浙江省2004高等数学(微积分)竞赛试题
2004年高考数学(浙江卷理工类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）(理工类)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 =⋃)(N M （ ）(A) {1,2,3}(B) {2}(C) {1,3,4}(D) {4}(2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为（ ）(A) )23,21(-(B) ()21,23--(C) ()23,21--(D) ()21,23-(3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = （ ）(A) –4(B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是（ ）(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-=(D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为（ ）(A) 1(B) –1(C) 3(D) –3(6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= （ ）(A)43(B)34(C) --34(D) --43(7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是（）(A) 8(B) 9(C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA >21”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （ ）(A)1716（B ）17174 （C ）54（D ）552 （10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= （ ）(A)3π(B)4π(C)410arcsin(D)46arcsin（11）设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '= 的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能 的是（ ）（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x（C ）512-x（D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在题中横线上. （13）已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 .（14）已知平面上三点A 、B 、C 满足,5,4,3CA 则AB· BC+BC ·CA+CA·AB 的值等于 .（15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）. （16）已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .三、 解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本题满分12分） 在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且31cos =A . （Ⅰ）求A CB 2cos 2sin2++的值； （Ⅱ）若3=a ，求bc 的最大值.（18）（本题满分12分）盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后．．．第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）.记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ.（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）求随机变量ξ的期望ξE.（19）（本题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M 是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；（Ⅲ）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60o．（20）（本题满分12分）设曲线x e y x(-=≥0）在点M （t,e --t ）处的切线l 与x 轴y 轴所围成的三角形面积为S （t ）. （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求S （t ）的最大值.（21）（本题满分12分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A （1，0）点P 、Q 在双曲线的右支上，点M （m,0）到直线AP 的距离为1.（Ⅰ）若直线AP 的斜率为k ，且]3,33[∈k ，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当12+=m 时，ΔAPQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程.（22）（本题满分14分）如图，ΔOBC 的三个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn (Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.2004年普通高等学校招生全国统一考试数 学（浙江卷）参考答案一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.1. D2.A3.B4.C5.A6.A7.C8.B9.D 10.D 11.Ｃ 12.Ｂ 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.13. ]23,(-∞ 14. --25 15. 5 16. 5三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分)解: (Ⅰ)A CB 2cos 2sin2++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B=)1cos 2()cos 1(212-++A A=)192()311(21-++= 91-(Ⅱ) ∵31cos 2222==-+A bc a c b ∴2222232a bc a cb bc -≥-+=, 又∵3=a∴.49≤bc 当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是49. (18) (满分12分)解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ξ的取值是2、3、4、6、7、10. 随机变量ξ的概率分布列如下ξ2 3 4 6 7 10 P0.090.240.160.180.240.09随机变量ξ的数学期望ξE =2×0.09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.(19) (满分12分)方法一解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE.∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE.(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ， ∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD =I ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF.∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角. 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º.