年高考第一轮复习数学优选三角函数的图象与性质二

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【高三数学专题复习】三角函数图像性质(含解析)

专题2 三角函数的图象和性质【老师预测】（1）三角函数的图象和性质是历年高考中的必考知识点，在高考中，客观题和解答题均会出现，大多以中、低档题为主，主要集中考查三角函数的周期、图象、单调性、值域或最值几个方面，解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图象及其性质，避免失分。

（2）函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质是高考中的必考知识点，在高考中，主要集中考查图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正余弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换、向量结合起来综合考查，需多加强数形结合思想的应用意识。

【知识精讲】一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．二、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法与变换（1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图. 2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 【典例精练】考点一三角函数的定义域例1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的定义域为________________．【解析】由2x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z ，故所求定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 故答案为：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋3π8，k ∈Z 例2．求函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 【方法点睛】(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，要注意本身的要求； (2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．考点二三角函数的值域或最值例3．．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．【解析】由x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.故答案为：⎣⎡⎦⎤π3，π例4．求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．【解析】令t ＝sin x . ∵|x |≤π4∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 【方法点睛】三角函数值域或最值的3种求法 (1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解；(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域； (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数来求．考点三三角函数的图象与性质例5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于原点对称，则角θ＝________. 【解析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称 ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0 ∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|＜π2∴θ＝π3.故答案为：π3例6．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________．【解析】由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z.又∵x ∈[0，π]∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 故答案为：⎣⎡⎦⎤0，π4 例7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 【解析】∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3. ∴ω＝32.故答案为：32【方法点睛】1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．考点四函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换例8．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数y ＝f (x )的图象过原点，则φ＝________.【解析】由题意可得f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，因为函数y ＝f (x )的图象过原点，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z)，即φ＝k π－π4(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 故答案为：3π4.例9．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位长度后，所得函数为 3sin 2()3y x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ. ∵所得的函数为偶函数∴π3－2φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z) ∵0＜φ＜π2∴k ＝－1，得φ＝5π12.故答案为：5π12.【方法点睛】函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种作法【注】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．考点五求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________.【解析】由题图知A ＝1，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π＝2πω，得ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，所以φ＝－2π3＋2k π(k ∈Z)或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)(舍去，因为f (0)＜0)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，故f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π3＝32. 故答案为：32. 例11．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为______．【解析】∵0＜x ＜π，ω＞0 ∴ωx ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，ωπ＋π3，又∵函数当且仅当x ＝π12时取得最大值∴⎩⎨⎧ωπ＋π3≤5π2，πω12＋π3＝π2，解得ω＝2.故答案为：2.【方法点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)中参数的方法（1）求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；（2）求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；（3）求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：作业：【名校新题】一、填空题1．（2019·常州第一中学高三月考）将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()f x 的图像，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值为____．【解析】由题意，将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，得到函数()()sin 2sin 2266f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，若函数()f x 是偶函数，则262k ππϕπ-+=+，即26k ππϕ=--，k Z ∈，所以3πϕ=，故答案为：3π．2．（2019·南京二模）若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为______. 【解析】因为相邻两条对称轴间的距离为2π，所以2==2.ππωω∴，所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 因为函数的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin(=10,36ππϕϕπϕ+<<∴=Q ），.所以()f x =2sin(2)6x π+，所以()2sin()426f πππ=+=3．（2019·高邮期初模拟）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【解析】0x πQ ≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点. 故答案为：3.4．（2018·江苏高考真题）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．【解析】由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因为ππ22ϕ-<<，所以π0,.6k ϕ==- 故答案为：6π-. 5．（2019·启东中学开学考试）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于____.【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，而x ω的取值范围是[]34ωπωπ-，，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，∴232k ωπππ-≤-+，且 242k ωπππ≥-+，k Z ∈， ∴362k ω-≤，82k ω≥-，k Z ∈， ∵0>ω， ∴ω的最小值等于32，故答案为：32． 6．（2019·高邮开学考试）设*N ω∈且10ω≤则使函数sin y x ω=在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调的ω的个数是______.【解析】由于函数在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故在区间(,)43ππ上有对称轴，由sin y x ω=，有πππ2π,(),()2k x k k Z x k Z ωω+=+∈=∈，故ππππ2,()43k k Z ω+<<∈，由于0>ω，故有42,()332k k Z k ωω<+⎧⎪∈⎨>+⎪⎩，即3342,()0102k k k Z ωω+<<+∈<≤∴Q 1,2k =，求得5,8,9ω=. 故答案为：3.7．（2019·苏锡常第二次调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为_______．【解析】因为函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，所以cos 123ππω⎛⎫⨯-=± ⎪⎝⎭，所以()23k k Z ππωπ⨯-=∈. 解得：()223k k Z ω=+∈，又0>ω，所以当0k =时，ω最小且为23.故答案为：23.8．（2019·常州期末）已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________.【解析】∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）是偶函数， ∴φ＝k 1π+π2,k 1∈Z ,∵点（1，0）是函数y ＝f （x ）图象的对称中心 ∴sin （ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k 2π，k 2∈Z ， ∴ω＝k 2π﹣φ＝（k 2﹣k 1）π﹣π2．又ω＞0，所以当k 2﹣k 1＝1时，ω的最小值为π2．故答案为：π2．9．（2019·镇江考前模拟）若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点( 2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈ 126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭故答案为：1.10．（2019·南通3月联考）已知角ϕ的终边经过点(12)P -，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则()π12f 的值为____．【解析】角ϕ终边经过点()1,2P -，则sin5ϕ==-，cos 5ϕ==∵()f x 两条相邻对称轴之间距离为3π∴23T π=，即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x ϕ=+sin sin cos cos sin 12444f ππππϕϕϕ⎛⎛⎫⎛⎫∴=+=+== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：. 11．（2019·南京一模）设函数π()sin()3f x x ω=+，其中0>ω．若函数()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．【解析】()f x 取零点时x 满足条件()3k x k Z ππωω=-+∈，当0x >时的零点从小到大依次为 123258,,333x x x πππωωω===，所以满足523823ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩ ，解得：54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 12．（2018·无锡期中）已知定义在区间[,]44ππ-上的函数()2sin cos (0)f x a x x b a =+<的最大值为4，最小值为52，则________.a b ⋅= 【解析】因为()()2sin cos sin2f x a x x bf x a x b =+=+，x ,44ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 所以2x ,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()[],f x a b a b ∈+-+, 从而35394.2131644a a b ab a b b ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪∴=-⎨⎨⎪⎪-+==⎩⎪⎩，故答案为：3916-. 13．（2019·盐城期中）若函数()sin3(01)f x x m m =-<<的所有正零点构成公差为d (d ＞0)的等差数列，则d ＝_______．【解析】设第一个正零点为0x ，则第三个正零点为02x d +，由题意得00π3(2)3π.6x d x d +-=∴= 故答案为：6π.14．（2019·徐州期中）已知函数()sin()f x x π=-223，若12()()4f x f x ⋅=-，且[]12,,x x ππ∈-，则12x x -的最大值为______．【解析】1212()()2sin(2)2sin(2)433f x f x x x ππ⋅=-⨯-=-，12sin(2)sin(2)133x x ππ-⨯-=-令1sin(2)3x π-＝1，2sin(2)13x π-=-，则11(2)223x k πππ=++，21(2)223x n πππ=-+.∴12x x -＝1(22)2k n πππ-+＝1[2()]2k n ππ-+＝1(2)2m ππ+，m ，n ，k 都是整数∵[]12,,x x ππ∈- ∴[]122,2x x ππ-∈-， ∴12x x -的最大值为13(2)22πππ+=. 故答案为：32π. 15．（2019·苏北四市期末）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为：12．16．（2019·海门第二次调研）将函数f(x)=sin2x 的图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间[0，π2]上的值域为_____________. 【解析】由题得y=g （x ）=sin2(x −π6)=sin(2x −π3), 因为0≤x ≤π2,∴0≤2x ≤π,∴−π3≤2x −π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x −π3)≤1.所以函数y=g(x)的值域为[−√32,1].故答案为：[−√32,1].17．（2018·江苏泰州中学高三月考）将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>），使得平移后的图像仍过点(3π，则ϕ的最小值为__________．【解析】将sin 2y x =的图像向右平移ϕ单位（0ϕ>）得到sin 2()y x ϕ=-，代入点(3π得：2sin(2)23πϕ=- ，因为0ϕ>，所以当22=33ππϕ-时，第一个正弦值为2的角，此时6π=ϕ. 故答案为：6π. 18．（2019·常州期中）将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的x 1、x 2有|x 1−x 2|min =π3，则φ=______．【解析】因为函数f(x)=sin2x 的周期为π，函数f(x)=sin2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后, 得到函数g(x)sin(2x −2φ)的图象．满足|f(x 1)−g(x 2)|=2的可知，f (x 1)、g(x 2)一个取最大值一个取最小值因为x 1−x 2|min =π3，若x 1=π4，x 2=7π12，f(x)在x 1=π4取最大值，g(x)在x 2=7π12取得最小值，sin(2×7π12−2φ)=−1，此时φ=−π6，不合题意， x 1=3π4，x 2=5π12， f(x)在x 1=3π4取最小值，g(x)在x 2=5π12，取得最大值，sin(2×5π12−2φ)=1，此时φ=π6，满足题意．故答案为：π6．二、解答题19．（2019·扬州调研）已知函数f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x . （1）求f (x )的最小正周期和单调递减区间；（2）若方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】（1）∵f (x )＝1＋3cos 2x －2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos 2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z. ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z)．（2）由题意知，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点．由（1）知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π12上单调递减，在⎣⎡⎦⎤7π12，π上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－2，又f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，f (π)＝3，∴当－2＜m ≤1时，函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )－m ＝0在区间⎣⎡⎦⎤π4，π上有两个不同的实数解． ∴实数m 的取值范围为(－2,1]．20．（2019·连云港调研）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点．（1）求f (x )的解析式；（2）将函数f (x )图象上所有点都向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域．【解析】（1）∵函数f (x )的最小正周期为π. ∴2πω＝π，解得ω＝2. 又点P ⎝⎛⎭⎫π6，2为其图象上一个最高点， ∴A ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. （2）由题意得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，2x ＋5π6∈⎝⎛⎭⎫11π6，17π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1，2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6∈(－1,2]，故g (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上的值域为(－1,2]．。

