用“三视图降维法”解决物理三维空间问题
三维坐标点 降维算法
三维坐标点降维算法
三维坐标点降维算法主要有以下两种：
1. 特征值分解法：这种方法基于最大可分性的要求，希望在新空间中的超平面上，样本点的投影尽可能分开。
数学表达就是投影后的样本点的方差最大化。
具体步骤如下：
输入：样本集D，低维空间维数k。
首先对样本进行中心化。
计算样本的协方差矩阵。
对协方差矩阵进行特征值分解。
取最大的k个特征值所对应的特征向量。
输出：投影矩阵。
2. 奇异值分解法：此方法可以用奇异值分解方法来代替特征值分解。
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三种方法巧解三视图
三种方法巧解三视图
张杰新
【期刊名称】《中学生数理化（七年级数学华师大版）》
【年(卷),期】2007(000)011
【摘要】@@ "三视图"内容丰富,形式多样,与生活联系密切.与三视图有关的题目主要考查同学们的观察能力、分析能力等.这类试题因新颖独特,同学们处理起来总是感觉束手无策.本文谈谈解决有关三视图问题的三种方法.
【总页数】3页(P26-28)
【作者】张杰新
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.利用三视图巧解三维立体物理问题 [J], 王成德
2.转换思维巧解“三视图”问题 [J], 王建宏
3.巧解三视图轻松对高考 [J], 李小平
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5.三种方法巧解初中化学计算题 [J], 汪雪燕
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高考有方法——三视图解题超级策略
高考有方法——三视图解题超级策略一、三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．二、还原三视图的常用方法1、方体升点法；2、方体去点法（方体切割法）；3、三线交汇得顶点法方法一方体升点法例1：(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2 C. 3 D．2答案 C解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD 中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.跟踪训练1.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练2.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练3.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积.方法二方体去点法例2：如图所示为三棱锥的三视图，主视图、俯视图是直角边长为2 的等腰直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练4.如图所示为三棱锥的三视图，主视图、侧视图是直角边长为4，宽为3 的直角三角形，求三棱锥的表面积或体积.跟踪训练5.如图所示为三棱锥的三视图，三视图是直角边长为4 等腰直角三角形，虚线为中线，求三棱锥的表面积或体积.方法三三线交汇得顶点法例3：如图，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）A．B．6 C．D．4正确答案是B．解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．第二步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可跟踪训练6.首先在正方体框架中描出主视图，并将轮廓的边界点平行延长，如图．类似地，将俯视图和侧视图也如法炮制．这样就可以找到三个方向的交叉点．由这些交叉点，不难得到直观图．练习1、练习2、练习1答案：练习2答案：跟踪训练7.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是直角边长为4 等腰直角三角形，侧视图是边长为4 的正方形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练8. 如图所示为四棱锥的三视图，主视图是边长为4 的正方形，侧视图是直角边长为4 等腰直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.跟踪训练9.如图所示为四棱锥的三视图，主视图是长为4，高为5 的长方形，侧视图的长为3 的长方形，俯视图为直角三角形，求四棱锥的表面积或体积.三视图练习1、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_____________.40+2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.3、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）DA 、8πB 、252π C 、12π D 、414π4、如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（ ）A侧视图俯视图正视图2A 、2B、4 C 、83D 、2 5、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）D （A ）81 （B ）71 （C）61 （D ）516、如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）C