（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB =I ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QF 平面ABF ， ∴PQ ⊥QF.在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ.∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF ， ∴).2(2221)2(2t t -⋅=+- 所以t=1或t=3(舍去)即点P 是AC 的中点.方法二（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系.设N BD AC =I ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）, ∴NE=()1,22,22--, 又点A 、M 的坐标分别是（0,2,2）、（)1,22,22 ∴ AM=（)1,22,22--∴且NE 与AM 不共线，∴NE ∥AM.又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD =I∴AB ⊥平面ADF .∴)0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量.∵NE·DB=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NE·DF=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得 NE ⊥，⊥，∴为平面BDF 的法向量.∴cos<AB,NE>=21 ∴AB 与NE 的夹角是60º.即所求二面角A —DF —B 的大小是60º.（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得),1,2,2(t t PF --=∴CD=（2，0，0）又∵PF 和CD 所成的角是60º.∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去）， 即点P 是AC 的中点.（20）（满分12分）解：（Ⅰ）因为,)()(x x e ex f ---='=' 所以切线l 的斜率为,t e --故切线l 的方程为).(t x e ey t t --=---即0)1(=+-+--t e y x e t t .（Ⅱ）令y=0得x=t+1,又令x=0得)1(+=-t e y t 所以S （t ）=)1()1(21+⋅+-t e t t =t e t -+2)1(21 从而).1)(1(21)(t t e t S t +-='- ∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0,当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0,所以S(t)的最大值为S(1)=e 2(21) (满分12分)解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y即.0=--k y kx因为点M 到直线AP 的距离为1, ∵,112=+-k k mk 即221111k k k m +=+=-. ∵],3,33[∈k ∴,21332≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--332. ∴m 的取值范围是].3,3321[]3321,1[+--Y (Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222≠=-b by x 由),0,1(),0,12(A M + 得2=AM .又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1.因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）直线PQ 方程为22+=x .直线AP 的方程y=x-1, ∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入1222=-b y x 得，32122++=b 所以所求双曲线方程为,112)32(22=++-y x即.1)122(22=--y x （22）（满分14分）解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列. ∴.,21*∈==N n a a n (Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ∴.414n n y y -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444841n n n n n y y y y b ---=-=+++-)(41444n n y y --=+ ,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是首项和公比都为41-的等比数列.。
2004年高考.浙江卷.理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（浙江卷）第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则C U (M ∪N)=(A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 (A) )23,21(-(B) ()21,23-- (C) ()23,21--(D) ()21,23- (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-= (D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 (A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 (6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= (A)43 (B) 34 (C) --34 (D) --43 (7) 若n x )x2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12(8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A ）1716 （B ）17174 （C ）54（D ）552（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=（A ）3π （B ）4π（C ）410arcsin（D ）46arcsin（11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象 如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。
高等数学(微积分)竞赛工科类试题整理1
浙江和江苏试题2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分） 1、求9⎰.解: 9551155==⎰⎰⎰111111555u t u du=+-==-⎰⎰⎰312222155u u C=-+Cx x ++-+215235)1(52)1(152。