高三数学一轮复习专题二第一讲三角函数的图像与性质教案

芯衣州星海市涌泉学校第一讲三角函数的图像与性质例1、函数f(x)=tan(3πsinx) 〔1〕求f(x)的定义域和值域；〔2〕在〔－π，π〕中，求f(x)的单调区间；〔3〕断定方程f(x)=tan32π在区间〔－π，π〕上解的个数。

解：〔1〕∵－1≤sinx≤1∴－3π≤3πsinx≤3π。

又函数y=tanx 在x=kπ+2π(k∈Z)处无定义，且〔－2π，2π〕[－3π,3π]〔－π,π〕，∴令3πsinx=±2π，那么sinx=±23解之得：x=kπ±3π(k∈Z)∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ±3π，k∈Z} ∵tanx 在〔－2π，2π〕内的值域为〔－∞，+∞〕，而当x∈A 时，函数y=13πsinx 的值域B 满足〔－2π，2π〕B ，∴f(x)的值域是〔－∞，+∞〕。

〔2〕由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=3π和x=32π处无定义。

设t=3πsinx ，那么当x∈[0,3π)∪〔3π，32π〕∪〔32π，π〕时，t∈[0,2π)∪(2π,3π]，且以t 为自变量的函数y=tant 在区间〔0，2π〕，〔2π，3π]上分别单调递增。

又∵当x∈[0，3π]时，函数t=3πsinx 单调递增，且t∈[0,2π) 当x∈〔3π，2π]时，函数t=3πsinx 单调递增，且t∈〔2π,3π]当x∈[2π，32π)时，函数t=3πsinx 单调递减，且t∈〔2π,3π] 当x∈〔32π，π〕时，函数t=3πsinx 单调递减，且t∈〔0，2π〕∴f(x)=tan(13πsinx)在区间[0，3π),〔3π,2π]上分别是单调递增函数；在),32(),32,2[ππππ上是单调递减函数。

又f(x)是奇函数，所以区间〔－3π，0]，[－2π，－3π)也是f(x)的单调递增区间]2,32(),32,[ππππ----是f(x)的递减区间。

(江苏版)高考数学一轮复习专题4.4 三角函数图像与性质(讲)-江苏版高三全册数学试题

专题4.4 三角函数图像与性质【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．函数y ＝2sin 12x －3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T ＝2π12＝4π.2．函数y ＝A sin x ＋1(A >0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A ＋1＝5，所以A ＝4，所以函数y ＝4sin x ＋1的最小值为－4＋1＝－3. 3.判断函数y ＝2cos x 在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”) 【解析】由余弦函数的单调性，得函数y ＝2cos x 在[－π，0]上是增函数． 4.不等式2sin x >3的解集为______________________________．【解析】不等式2sin x >3，即sin x >32，由函数y ＝sin x 的图像得所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .题组二常错题5．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间即函数y ＝－cos x 的单调递减区间，也即函数y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．6．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________．【解析】设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 的图像的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x的图像的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤2，7．函数f (x )＝2sin x4对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．题组三常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝sin x 的图像的交点个数是________．【解析】由sin 2x ＝sin x 得sin x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝0，π3，π，5π3，2π，交点个数是5.9．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝sin x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻折至x 轴上方，即可得到y ＝|sin x |的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的最小正周期为π2，④不正确．【知识清单】1．正弦、余弦、正切函数的图像与性质 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。