A. 1727 B. 59C. 1027D. 137、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）A(A) (B) (C)(D)8、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（B ）1()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 189、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（ ）D10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.11_____________.20或1612、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体中最长的棱长等于13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.8314、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________.15、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）816、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( C )A. B. C .6 D .417.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( A ) A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+323。
世界降维的例子
世界降维的例子世界降维是指将高维空间的事物、现象或概念转化为低维空间的过程。
在物理学、数学和计算机科学等领域，世界降维是一种重要的思维方式和方法。
通过降维，我们可以更好地理解和处理复杂的问题，简化计算和分析过程，并发现隐藏在数据背后的规律和关联。
下面将介绍几个世界降维的例子。
1.主成分分析(PCA)主成分分析是一种常用的降维技术。
它通过线性变换将高维数据集投影到低维空间中，保留最大方差的成分，并丢弃其余成分。
例如，假设有一个包含许多特征的数据集，我们可以使用主成分分析找到可以代表数据集大部分信息的几个主要特征，从而降低数据的维度。
主成分分析在许多领域中被广泛应用，如图像处理、数据挖掘和模式识别等。
2.流形学习流形学习是一种非线性降维技术，它通过学习数据样本之间的流形结构来降低数据的维度。
流形是指在高维空间中具有低维结构的数据分布。
通过发现和利用数据样本之间的流形关系，流形学习可以将高维数据映射到低维空间中，从而减少数据的复杂性。
例如，t-SNE算法可以将高维数据集映射为二维或三维空间，以便于可视化和理解。
3.嵌入式特征选择嵌入式特征选择是一种将高维特征集与降维结合的方法。
它通过学习模型的同时选择出最重要的特征，从而减少特征的数量并提高模型性能。
例如，L1正则化可以通过惩罚模型参数中的非零系数来实现特征选择。
通过减少模型中不相关或冗余的特征，嵌入式特征选择可以大大降低特征空间的维度。
4.矩阵分解矩阵分解是一种将高维矩阵降维的技术。
它通过将一个大矩阵分解为几个低维矩阵的乘积，从而减少数据的维度和计算复杂度。
例如，奇异值分解(SVD)可以将一个矩阵分解为三个低秩矩阵的乘积。
这种分解可以帮助我们发现数据中的主要模式，并对数据进行降维和压缩。
5.时间序列降维时间序列降维是指对时间序列数据进行降维的方法。
由于时间序列数据通常具有高维度和复杂性，降维可以提高数据的易解释性和模型的性能。
例如，动态时间规整(DTW)是一种常用的时间序列降维方法，它通过计算两个时间序列之间的最佳对齐路径来减少数据的维度。
世界降维的例子 -回复
世界降维的例子-回复世界降维的例子：探索高维度世界的奥秘引言科学与技术的不断进步，为我们揭开了许多隐藏在宇宙深处的奥秘。
然而，宇宙是如此巨大而神秘，远远超出我们人类理解的范围。
在物理学中，有一种思维工具被称为降维，帮助我们解释和研究高维度世界中的现象。
本文将通过几个具体的例子，逐步讲解世界降维的概念和应用。
第一部分：什么是降维？在理解降维前，我们先来认识一下维度。
维度是物体在某一方向上的自由度。
一维空间由直线组成，它只有一个方向。
二维空间由平面组成，有两个方向。
三维空间则是我们平常所熟悉的立体空间，有三个方向，即长、宽和高。
降维是将高维度的问题转化为低维度的问题进行研究的一种方法。
通过降低维度，我们可以更好地理解和分析复杂的现象。
举个例子，我们在二维平面上看到的投影可以是三维体积或四维空间的一部分，我们无法直接观察到高维度的世界，所以需要借助降维的手段去了解它。
第二部分：降维在日常生活中的应用1. GPS定位系统GPS（全球定位系统）是现代生活中不可或缺的技术之一。
然而，GPS 并不是直接通过卫星来定位的。
实际上，GPS 使用的是三角测量原理，通过测量卫星到接收器之间的距离来确定位置。
由于测量空间中至少需要三个点来确定一个位置，所以我们可以将GPS 的定位过程视为三维空间中的定位问题，即在三维空间中，通过卫星的信号确定我们的位置。
然而，在实际应用中，我们只需要二维的经纬度坐标来唯一确定一个位置，这就是降维的过程。
2. 图像处理图像处理是另一个应用降维的领域。
在计算机视觉中，图像通常以高维度的像素表示。
然而，对图像进行分析和处理时，我们常常只关注其中的一些特征，例如边缘、颜色等。
通过提取这些特征，我们可以将图像从高维度的像素空间降低到一个更低维度的特征空间，从而实现图像的分析和处理。
第三部分：降维在科学研究中的应用1. 上帝粒子的发现上帝粒子，即希格斯玻色子，是粒子物理学中的一个重大发现。