2、求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+.解:1111220(1)(12)(1)(12)limlimsin x xx xx x x x x x xx→→+-++-+=11022201ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x xx x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤++=+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 0112220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x xx x x x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 1122200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)lim (12)(1)2(21)x x x x x x x x x x x x x x x x →→⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦22(1)ln(1)2(21)ln(12)limlim2x x x x x x x x e e xx→→-++-++=-00ln(1)2ln(12)lim lim24x x x x e e x x→→-+-+=-22e e e =-+=.3、求p 的值,使22007()()0b x p ax p edx ++=⎰.解: 222007()2007()t x pbb p x p ta a px p e dx te dt =+++++=⎰⎰被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:a pb p +=--,解得:2a b p +=-.4、计算2222max{,}00,(0,0)abb x a y dx edy a b >>⎰⎰. 解: 22222222max{,}max{,}00abb xa yb x a y Ddx e dy ed σ=⎰⎰⎰⎰, 其中D 如右图2222222212max{,}max{,}b x a y b x a y D D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰222212a yb xD D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰2222ab b ya xa yb xb a dy edx dx edy=+⎰⎰⎰⎰2222b aa yb xa b yedy xedxba=+⎰⎰2222222211()()22b a a yb xed a y ed b x ab ab=+⎰⎰221(1)a beab=-.5、计算2()Sx y dS+⎰⎰,其中S 为圆柱面224,x y +=解: 2221()()2SSSx y dS x y dS ydS +=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰142SSdS ydS =+⎰⎰⎰⎰ 8yzD π=+⎰⎰8yzD π=+⎰⎰8π=被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,二、(20分)设1211211212345632313nun n n=+-++-+++--- ,111123n v n n n=+++++ ,求: (1)1010u v ;(2)lim n n u →∞.解: (1)111232313nn k u k k k=⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭∑ 1211211212345632313n n n=+-++-+++--- ,23111111nnnn k k k v n kkk=====-+∑∑∑111111111111123456323132n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭31111121132313nn nn n k k k u v k k k k k ===⎛⎫-=+--- ⎪--⎝⎭∑∑∑11211033nnk k k k k ==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭∑∑ 1n vu v ⇒=;(2)111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞→∞→∞⎛⎫==+++ ⎪++⎝⎭11111lim 1221111n k nn n n n n →∞⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪++++⎪⎝⎭(图来说明积分上下)2111lim1nn k k nn→∞==+∑201ln 31dx x==+⎰.三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为A A '、B B '的中点，E为D B '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：（1） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积.解:C EL :22224x y z π--==--旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，(0,0,)Q zM Q N Q ===化简得：所求的旋转曲面方程为：222282zxy π+-=，（2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=BDB 'Ex令0x=，解得在坐标面yo z上的曲线方程为：22282zyπ-=，图中所求的旋转体的体积为：24V dzππ⎛=⎝⎰24282zdzπππ⎛⎫=+⎪⎝⎭⎰242322zdzπππ=+⎰222321283233πππ=+=.四、(20分) 求函数2222(,,)x yzf x y zx y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z=≤++≤的最大值、最小值.解：222222222222222()2()222(,,)()()xx x y z x x yz xy xz xyzf x y zx y z x y z++-++-'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()yz x y z y x yz zx z yx y zf x y zx y z x y z++-++--'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()zy x y z z x yz yx y zx z yf x y zx y z x y z++-++--'==++++由于,x y具有轮换对称性,令x y=, 0x=或0y z==解得驻点: (0,,)y y或(,0,0)x对22221(0,,)2x yzf y yx y z+==++, 2222(,0,0)1x yzf xx y z+==++,在圆周2221x y z++=上,由条件极值得:令2222(,,)(1)F x y z x yz x y zλ=++++-(,,)220xF x y z x xλ'=+=8=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,)22,(0,)22-,(0,22--,(0,22-,(1,0,0),(1,0,0)-1(0,,222f =,1(0,222f -=-,1(0,,222f --=,1(0,)222f -=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=;在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得:令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-(,,)220x F x y z x x λ'=+=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,,(0,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-12f =,1(0,2f =-,1(0,2f =,1(0,2f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;2222(,,)x yz f x y z x y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为12-.五、(15分)设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,n = ,求此幂级数的和函数.