2020届高三文理科数学一轮复习《三角函数的图像与性质》专题汇编(学生版)

《三角函数的图像与性质》专题一、相关知识点1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像五个关键点：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 4．奇偶性相关结论(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．(2)若f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则①f (x )为奇函数的充要条件：φ＝k π＋π2，k ∈Z ；②f (x )为偶函数的充要条件：φ＝k π，k ∈Z.题型一三角函数的定义域1．函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．2．函数y ＝2sin x －3的定义域为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3，2π3B ．⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) C ．⎝⎛⎭⎫2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z) D ．⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z)3．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z5．x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，πC.⎣⎡⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π题型二三角函数的值域(最值)三角函数值域的不同求法(1)利用sin x 和cos x 的值域直接求(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域 (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域1．函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是________，取得最小值时，x 的取值集合为________．2．函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为44．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－32，32 B ．⎣⎡⎦⎤－32，3 C ．⎣⎡⎦⎤－332，332 D ．⎣⎡⎦⎤－332，35．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 37．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．8．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．9．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为10．函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为_______11．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．12．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．题型三三角函数的单调性类型一求三角函数的单调区间 1．f (x )＝|tan x |；2．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的减区间为________．6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．7．函数 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调性递增区间为；递减区间为8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的递增区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3 B ．⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π C ．⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，2π9．已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是________．10．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z)11．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.12．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.讨论函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的单调性并求出其值域．类型二已知单调性求参数值或范围已知单调区间求参数范围的3种方法 1．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．3．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的一个递减区间为⎣⎡⎦⎤π8，5π8，则ω＝________.4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.7．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝________.8．若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．题型四三角函数的周期性三角函数周期的求解方法1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3的最小正周期为________ 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为________ 4．函数＋的最小正周期为______.5．在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③6．函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为________题型五三角函数的奇偶性与三角函数奇偶性相关的结论：三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． 1．函数y ＝1－2sin 2( x －3π4)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．若函数是偶函数，则等于______ 3．若函数是偶函数，则 ________．4．若是定义在上的偶函数，其中，则 _____5．将函数向右平移个单位，得到一个偶函数的图象，则最小值为__6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.7．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3题型五三角函数的对称性(1) 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解． (2) 在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ； (x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω＋π2ω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴为x ＝k πω－φω，对称中心为⎝⎛⎭⎫k πω－φω＋π2ω，0；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2ω－φω，0.上述k ∈Z 1．下列函数的最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，03．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3 D ．x ＝7π123．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0 D ．－2或05．函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝－π4对称C ．关于直线x ＝π2对称D ．关于直线x ＝－π2对称6．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π27．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6B.π3C.7π6D.4π38．已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称9．(理科)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2C ．2D ．π10．(理科)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[1,2)题型六三角函数的性质综合运用1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x 2D ．y ＝tan(－x )3．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减4．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴 D ．g (x )为奇函数5．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( )A ．－12 B.12 C.716 D.326．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．7．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．8．已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x 2＋sin x )＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x ＋ 2. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π3满足[f (x )]2－22f (x )－m ＞0，求实数m 的取值范围．。

2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质2含解析

三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.函数y＝lgcos x的定义域为( )A. (2k π，＋2kπ)(k∈Z)B. (－＋2k π，＋2kπ)(k∈Z)C. (k π，＋kπ)(k∈Z)D. (－＋k π，＋kπ)(k∈Z)2.将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上的全部点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），最终得到函数的图象，则（）A. B. C. D.3.将函数的图象上各点向右平行移动个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（）A. B.C. D.4.函数y＝cos－2x的单调递增区间是()A. (k∈Z)B. (k∈Z)C. (k∈Z)D. (k∈Z)5.函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.6.函数在定义域内零点的个数为A. 3B. 4C. 6D. 77.下列函数中最小值为8的是（）A. B. C . D.18.函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象的一条对称轴是直线，则ω的最小值为．9.函数的单调减区间为（）A. B.C. D.10.已知函数．（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）试比较与的大小．1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】9.【答案】A10.【答案】解：（1），∴函数的最小正周期为．令，得，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为，（2），．，且在上单调递增，，即．3。