“上帝粒子黏滞机制”理论的提出和实验的发现过程中，降维发挥了重要作用。
高考三视图知识点
高考三视图知识点高考是每个学生都将面临的一次重要考试。
其中，物理学科对于很多学生来说可能是一个难点。
而在物理学中，三视图是一个重要的知识点，需要学生掌握和理解。
本文将重点介绍高考物理中的三视图知识点，从不同角度深入讨论，帮助学生更好地理解和应对考试。
一、什么是三视图？三视图是指一个物体在不同方向上的投影图。
通常来说，我们可以通过正视图、左视图和俯视图来理解一个物体的形状和结构。
正视图是指从物体正前方看的投影图，左视图是指从物体左侧看的投影图，俯视图是指从物体上方看的投影图。
二、三视图的应用三视图在日常生活和工程设计中有着广泛的应用。
在建筑设计中，工程师需要通过三视图来理解和描述建筑物的形状和结构，从而进行合理的设计和施工。
在机械加工中，工人需要通过三视图来理解和操作机械设备，保证产品的准确加工。
在电子电路设计中，工程师需要通过三视图来理解和布局电路板的组成部分，确保电子设备的正常工作。
三、如何绘制三视图？绘制三视图需要一定的技巧和方法。
首先，我们需要确定物体的主视图，即选择一个合适的方向作为正面。
然后，根据物体的形状和尺寸，我们可以绘制正视图和左视图。
在绘制正视图时，需要注意保持比例和准确度，确保投影图能够准确地反映物体的形状和结构。
在绘制左视图时，需要将物体按照一定角度倾斜，以获得合适的投影图。
最后，通过观察和分析正视图和左视图，我们可以绘制出俯视图，从不同角度全面地了解物体。
四、三视图与三维几何的关系三视图是三维几何的重要组成部分，可以通过观察三视图来判断物体的形状和结构。
在三维几何中，我们通过描述物体的点、线和面来构建物体的形态。
而三视图则通过将这些点、线和面在不同方向上投影到二维平面上来描述物体。
因此，三视图可以看作是三维几何与二维平面之间的桥梁，帮助我们理解和描述三维物体。
五、常见的三视图题型在高考物理中，三视图经常出现在选择题和计算题中。
例如，考生可能会遇到给定一个物体的正视图和俯视图，需要根据给定信息绘制出左视图的题目。
专题1：三视图方法总结及例题(解析版)
专题1：三视图方法总结及例题（解析版）一.空间几何体的三视图正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”二.空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450（或1350） ③画对应图形在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：42S ⋅=原图形直观图S一，切割法例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A．20B．24C．18D．16【答案】A【分析】由三视图还原出该几何体的直观图，如图所示，该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的，然后计算体积即可【详解】解：由几何体的三视图还原出该几何体的直观图，如图所示．该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．由题中数据可得三棱柱的体积为1344=242⨯⨯⨯，截去的三棱锥的体积为4，故该几何体的体积是20．故选：A【点睛】此题考查由三视图求几何体的体积，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.切割法规律总结：1、还原到常见几何体中2、实线当面切，虚线背后切3、切完后对照三视图进行检验二，三点交汇法例2某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A．4B．8C．12D．24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC-是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABCV-=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题. 三点交汇法规律：三线交汇得顶点，各顶必在其中选多顶可能用不完，个中取舍是关键:三、拔高法例3：3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．424+B ．228+C ．428+D ．12【答案】B【分析】 由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥，然后求出各个面的面积即可【详解】解：由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥E ABCD -，由题可得，2AB BC CD AD CE =====,22DE BE ==，所以该几何体的表面积为112222222282222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：B拔高法规律总结：1.标出俯视图所有结点，画出俯视图对应的直观图2.由主、侧视图的左中右找出被拔高的点.四、去点法例4：某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．6B．12C．24D．36【答案】B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示，可得1334=123V=⨯⨯⨯，故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.去点法规律：画立方体删多余点连剩余点六字真言：先去除、再确定针对练习1．