张量分析各章要点

各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

张量函数的导数1. 方向导数：'h 01(,)lim [(h )()]h →=+-T A C T A C T A 是C 的线性函数2. 方向导数与导数之间的关系 ''(,)():=T A C T A C3. 张量函数对张量的导数'i j ki j k ijkijk()()()A A ∂∂=⊗⊗⊗=⊗⊗⊗∂∂T T T A g g g g g g 4. 张量函数导数的链式法则：)()(()=H T U V T ，则 *n ()()()'''=H T U V V T 重要辅助知识二阶张量的迹具有如下性质：tr()::==A A G G A ； tr()tr()tr()+=+A B A Bi jT T .j .i tr()A B ::⋅===A B A B A Bi j k .j .k .i tr()A B C tr()tr()⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅A B C B C A C A B第四章：曲线坐标系张量分析基矢量的导数jkijk i ∂=Γ∂ξg g ； i i jkj k ∂=-Γ∂ξg g k km ij ij,m g Γ=Γ ； m ij,k km ij g Γ=ΓHamilton 算子 i i 'i i '∂∂∇=⊗=⊗∂ξ∂ξg g i i∂⋅∇=⋅∂ξT T g i i ∂∇⋅=⋅∂ξT T g i i ∂∇=⊗∂ξT T g ii ∂∇=⊗∂ξT T g i i ∂⨯∇=⨯∂ξT T g i i ∂∇⨯=⨯∂ξTT g张量的协变导数ij ij mj i im j ij m ij m ij..kl s ..kl ..kl ms ..kl ms ..ml ks ..km ls ..kl;s sT T T T T T T ∂∇+Γ+Γ-Γ-Γ∂ξij k ls ..kl i j sT ∂=∇⊗⊗⊗∂ξT g g g g 重要性质：1．度量张量的协变导数为零 2．置换张量的协变导数为零3．张量分量的缩并与求协变导数次序可交换4．ij l ij l ij ls ..k .m s ..k .m ..k s .m (A B )(A )B A (B )∇=∇+∇积分定理SVd dV *=∇*⎰⎰a T T SVd dV *=*∇⎰⎰T a TSLd ()d ⋅∇⨯=⋅⎰⎰a T s TLSd ()d ⋅=-⨯∇⋅⎰⎰T s T aRiemann-Christoffel 张量欧氏空间特性：①Riemann 曲率张量等于零 ②张量对曲线坐标的求导顺序可交换 可展曲面的Riemann-Christoffel 张量为零 物理分量掌握张量在标准基下分解时Hamilton 算子对张量的运算（求极坐标系下线应变张量）第六章 连续介质力学基础物质导数空间坐标基底矢量的物质导数：i i k k i m mk k D v v Dt x ∂==-Γ∂g g g ； k k mi i ik m k D v v Dt x∂==Γ∂g g g 物质坐标基底矢量的物质导数：()()i i i ˆD ˆˆDt =-⋅∇=-∇⋅g g v v g ； ()()i i i ˆD ˆˆDt=∇⋅=⋅∇gv gg v 空间描述下二阶张量的物质导数()i i .j.jk ik .j D T tT T v tD ∂=+∇∂k k v ()()t tD Dt t x ∂∂==+∇⋅=+⋅∇∂∂∂+∂∂∂T T T v v T T T T 物质描述下二阶张量的物质导数()()i i .j .j m i m i .j m .m jˆˆDT T ˆˆˆT v T v Dtt∂=+∇-∇∂ ()()i .j j i ˆTD ˆˆDt t∂=⊗+∇⋅-⋅∇∂Tgg v T T v 变形梯度张量：ˆd d =⋅rF r k k ˆ=⊗F gg ； 1k k ˆ-=⊗F g g k k ˆ⋅=F g g； T k k ˆ-⋅=F g g k 1k ˆ-⋅=F gg ； T k k ˆ⋅=F g g 应变张量()()()()()()1122=+∇+∇-=∇+∇+∇⋅∇E G u G u G u u u u ()()()()()()1122=--∇-∇=∇+∇-∇⋅∇e G G u G u u u u u 小变形、小位移假设下1()2≈∇+∇E u u ; 1()2=∇+∇e u u在直角坐标系下k j i k ij j i i j u 1u u u E 2x x x x ∂⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭线元、面元、体元d d =⋅r F rT d J d -=⋅a F a dv Jdv =J det()==F变形梯度张量的物质导数()=∇⋅Fv F ()11--=-⋅∇F F v 线元、面元、体元 的物质导数()d d =∇⋅rv r d ()d ()d =⋅∇-∇⋅av a v adv()dv =⋅∇v ； J ()J =⋅∇v T T11()22=⋅∇+∇⋅=⋅⋅E F v v F F D F几种应力Cauchy 应力 ij i j ˆˆ=σ⊗σgg ； n =⋅p n σ 第一类Piola-Kirchhoff 应力 1i j i j ˆJ J -=⋅=σ⊗P F σg g第二类Piola-Kirchhoff 应力 1T k m kmJ J --=⋅⋅⊗=σS F σF g g面力合力 T d d d =⋅=⋅=⋅⋅n T a σa P a S F连续介质力学的基本定律 质量守恒定律()0ρ+⋅∇ρ=v 动量定理ρ+∇⋅=ρf σvρ+∇⋅=ρf P v动量矩定理T σ=σ机械能守恒定律SVV V d 1ˆd dv ()dv J :dv dt 2⋅⋅+ρ⋅=⋅ρ+⎰⎰⎰⎰v σa v f v v σD 变形功率密度T ::J :==S EP F σD 掌握用张量方法推导弹性体运动方程（小位移、小应变）。