高考一轮复习三角函数的图象与性质

年级高三学科数学内容标题三角函数的图象与性质编稿老师胡居化一、学习目标：1.能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的函数图像.2.通过图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.3.理解函数)sin(ϕω+=xAy的图像性质及其图像的变换.4.能利用三角函数的图像解决简单的实际问题.二、重点、难点：重点：（1）掌握三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx）的图像性质及其简单的应用.（2）理解函数)sin(ϕω+=xAy的图像及其性质.难点：三角函数图像的应用三、考点分析：从新课标高考命题的内容来看：对三角函数的图像与性质这部分知识点进行考查时的题型有选择、填空和中等难度的大题，都以考查基础知识为主.因此第一轮复习的重点是掌握三角函数的基础知识，并能灵活运用基础知识解决问题.三角函数的图像与性质⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ϕ+ω=→=ϕ+ω=⎪⎩⎪⎨⎧===的图像变换的图像与性质的图像与性质的图像与性质的图像与性质像与性质基本初等三角函数的图)xsin(Ayxsiny)xsin(Aytanxycosxyxsiny知识要点解析：一、三角函数的图像与性质：函数y=sinx y=cosx y=tanx图像定义域 R R 2ππ+≠k x值域 [－1，1][－1，1]R周期性 π2π2π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间：［]22,22ππππ+-k k 减区间：]232,22[ππππ++k k 增区间：]2,2[πππk k -减区间：])1(2,2[ππ+k k在开区间：)2,2(ππππ+-k k上是增函数.对称性对称轴方程：直线2ππ+=k x对称中心坐标：)0,(πk对称轴方程：直线πk x = 对称中心坐标：)0,2(ππ+k对称中心坐标：)0,21(πk 注意：（1）正弦、余弦函数的图像用“五点法”作图，选择（0，0），（)0,2(),1,23(),0,(),1,2ππππ-这五个点可作出草图.（2）三角函数线的概念.二、函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质（)0,0>>A ω1. 图像：利用“五点法”作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.令ππππϕω2,23,,2,0=+x ，然后列表、描点、连线.2. 性质：（1）定义域：),(+∞-∞（2）值域：],[A A -，（当A k x -=-=+min y 22时，ππϕω；当A k x =+=+max y 22时，ππϕω）（3）周期性：ωπ2=T（4）奇偶性：)sin(ϕω+=x A y 是奇函数)Z k (k ∈π=ϕ⇔)sin(ϕω+=x A y 是偶函数)Z k (2k ∈π+π=ϕ⇔ （5）单调性：在区间]22,22[ωϕππωϕππ-+--k k 上递增，在区间]232,22[ωϕππωϕππ-+-+k k 上递减.（6）对称性：对称轴方程：)0,2ωϕπωϕππ--+=k k x ，对称中心（三、函数)sin(ϕω+=x A y +k 的图像变换变换I ：振幅变换→周期变换→相位变换（1）y=sinx 图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A 倍得到y=Asinx 的图像.（2）y=Asinx 图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10<ω<）或缩短（1>ω）为原来的ω1倍得到x sin A y ω=的图像. x A y ωsin 3=）（的图像向左平移)0(||)0(<ϕωϕ>ϕωϕ或向右平移个单位得)sin(ϕω+=x A y 的图像.|k |)0k ()0k )x sin(A y 4平移或向下的图像向上（）（<>ϕ+ω=个单位得到k x A y ++=)sin(ϕω的图像.变换II ：振幅变换→相位变换→周期变换（1）y=sinx 图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）为原来的A 倍得到y=Asinx 的图像.（2）x A y sin =的图像向左平移)0(||)0(<ϕϕ>ϕϕ或向右平移个单位得)sin(ϕ+=x A y 的图像.（3）y=Asin （x+ϕ）图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10<ω<）或缩短（1>ω）为原来的ω1倍得到)x sin(A y ϕ+ω=的图像.（4）|k |)0k ()0k )x sin(A y 平移或向下图像向上（<>ϕ+ω=个单位得到k x A y ++=)sin(ϕω的图像.注意上述两种变换的区别.知识点一：函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像与性质例1. 基础题 1. 函数y=x cos 21-的定义域是_____________. 2. 不等式x x cos sin ≥的解集是____________. 3. 函数)4tan(π+=x y 的递增区间是____________. 4. 函数2sin 1sin -+=x x y 的值域是____________.思路分析：1. 由0cos 21≥-x 结合三角函数线或余弦函数图像求x 的取值范围. 2. 利用正、余弦函数图像或三角函数线求不等式的解集. 3. 根据正切函数y=tanx 的递增区间求函数)4tan(π+=x y 的递增区间.4. 用y 表示sinx ，再利用1|sin |≤x 求y 的取值范围.或用分离常数法求解. 解题过程：1. 由已知得：0cos 21≥-x 21cos ≤⇒x ，由三角函数线知：角x 的取值范围是如图所示的阴影区域. 故函数的定义域是)Z k ](35k 2,3k 2[∈π+ππ+π.2. 在同一坐标系中画出函数y=sinx 与y=cosx 的图像. 由图知：使x x cos sin ≥成立的x 的取值范围（解集）是：)z k ](45k 2,4k 2[∈π+ππ+π3. 设t=t y x tan ,4=+则π，由函数t y tan =的递增区间是)Z k (2k ,2k (∈π+ππ-π），故),Z k (4k x 43k )Z k (2k 4x 2k ∈π+π<<π-π⇒∈π+π<π+<π-π 即函数)4tan(π+=x y 的递增区间是)Z k )(4k ,43k (∈π+ππ-π. 4. 由已知得：1y y21x sin y 21x sin )1y (1x sin 2)sinx y -+=⇒+=-⇒+=-（（)1≠y ，22)1()21(1|121|1|sin |-≤+⇒≤-+⇒≤y y y yx 整理得：02022≤≤-⇒≤+y y y ，即函数的值域是［－2，0］另解：2sin 1sin -+=x x y =2sin 312sin 3)2(sin -+=-+-x x x ，令11sin ≤≤-⇒=t t x231-+=∴t y ，显然y 是t 的减函数，故02≤≤-y ，即函数的值域是［－2，0］用这种方法求解时要注意函数的定义域.如求1sin 2sin --=x x y 的值域，采用分离常数法时要注意：1sin 1<≤-x ，此时1sin 11--=x y ，因1sin 1<≤-x ，故23≥y .若不考虑定义域会误认为：1sin 1≤≤-x 从而得出错误的结果.解题后的思考：利用基本三角函数的性质求函数的值域或求函数的单调区间或求令简单的三角不等式成立的x 的取值范围等问题是高考常见题型，且几乎都是客观题.我们除要掌握基础知识外，还要掌握一些常用的数学思想方法.要做到触类旁通，如求)0ab ,.0mn (nx cos m xcos b a y ≠≠++=的值域问题其实与本例第4题的做法一样.例2. 中等题1. 函数ωππ->ωω=上单调递增，则在区间]32,32[)0(x sin 2)x (f 的最大值是______.2. 函数xxy sin 2cos 1-+=的最大值是M ，最小值是N ，则M+N=_________________.3. 已知函数412sin 21)(),3cos()3cos()(-=-+=x x g x x x f ππ（1）求函数f （x ）的最小正周期.（2）求函数)()()(x g x f x h -=的最大值、单调区间、对称轴方程及取得最大值时x 的取值集合. 思路分析：1. 利用正弦函数递增区间是]4,4[T T -，则可由]4,4[]32,32[TT -⊆-ππ建立ω的不等关系式.2. 求函数xxy sin 2cos 1-+=的值域，可利用)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 求解.3. （1）化简f （x ）的函数式，用正弦或余弦表示.再利用T=的系数x π2求出周期.（2）先确定h （x ）的函数解析式，然后再求其最值、单调区间、对称轴方程等. 解题过程：1. 由于f （x ）在区间]4,4[TT -上递增（如图）， ]4,4[]32,32[T T -⊆-∴ππ，43,433242324T max =ω≤ω⇒π≥ωπ⇒π≥∴.2. 由xxy sin 2cos 1-+=得：x x y y x x y cos 1sin 2cos 1)sin 2(+=-⇒+=-，12)sin(112cos sin 2-=++⇒-=+∴y x y y x x y ϕ（)1tan y=ϕ，1|112|1|)sin(|,112)sin(22≤+-⇒≤++-=+∴yy x yy x ϕϕ，两边平方，整理得：34,0,340043max min 2==≤≤⇒≤-y y y y y 故， 34=+∴N M . 3. （1）由x x x x x x x f 22sin 43cos 41)sin 23cos 21)(sin 23cos 21()(-=+-= =412cos 21)2cos 1(83)2cos 1(81-=--+x x x . 故函数f （x ）的最小正周期是ππ==22T . （2）)42cos(222sin 212cos 21412sin 21412cos 21)(π+=-=+--=x x x x x x h ，由),Z k (8k x 85k k 24x 2k 2∈π-π≤≤π-π⇒π≤π+≤π-π 由),Z k (83k x 8k k 24x 2k 2∈π+π≤≤π-π⇒π+π≤π+≤π 故函数h （x ）的增区间是]83,8[]8,85[ππππππππ+---k k k k ，减区间是，最大值是22，此时对应的x 的值是),Z k (8k x k 24x 2∈π-π=⇒π=π+故x 的取值集合是}8|{ππ-=k x x ，对称轴方程：)Z k (8k 21x k 4x 2∈π-π=⇒π=π+. 解题后的思考：对于求形如xn m xb a y cos sin ++=)0mn ,0ab (≠≠的值域问题，及求复杂函数的周期单调时区间、等问题常采用以下变换：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a .因此这个变换很重要，实质是正、余弦的和（差）角公式的应用.例3. 创新与应用已知向量3)()sin ,cos 2(),sin 32,(sin -⋅===x f x x x x ，定义，（1）求函数的值域)(x f 及对称轴方程. （2）若函数)20)(x (f y π<θ<θ+=为偶函数，求θ的值. 思路分析：（1）由向量的坐标运算，先确定f （x ）的解析式，再确定值域和对称轴方程.（2）由函数)sin(ϕω+=x A y 是偶函数)Z k (2k ∈π+π=ϕ⇔及x 的取值范围确定θ的值.