高三数学第一轮复习导学案：36.一元二次方程根的分布
一元二次方程解法（复习课）导学案（5篇）
一元二次方程解法（复习课）导学案（5篇）第一篇：一元二次方程解法(复习课)导学案一元二次方程（复习课）导学案复习目标1．了解一元二次方程的有关概念。
2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
4．掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
5．通过复习深入理解方程思想、转化思想、分类讨论思想、整体思想，并会应用；进一步培养分析问题、解决问题的能力。
重点：能灵活运用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
复习流程回忆整理1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________()其中二次项系数是、一次项系数是常数项。
例如：一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是___________________其中二次项系数是、一次项系数是常数项是。
2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________________（2）（3）（4）求根公式法，求根公式是 ___________________3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是，当时，它有两个不相等的实数根；当时，它有两个相等的实数根；当时，它没有实数根。
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：(1)x(5x+21)=20(2)x2+9=6x(3)x2—3x = —54．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2 则x1 +x2=；x1 ·x2= ____________例如：方程2x2+3x —2=0的两个根分别为x1，x2 则x1+x2=；x1 ·x2= _________典例精析例1：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.例2：解下列方程:(1)2 x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x－12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.5）（x＋1）（x－1）＝22x（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.温馨提示：解题时应抓住各方程的特点，选择较合适的方法。
一元二次方程根的分布(讲义)
一元二次方程根的分布（一）两根在不同区间：例1 若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。
（3221<<k ）例2已知二次方程x 2－（m + 2）x －3m = 0的两根一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。
例3、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。
例4、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 122m -<<即为所求的范围。
练习：实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x 2-5x +a =0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
解： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇔ -12<a <0例5、已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足：βα<<<10，求m 的取值范围。
（73-<<-m 或72<<m ）（二）两根在同一区间：例1、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
解：由x()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⎪>⎪⎩⇒ ()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+例2 已知关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k +6)x +6k =0有两个负根，求k 的取值范围。
一元二次方程根的分布学案
一元二次方程根的分布【学习目标】结合二次函数的图象能找出一元二次方程根的分布与函数系数间的关系【预习要点】（1）方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有 ⇔函数()y f x =有（2）连续函数()y f x =在[,]a b 上存在零点⇔ ()()___0f a f b ⋅ （3）函数21y x mx =++在(,2]-∞为减函数⇔ _________（4）方程02=++c bx ax （0≠a ）根的个数与24b ac ∆=-有怎样的关系？（5）韦达定理：若方程02=++c bx ax （0≠a ）的实根为1x 、2x ，则12x x +=12x x ⋅=【学习内容】例1：已知2(3)0x m x m +-+=，根据一下条件求m 的取值范围 ⑴方程有两个不同实数根 ⑵方程有两正根⑶方程有两负根 ⑷两根都小于1⑸两根都大于12⑹一个根大于1，一个根小于1⑺两根都在(0,2) ⑻两根仅有1根在(0,2)⑼两根一个在(2,0)-另一根在(1,2)内 ⑽两根异号，且负根绝对值大于整根⑾一根小于2一根大于4总结：根的分布主要有两种题型：（1）两个根在同一个范围，需要考虑对称轴、∆、以及特殊值（2）两个根不在同一个范围，只需要考虑特殊值就行不论哪种题型，最关键的地方在于数形结合练习1：当m取什么实数时，方程2x m x m--+-=分别有: ①两个实根；②一4(2)(5)0正根和一负根；③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1.例2：（1）已知关于x的方程2--++=有两个负根，求k的取k x k k(2)(36)60值范围.（2）已知二次方程2m x mx-++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),则m的(2)310取值范围是例3：已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，a∈R}，若A ∪B＝A，求a的取值范围．【课后练习】1.若方程2x-(k+2)x+4=0有两负根，则k的取值范围是_______.2.方程x2－2|x|＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_______3.已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜－2}，则不等式6x2－5x＋a＞0的解集为．4.已知方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，则实数a的取值范围是．5.已知二次方程2-++=的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),则m的取值范围(2)310m x mx是 .思考题：已知函数f（x）＝x2＋2bx十c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程f（x）＋1＝0有实根，（1）证明：－3＜c≤－1且b≥0；（2）若m是方程f（x）＋1＝0的一个实根，判断f（m－4）的正负，并说明理由．【自我总结】（1）本节课你学到的知识点有 （2）你还有那些疑惑？一元二次方程f(x)=ax 2+bx+c=0实数根分布表一般的，可以通过数形结合得到以下结论： 根的情况 0a >时图 0a <时图充要条件两个根均小于m⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥∆m abm af 20)(0⇔⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥∆0))((002121m x m x m x m x两个根都大于n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥∆n ab n af 20)(0⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0))((002121n x n x n x n x 一个大于m ，另一个小于m 的根12()()0()0x m x m af m --<⇔<在区间(,)m n 内有且仅有一个根()()0f m f n <在区间(,)m n 之外有两个根⎩⎨⎧<<0)(0)(n af m af 在区间(,)m n 内有两个实根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥∆0)(0)(20n af m af n a b m。
高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明专题研究1一元二次方程根的分布课件理
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二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一 遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
(3) 一 根 在 (1 ， 2) 内 ， 另 一 根 在 ( － 1 ， 0) 内 ， 应 满 足 ff（（10））ff（（2－）1<）0<，0即m（（－22mm＋－13））<×0，（－m）<0解得－12<m<0.