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A．4B．23C．23＋2D．6【答案】C【分析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积．【详解】根据几何体的三视图，转换为几何体为：2的正方形，故底面的对角线长为2.所以四棱锥的高为12×2＝1，故四棱锥的侧面高为h22212⎛⎫+⎪⎪⎝⎭6则四棱锥的表面积为164222322S=⨯+=.故选C.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π【答案】B【解析】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，几何体的底面是边长为2 的等边三角形，侧棱长为2 ，三棱柱的两个底面中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是半径，2227(3)133r =⨯+= ，球的表面积为27284433r πππ=⨯= ，故选B. 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A．25B．26C．42D．43【答案】C【分析】依据多面体的三视图，画出它的直观图并放入棱长为4的正方体中，求出最长的棱长为AB可得答案．||【详解】依据多面体的三视图，画出它的直观图，如图所示；在棱长为4的正方体中，四面体ABCD就是满足图中三视图的多面体，其中A、B点为所在棱的中点，所以，四面体ABCD最长的棱长为22AB+=||4442故选：C．【点睛】方法点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查学生空间想象能力，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（）A ．3B ．6C ．5D ．3【答案】B【分析】 画出直观图，然后计算出最长的棱长.【详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示四棱锥P ABCD -.1AB BC CD AD ====，22112PA =+=，2221113PB =++=，22125PD =+=，2221216PC =++=.所以最长的棱长为6.故选：B【点睛】本小题主要考查三视图，属于基础题.5．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )A．4B．8C．12D．24【答案】A【分析】由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.【详解】由三视图还原几体何体如图，三棱锥D ABC-是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，所以11423432D ABCV-=⨯⨯⨯⨯=故选：A【点睛】此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A ．442+B ．262+C ．332+D ．8 【答案】A【分析】由三视图还原棱锥的直观图，即可求棱锥的表面积. 【详解】由已知三视图，可得：此棱锥ABCD 的直观图如下图所示：ABD △和CBD 都是直角边为2和2ABC 和ADC 均是腰长为2的等腰直角三角形，所以其表面积为21122222244222S =⨯⨯⨯⨯⨯=+.故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体的表面积，空间想象能力，属于基础题.7．一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（ ）A．3a B．33aC．36aD．356a【答案】D【分析】试题分析：由三视图可知该几何体为正方体去掉一角，其直观图如图缩小，正方体的体积，去掉的三棱锥的体积，因此组合体的体积，故答案为D．考点：由三视图求几何体的体积．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为（）A ．12B ．32C ．5D ．102【答案】B【分析】根据三视图，画出原图，根据原图，判断各个面的面积大小，即可得解.【详解】如图：棱锥P ABC -即为所求图形， 5PC PA ==2AC =，1AB BC ==所以△PAC 面积为32， 而△PBC ，△PAB ，△ABC 的面积分别为551222，，， 故△PAC 的面积最大，故选：B.【点睛】本题考查了立体几何的三视图，本题所用方法是利用长方体的割补进行还原原图，是解三视图的一个重要方法，考查了空间想象能力和空间感，计算量不大，属于中档题.9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（ ）A ．()2123cm +B ．()2103cm +C ．()21023cm+ D ．()21223cm +【答案】D【分析】 由三视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2cm 的正三角形，高为2cm ，根据面积公式计算可得结果.【详解】正三棱柱如图，有2AB BC AC ===，1112AA BB CC ===，三棱柱的表面积为122322312232⨯⨯+⨯⨯=+故选：D【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，考查了正三棱柱的结构特征，属于基础题.10．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．3B ．5πC ．4πD ．