解题过程：（1）3sin 32cos sin 2)(2-+=x x x x f＝)32sin(22cos 32sin 322cos 1322sin π-=-=--⋅+x x x x x 故函数f （x ）的值域是［－2，2］，对称轴方程是),Z k (2k 3x 2∈π+π=π-即Z k ,125k 21x ∈π+π= （2）)]32(2sin[2)(πθθ-+=+x x f ，Z k ,125k 212k 32)x (f ∈π+π=θ⇒π+π=π-θ⇔θ+是偶函数，又125,20π=θ∴π<θ<.解题后的思考：三角函数与平面向量的结合一直是新课标高考命题的重要题型.以向量为载体具体考查三角函数的恒等变换及三角函数的图像与性质.我们应该关注这种题型.知识点二：函数)0,0A )(x sin(A y >ω>ϕ+ω=的图像与性质例4. 基础题1. 函数y=sin2x 的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位所得函数的解析式是________.2. 已知函数)0)(4x cos()x (f >ωπ+ω=的最小正周期是π，将y=f （x ）的图像向左平移||ϕ个单位，所得图像关于原点成中心对称，则||ϕ=_______________.3. 函数)32sin(2π+=x y 在［0，]π上的单调递增区间是______________.思路分析：1. 函数y=sin2x 向左平移4π个单位是：x 2cos )4x (2sin y =π+=.2. 由已知得ω=2，故]4|)|x (2cos[y ||)4x 2cos()x (f π+ϕ+=ϕ→π+=得：向左平移由平移后的函数图像关于原点对称求|ϕ|的值.3. 由正弦函数y=sinx 的增区间得：223222πππππ+≤+≤-k x k ，求出x 的取值区间，再赋予k 的整数值，从而求出符合条件的单调区间. 解题过程：1. 函数y=sin2x 向左平移4π个单位后得：)4x (2sin y π+=，再向上平移1个单位后得：)4x (2sin y π+=x x 2cos 22cos 11=+=+ 2. 由已知得：ω=2，故→π+=)4x 2cos()x (f 向左平移||ϕ得：]4|)|x (2cos[y π+ϕ+=,2k 4||2,4||2x 2cos y π+π=π+ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ+=称，故此函数图像关于原点对 Z k ,8k 21||∈π+π=ϕ∴. 3. 由已知得：223222πππππ+≤+≤-k x k ⇒Z k ,12k x 125k ∈π+π≤≤π-π ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π==π∈，，，单调递增区间是时满足条件，即所求的故1271201k ,0k ],,0[x .解题后的思考：对函数图像的平移不仅要注意平移的单位，更要注意平移的方向即：x 轴方向上的平移是“左加右减”，y 轴方向上的平移是“上加下减”，对函数y=)0(,0A ),x cos(A >ω>ϕ+ω的奇偶性的讨论应注意：y=)0,0A (),x cos(A >ω>ϕ+ω是奇函数的充要条件是：)Z k (k ,2k ∈π=ϕπ+π=ϕ是偶函数的充要条件是.例5. 中等题1. 已知函数ωϕ+ω=)(x sin(A )x (f >0，A>0，)2||πϕ<的图像如图，求函数f （x ）的解析式.2. 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 321)(++-=；（1）当x ]2,0[π∈时，求函数的值域.（2）求图像上距原点最近的对称中心坐标.（3）若角βα,的终边不共线，且)tan(),()(βαβα+=求f f .思路分析：1. 根据函数图像，求出A=3，ωπππ⇒=+=46124T 的值，由当x=6π-时，y=0得出ϕ的范围从而求ϕ的值.2. （1）化简函数式为)62sin(2)(π+=x x f ，然后求其值域.（2）由ππk x =+62确定图像上距原点最近的对称中心坐标.（3）由角βα,的终边不共线，且)tan(),(f )(f β+αβ=α求的值.解题过程：1.由图像知：A=3，2,46124=∴=⇒=+=ωππππT T ，又πϕπk 2)6(2=+-32||)Z k (,3k 2π=ϕ⇒π<ϕ∈π+π=ϕ⇒，故函数)x (f 的解析式为)32sin(3π+=x y .2. （1）)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ，当x ]2,0[π∈时，1)62sin(21≤+≤-πx ，2)(1≤≤-∴x f .（2）由ππk x =+6212k 21x π-π=⇒)Z k (∈，即图像上距原点最近的对称中心坐标是)0,12(π-.（3）由已知得：)62sin(2)62sin(2πβπα+=+，又βα,不共线得：Z k ,3k )Z k (k 2)62()62(∈π+π=β+α⇒∈π+π=π+β+π+α，3)tan(=+∴βα解题后的思考：求解函数k x A y ++=)sin(ϕω的解析式问题时，关键是确定ϕω,,A k ,这四个量)0(>ω，根据函数的最值确定A ，k 的值，由函数的周期确定ω的值，较难确定的是ϕ的值.根据“五点法”作图原理知：在一个周期内，图像上升时与x 轴的第一个交点满足：0=+ϕωx ；第二个点是图像的最高点，满足：2πϕω=+x ；第三个点是图像下降时与x轴的交点，满足：ωπϕ=+x ；第四个点是图像的最低点，满足：23x π=ϕ+ω；第五个点满足：πϕω2=+x .由此确定ϕ的值（同时注意已知条件中的ϕ的取值范围）.例6. 实际应用已知某海滨浴场的海浪的高度y 米是时间t （0)24≤≤t （单位：时）的函数，记作：)(t f y =下表是某日各时浪高的数据： t （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y （米）1.51.01.51.01.510.50.991.5ω（1）求函数y=b t A +ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数解析式.（2）依据规定：当海浪的高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放，请根据（1）中的结论判断一天内的上午8：00到晚上20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行运动？思路分析：由表中的数据可以得出：周期T=12，从而求出ω的值，再由表中的数据建立A ，b 的关系式，则可求出函数解析式.由y>1求出时间t 的取值范围，进而确定冲浪的时间. 解题过程：由表中的数据得：T=12，故ω=62ππ=T ，由t=0时，y=1.5得：A+b=1.5，由t=3时，y=1.0得：b=1.0，21=∴A ，故函数解析式是16cos 21+=t y π，由)Z k (2k 2t 62k 20t 6cos 1y ∈π+π<π<π-π⇒>π>得：，24t 0,3k 12t 3k 12≤≤+<<-∴ ，令k=0，1，2得：24t 21,15t 9,3t 0≤<<<<≤或或，故一天内的上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪爱好者进行运动，即上午9：00到下午的15：00.解题后的思考：本题考查三角函数的实际应用，解题关键是提炼和归纳已知（或图表）中的信息，从而锻炼自己处理数据信息的能力.（答题时间：45分钟）一、选择题1. 函数y=)32sin(π+x 的一条对称轴是（）6.D 5.C 127.B 8.A ππππ 2. 将函数)3sin(π-=x y 图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图像向左平移3π个单位，得到函数g （x ）的图像，则g （x ）=（） )6x 2sin(y .D )6x 21sin(y .C )2x 21sin(y .B x 21sin y .A π-=π-=π-==3. 函数)2cos(),32sin(|,sin ||,|sin ππ--=+===x y x y x y x y 中，周期都是π的有（）个.A . 1B . 2C . 3D . 44. 函数)0)(x 2sin(y π≤ϕ≤ϕ+=是R 上的偶函数，则=ϕ（）πππ.D 2.C 4.B 0.A5. 函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图像关于直线8π=x 对称，则ϕ的值可能是（）43.D 4.C 4.B 2.A ππ-ππ *6. 函数y=sinx －|sinx|的值域是（） A . ［－1，0］B . ［0，1］C . ［－1，1］D . ［－2，0］二、填空题*7. 函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值是——————.8. 若函数)3tan(2)(π+=kx x f 的最小正周期为T ，且1<T<2，则自然数k 的值是______.*9. )10(x sin 2)x (f <ω<ω=在]3,0[π上的最大值是2，则________=ω.10. 函数)321sin(π--=x y 的单调递减区间是_________________.三、计算题*11. 已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ>ωϕ+ω=2||,0)x sin()x (f （1）若cosϕϕπϕπ，求0sin 43sincos 4=-的值. （2）在（1）的条件下，若函数f （x ）的图像的相邻两条对称轴之间的距离是3π，求函数f （x ）的解析式，并求最小正实数m 使得函数f （x ）的图像向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数.一、选择题1. B 解析：由)Z k (12k 21x 2k 3x 2∈π+π=⇒π+π=π+，当k=1时，127π=x . 2. C 解析：)621sin(]3)3(21sin[)321sin()3sin(πππππ-=-+=→-=→-=x x y x y x y . 3. C 解析：y=sin|x|不是周期函数，其余三个的周期都是π. 4. C 解析：由已知：20,2πϕππϕ==+=时，k k .5. B 解析：由已知：1)4sin(18f ±=+⇒±=ϕππ）（，结合选项知选B .6. D 解析：⎩⎨⎧<≥=)0x (sin x sin 2)0x (sin 0y 02≤≤-⇒y .二、填空题7. 3（解析：由031031|122|122cos cos 2cos 22≤+-⇒≤+-⇒+-=⇒-+=y y yy y y x x x y331≤≤∴y ）. 8. 2或3（解析：得：由21,<<=T k T π32k ,N k ,k 2或故=∈π<<π+）. 9.43（解析：由2)3()(,330]3,0[max ==∴<≤≤⇒∈ωππωπωπf x f x x ，即)43223sin=⇒=ωωπ.10. ]354,34[ππππ+-k k ，Z k ∈. （解析：由2232122πππππ+≤-≤-k x k 得：∈x ]354,34[ππππ+-k k ），Z k ∈）.三、计算题11. 解：（1）由cos0sin 4sin cos 4cos 0sin 43sincos 4=-=-ϕπϕπϕπϕπ得：， 4,2||04cos(πϕπϕϕπ=<=+∴故，）.（2）由已知得：)43sin()(,332T πωπ+=∴=⇒=x x f ，函数f （x ）的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为：)]33(3sin[]4)(3sin[)(ππ++=++=m x m x x g ，由g （x ）是偶函数Z k ,123k m Z k ,2k 3m 3∈π+π=⇒∈π+π=π+⇔， ∴最小正实数12π=m .。