证明：0()nn n S x a x∞==∑1111111()(1)n n n nn n n n S x naxaxn x∞∞∞----==='⇒==+-∑∑∑()nnnnn n n ax nxS x nx ∞∞∞====+=+∑∑∑而()1200011(1)nn nn n n n n x nxx nxx xx x x x x ∞∞∞∞-====''⎛⎫⎛⎫'=====⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,即:2()()(1)x S x S x x '-=- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求()()0S x S x '-=的通解:()xS x ce=,令()()x S x c x e =代入2()()(1)xS x S x x '-=-得:2()()()(1)xxxx c x e c x e c x e x '+-=-,即:()211()(1)111x x x x xxe c x dx xe dx xe dx x e xx x ---'⎛⎫'==⋅=-⎪----⎝⎭⎰⎰⎰()11xxxxxexee dx ec xx ----=+-=++--⎰故2()()(1)x S x S x x '-=-的通解为:1()11x x x xxe S x e c e ce x x --⎛⎫=++⋅=+ ⎪--⎝⎭,由于(0)0S =,解得1c =-, 故0n n n a x ∞=∑的和函数1()1xS x ex=--.六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈,(1) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭.(2) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R'≥∈.证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭,只需证明1212121111ln()ln ()ln ,,2222f x f x f x x x x R⎛⎫+≥+∀∈ ⎪⎝⎭,也即说明()ln()F x f x =是凹函数,[]()ln()()f x f x f x ''=,[][]22()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'⎛⎫''==≥ ⎪⎝⎭, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证.(2)2()()(0)(0)2F F x F F x xξ'''=++[]222()()()(0)ln (0)(0)2()x f x f x f x f f x x f f x ξ='''-'=++(0)f x'≥,即:(0)(),f xf x ex R'≥∈.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一.计算题1、求xxx x x ee e sin13203lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→.解:xxxxx xxx x x e e e e e e s i n1320s i n1320331lim 3lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→xee e x xeee ee e xxxx xxxxxx xxxee e e sin 13sin 133320323232lim 3lim ⋅++→⋅++⋅++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2cos 3320032lim e exeee x xxx==⋅++→。
【精品】浙江大学0104级微积分试卷
浙江大学2001级微积分(上）期终考试试卷系__________班级__________学号__________姓名__________考试教室__________一、选择题：(每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设()()()()()f x x a x b x c x d=----,其中a，b，c,d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---,则k的值等于(）.（A).a（B).b（C）.c（D）。
d2.曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）.(A)。
1y x=+(B）。
1y x=-+（C）.1y x=--(D）.1y x=-3。
下面的四个论述中正确的是（).（A).“函数()f x在[],a b上有界"是“()f x在[],a b上可积”的必要条件；（B）。
函数()f x在区间(),a b内可导，(),x a b∈，那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件；(C ）.“函数()f x 在点0x 处可导”对于“函数()f x 在点0x 处可微”而言既非充分也非必要; （D)。
“函数()f x 在区间E 上连续”是“()f x 在区间E 上原函数存在”的充要条件. 4。
下面四个论述中正确的是（）. （A ）.若0n x ≥(1,2,)n =，且{}n x 单调递减，设lim n n x a →+∞=，则0a >;(B ）.若0n x >(1,2,)n =,且lim n n x →+∞极限存在，设lim n n x a →+∞=,则0a >；（C ）。
若lim 0n n x a →+∞=>,则0n x ≥(1,2,)n =；（D ）.若lim 0n n x a →+∞=>，则存在正整数N ，当n N >时，都有2n ax >。
二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1.2lim(1)tgxxxπ→-=____________；2lim(1)tgxxxπ→--=____________.2。
2004浙江高等数学竞赛试题-答案
2004年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 一． 计算题（每小题15分，满分60分） 1． 解: 原式()22cos 2limtan xt x e tdt x x x x x→--=-⋅⎰00202cos 22lim 2tan sec x x e x x x x x x →--=--00202cos 22lim tan tan x x e x xx x x x→--=--203332cos 22lim tan tan x x e x xx x x x x x x →--=⎛⎫-- ⎪⎝⎭其中223333000tan tan tan tan lim lim lim x x x x x x x x x x xx x x x →→→⎛⎫---=- ⎪⎝⎭ 2222232300001sec tan tan tan 4lim lim lim lim 333x x x x x x x x x x x x x x →→→→--=-=-=-原式00320032cos 223cos sin 1lim lim 423xx x x x e x x e x e x x x→→----=-=- 0001cos sin sin cos lim22x x x x x e x e x e x e xx →---= 00012sin 1lim 42x x e x x →-=-=.①30tan sin limx x xx→-在课堂上作为一个典型的例子; ②3tan ()x x O x =+2． 解: 原式22cos 200424x dx x ππππ+=⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎰2222sin 20044x dx t ππππ--=-+⎰22222222sin 2004200444x dx dx t t πππππππ--=--+-+⎰⎰2221dπππ-=⎛⎫⎪+ ⎝==其他想法: 原式22202cos cos 20042004x xdx dx x x x x πππππππ++=+-+-+⎰⎰后者22222cos()cos 22004()()200422x t t xdx dt x x t t πππππππππππ-=+++=-++-++⎰⎰222sin 20044t dt t πππ-=-+⎰, 看来做不下去了!!!3． 解: ①在圆内(开集)(),2x f x y x '=, (),815y f x y y '=+, 解得驻点15(0,)8-, 但不在圆域内.②在圆周上2241x y +=, 求()22,415f x y x y y =++的极值, 是条件极值问题.