【精品】2017年福建省漳州市高考数学二模试卷及参考答案(文科)

2017年福建省漳州市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}2．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2，S n为{a n}的前n项和，则S10=（）A．90 B．100 C．110 D．1304．（5分）五张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）为了得到函数y=cos2x的图象，只要把函数的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度6．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．87．（5分）已知函数，若，则f（1﹣m）=（）A．﹣1 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣168．（5分）如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱体的高为（）A．B．C．D．59．（5分）函数f（x）=（1+cosx）sinx在[﹣π，π]的图象的大致形状是（）A．B．C．D．10．（5分）一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．执行下面的程序框图，则输出的S表示的是（）A．小球第10次着地时向下的运动共经过的路程B．小球第11次着地时向下的运动共经过的路程C．小球第10次着地时一共经过的路程D．小球第11次着地时一共经过的路程11．（5分）若P为可行域内的一点，过P的直线l与圆O：x2+y2=7交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）若不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0对于任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．[0，e]D．[﹣1，0]二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量，且∥，则x=．14．（5分）已知双曲线的离心率等于2，其两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，，则p=．15．（5分）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是．16．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是{a n}的前n项和．已知a2a4=16，S3=28，则a1a2…a n最大时，n的值为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b≠c，且bcosB=ccosC，延长线段BC到点D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，（Ⅰ）求证：∠BAC是直角；（Ⅱ）求tan∠D的值．18．（12分）如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1，如图2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面AEB1；（Ⅱ）若二面角A﹣DE﹣C1的大小为，求三棱锥C1﹣AB1D的体积．19．（12分）漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒赚1.7元；如果当天未能按量完成任务，则按实际完成的雕刻量领取当天工资．（I）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．（ⅰ）求该雕刻师这10天的平均收入；（ⅱ）求该雕刻师当天收入不低于300元的概率．20．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使MF1平分∠AMB？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ae x﹣blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（1）求a，b；（2）证明：f（x）＞0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）过点P且倾斜角为的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤5的解集为A，且2∉A，求a的取值范围．2017年福建省漳州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A={x|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2}C．{﹣2，0，1}D．{0，1}【解答】解：∵A={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴C U A={x|x≤﹣1}，∴（∁R A）∩B={x|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1}故选A．2．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：=，则复数的虚部为：．故选：C．3．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2，S n为{a n}的前n项和，则S10=（）A．90 B．100 C．110 D．130【解答】解：∵在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2，∴数列{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，∵S n为{a n}的前n项和，∴S10=10×2+=110．故选：C．4．（5分）五张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，从这五张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从5张中随机的抽2张，共有C52=10种结果，满足条件的事件是两张之和为奇数，有3×2=6种结果，∴要求的概率是故选A．5．（5分）为了得到函数y=cos2x的图象，只要把函数的图象上所有的点（）A．向右平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向左平行移动个单位长度【解答】解：∵=sin（π﹣2x+）=cos[﹣（﹣2x）]=cos[2（x﹣）]，∴只要把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可得到函数y=cos2x的图象．故选：B．6．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为×2×2×2=4．故选：B7．（5分）已知函数，若，则f（1﹣m）=（）A．﹣1 B．﹣4 C．﹣9 D．﹣16【解答】解：由题意可知，m≤1，∴f（m）=，∴1﹣|m|=﹣2，解得m=3（舍）或m=﹣3．则f（1﹣m）=f（4）=﹣（4﹣2）2=﹣4．