2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第4章第28讲三角函数的图象与性质(二)

三角函数图象的综合应用
【例3】 2 的图象与y轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为－2. 如图，函数y＝2cos( x＋ )( x R,0

)
1 求和的值； 2 已知点A(

2 ，，点P是该函数图象上一点， 0)
3 点Q ( x0，y0 )是线段PA的中点．当y0＝， 2 x0 [ ， ]时，求x0的值． 2
3.若动直线x＝a与函数f x ＝sinx和g x ＝ cosx的图象分别交于M 、N 两点，则 MN
2 的最大值为______________
【解析】因为 MN ＝ | sina－cosa | ＝ | 2sin(a－ ) | ， 4 所以 MN 的最大值为 2.

4.把函数f x 2cos( x )的图象向左平移 6 6 个单位，再把所得图象上每一点的纵坐标不 1 变，横坐标变为原来的，那么所得到的图象 2 的函数解析式是 y 2cos2x

本题利用点在函数的图象上，求出θ的值，然后利用图象
的几何意义，求出x0的值．
【变式练习3】设函数f x ＝sin(2x＋ )(－ 0)， y＝f x 的图象的一条对称轴是直线x＝ . 8 1 求的值；

2 求函数y＝f x 的单调递增区间； 3 证明：直线5x－2y＋c＝0与函数y＝f x

【解析】将函数y＝sin x 0 的图象沿x轴向左平移个单位长度得到y＝sin ( x＋ )， 6 6 即y＝sin( x＋

6
)的图象．
将点( ，代入y＝sin( x＋ 0) )，得sin( ＋ ) 3 6 3 6 ＝0，所以＝2k＋ ( k Z)，＝4k＋2( k Z)． 2 2 由图知T ,即，所以 6. 3 3 又 0，所以＝2.故y＝sin(2x＋ ). 3

【原创】高考理科数学复习第三节三角函数的图象与性质 (2)

