张量分析第3次课1
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张量分析课件-3.1 张量函数各向同性张量函数的定义和例
H f T c0G c1T c2T 2 ckT k
或
H
i
j
c0
i j
c1T
i
j
c2T
ilT
l
j
ckT
T i
l1
l1 l2
T
lk 1 j
若一个张量H（标量、矢量、张量）依赖于n 个张量 T1，T2，…，Tn（矢量、张量）而变化，即当T1，T2，…， Tn 给定时， H 可以对应地确定（或者说，在任一坐标系中， H 的分量都是T1，T2，…，Tn 的一切分量的函数），则称H 是张量T1，T2，…，Tn 的张量函数。记作
H F T1,T2,,Tn
3.1.2 张量函数举例
例3.1 矢量u 的标量函数 例3.2 矢量v 的标量函数
f u u1 u2
f v 1 v 2
2
例3.3 矢量F,u的标量函数
f F, u F u
例3.4 矢量v 的矢量函数u
u Fv kv k为给定常数
例3.5 矢量v 的矢量函数u
u Fv K v K为给定对称二阶常张量
例3.6 二阶张量T 的标量函数 例3.7 对称二阶张量 的标量函数
f
T
T
1 1
f
i i
例3.8 二阶张量T 的标量函数
f
为其旋转量 ~，即
f X1, X2,, Xn ~ f X~1, X~2,, X~n
对于任意的Q，则称此函数为各向同性函数。
,
J
T 3
张量分析第三章
s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
张量第三章——精选推荐
张量第三章第三章⼏个基本的张量§3.1 度量张量⼀、度量张量j j i i g g δ= ji j i g g δ=协变基⽮量的逆变分量和逆变基⽮量的协变分量是单位张量。
若把每个基⽮量看成是异名基⽮量所构成的参照标架的⼀个特殊⽮量，则可以表⽰为：jij i g g g = j ijig g g =ij g 是i g 的协变分量，ij g 是i g 的逆变分量。
ij g 和ij g 称为度量张量。
ij g ——度量张量的协变分量或协变度量张量。
ij g ——度量张量的逆变分量或逆变度量张量。
证明：ijg ，ij g 是⼆阶张量：''''i j i i g g g =⼜ijj j i i j i ijj j i i j i j ij j j i i j j j ij i i jij i i i i i i g g g g g g g g g g g g '''''''''''''''''ββββββββββ==∴====同理，度量张量的混变分量是单位张量，即i ji j g δ=j i j i g δ=⼆、度量张量的性质和作⽤1、度量张量各分量等于同名基⽮量的点积。
ij k j ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δij j k ik j k ik j i g g g g g g g ==?=?δ2、度量张量是⼆阶对称张量。
ij j i g g g g ?=? jiij g g =i j j i g g g g ?=?ji ij g g =3、度量张量的协变分量和逆变分量相乘并按⼀对指标求和等于单位张量。
ji jk ik g g δ=jk ik hl jl ih l jl k ik j i j i g g g g g g g g g g ==?=?=δδ由上式，可由度量张量的协变分量求逆变分量或者反过来求。
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
张量分析——初学者必看精选全文
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
张量分析课件
P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代 入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代 入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证： 刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚 体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证： 质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐 标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在 正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个 二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.
张量分析第3次课3
r r i i r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
2
g11 = 1
2
g33 = r sin θ
2
2
β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号.
1 1 1 ∂g 22 1 ∂g 22 1 ∂ 2 1λ 11 = g [22, λ ] = g [22,1] = − = − = − (r ) = −r 1 1 2 ∂x 2 ∂r g11 2 ∂x 22
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 1 γ β γ = δ γα + γ δ αβ − α δ γβ 2 β ∂x ∂x 2 Hα ∂x
2 2 1 1 ∂g 22 1 1 ∂ 2 1 2λ 22 = 2 (r ) = = = g [21, λ ] = g [21, 2] = 1 g 22 2 ∂x r 2 ∂r r 21 12
ik k g g = δ ∑ ij j i
∂g ij ik jm ∂g ∂g jm g ij g = =− l g g l l ∂x ∂x ∂g βλ ∂x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ∂x ∂g
ik mk
ik jm ik jm
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定义 则
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之 将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =
ERROR: limitcheck OFFENDING COMMAND: string STACK: 66038 33018 32512 33019
第三章
平直空间中的曲线坐标
§3. 3. 2
联络的变换规律
个分量. 联络 Γα 是有三个指标的量 共有 3 ( =27 ) 个分量 βγ 是有三个指标的量, 共有3 但是, 它并不是一个三阶张量, 但是 它并不是一个三阶张量 因为它在坐标变换时不 按张量规律变. 按张量规律变 我们来研究联络的变换规律. 我们来研究联络的变换规律 在坐标系 xα ′中, 有
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x α
2
r r ∂x xα = α ∂x β′ 求导, 对 x 求导 得 2r 2 γ β γ 2r ∂ x ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xγ + ∑ β ′ γ ′ β γ β′ γ′ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x γ ∂x ∂x βγ ∂x
2
r ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xα + ∑ β ′ γ ′ β γ ∂x ∂x ∂x α ∂x ∂x βγ ∂x
