第13章 非正弦周期电流电路 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
合集下载
第13章 非正弦
u = U 0 + u1 = U 0 + U1m sinω t
章目录 返回 上一页 下一页
t
此时电路中的电流也是非正弦周期量。 此时电路中的电流也是非正弦周期量。 即：
u U 0 U 1m i= = sinω t + R R R
三、非正弦周期电流电路的分析方法 谐波分析法 既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一 个周期性的非正弦量， 个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？ 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已 有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数 有了肯定的答案， 都可以分解为傅里叶级数。 都可以分解为傅里叶级数。 这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流 电路来求解。 电路来求解。 分解合成法
章目录 返回 上一页 下一页
bK =
π∫
Im
1
2π
0
iS (ω t )sinkω td(ω t)
0 K为偶数 2I = m kπ K为奇数
1 π (− cos kω t ) 0 = π k
2 K 2 K
2Im AK = b + a = bK = 为奇数） （K为奇数） kπ − bK o ψK = arctan = −90 aK
1 T 2 I= ∫0 i dt i = I0 + i1 + i2 +K T 2 2 2 2 i = I0 + i1 + i2 +K
) ) + 2I0(i1 + i2 +K + 2(i1i2 + i1i3 +K +K
1 T 2 2 2 ∫0 Adt = I0 + I1 + I2 +K T 1 T 1 T 正交性 ∫0 Bdt = 0 T ∫0 Cdt = 0 得证 T
第13章 非正弦周期电流电路 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
5
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
)
(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
)
(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算
返回 上页 下页
直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
非正弦周期信号汇总
第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱重点：1. 非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；2. 非正弦周期电流电路的平均功率3. 非正弦周期电流电路的计算方法难点：1. 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用2. 非正弦周期电流电路功率的计算章与其它章节的联系：三相电路可以看成是三个同频率正弦电源作用下的正弦电流电路，对它的计算，第九章正弦电流电路中所阐述的方法完全适用。
§13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点：1) 不是正弦波2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..）式中T 为周期。
图 13.1 为一些典型的非正弦周期信号。
图13.1（a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。
采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。
§13.2 周期函数分解为付里叶级数电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：也可表示成：以上两种表示式中系数之间关系为：上述系数可按下列公式计算：（k=1，2，3……）求出a0、a k、b k便可得到原函数f(t) 的展开式。
注意：非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数a0、ak、bk ，可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波分量，可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。
第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算 PPT课件
布置作业
１、Ｐ３４１ １３－６ 思考题： １、Ｐ３４２ １３－７
１３－８ 预习：§１４－１ §１４－２
（３）、函数的对称性
偶函数、奇函数、镜对称函数
a、计时起点与相位的关系 b、计时起点与函数的奇偶性 c、傅里叶级数的收敛性
第十三章 非正弦周期电流电路和 信号的频谱
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
§１３－４ 非正弦周期电流电路的计算 §１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
§１３－３ 有效值、平均值和平均功率
U1m(0) 100V (直流分量) U1m(2) 3.55 175.21o V U1m(4) 0.171 177.69o V
§１３－５ 对称三相电路中的高次谐波
１、三类对称组：正序、负序和零序组。 ２、线电压中不含零序对称组谐波分量。 ３、星形负载中的情况（有无中线）。 ４、三角形负载中的情况
１、有效值 ２、平均值 ３、平均功率
１、有效值
任一周期电流 i 的有效值定义为：
I
1 T
T
0
i 2dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：
i I0 Ikm cos(k1t k ) k 1
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
I
1 T
T
0 [I0
Ikm cos(k1t k )]2 dt
1
k1C
Z k1 3
j 0.429k
21 k
31
j 0.143k
7 k
(k )
arctan 0.143k
7 k
(阻抗角)
•
I m(k)
1 3
c
os(
k
)
•
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
上页 下页
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
上页 下页
（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
第十三章非正弦周期电路
uR
1 1 L1 2 2 0.1H 1 C 10 0.1 1 j3 L1 j3C j3 L2 0 1 j (3 L1 ) 3C
L2 L1 C
32 L1
1 C
1 302 .01 1 0.1
1 0.0125H 80
11
第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
• 非正弦周期信号
• 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
• 非正弦周期信号的有效值、平均值、平均功率的 计算 • 非正弦周期电流电路的分析和计算
1
§13-1 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
1、非正弦周期信号分解为傅里叶级数
f (t ) A0
直流分量
A1m cos(1t 1 ) A2 m cos(21t 2 ) ....
二端网络：
u U 0 U km cos(k1t uk ) i I 0 I km cos(k1t ik )
k 1 k 1
平均功率：
1 P T
T
0
1 pdt T
T
0
u idt
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则有效值:
I 1 T
1 T
T
0
i 2 d (t )
2
T
0
I 0 I km cosk1t k d (t ) k 1
4
利用三角函数的正交性得：
I
同理有： U
2 I km I 02 k 1 2
1 1 L1 2 2 0.1H 1 C 10 0.1 1 j3 L1 j3C j3 L2 0 1 j (3 L1 ) 3C
L2 L1 C
32 L1
1 C
1 302 .01 1 0.1
1 0.0125H 80
11
第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
• 非正弦周期信号
• 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
• 非正弦周期信号的有效值、平均值、平均功率的 计算 • 非正弦周期电流电路的分析和计算
1
§13-1 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
1、非正弦周期信号分解为傅里叶级数
f (t ) A0
直流分量
A1m cos(1t 1 ) A2 m cos(21t 2 ) ....
