础
Navier-Stokes 方程的解
第六章
第七章
边界层理论
流体的旋涡运动
第八章
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湍流理论
3
第一章
第一节
第二节 第三节
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场论与张量分析初步
场论简述
张量初步 雅可比行列式
4
a b a x i a y j a z k bx i by j bz k a x bx a y by a z bz 标量
2018/8/8
1 2 3 4
如a、 b 正交， 则 a b a b 0 如a、 b 平行， 则 a b a b 如a在b 正交投影用a b 表示 分配律 a b c a b a c
第一节
• 基本概念 • 场的几何表示
场论简述
• 标量场的梯度
• 向量的散度
• 向量的旋度
• 哈密顿算子▽和场论的基本运算公式
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一
基本概念
• 1.场（field）： • 设在空间中的某一区域内定义标量函数或矢量 函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。
• 标量场（scalar field）：f (r , t ) • 向量场（vector field）：g (r , t ) g=f(r,t) • 均匀场（homogeneous field）：f c • 非均匀场（non-homogenous field）：f (r )