2 α
β
γ
2
2 α β γ r ∂ x ∂x ∂x α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ α′ n r ∂x r xα = ∑ α xα ′ α =1 ∂x 2 α α′ α′ ∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α r = ∑ (∑ β ′ γ ′ α + ∑ α Γ βγ ) xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
r r ∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
求导, 对xβ求导 得
Γ λ , βγ
r 2r ∂x ∂ x = λ ⋅ β γ 代入 得 ∂x ∂x ∂x ∂g
r r 2r 2r ∂g λγ ∂x ∂ x ∂x ∂ x ⋅ β γ + γ ⋅ λ β = β λ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
正好是逆变张量指标α和协变 的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系 的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
g Γ λ , βγ = ∑ gαλ g Γ
α
αλ
α βγ
Γ
α βγ
= g Γ λ , βγ
αλ
γ gαβ g βγ = δ α ∑ β
与度规张量的关系, 为了进一步求出 Γ λ , βγ 与度规张量的关系 由度规张量的定义式有 r r
∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
ri ri r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x r r i ∂x
的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等 得
2 α
不是张量
α′
ΓБайду номын сангаас
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标 变换时的变换规则. 变换时的变换规则
r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r xγ
哑标γ改写为α
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ 代入 ∂x ∂x α
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r ∂ 2 xα ∂x β ∂xγ α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γ α r 2r ∂x ∂ x Γ λ , βγ = λ ⋅ β γ ∂x ∂x ∂x
α βγ
Γ λ , βγ = ∑ gαλ Γα βγ
α
看成是将 Γ
αλ
α 的上标下降的结果. βγ 的上标下降的结果
反之, 的第一个下标上升, 反之 将 Γ λ , β γ 的第一个下标上升
Γ λ , βγ + Γ γ ,λβ =
∂g βλ ∂x γ
将三个指标进行轮换λ→β→γ→λ, 得
∂x
λγ β
Γ β ,γλ + Γ λ , βγ =
ERROR: limitcheck OFFENDING COMMAND: string STACK: 66038 33018 32512 33019
第三章
平直空间中的曲线坐标
§3. 3. 2
联络的变换规律
个分量. 联络 Γα 是有三个指标的量 共有 3 ( =27 ) 个分量 βγ 是有三个指标的量, 共有3 但是, 它并不是一个三阶张量, 但是 它并不是一个三阶张量 因为它在坐标变换时不 按张量规律变. 按张量规律变 我们来研究联络的变换规律. 我们来研究联络的变换规律 在坐标系 xα ′中, 有
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x α
2
r r ∂x xα = α ∂x β′ 求导, 对 x 求导 得 2r 2 γ β γ 2r ∂ x ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xγ + ∑ β ′ γ ′ β γ β′ γ′ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x γ ∂x ∂x βγ ∂x
2
r ∂ x r ∂x ∂x ∂ x = ∑ β ′ γ ′ xα + ∑ β ′ γ ′ β γ ∂x ∂x ∂x α ∂x ∂x βγ ∂x
2 α
β
γ
2
2 α β γ r ∂ x ∂x ∂x α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ α′ n r ∂x r xα = ∑ α xα ′ α =1 ∂x 2 α α′ α′ ∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α r = ∑ (∑ β ′ γ ′ α + ∑ α Γ βγ ) xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
r r ∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
求导, 对xβ求导 得
Γ λ , βγ
r 2r ∂x ∂ x = λ ⋅ β γ 代入 得 ∂x ∂x ∂x ∂g
r r 2r 2r ∂g λγ ∂x ∂ x ∂x ∂ x ⋅ β γ + γ ⋅ λ β = β λ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
正好是逆变张量指标α和协变 的变换规则. 张量指标βγ的变换规则
§3. 3. 3
克里斯托菲尔符号
α Tβγ 和度规张量 gαβ的关系 的关系. 讨论联络 r 将 2r r ∂x 点乘 ∂ x α r xλ = λ = ∑ Γ βγ xα β γ ∂x ∂x ∂x α
r 2r r ∂x ∂ x α r ⋅ β γ = ∑ Γ βγ xα ⋅ xλ gαλ λ ri ri ∂x ∂x ∂x r r α r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
g Γ λ , βγ = ∑ gαλ g Γ
α
αλ
α βγ
Γ
α βγ
= g Γ λ , βγ
αλ
γ gαβ g βγ = δ α ∑ β
与度规张量的关系, 为了进一步求出 Γ λ , βγ 与度规张量的关系 由度规张量的定义式有 r r
∂x ∂x ⋅ γ = g λγ λ ∂x ∂x
ri ri r r ∂x ∂x ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x r r i ∂x
的系数相等, 令两边 xα ′ 的系数相等 得
2 α
不是张量
α′
ΓБайду номын сангаас
α′ β ′γ ′
∂ x ∂x ∂x ∂x β ∂xγ α = ∑ β ′ γ ′ α + ∑ α β ′ γ ′ Γ βγ ∂x ∂x α ∂x ∂x αβγ ∂x ∂x
α
α′
这就是联络 Γ βγ 在坐标 变换时的变换规则. 变换时的变换规则
r r γ ∂x ∂x ∂x = ∑ γ′ γ γ′ ∂x γ ∂x ∂x
r xγ
哑标γ改写为α
r ∂ x α r = ∑ Γ βγ xα β γ 代入 ∂x ∂x α
2
r ∂ x α′ r = ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ β′ γ′ ∂x ∂x α′ r ∂ 2 xα ∂x β ∂xγ α r α′ ∑ Γ β ′γ ′ xα ′ = ∑ ( ∂x β ′∂xγ ′ + ∑ ∂x β ′ ∂xγ ′ Γ βγ ) xα α′ α βγ