6π【答案】D【分析】 根据三视图可知几何体为圆柱体，由已知条件得底面直径2r 和高h 都为2，即可求圆柱体表面积.【详解】由题意知：几何体为底面直径2r 和高h 都为2的圆柱体，∴表面积2226S rh r πππ=+=，故选：D【点睛】本题考查了由几何体三视图求表面积，应用了圆柱体表面积的求法，属于简单题. 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．735+B ．725+C ．11352+D ．11252+ 【答案】A【解析】 分析：通过三视图可知，该多面体为棱长为2的正方体切割而成的四棱锥O ABCD -，A D 、为棱的中点，再计算该四棱锥各面面积之和即可．详解：根据三视图可知，该几何体为四棱锥O ABCD -，由棱长为2的正方体切割而成． 底面ABCD 为矩形，22=21+2=25ABCD S ⨯ 211===2=222OCD OBC SS S 正方形⨯ 1==52OAD ABCD S S易得5,3,22AB OA OB ===由余弦定理2223(22)(5)2cos 22322OAB +-∠==⨯⨯，得4OAB π∠= 12322322OAB S ∴=⨯⨯⨯= 四棱锥的表面积255223735S =++⨯+=+故选A ．点睛：（1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．（2）表面积计算中，三角形的面积要注意正弦定理和余弦定理的运用．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）A ．22B ．25C ．26D ．42【答案】C【分析】 将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可.【详解】由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥11 A BCC B -如图所示.其中1AC 为最长棱.由勾股定理得222142226AC =++=.故选：C【点睛】 本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．18B ．14C ．23D ．16【答案】C【分析】观察三视图并将其“翻译”成直观图，要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.【详解】如图所示，三棱锥D ABC -即为所求，正方体的棱长都是2，B 点到底面DAC 的距离是2，所以 11121223323D ABC ADC V S h -=⨯=⨯⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23πB ．πC ．43πD ．2π【答案】A【分析】由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，由圆柱体积减去两个半球体积可得．【详解】由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V V =柱－2V⨯半球231421221233πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查几何体的体积，解题关键是由三视图得出几何体的结构．15．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为A．8π﹣16B．8π+16C．16π﹣8D．8π+8【答案】A【解析】根据三视图恢复原几何体为两个底面为弓形的柱体，底面积为一个半圆割去一个等腰直角三角形，其面积为221422422ππ⋅-⨯⨯=-，高为4，所以柱体体积为()424π-=816π-.选A【点睛】由于正视图和侧视图均为矩形，所以原几何体为柱体，底面为两个弓形，所以原几何体是由圆柱截得的，三视图问题是近些年高考必考题，根据三视图恢复原几何体，数据要根据“长对正、高平齐，宽相等”的原则，标清几何体中线段的长度，利用面积或体积公式计算.16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．163D ．16【答案】B【分析】 由三视图画出其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得；【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（有一条侧棱PA 垂直于底面ABCD ），其直观图如图所示：四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形ABCD （上底为1BC =，下底为3AD =，高为2AB =），四棱锥的高是2PA =，所以直角梯形ABCD 的面积为()()132422ABCD BC AD AB S +⨯+⨯===直角梯形，所以该四棱锥P ABCD -的体积为11842333P ABCD ABCD V S PA -=⨯⨯=⨯⨯=直角梯形． 故选:B ．【点睛】本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.17．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4 C．D．3【答案】B【详解】试题分析：如图，阴影平行四边形表示截面，可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，122242V=⨯⨯⨯=.考点：1.三视图；2.正方体的体积18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．5252++B ．2552++C ．