(4)一根在(－1，1)内，另一根不在(－1，1)内，应满足 f(－ 1)f(1)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0，∴m>－12或 m<－32，又∵m－ 1≠0，∴m≠1.
【定理 1】 （即一个根 x1<小k<于x2k，一个根大于k）⇔af(k)<0.
【定理 2】
Δ＝b2－4ac≥0， （即k<两x根1≤都x2大于k）⇔a－f（2bak>）k. >0，
【定理 3】
Δ＝b2－4ac≥0， （即x1两≤根x2都<k小于k）⇔a－f（2bak<）k. >0，
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一元二次方程实根的分布(教案设计)
一元二次方程实根的分布 教师：丁金霞 班级：高一（8）
教学目的： 1．较熟练的讨论一元二次方程根的分布;
2.把一元二次方程根的分布问题转化为函数问题
3．培养转化的能力，综合分析、解决问题的能力；
教学重难点：一元二次方程根的分布问题转化为函数问题
内容分析：说明函数、方程、二者密不可分，通过这一点可以研究一元二次方程实数根的分布 教学过程：
一、复习引入：
1、韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 2. 一元二次方程的根与对应的一元二次函数的关系
3.零点的判定方法
4．问题：已知方程06)3(2
=+++-m x m x 有两个不相等的正根,求m 的取值范围。
变式：把原题中“两个不相等的正根”改为“两个大于2的不相等的实根”， 求m 的取值范围。
二、讲解新课：
例1，如果方程06)3(2=+++-m x m x 有两个均大于2的不相等的实根， 求m 的取值范
围。
例2，如果方程06)3(2=+++-m x m x 的两个实根都在（2，4）之间， 求m 的取值范围。
例3，如果方程06)3(2=+++-m x m x 的两个实根一个小于2，一个大于2， 求m 的取值
范围。
例4，如果方程06)3(2=+++-m x m x 的两个实根一个在（1，2）之间，一个在（4，6）
之间， 求m 的取值范围。
点评：
三，学生练习
求m 的取值范围，使方程012
=-+mx x 的两个实根一个比2大，一个比0小。
四，课堂小结
五，作业《导学练》。
一元二次方程根的分布问题教案
一元二次方程根的分布问题一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两个实根为1x，2x，且21xx≤。
【定理1】：01>x，02>x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆)0(42bcfaacb或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆)0(42bcfaacb上述推论结合二次函数图象不难得到。
【定理2】：01<x，02<x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆)0(42bcfaacb或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆)0(42bcfaacb由二次函数图象易知它的正确性。
【定理3】210xx<<⇔0<ac【定理4】○101=x，02>x⇔0=c且0<ab；○201<x，02=x⇔0=c且0>ab。
二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两实根为1x，2x，且21xx≤。
k为常数。
则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。
【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042【定理2】k x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b20)(042。
【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af 。
【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请读者自证。
2025年高考数学一轮复习 第二章-素能培优(一)一元二次方程根的分布【课件】
2
⋅
> 0,
< 0,
< 0,
> 0,
< 0,
> 0,
__________
___________
>0
<0
< 0,
< 0,
或ቊ
或ቊ
__________
< 0 __________
<0
续表
一根在 , 内，
根的分
布情况
两根都在 , 内
Δ>0
综合结
论（不
讨论）
两根仅有一根在 , 内（图象
另一根在
有两种情况，只画了一种）
, 内， <
<<
ቐ
⋅ > 0,
−
2
<
<
______________________
⋅ <0
（2）已知关于的方程 2 − + 2 − 3 = 0有两个不相等的实数根，且两个实数根
22
−∞, 2 ∪ 6,
都小于5，则实数的取值范围是________________.
