2013年高考数学成功方案系列课件第十章第九节随机变量的数字特征、正态分布(理)

(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
P
0.4
a
7
8
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随 机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3533855634 6347534853 8343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 求等级系数X2的数学期望．
不变的． 2.D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表
明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X) 越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用 DX 来 描述X的分散程度．
3.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方 差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和 全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍 的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同， 再用方差来决定．
D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29
＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×
3 5
＋(－300－200)2×
1 3
＋(0－200)2×
1 15
＝
140 000，
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
[通一类] 2．(2012·长沙模拟)某投资公司在2010年年初准备将1 000
万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，若投资到该项目 上，则到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两 种情况发生的概率分别为79和29；
项目二：通信设备．据市场调研，若投资到该项目上，则 到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不 赚，且这三种情况发生的概率分别为35、13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的 项目，并说明理由．
(2)方差： 称 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2Pn
叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机 变量取值相对于期望 的平均波动大小 (或说 离散程度)，D(X) 的 算术平方根 DX 叫做离散型随机变量X的标准差．
2．二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
X2
3
4
5678
f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以E(X2)＝3P(X2＝3)＋4P(X2＝4)＋5P(X2＝5)＋6P(X2＝6) ＋7P(X2＝7)＋8P(X2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋ 6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.
[做一题] [例3] 已知X～N(5,1)，则P(6<X<7)的值为________． [自主解答] 由已知μ＝5，σ＝1. ∵P(4<X<6)＝68.3%， P(3<X<7)＝95.4%. ∴P(3<X<4)＋P(6<X<7)＝P(3<X<7)－P(4<X<6)
P(A)＝0.83＋C31×0.2×(1－0.2)2＝0.896.
(2)由1a00＝0.2得a＝20，
∵40＋20＋a＋10＋b＝100，∴b＝10.
记分期付款的期数为Y，依题意得：
P(Y＝1)＝
40 100
＝0.4，P(Y＝2)＝
20 100
＝0.2，P(Y＝3)＝
20 100
＝
0.2，P(Y＝4)＝11000＝0.1，P(Y＝5)＝11000＝0.1.
些实际问题． 3．利用实际问题的直方图，了解正态分布密度曲线的特点
及曲线所表示的意义．
1．设 X 为随机变量，X～B(n，13)，若随机变量 X 的数学期
望 E(X)＝2，则 n 等于
()
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵X～B(n，13)，∴E(X)＝n3＝2，∴n＝6.
答案： D
2．设随机变量 X～N(0,1)，若 P(X>1)＝p，则 P(－1<X<0)＝
由题意知X的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元)． P(X＝1)＝P(Y＝1)＝0.4， P(X＝1.5)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝0.4； P(X＝2)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝0.1＋0.1＝0.2. ∴X的分布列为：
X 1 1.5 2 P 0.4 0.4 0.2 ∴X的数学期望 E(X)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4(万元)．
a＋b＋c＝1， 解析：由已知a＋c＝2b，
－1×a＋0×b＋1×c＝13，
a＝16， 解得b＝13，
c＝12.
D(X)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59. 答案：59
1．离散型随机变量的数学期望与方差
设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1， x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn. (1)数学期望: 称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 为离散型随机变量X 的均值或 数学期望 (简称期望)，它刻画了这个离散 型随机变量的平均取值水平 .
“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)
＝________.
解析：令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1. 又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2. 答案：2
5．随机变量X的分布列如下：
X
－1 0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝13，则D(X)的值 是______．
保持例题条件不变，求D(X)． 解：D(X)＝(1－1.4)2×0.4＋(1.5－1.4)2×0.4＋(2－ 1.4)2×0.2 ＝0.42×0.4＋0.12×0.4＋0.62×0.2 ＝0.064＋0.004＋0.072 ＝0.14.
[悟一法] 1.求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随
(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/ 件，所以其性价比为66＝1. 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/ 件，所以其性价比为44.8＝1.2. 据此，乙厂的产品更具可购买性．
[悟一法] 1.E(X)是一个实数，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是
＝95.4%－68.3%＝27.1%. 如图，由正态曲线的对称性可得 P(3<X<4)＝P(6<X<7)， ∴P(6<X<7)＝0.2271＝0.135 5. [答案] 0.135 5
第 十章 计数 原理 、概 率、 随机 变量 及其 分布
列 [理]
第 九节 随机 变量 的数 字特 征、 正态 分布
高考成功方案第一步 高考成功方案第二步 高考成功方案第三步 高考成功方案第四步
考纲点击 1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一
4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝ 68.3%； (2)P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝ 95.；4% (3)P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝ 99..7%
[做一题] [例1] 某品牌汽车的4S店，对最近100位采用分期付款的购 车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的 频率为0.2，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款， 其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期 或5期付款，其利润为2万元．用X表示经销一辆汽车的利润.
期望
方差
变量X服从二点分布 E(X)＝ p D(X)＝ p(1－p)
X～B(n，p)
E(X)＝np D(X)＝ np(1－p)
X服从参数为N，M， n的超几何分布
E(X)＝nNM
3.正态曲线
(1)概念：
正态变量的概率密度函数的图像叫做正态曲线，其函
数表达式为f(x)＝
1 2π·σ e

(
xu)2 2 2
解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险； B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种 保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中 的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝－C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， X～B(100,0.2)，即X服从二项分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20.
A.12＋p
B．1－p
()
C．1－2p
D.12－p
解析：由 P(X>1)＝p 知 P(－1<X<1)＝1－2p，
所以 P(－1<X<0)＝12－p. 答案：D
3．设随机试验的结果只有 A 与 A ，P(A)＝p，令随机变量 X
＝10，，AA，， 则 X 的方差为
A．p
B．2p(1－p)
C．－p(1－p)
机变量的分布列，然后根据均值与方差的定义求解． 2.若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则可直
接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．