第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图❶在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质❷正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．判断三角函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．写单调区间时，不要忘记k ∈Z.(1)y ＝tan x 无单调递减区间；(2)y ＝tan x 在整个定义域内不单调.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期都是2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期是π|ω|.[熟记常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，则： (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠3π2＋3k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π6＋k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D 由3x ≠π2＋k π(k ∈Z)，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z.2．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最大值和最小正周期分别是( )A ．2,3πB ．1,6πC ．3,6πD ．3,3π解析：选C 由y ＝2－cos x 3知，y max ＝2－(－1)＝3，最小正周期T ＝2π13＝6π.3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选B 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， ∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为______________，对称中心为________________．解析：由x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π4＋k π，k ∈Z ；由x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称轴为x ＝3π4＋k π，k ∈Z ，对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z.答案：x ＝3π4＋k π，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z 5．函数f (x )＝32cos x －12sin x ()x ∈[0，π]的单调递增区间为________．解析：f (x )＝32cos x －12sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π≤x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6(k ∈Z)．∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增．答案：⎣⎡⎦⎤5π6，π 6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 答案：－22考点一三角函数的定义域[基础自学过关][题组练透]1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6，k ∈Z解析：选D 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z)，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z)，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解析：法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上函数y ＝sin x 和函数y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期性，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .答案：⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z) 3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [名师微点]求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．考点二三角函数的值域(最值) [师生共研过关][典例精析](1)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． (2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为_________________________________． [解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. (2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则－2≤t ≤2，t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，则sin x cos x ＝1－t 22， ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. [答案] (1)⎣⎡⎦⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 [解题技法]求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[过关训练]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，－π3≤x ≤π6，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C. 3D.3＋1解析：选C f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为－π3≤x ≤π6，所以－π6≤x ＋π6≤π3，故当x ＝π6时，f (x )取最大值为3，故选C.2．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.考点三三角函数的单调性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求三角函数的单调区间[例1] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间为________________． (2)函数y ＝|tan x |的单调递增区间为______________，单调递减区间为________________．[解析] (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. (2)作出函数y ＝|tan x |的图象，如图．观察图象可知，函数y ＝|tan x |的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ；单调递减区间为⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z.[答案] (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z (2)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z 考法(二) 已知三角函数的单调性求参数[例2] (2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，则函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，∴0＜a ≤π4， ∴a 的最大值为π4.[答案] A[规律探求]1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π，则以下结论正确的是( ) A ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递减 B ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上单调递减 D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤5π6，π上单调递增解析：选C 由x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－4π3，－π3，所以函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，所以函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎡⎦⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎡⎦⎤4π3，5π3，所以函数f (x )先减后增．故选C.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析：∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3，∴ω＝32. 答案：323．若函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω＜0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增，则⎩⎨⎧ω＜0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＜0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，k ∈Z ，解得－4≤ω＜0.答案：[－4,0)考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性[全析考法过关][考法全析]考法(一) 三角函数的周期性[例1] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. [答案] A考法(二) 三角函数的奇偶性[例2] (2019·抚顺调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．[解析] ∵函数f (x )为偶函数，∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)．又θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．[答案]π6考法(三) 三角函数的对称性[例3] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称 (2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．[解析] (1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)，故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)．令x 2＋π6＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z)，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π－π6(k ∈Z)． ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6. [答案] (1)B (2)－π6[规律探求][过关训练]1．若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值是________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6，又图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，所以2×π2＋θ＋π6＝k π(k ∈Z)，所以θ＝k π－7π6(k ∈Z)，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin 2x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π3，f (x )∈[－3，2]，所以f (x )的最小值是－ 3. 答案：－ 32．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0＜ω＜10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0＜ω＜10，所以0＜8k ＋2＜10，得－14＜k ＜1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π[课时跟踪检测]一、题点全面练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称． 3．(2018·昆明第二次统考)若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z解析：选B 由题意得直线x ＝a π(0＜a ＜1)是正切函数的渐近线，所以x ＝π2，即a ＝12，则原不等式可化为tan x ≥1，所以k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z ，故选B.4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.7．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为________．解析：由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6.答案：π68．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，则ω＝________.解析：因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，即f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0，所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z)，解得ω＝3k －1(k ∈Z)．又12·2πω≥π2－π6，ω＞0，所以ω＝2. 答案：29．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z.所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z. (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2. 10．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫2cos 2x2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·长沙模拟)函数f (x )＝|sin x |·cos x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π解析：选D 易知函数f (x )＝⎩⎨⎧12sin 2x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－12sin 2x (2k π－π≤x ＜2k π)k ∈Z ，结合函数f (x )的图象，易知函数f (x )的最小正周期为2π.2．(2019·厦门模拟)函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ，x ∈[0，π]的单调递增区间为________．解析：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＋3sin 2x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，得－π6≤x ≤π3，又0≤x ≤π，所以0≤x ≤π3；令k ＝1，得5π6≤x ≤4π3，又0≤x ≤π，所以5π6≤x ≤π，所以函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤5π6，π 3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴结合函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.答案：⎣⎡⎦⎤π3，π(二)素养专练——学会更学通4．[直观想象]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则2x 1＋3x 2＋x 3的值为( )A ．π B.3π4 C.3π2D.7π4解析：选D 由题意x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8，则 2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π2，画出函数f (x )的大致图象，如图所示．由图可得，当22≤a ＜1时，方程f (x )＝a 恰有三个根．由2x ＋π4＝π2，得x ＝π8；由2x ＋π4＝3π2，得x ＝5π8.由图可知，点(x 1，a )与点(x 2，a )关于直线x ＝π8对称，点(x 2，a )和点(x 3，a )关于直线x＝5π8对称，所以x 1＋x 2＝π4，x 2＋x 3＝5π4，所以2x 1＋3x 2＋x 3＝2(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝7π4. 5．[逻辑推理]设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π12＜φ＜π2，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12＜φ＜π2，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12＜φ＜π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④. 答案：①④⇒②③或①③⇒②④6．[数学运算]已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx －32(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递减区间； (2)若f (x )＞22，求x 的取值集合．解：(1)f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx －32＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx －32＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3.因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z. (2)由f (x )＞22，得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＞22，由正弦函数的性质得π4＋2k π＜2x ＋π3＜3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋k π＜x ＜5π24＋k π，k ∈Z ，则x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π24＋k π＜x ＜5π24＋k π，k ∈Z .7．[直观想象、数学运算]已知函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3cos x ＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．解：(1)因为f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 cos x ＋3＝4⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x cos x ＋3＝2sin x cos x －23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)．所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． (2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与直线y ＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6，故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33.。