故选：B．8．（5分）如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱体的高为（）A．B．C．D．5【解答】解：∵球形容器表面积的最小值为30π，∴球形容器的半径的最小值为r==，∴正四棱柱体的对角线长为，设正四棱柱体的高为h，∴12+12+h2=30，解得h=2．故选：B．9．（5分）函数f（x）=（1+cosx）sinx在[﹣π，π]的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=[1+cos（﹣x）]sin（﹣x）=﹣（1+cosx）sinx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除C，当x=时，f（）=1，故排除D，当x=时，f（）=（1+）×=＞1，故排除B．故选：A．10．（5分）一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．执行下面的程序框图，则输出的S表示的是（）A．小球第10次着地时向下的运动共经过的路程B．小球第11次着地时向下的运动共经过的路程C．小球第10次着地时一共经过的路程D．小球第11次着地时一共经过的路程【解答】解：执行该程序框图知，该程序运行后输出的是S=2×（100+50+25+…+）﹣100，它表示小球第10次着地时一共经过的路程．故选：C．11．（5分）若P为可行域内的一点，过P的直线l与圆O：x2+y2=7交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：不等式可行域如图所示联立，解得D（﹣1，2）．由图可知，可行域内的点中，D 到原点的距离最大，为，∴|AB|的最小值为2=2故选：D12．（5分）若不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0对于任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[0，1]C．[0，e]D．[﹣1，0]【解答】解：令f（x）=ln（x+2）+a（x2+x），x∈[﹣1，+∞），∵不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0对于任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，∴f min（x）≥0，f′（x）=+2ax+a=，令g（x）=2ax2+5ax+2a+1，（1）若a=0，则g（x）=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，∴f min（x）=f（﹣1）=0，符合题意；（2）若a＞0，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣，∴g（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，∴g min（x）=g（﹣1）=1﹣a，①若1﹣a≥0，即0＜a≤1，则g（x）≥0，∴f′（x）≥0，由（1）可知符合题意；②若1﹣a＜0，即a＞1，则存在x0∈（﹣1，+∞），使得当x∈（﹣1，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，∴f min（x）＜f（﹣1）=0，不符合题意；（3）若a＜0，则g（x）的图象开口向下，对称轴为x=﹣，∴g（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，g max（x）=g（﹣1）=1﹣a＞0，∴存在x1∈（﹣1，+∞），使得当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，g（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，x1）单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣1，+∞）上不存在最小值，不符合题意；综上，a的取值范围是[0，1]．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量，且∥，则x=﹣．【解答】解：∵∥，∴x+1+2x=0，解得x=﹣．则x=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知双曲线的离心率等于2，其两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，，则p=1．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，抛物线的准线方程为x=﹣，∴A（﹣，），B（﹣，﹣），==，∴bp2=a，即p2=．∴S△AOB∵e=，∴b2=3a2，即，∴p2==1．∴p=1．故答案为1．15．（5分）甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是乙．【解答】解：若甲正确，则乙、丙均错误，故丙是第一名，乙是第二名，甲是第三名，与“甲说：我不是第三名“正确相矛盾，故甲错误，因此，甲为第三名；①于是乙、丙中必有一人正确，一人错误．若丙错误（则乙正确），即丙是第一名，而甲是第三名，故乙是第二名，与乙正确”我是第三名“矛盾，故丙正确，即丙不是第一名，为第二名；②由①②得：获得第一名的是：乙．故答案为：乙．16．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是{a n}的前n项和．已知a2a4=16，S3=28，则a1a2…a n最大时，n的值为3或4．【解答】解：∵{a n}是由正数组成的等比数列，S n是{a n}的前n项和．a2a4=16，S3=28，∴，解得．∴．则a1a2…a n=2（4﹣1）+（4﹣2）+…+（4﹣n）=．∴当n=3或n=4时，a1a2…a n取最大值．故答案为：3或4．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b≠c，且bcosB=ccosC，延长线段BC到点D，使得BC=4CD=4，∠CAD=30°，（Ⅰ）求证：∠BAC是直角；（Ⅱ）求tan∠D的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由正弦定理可得sinBcosB=sinCcosC，即sin2B=sin2C，∵b≠c，∴2B+2C=180°，∴B+C=90°，∴∠BAC=180°﹣90°=90°，（Ⅱ）：如图所示：过点C做CE⊥AC，∵BC=4，BC=4CD，∴CD=1，BD=5，∵∠BAC=90°，∴CE∥AB，∴===，设CE=x，则AB=5x，∵∠CAD=30°，∴AE=2x，AC=x，∴=，∴DE=x，∵AB2+AC2=BC2，∴25x2+3x2=16，解得x=，在△CED中，∠CED=120°，CE=，CD=1，由正弦定理可得=，即sinD==，cosD==，∴tanD==．18．（12分）如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1，如图2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面AEB1；（Ⅱ）若二面角A﹣DE﹣C1的大小为，求三棱锥C1﹣AB1D的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1，如图2，∴DE⊥AE，DE⊥B1E，又AE∩B1E=E，∴DE⊥平面AEB1，∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面AEB1；解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DE⊥AE，DE⊥B1E，∴∠AEB1为二面角A﹣DE﹣C1的平面角为，又∵AE=EB1=1，∴△AEB1为正三角形，则AB1=1．