3
= − − > ,
[解析] 若 = − + − ，则൞ < ,
_______________________
< 0,
ቊ
<0
_______________
例2 关于的方程 2 + − 1 + 2 − 2 = 0的两个实根分别为1 ,2 .
高一数学教案一元二次方程根的分布
高一数学教案一元二次方程根的分布教材： 一元二次方程根的分布目的： 介绍符号〝f(x)〞，并要求学生明白得一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关咨询题。
过程：一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号〝f(x)〞。
如：二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0) x=1时的函数值记作f(1) 即f(1)=a+b+c 二、 例一 关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范畴。
解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或 052<≤-⇒k此题要紧依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。
例二 实数a 在什么范畴内取值时，关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇒ -12<a<0例三 关于x 的方程x 2-2tx+t 2-1=0的两个实根介于-2和4之间，求实数t 解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。
三、作业题〔补充〕*1. 关于x 的方程x 2+ax+a -1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范畴。
(a<1)*2. 假如方程x 2+2(a+3)x+(2a -3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范畴。
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一、一元二次方程的根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2.
【定理1】 x 1
>0，x 2
>0(两个正根)⇔⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
x 1
＋x 2＝－b a >0，
x 1x 2
＝c a >0.
推论：x 1
>0，x 2
>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
a >0，
f (0)＝c >0，
b <0
或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
a <0，
f (0)＝c <0，b >0.
【定理2】 x 1
<0，x 2
<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
x 1
＋x 2
＝－b a <0，
x 1x 2
＝c a >0.
推论：x 1
<0，x 2
<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
a >0，
f (0)＝c >0，
b >0
或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
a <0，
f (0)＝c <0，b <0.
【定理3】 x 1<0<x 2⇔c
a
<0.
二．一元二次方程的根的非零分布——k 分布
设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2.k 为常数．则一元二次方程根的k 分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理
【定理1】 k <x 1
≤x 2
⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
af (k )>0，
－b 2a >k .
【定理2】 x 1
≤x 2
<k ⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
af (k )>0，
－b 2a <k .
【定理3】 x 1<k <x 2⇔af (k )<0.
推论1 x 1<0<x 2⇔ac <0. 推论2 x 1<1<x 2⇔a (a ＋b ＋c )<0. 【定理4】 有且仅有k 1<x 1(或x 2)<k 2⇔f (k 1)f (k 2)<0.
【定理5】 k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2⇔ 【定理6】 k 1<x 1≤x 2<k 2⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，
f (k 1)>0，f (k 2)<0，f (p 1)<0，f (p 2
)>0
或⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，
f (k 1)<0，
f (k 2)>0，
f (p 1)>0，f (p 2
)<0.
⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
a >0，
f (k 1)>0，f (k 2)>0，k 1
<－b 2a <k
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝b 2－4ac ≥0，
a <0，
f (k 1)<0，f (k 2)<0，k 1
<－b 2a <k 2
.
三、.专题讲解
例1. (1)若一元二次方程(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ＝0有两个正根，求m 的取值范围．
(2)若一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0的两根都是负数，求k 的取值范围．
(3)k 在何范围内取值，一元二次方程kx 2＋3kx ＋k －3＝0有一个正根和一个负根？
(4)若一元二次方程kx 2＋(2k －1)x ＋k －3＝0有一根为零，则另一根是正根还是负根？
例2. (1)已知方程x 2－11x ＋m －2＝0的两实根都大于1，求m 的取值范围．
(2)若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两个实根都大于－1，求m 的取值范围． (3)若一元二次方程mx 2－(m ＋1)x ＋3＝0的两实根都小于2，求m 的取值范围．
(4)已知方程x 2＋2mx ＋2m 2－3＝0有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围．
(5)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0有一实根在0和1之间，求m的取值范围．
(6)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0的较大实根在0和1之间，求m的取值范围．
(7)若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1,1)内，求k的取值范围．
(8)若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，
求k的取值范围．
(9)已知关于x的方程(m－1)x2－2mx＋m2＋m－6＝0的两根为α、β且0<α<1<β，求m的取值范围．
拓展：
1．若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．
2．若关于x的方程lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0有唯一的实根，求实数a的取值范围．
3．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
我的学习总结：
（1）我对知识的总结. （2）我对数学思想及方法的总结。