()2222,415(41)F x y x y y x y λ=++++- (),280x F x y x x λ'=+= (),81520y F x y y y λ'=++=()22,410F x y x y λ'=+-= 解得: 驻点(0,1),(0,1)-(0,1)19f =,(0,1)11f -=-故最大值为(0,1)19f =, 最小值为(0,1)11f -=-.4． 解：()3max ,Dxy x d σ⎰⎰12333D D D xyd x d x d σσσ=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰16= 二．解: 21()1f x x '=-+, 则2(1)()1x f x '+=-,则两边对x 求(1)n -阶导数,由莱布尼茨公式得:2()(1)(2)(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x --++-+-=,令0x =,得:()(2)(0)(1)(0)n n f n n f -=--,而(0)1,(0)0f f '''=-=,则()120,;(0)(1)!,;n n n f n n +⎧⎪=⎨⎪-⎩当为偶数当为奇数 .三．解: 方程22149x y +=两边对x 求导得:2029x yy '+=,则12x y ='=-,直线段l 的方程为: 02y x =-+ 令sin (,)1yP x y x =-+, ()(,)cos ln 1Q x y y x =++, 则cos 1P y y x ∂=-∂+ cos 1Q y x x ∂=+∂+()s i nc o s l n131lyd x y x d yx⎛⎫⎡-+++-⎪⎣+⎝⎭⎰D BC CAσ=--⎰⎰⎰⎰121Dd dxxσ⎛⎫=+--+⎪⎝⎭⎰93921ln2sin ln2sin422242=--⋅+=-⋅.四．证明: ①()1lim()nbi iaif x dx f xλξ→==∆∑⎰由于a b<, 故0ix∆>, 无论[],a b怎么分、[]1,i i ix xξ-∈怎么取，1lim()ni iif xλξ→=∆∑存在且相等，即1lim()0ni iif xλξ→=∆=∑，由于f连续，故()0f x≡，[],x a b∈；（理由说的不够充分）②假设存在[],x a b∈，使得()00f x≠，不妨设()00f x>，则()000,[,],0x x x f xδδδ∃>∀∈-+>都有，由于函数f连续，故在00[,]x xδδ-+内存在最大、最小值分别为00,M m，显然000,0M m>>，而()()20b xa xf x dx f x dx mδδδ+-≥≥>⎰⎰与()0baf x dx=⎰矛盾，故假设错误，即()0f x≡，[],x a b∈。
2004年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学(理科)
数学(理科)第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 (A) {1,2,3} (B) {2} (C) {1,3,4} (D) {4} (2) 点P 从(1,0)出发,沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动32π弧长到达Q 点,则Q 的坐标为 (A) )23,21(-(B) ()21,23-- (C) ()23,21--(D) ()21,23- (3) 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = (A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10 (4)曲线x y 42=关于直线x=2对称的曲线方程是(A) x y 482-= (B) 842-=x y (C) x y 4162-= (D) 1642-=x y(5) 设z=x —y ,式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-+≥-03,02y x y x 则z 的最小值为 (A) 1 (B) –1 (C) 3 (D) –3 (6) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t= (A)43 (B) 34 (C) --34 (D) --43 (7) 若n xx )2(3+展开式中存在常数项,则n 的值可以是(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (8)在ΔABC 中,“A>30º”是“sinA>21”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件(9)若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（A ）1716（B ）17174 （C ）54 （D ）552（10）如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α=（A ）3π （B ）4π（C ）410arcsin（D ）46arcsin（11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是（12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。
2004~2005年度高等数学竞赛试题
2004~2005年度高等数学竞赛试题一、填空题（每题4分，共20分）1．设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin ⋅高阶的无穷小，而nx x sin ⋅是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于 。
（2） 2．设)(sin 42x y =，则)(3x d dy = 。
（)sin()cos(3844x x x ） 3．两平面0218419:1=++-z y x π和0428419:2=++-z y x π之间的距离为 。
（1）4．=+⎰-xdx x x 22223cos )sin (ππ 。
（8π） 5． =⨯⋅⋅)(])([b a a b a。
（0）分析： a b a)(⋅与a 共线，而)(b a a⨯⊥，)()(b a a b a⨯⊥⋅∴，⇒0)(])([=⨯⋅⋅b a a b a。
二、（10分）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x ，求a 、b 。
解：cbx ax x c bx ax x c bx ax x x x +-+-+-=+--+∞→+∞→2222525lim)5(lim ，25)25(lim22=+-+-+-=+∞→cbx ax x c bx x a x ，25,025=⇒=-∴a a ，20)255(2=+=b 。
三、（10分）设)(x f 在),(∞+-∞内可导，且e x f x ='∞→)(lim ，)]1()([lim )(lim --=-+∞→∞→x f x f c x c x x xx ，求c 的值。
解：c xx e cx c x 2)(lim =-+∞→ ，而由拉格朗日中值定理有1)()1()(⋅'=--ξf x f x f e f x f x f x ='=--∴∞→∞→)(lim )]1()([lim ξξ，e e c =⇒2，21=c 。
四、（10分）设)(x f 在),0[∞+上可导，0)0(=f ，且其反函数为)(x g ，若⎰=)(02)(x f x e x dt t g ，求)(x f 。
浙江大学2003至2004学年第二学期微积分期末考试试题
浙江大学2003至2004学年第二学期微积分期末考试试题
浙江大学2003－2004学年第二学期期末考试《微积分》课程试卷开课学院：理学院任课教师：__________姓名：__________专业：__________学号：__________考试时间：120分钟题序一二三四五六总分评卷人
得分
一、填空题（每个空格5分，满分30分）
（1）点到直线的距离＝____________.
（2）设，则＝____________.
（3）幂级数的收敛范围是____________.
（4）设一矢量场，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正
比（比例常数为），方向指向原点，则=____________.
（5）设，且是的傅里叶级数，则系数＝____________，＝____________.
二、（10分）求通过直线且与抛物面在的切平面垂直的平面方程。