在RtDEB 1中，由，可得B1D=2，∴△ADB1是等腰三角形，底边AB1上的高等于．则．设E到平面ADB1的距离为h，则由等积法得：，得h=．∵C1D∥B1E，且C1D=2B1E，∴C1到平面ADB1的距离为．则．19．（12分）漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒赚1.7元；如果当天未能按量完成任务，则按实际完成的雕刻量领取当天工资．（I）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式f（n）；（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n（单位：粒），整理得如表：以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．（ⅰ）求该雕刻师这10天的平均收入；（ⅱ）求该雕刻师当天收入不低于300元的概率．【解答】解：（Ⅰ）当n≥250时，f（n）=250×1.2+1.7×（n﹣250）=1.7n﹣125，当n＜250时，f（n）=1.2n，∴雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n（单位：粒，n∈N）的函数解析式：f（n）=，（n∈N）．（Ⅱ）（i）由题意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，∴X的可能取值为252，276，300，334，385，P（X=252）=0.1，P（X=276）=0.2，P（X=300）=0.3，P（X=334）=0.3，P（X=385）=0.1，∴X的分布列为：E（X）=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=338（元），∴该雕刻师这10天的平均收入为338元．（ii）由X的分布列知：该雕刻师当天收入不低于300元的概率：P=P（X=300）+P（X=334）+P（X=385）=0.3+0.3+0.1=0.7．20．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，过F1任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使MF1平分∠AMB？说明理由．【解答】解：（I）由椭圆的定义可知△ABF2的周长4a=8，则a=2，由直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直，则tan∠AF1F2===，则b2=3c，由b2=a2﹣c2=4﹣c2，则b=，c=1，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，由直线l的斜率显然存在，设直线l方程y=k（x+1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=﹣，x1•x2=，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1+1）（x2﹣m）+k（x2+1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m﹣1）（x1+x2）﹣2m=0，∴8k2﹣24+8k2m﹣8k2﹣6m﹣8mk2=0，解得：m=﹣4．故存在点M（﹣4，0），使MF1平分∠AMB．方法二：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，由（I）可知：F1（﹣1，0），设直线AB为x=ty﹣1，（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，假设存在（m，0），由MF1平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，∴+=0，即y1（x1﹣m）+y2（x1﹣m）=0，即y1（ty2﹣1）+y2（ty1﹣1）﹣m（y1+y2）=0，∴2ty1y2﹣（1+m）（y1+y2）=0，2t×（﹣）﹣（1﹣m）（）=0，则1+m=﹣3，解得：m=﹣4，故存在点M（﹣4，0），使MF1平分∠AMB．21．（12分）已知函数f（x）=ae x﹣blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（1）求a，b；（2）证明：f（x）＞0．【解答】（1）解：函数f（x）=ae x﹣blnx，求导函数可得f′（x）=ae x﹣（x＞0）∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为，∴f（1）=，f′（1）=﹣1，∴ae=，ae﹣b=﹣1，∴a=，b=1；（2）证明：函数f（x）=e x﹣2﹣lnx，由y=e x﹣2﹣（x﹣1）的导数y′=e x﹣2﹣1，当x＞2时，导数y′＞0，函数y递增；当x＜2时，导数y′＜0，函数y递减．可得函数y在x=2处取得极小值也为最小值0，即有e x﹣2≥x﹣1；由y=lnx﹣（x﹣1）的导数为y′=﹣1，当x＞1时，导数y′＜0，函数y递减；当0＜x＜1时，导数y′＞0，函数y递增．可得函数y在x=1处取得极大值也为最大值0，即有lnx≤x﹣1；由于等号不同时取得，则e x﹣2＞lnx，即有f（x）＞0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）过点P且倾斜角为的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）因为消t得曲线C的普通方程为y2=4x．（2分）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，即曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（5分）（Ⅱ）因为直线l过点P（2，0）且倾斜角为，所以直线l的标准参数方程为，（7分）将其代入y2=4x，整理可得，（8分），，s2则，设A，B对应的参数分别为s所以．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，求函数f （x ）的最小值；（Ⅱ）若不等式f （x ）≤5的解集为A ，且2∉A ，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为a=1，所以f （x ）=|x +1|+|x ﹣1|≥|x +1﹣x +1|=2， 当且仅当（x +1）（x ﹣1）≤0时，即﹣1≤x ≤1时，f （x ）的最小值为2．（5分） （Ⅱ）因为2∉A ，所以f （2）＞5，即|a +2|+|a ﹣2|＞5，（7分） 当a ＜﹣2时，不等式可化为﹣a ﹣2﹣a +2＞5，解得，所以；当﹣2≤a ≤2时，不等式可化为a +2﹣a +2＞5，此时无解； 当a ＞2时，不等式可化为a +2+a ﹣2＞5，解得，所以；综上，a 的取值范围为．（10分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。