552++D ．525++【答案】D【分析】 依题意，由三视图得到直观图，再求出四棱锥的表面积即可；【详解】 解：由三视图可得如下直观图则SA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，且2SA =，2AB =，1AD =，所以12222SAB S =⨯⨯=，12112SAD S =⨯⨯=，122ABCD S =⨯=，22121252SCD S =⨯+=22112222SCB S =⨯+=所以表面积为552故选：D【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积，属于基础题.走进高考1，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A ．1727B ．59C ．1027D ．13【答案】A【详解】因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积154V π=，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积2161834V πππ=+=，所以削掉部分的体积与原体积之比为5434105427πππ-=，故选A. 考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力.2，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）如图,已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．3，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．63B．6C．62D．4【答案】B【详解】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为D ABC -，且4AB BC ==, 42AC =,25DB DC ==,2(42)46DA =+=，故最长的棱长为6，选B ．4，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为111111326⨯⨯⨯⨯=，∴剩余部分体积为15166-=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为15． 故选D ．考点：由三视图求体积5，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】【详解】【分析】 由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为：22222111142222542222r r r r r r r r r πππππ⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+ ， 又∵该几何体的表面积为16+20π，∴22541620r r ππ+=+ ，解得r=2，本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．6，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．B．C．90D．81【答案】B【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：，故棱柱的表面积为：．故选：B．点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.7，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和。
小专题3.7 三维受力平衡（解析版）
第二章 相互作用——力小专题7 三维受力平衡问题【知识清单】１.物体或系统所受到的外力不在同一平面内的平衡问题称为三维受力平衡问题。
2.处理三维受力平衡问题时，可以通过降维的方法解决，正如正交分解法是通过分解将二维平面内的受力平衡转变为两个一维直线上的受力平衡，三维空间平衡问题可以首先通过正交分解，将三维受力转化为一个 与一个 ，再通过正交分解将 转化为两个 。
也可以通过合成某些力，达到降维的目的。
3.三维受力平衡问题中通过降维转化为三个一维受力时，平衡条件可表达成 、 、 。
【答案】2.一维直线受力 二维平面受力 二维平面受力 二维平面受力 一维直线受力3.F x =0 F y =0 F z =0【考点题组】【题组一】平衡的计算如图a ，某工地上起重机将重为G 的正方形工件缓缓吊起。
四根等长的钢绳（质量不计），一端分别固定在正方形工件的四个角上，另一端汇聚于一处挂在挂钩上，绳端汇聚处到每个角的距离均与正方形的对角线长度相等（如图b ）。
则每根钢绳的受力大小为：A ．G 41B ．G 42C ．G 21D ．G 63 【答案】D【解析】由题意知对角线上两根绳与对角线形成一正三角形，故每根绳与竖直方向间的夹角为300，再由对称性可知每根绳 上的张力都相同，则平衡条件可得mg T =030cos 4，解得mg T 63=，D 正确。
2.如右图所示，水平面内有三块相同的圆板，分别用两根、三根、四根不可伸长的细线按三种不同的方式拴结一个质量为m 的小球，细线的另一端都栓结在圆板边缘，且栓结点均匀分布在圆周上，三种情况细线与竖直方向的 夹角分别为30o 、45o 、60o ,三种情况绳子的拉力分别为F 1、F 2、F 3它们的大小关系是A ．F 1＞F 2＞F 3B ．F 1 ＜F 2＜F 3C ．F 1＞F 3＞F 2D ．F 2＞F 1＞F 3【答案】C【解析】三幅图中，小球均受重力和绳子的拉力，根据平衡条件，拉力的竖直分力的合力等于重力，3.如图所示，三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在甲环上，彼此间距相等。
