竞赛教案

全国大学数学竞赛辅导
第二讲 函数及函数连续性 主要知识点
（1） 有界函数及上下确界 （2） 连续函数基本性质 （3） 中值定理
例1. 设函数()y f x =在区间[a,b]上有界，证明函数()inf () , ()sup ()t x
t a a x
m x f t M x f t ??==
在[a,b]上左连续，并举例说明可以不右连续
思考：设()f x 在(,)a + 内连续，有界，试证0,n T x ">$? ，使得
lim(()())0n n n f x T f x
+-=
摘自裴礼文 P93
例2. 设函数()f x 在[),a +¥上连续，lim ()x f x A ?
=（有限），
证明：()f x 在[),a +¥上一致连续
思考：（1）设函数()f x 在有限开区间(a,b)内连续，且lim ()x a
f x +®及lim ()x b
f x -®均存在， 问是否能确定()f x 在(a,b)内一致连续 （2）设函数()f x 在[),c +¥上连续，且当x ? 时()f x 有渐近线y ax b =+，
问是否能确定()f x 在[),c +¥上一致连续
例3. 已知连续函数()f x 在闭区间[a,b]上处处取极值，证明()f x 为常量函数(南昌大学竞
赛)
思考题：设()f x 在闭区间[a,b]上无界，试证在 [a,b]上至少存在一点0x ，函数()f x 在
该点的任何领域内无界
例4. 已知函数()f x 在点0x =处连续，且在R 上处处满足()()()f x y f x f y +=+，
证明()f x 在R 上处处连续，并求函数()f x 的一般形式 思考题：
(1) 设()f x 在点0x =处连续，且对于任意,x y R Î,有()()()f x y f x f y +=，
证明()f x 在R 上处处连续，并求函数()f x 的一般形式
(2) 设[0,)+¥上连续函数()f x 不恒为0，且0,x y ">，恒有()()()f xy f x f y =
试求函数()f x 的一般形式
例5. 设()f x 在[0,1]上可微，且(0)0,(1)1f f ==，证明：存在12,,(01)x x Î成立
12()()
a b
a b f x f x +=+ⅱ 思考题：
设()f x 在[0,1]上可微，且(0)0,(1)1f f ==，12,,,n k k k L 为n 个正数
证明：存在互不相同的12,,,(0,1)n x x x ÎL 成立11
()n n
i i i i i k k f x ===
邋
例6. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0))A f 与点(1,(1))B f 的直
线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<，证明：存在点(0,1)x Î 成立 )0(f x ⅱ= （09年真题）
例7. 设函数()f x 在[0,)+ 内可微，且满足不等式
()
, (0,)0f x x ＃? (北大 1985)
试证明存在一点(0,)x ? 成立
2)21
(f x x -+¢=
例8. 若()f x 在[,]a b 上连续，且()f x 在[,]a b 上每点处都取极值，则()f x 恒为常数 （湖南07） 第二讲课后练习题
1、(上年真题)设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0)),(1,(1))A f B f 的直线与曲线()y f x =交于点(,())C c f c ，其中01c <<
证明：在(0,1)内至少存在一点x ，使得()0f x ⅱ
= 2、设()f x 可微，对于任意实数,x y 恒成立 ()()()2f x y f x f y xy +=+-，并且
(0)1f ¢=，试求()f x 的表达式
3、(南昌大学竞赛题)设()f x 在[ ,)a +¥(这里0a >)内连续，且满足Lipschitz 条件，即存在常数0L >使得12,[,)x x a "? 有 1212|()()|||x x f x f x £--
证明：
()
f x x
在[ ,)a +¥上有界且一致连续
练习题（东南大学2003）
一、 判断下列命题正确与否
1、 若函数(),()f x g x 均在(,)-∞+∞上一致连续，则它们的积也一致连续
2、 设()f x 在[,)a +∞上连续可微，且
(),()a
a
f x dx f x dx +∞
+∞
'⎰
⎰
都收敛，则
lim ()0x f x →∞
=
3、 若对任意的自然数p 都有12)0lim(n n p n n a a a ++→∞
++++= ，则级数
1
n
n a
∞
=∑收敛
4、 设二元函数(,)f x y 在有界闭长方型区域D 上非负可积，且不恒为0，则
(,)0D
f x y dxdy >⎰⎰
二、 计算题
1、 求极限 2223
12lim (21)n n n →∞+++-
2、 求极限2
2
4
cos lim
x x e
x
x -
→-
3、 设1,0(0)0,(),
11
f f x x x x ≤≤⎧'==⎨
>⎩， 求()f x
4、
求积分32
2
62sin (1x x dx x
-+⎰ 5、 设幂级数
1
1(
)2
n
n n x a ∞
=-∑在2x =-处条件收敛，求其收敛半径 6、 若函数(,)z z x y =由方程1xy yz zx ++=所确定，求22z
x
∂∂
7、 求曲线积分221
()21()
2
L y dx xdy
x y --++-⎰ ，其中L 从(1,0)A 经上半单位圆周到
(1,0)B -，再经过直线段BA 回到A 点
三、
设112(1)
0,2n n n
x x x x ++>=
+，证明数列收敛并求其极限
四、
设(),()f x g x 在闭区间[a,b]上可微，且0()g x '≠，求证存在一点(,)c a b ∈使得
()()()
()()()
f a f c f c
g c g b g c '-='- 五、
设2222
1()sin ,(0,(,)(,0))0,0x y x y x y
f x y x y ≠⎧+⎪+=⎨⎪==⎩
证明()f x 在原点可微但偏导数不连续 六、
设20
arctan () , ()(1)
0J dx x x x
ααα+∞
+≥=
⎰
，证明)(J α可微并求出)(J α。