二端网络：
u U 0 U km cos(k1t uk ) i I 0 I km cos(k1t ik )
k 1 k 1
平均功率：
1 P T
T
0
1 pdt T
T
0
u idt
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则有效值:
I 1 T
1 T
T
0
i 2 d (t )
2
T
0
I 0 I km cosk1t k d (t ) k 1
4
利用三角函数的正交性得：
I
同理有： U
2 I km I 02 k 1 2
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里 赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞
2019年4月2日星期二
Lectured By 1 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
基本要求
正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的 概念， 掌握非正弦周期电流电路的分析方法。
Lectured By 4 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.1 非正弦周期信号
i o
尖顶波
T 2
T
非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。
2019年4月2日星期二
Lectured By 3 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
代入已知数据：
Im 157μ A, T 6.28μ s
直流分量
I0
Im 2
157 78.5μ A 2
基波最大值 I1m
三次谐波最大值 五次谐波最大值
2Im 2 1.57 100 A
I3m
1 3.14
31I1m
33.3A
I5m 5 I1m 20μA
t T/2
（2）奇函数
f(t)
f (t) f (t)
ak
0
－
T/2
（3）奇谐波函数
f (t)
t T/2
f (t) f (t T ) 2
a2k b2k 0
T/ T t 2
例1 周期性方波信号的分 解 图示矩形波电解流在一
iS
个周期内的表达式为： I m
I
m
iS (t)
is3
is5
iS
Im
T/2 T
Akm 矩形波的频谱图
t 0 3 5 7
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
3t
1 sin 5
5
t
)
例2 给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：
f(t)
(1) 正弦分量；
(2) 余弦分量；
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u(t ) U0 U km cos(kt uk )
k 1
i(t ) I0 Ikm cos(kt ik )
1
k 1
T
P T
0
u idt
利用三角函数的正交性，得：
P U0I0 Uk Ik cosk (k uk ik )
L1 1000 40 103 40Ω L2 1000 10 103 10Ω
1
C1
1
C2
1 1000 25 106
40Ω
j40
j10
UILU111、cb1C1I12L2发2001生0并0 V联谐U振adI。11 a+U1j40IC11122cU0310d0ILjV2140 _ b
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )
例1 半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3 脉冲电路中的脉冲信号
t T
13.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量
基波
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I0 Ikm cos(kt k )
则有效值:
k 1
I 1 T i2 td(t)
T0
1 T
T 0
I0
k 1
I km
coskt
k
2 d (t )
利用三角函数的正交性得：
f (t) a0 [ak cos k1t bk sin k1t]
k 1
系数之间的关系为
A0 a0
Akm
a
2 k
bk2
ak Akm cosk
k
arctan
bk ak
bk Akm sink
系数的计算：
1T
A0 a0 T 0 f (t )dt
I
I
2 0
k 1
I
2 km
2
I
I
2 0
I12
I
2 2
结论
周期函数的有效值为直流分量及各
次谐波分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t) I0 Ik cos(kt k ) 则其平均值为： k 1
I AV
1 T
T
0 i(t )dt I0
角频率
2
T
2 3.14 6.28 106
10 6 rad/s
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5 A
is3
100 3
sin 3 106 t
A
i
s1
is
100
100 5 5
sin106 t
sin 5 106
t
A
A
(2)对各种频率的谐波分量单独计算：
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
2. 计算举例
例1
方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF
Im 157μ A、 T 6.28S
iS
R
Cu
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：iS
Im
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
T/2
T
t
1 sin 5t )
例2 已 知 : u 30 120cos1000t 60cos(2000t π ) V.
4
求图示电路中各表读数(有效值)及电路吸收的功率。
A1 a+
L1 C140mH 25F A2
30d
L2
V2 10mH
A3
c
C2 25F
VV1 1
u
_
b
解
L1 40mH
L2 10mH
iC1
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5A IS0
R u0
电容断路，电感短路:
U0 RI S0 20 78 .5 106 1.57 mV
（b)基波作用
1
1is1
100sin106 t
1C 106 1000 1012 1k 1L 106 103 1k
k 1
P0 P1 P2 ......
P U0I0 U1I1 cos1 U2I2 cos2
结论
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功 率
13.4 非正弦周期交流电路的计算
1. 计算步骤
（1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展 开成若干种频率的谐波信号； （2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波 信号分别应用相量法计算； （注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流C 相 当于开路、L相于短路。） （3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
20Ω
LI2IUU、2L22aC2d22I发6Cj022生10U2,并1L42联5U0谐Vcb6I2振20a。+Uj2220jj824005IC61202cU310342d5IjL2Vj2220045_Ab
所求的电压、电流的瞬时值为：
1
ak
2
0 f (t )cos k1td(1t)
1
bk
2
0 f (t)sin k1td(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t) （1）偶函数
－
f (t) f (t) bk 0 T/2
iS
R
Cu
L
XL>>R
Z (1 )
(R jX L ) ( jXC R j(XL XC )
)
XLXC R
L RC
50k
Z(1 ) 50KΩ is1 100sin106 t μ A
U 1
I1
Z (1）
100 106 2
50
5000 2
mV
(c)三次谐波作用
U1
5000mV 2
U 3
12.47 2
89.2
mV
U 5
4.166 2
89.53 mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000 sin t
12.47 sin( 3t 89.2 )
4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
)
(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 2
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U0 1.57 mV
i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
2 sin 2 ktd(t) 0
2 cos2ktd(t) 0
（3） 三角函数的正交性
2
0 cos kt sin ptd(t ) 0