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三角函数的图象与性质（二）●知识梳理1.三角函数的图象和性质注：读者自己填写.2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象. ●点击双基1.函数y =sin （3π－2x ）+sin2x 的最小正周期是A.2πB.πC.2πD.4π解析：y =23cos2x －21sin2x +sin2x =23cos2x +21sin2x =sin （3π+2x ），T =π.答案：B2.若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是 A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x解析：检验. 答案：B3.（2004年天津，理9）函数y =2sin （6π－2x ）（x ∈［0，π］）为增函数的区间是A.［0，3π］B.［12π，12π7］C.［3π，6π5］D.［6π5，π］解析：由y =2sin （6π－2x ）=－2sin （2x －6π）其增区间可由y =2sin （2x －6π）的减区间得到，即2k π+2π≤2x －6π≤2k π+2π3，k ∈Z .∴k π+3π≤x ≤k π+6π5，k ∈Z .令k =0，故选C. 答案：C4.（2005年北京东城区高三期末检测题）把y =sin x 的图象向左平移3π个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.解析：向左平移3π个单位，即以x +3π代x ，得到函数y =sin （x +3π），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以21x 代x ，得到函数：y =sin （21x +3π）.答案：y =sin （x +3π） y =sin （21x +3π）5.函数y =lg （cos x －sin x ）的定义域是_______.解析：由cos x －sin x ＞0 cos x ＞sin x .由图象观察，知2k π－4π3＜x ＜2k π+4π（k ∈Z ）.答案：2k π－4π3＜x ＜2k π+4π（k ∈Z ）●典例剖析【例1】（1）y =cos x +cos （x +3π）的最大值是_______；（2）y =2sin （3x －4π）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.剖析：（1）y =cos x +21cos x －23sin x=23cos x －23sin x =3（23cos x －21sin x ）=3sin （3π－x ）.所以y max =3.（2）T =3π2，相邻对称轴间的距离为3π.答案：3 3π【例2】（1）已知f （x ）的定义域为［0，1），求f （cos x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （cos x ）的定义域.剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cos x ≤1，（2）要使sin （cos x ）＞0，这里的cos x 以它的值充当角.解：（1）0≤cos x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）.∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z ｝.（2）由sin （cos x ）＞0⇒2k π＜cos x ＜2k π+π（k ∈Z ）.又∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1.故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－2π，2k π+2π），k ∈Z ｝.评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.【例3】求函数y =sin 6x +cos 6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值. 剖析：将原函数化成y =A sin （ωx +ϕ）+B 的形式，即可求解.解：y =sin 6x +cos 6x =（sin 2x +cos 2x ）（sin 4x －sin 2x cos 2x +cos 4x ）=1－3sin 2x cos 2x =1－43sin 22x =83cos4x +85.∴T =2π.当cos4x =1，即x =2πk （k ∈Z ）时，y max =1.深化拓展函数y =tan （ax +θ）（a ＞0）当x 从n 变化为n +1（n ∈Z ）时，y 的值恰好由－∞变为+∞，则a =_______.分析：你知道函数的周期T 吗? 答案：π●闯关训练夯实基础1.（2004年辽宁，11）若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是A.ω=1，ϕ=3πB.ω=1，ϕ=－3πC.ω=21，ϕ=6πD.ω=21，ϕ=－6π解析：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ω=21.又当x =3π2时，y =1，∴sin （21×3π2+ϕ）=1，3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6π.答案：C2.（2004年北京海淀区二模题）f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2π］上的最小值为－4，那么a 的值等于A.4B.－6C.－4D.－3解析：f （x ）=1+cos2x +3sin2x +a =2sin （2x +6π）+a +1.∵x ∈［0，2π］，∴2x +6π∈［6π，6π7］.∴f （x ）的最小值为2×（－21）+a +1=－4.∴a =－4. 答案：C3.函数y =3sin x-的定义域是_________.解析：－sin 3x ≥0⇒sin 3x ≤0⇒2k π－π≤3x ≤2k π⇒6k π－3π≤x ≤6k π（k∈Z ）.答案：6k π－3π≤x ≤6k π（k ∈Z ）4.（2005年北京海淀区高三期末练习题）函数y =tan x －cot x 的最小正周期为____________.解析：y =xx cos sin －xx sin cos =－2cot2x ，T =2π.答案：2π5.（2004年全国Ⅰ，17）求函数f （x ）=xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期、最大值和最小值.解：f （x ）=xx xx x x cos sin 22cos sin cos sin 22222--+）（=）（x x x x cos sin 12cos sin 122--=21（1+sin x cos x ） =41sin2x +21，所以函数f （x ）的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.6.已知x ∈［4π3，2π3］，函数y =cos2x －sin x +b +1的最大值为89，试求其最小值.解：∵y =－2（sin x +41）2+817+b ，又－1≤sin x ≤22，∴当sin x =－41时，y max =817+b =89⇒b =－1；当sin x =22时，y min =－22. 培养能力7.求使θsin 1-=2sin （2θ－4π）成立的θ的区间.解：θsin 1-=2sin （2θ－4π）⇒22cos 2sin ）（θθ-=2（22sin 2θ－22cos 2θ）⇒｜sin 2θ－cos 2θ｜=sin 2θ－cos 2θ⇒sin2θ≥cos 2θ⇒2k π+4π≤2θ≤2k π+4π5（k ∈Z ）. 因此θ∈［4k π+2π，4k π+4π5］（k ∈Z ）.8.已知方程sin x +cos x =k 在0≤x ≤π上有两解，求k 的取值范围.解：原方程sin x +cos x =k ⇔2sin （x +4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin（x +4π）与y 2=k 的图象.对于y =2sin （x +4π），令x =0，得y =1.∴当k ∈［1，2）时，观察知两曲线在［0，π］上有两交点，方程有两解. 评述：本题是通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法. 探究创新9.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>≥.sin cos cos cos sin sin ）（），（x x x x x x（1）画出f （x ）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断f （x ）是否为周期函数.如果是，求出最小正周期. 解：（1）实线即为f （x ）的图象.单调增区间为［2k π+4π，2k π+2π］，［2k π+4π5，2k π+2π］（k ∈Z ），单调减区间为［2k π，2k π+4π］，［2k π+2π，2k π+4π5］（k ∈Z ），f （x ）max =1，f （x ）min =－22. （2）f （x ）为周期函数，T =2π. ●思悟小结1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性.2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误.●教师下载中心教学点睛1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用.2.例2、例4作为重点讲解，例1、例3诱导即可. 拓展题例【例1】已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角，则cos α＞cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α＞cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β 解析：借助三角函数线易得结论. 答案：Ｄ【例2】函数f （x ）=－sin 2x +sin x +a ，若1≤f （x ）≤417对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.解：f （x ）=－sin 2x +sin x +a =－（sin x －21）2+a +41.由1≤f （x ）≤417⇒1≤－（sin x －21）2+a +41≤417 ⇒a －4≤（sin x －21）2≤a －43. ①由－1≤sin x ≤1⇒－23≤sin x －21≤21⇒（sin x －21）2m ax =49，（sin x －21）2m in =0. ∴要使①式恒成立，只需⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-494304a a ⇒3≤a ≤4.。