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图６ ） ．
改 变下 列某 一个 条件 ， ０ 角 的相应 变化 情 况是 （
Ａ 棒 中 电流变 大 ， ０角 变 大 ；
Ｂ
Ｃ
俯视 图 图 ２ 正 视 图 图 ３
金属棒 质 量变 大 ， 角 变 小 ；
金属 棒质 量 变大 ， ０角 变 大 ； 磁 感应 强度 变 大 ， 角 变 小
时， 就将 垂 直 于平 面 的 维度 给 忽 略 了 ， 从 而 画 出 一个
是 竖 直 向下等 于 ｇ， 而 是沿 斜 面 向下等 于 ｇ ｓ ｉ ｎ ａ ． 类 比平 抛 运 动 ， 此 题 也 可 以将 物 体 的运 动分 解 为 ２个 方 向 ， 水 平方 向 速 度 。的匀 速 直线 运 动 ， 沿 斜 面
侧 视 图 俯 视 图
图５
◎
磁 感 线 的 分 布 图１ 安 培 定 则
例 ２ 如 图 ６， 金 属 棒
Ｍ Ｎ 两 端 由 等 长 的 轻 质 细 线 水平 悬 挂 ， 处 于 竖 直 向 上 的 匀 强磁 场 中 ， 棒 中通 以 由 Ｍ 向
Ｎ 的 电流 ， 平 衡 时 两 悬 挂 线 与 竖 直 方 向 夹 角 均 为 ， 如 果 仅
向 下 的 初 速 度 为 ０的 匀 加 速 运 动 ， 加速度大小为 ｎ 一
１
ｇ ｓ ｉ ｎ ． 贝 ０ 有 ｎ 一｛ ｝ ｇ ｔ ｓ ｉ ｎ ａ ， ６ ＿ － ｏ ｆ ．
厶
ｒ——— ———一
二 维平 面 图 ． 一般可 以有 以下几种 角度 ： 正 面、 右 侧 面、 左侧 面 、 俯视 、 仰 视． 学生 在 数 学学 习 中 ， 已经 了解
进 行 降维 ， 画 出此 题侧 视 图 （ 图 ７ ） 会 更方 便进 行解 答 ． 由转 化后 的 二 维 受 力 图 可 以 清 楚 看 到 导 体 棒 的 受力情 况 ， 要 始 终保 持 平 衡 ， 就 有 ＢＩ Ｌ— ｍｇ ｔ ａ ｎ ０ ， 从
ｉ ０ ＿ 例１ 如图４ ， 光滑斜面长为。 ， 宽为６ ， 倾角为 ，
ｚ ， 速 度沿 一Ｙ时 ， 洛伦 兹 力 沿 一 ． 而 当 入射 速 度 方 向
档
Ｌ 而得到 ｔ ａ ｎ ０一 — ＢＩ
—
，
｜ ｜ ｇ
因 此 判 断 出
方 向． 为 了在 二 维平 面 上 体 现 出 洛 伦 兹 力 的情 况 ， 我 们 选择 与 Ｂ垂 直 的平 面 作 图 ， 也 就 是 选 择 平 面 作 图． 如图 ９ 一 甲， 假定 ＋Ｓ ｔ ： 方 向垂 直 ． ｙ ２向里 ， 速度 沿 ＋ Ｙ 方 向时 ， 洛伦兹 力 方 向沿 一ｚ ． 同理 ， 磁 场 沿 ＋ｚ， 速 度 沿 一 ， 则 洛伦兹 力 沿 ＋ｚ方 向 ， 如图９ 一 乙． 同理 ， 如 果
Ｄ
如果 在 原 图上 进 行 受 力 分析 ， 则 很 难
解析
图
根据 上 面的例 子 理解 了什 么 是 三 视 图 以后 ， 就 可 以结 合物 理 知识解 决具 体 的 物理 三维 空 间 问题 了． 下 面 以几种 典 型例 子进 行 阐述．
上 画 出简洁 清 晰 的受 力 分 析 图． 运 用 ｊ 视 图
一
物块 沿 斜 面上 方 顶 点 Ｐ
Ｐ
暑祝 图
解 物 理 暑
水平射 人 ， 而 从 右 下 方 顶 点 Ｑ离 开斜 面， 求 物 块 入
射 的 初 速 度 ． 解析
问 题
◇ 江苏 蒋 轶 群
本 题 是 斜 面 上 的 运动， 运 动 轨 迹
图 ４
是 抛 物线 ， 和竖直平 面上的二维平抛运 动相 比， 此 题
了这种 方法 ， 所 以 物 理 课 堂 上 需 要 做 的 就 是 引 导 他 们
联 立求 解， 得Ｖ ｏ 一 ６ ＾ ／
．
熟 练地 运用 这个 方 法解 决物 理 问题 ， 让 他 们 了解 各 种
学 科之 间 的关联 性 ．
现 以通 电导线 的磁 场为 例 （ 图 １ ～３ ） 做 简单说 明．
图７
正确 答 案为 Ａ、 Ｂ ．
一
例 ３ 如图 ８ 所示 ， 待 测 区域
中存 在匀 强 电场 和匀强 磁 场 ， 根 据
带 电粒 子射 入 时 的受 力 情 况 可 推
测其 电场和磁 场 ． 图 中装 置 由加 速
磁场方 向沿 一ｚ方 向 ， 当速 度沿 ＋Ｙ时 ， 洛 伦 兹力 沿 ＋
是三维的， 不容 易 掌握 物 体 的加 速 度 ， 难度增加． 如果 我 们 能通过 三 视 图将 三维 变 成 二 维 ， 问题 就 会 容 易得 多． 我 们可 以先 画 出侧 视 图 和俯视 图 （ 图５ ） ， 可 以从 侧 视 图 明显 看 出 物 体 在 光 滑斜 面上 只 受 重 力 和 斜 面 的 支持力， 二 者 的合 力 Ｆ— ｍｇ ｓ ｉ ｎ ａ ， 方 向沿 斜 面 向下 ，
则 加 速度 ａ ＝ ＝ ＝ ｇ ｓ ｉ ｎ ． 再到俯视图， 就 可 以 用 解 决 平 抛 运 动 的方 法来 解 决此 题 ， 不 同 之 处 只 是 在 于 加 速 地 方 都 涉 及 空 间 立 体 问题 ，
特 别是 力 学和 电磁 学部 分． 此 类 问题 对 学 生 空 间 思维 能力 和综 合处 理 问题 能力 要 求 高 ， 绝 大 多 数 同学会 觉 得 问题所 描述 的情 景难 以想 象 ， 因而无 法 运 用 已经 掌 握 的知识 来 解 决 这 部 分 问题 ． 要解决 这类问题 ， 就 需 要将 空 间三 维情况 转 化到 我 们 熟悉 的二 维 世 界 中来 ． 如何 实现 降 维呢 ？这 就需 要 用 到三 视 图． 也 即我 们需 要事 先选 定从 什 么角 度去 观 察 这个 三 维 空 间 ， 而 这个 角度必然对 应着某一 个平面 ， 当我 们 正 对 这 个 平 面