3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式教学目标一、知识与技能1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”．2．通过强化题目的训练，加深对两角差的余弦公式的理解．3．培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质．二、过程与方法通过两角差的余弦公式的运用，会进行简单的求值、化简、证明，体会化归思想在数学中的运用，使学生进一步掌握联系的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生体会探究的乐趣，认识到世间万物的联系与转化，养成用辩证与联系的观点看问题．创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，从而培养学生分析问题、解决问题的能力和换元、演绎、数形结合等数学思想方法．教学重点、难点教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式.教学难点：探索过程的组织和适当引导．教学关键：两角差的余弦公式的探索引导.教学突破方法：以问题形式引导学生逐步深入．教法与学法导航教学方法：启发诱导，讲练结合.学习方法：合作交流，体验过程.教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课播放多媒体，出示问题，让学生认真阅读课本引例．在用方程的思想分析题意，用解直角三角形的知识布列方程的过程中，提出了两个问题：①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要；②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要．在此基础上，再一般化而提出本节的研究课题进入新课．二、主题探究，合作交流提出问题①请学生猜想cos(α-β)=？②利用前面学过的单位圆上的三角函数线，如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？③利用向量的知识，又能如何推导发现cos(α-β)=？④细心观察C(α-β)公式的结构，它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C(α-β)公式进行求值计算？师生活动：问题①，出示问题后，教师让学生充分发挥想象能力尝试一下，大胆猜想，有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cosα-cosβ的结论，此时教师适当的点拨，然后让学生由特殊角来验证它的正确性．如α=60°，β=30°，则cos(α-β)=cos30°=23，而cos α-cos β=cos60°-cos30°=231 ，这一反例足以说明cos(α-β)≠cos α-cos β． 让学生明白，要想说明猜想正确，需进行严格证明，而要想说明猜想错误，只需一个反例即可．问题②，既然cos(α-β)≠cos α-cos β，那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题，是α-β这个角的余弦问题，我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？如上图，设角α的终边与单位圆的交点为P 1，∠POP 1=β，则∠POx =α-β．过点P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，那么OM 就是角α-β的余弦线，即OM =cos(α-β)，这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM ．过点P 作P A 垂直于OP 1，垂足为A ，过点A 作AB 垂直于x 轴，垂足为B ，过点P 作PC 垂直于AB ，垂足为C ．那么，OA 表示cos β，AP 表示sin β，并且∠P AC =∠P 1Ox =α．于是，OM =OB +BM =OB +CP =OA cos α+AP sin α=cos βcos α+sin βsin α，所以，cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β．教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角α、β、α-β是有条件限制的，即α、β、α-β均为锐角，且α>β，如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后动手试一试．问题③，教师引导学生，可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？如下图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则=(cos α，sin α)，=(cos β，sin β)，∠AOB =α-β．由向量数量积的定义有·=||||·cos(α-β)=cos(α-β)， 由向量数量积的坐标表示有OA ·OB =(cos α，sin α)(cos β，sin β)=cos αcos β+sin αsin β，于是，cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β．我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁，但在向量数量积的概念中，角α-β必须符合条件0≤α-β≤π，以上结论才正确，由于α、β都是任意角，α-β也是任意角，因此就是研究当α-β是任意角时，以上公式是否正确的问题．当α-β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈［0，2π)，使cos θ=cos(α-β)，若θ∈［0，π］，则OA ·OB =cos θ=cos(α-β)．若θ∈［π，2π］，则2π-θ∈［0，π］，且·=cos (2π-θ)=cos θ=cos(α-β)．由此可知，对于任意角α此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为C (α-β)．有了公式C (α-β)以后，我们只要知道cos α、cos β、sin α、sin β的值，就可以求得cos(α-β)的值了．问题④，教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征，让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”，右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”，可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆，特别是运算符号，左“-”右“+”．或让学生进行简单填空，如：cos(A -B )=__________，cos (θ-φ)=__________等．因此，只要知道了sin α、cos α、sin β、cos β的值就可以求得cos(α-β)的值了．问题⑤，对于公式的正用是比较容易的，关键在于“拆角”的技巧，而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧．如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23， cos α=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β．三、拓展创新，应用提高例1 利用差角余弦公式求cos15°的值．活动：先让学生自己探究，对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°，它可以拆分为哪些特殊角的差，如15°=45°-30°或者15°=60°-45°，从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值．教师不要包办，充分让学生自己独立完成，在学生的具体操作下，体会公式的结构，公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法．对于很快就完成的同学，教师鼓励其换个角度继续探究． 解：解法一：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 解法二：cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45°=21×.426232222+=⨯+ 点评：本题是指定方法求cos15°的值，属于套用公式型的，这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上．但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式，灵活运用公式求值．本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角，但可以拆分成两角差的情形．至于如何拆分，让学生在应用中仔细体会．例2 已知sin α=54，α∈(2π，π)，cos β=135-，β是第三象限角，求cos(α-β)的值． 活动：教师引导学生观察题目的结构特征，联想到刚刚推导的余弦公式，学生不难发现，欲求cos(α-β)的值，必先知道sin α、cos α、sin β、cos β的值，然后利用公式C (α-β)即可求解．从已知条件看，还少cos α与sin β的值，根据诱导公式不难求出，但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时，角α、β所在的象限，准确判断它们的三角函数值的符号．本例可由学生自己独立完成．解：由sin α=54，α∈(2π，π)，得 cos α=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cos β=135-，β是第三象限角，得 sin β=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评：本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习，但必须思考使用公式前应作出的必要准备．特别是运用同角三角函数平方关系式求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号．教师可提醒学生注意这点，养成良好的学习习惯．四、小结1．先由学生自己思考、回顾公式的推导过程，观察公式的特征，特别要注意公式既可正用、逆用，还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题．然后教师引导学生围绕以下知识点小结：(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面：对公式结构和功能的认识；三角变换的特点．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导，要正确熟练地运用公式进行解题，在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，准确判断三角函数值的符号．多对题目进行一题多解，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．课堂作业1．若-π2<α<β<π2，则α-β一定不属于的区间是( ) A ．(-π，π) B ．(π2-，π2) C ．(-π，0) D ．(0，π) 2．求值：(1) sin80°cos55°+cos80°cos35°；(2) cos80°cos20°+sin100°sin380°．3．已知sin θ=51，θ∈(π2，π)，求cos (θ-π3)的值． 4．已知sin α=32，α∈(π2，π)，cos β=43-，β∈(π， 3π2)，求cos(α-β)的值． 5．已知sin α+sin β+sin γ=0，cos α+cos β+cos γ=0，求证：cos(α-γ)=21-． 参考答案：1．D2．(1) 原式=sin80°sin35°+cos80°cos35°=cos(80°-35°)=cos45°=22．(2) 原式=cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=21． 3．∵sin θ=51，θ∈(2π，π)， ∴cos θ=.5622511sin 12-=--=--θ ∴cos (θ-π3)=cos θcos π3+sin θsin π3=235121562⨯+⨯-=10623-． 4．∵sin α=32，α∈(π2，π)， ∴cos α=.35941sin 12-=--=--a ∵cos β=43-，β∈(π，23π)， ∴sin β=471691cos 12-=--=--β． cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=)47(32)43(35-⨯+-⨯-=.127253- 5．证明：∵sin α+sin β+sin γ=0，∴sin α+sin γ=-sin β． ①∵cos α+cos β+cos γ=0，∴cos α+cos γ=-cos β． ②①2+②2，得sin 2α+cos 2α+sin 2γ+cos 2γ+2cos αcos γ+2sin αsin γ=sin 2β+cos 2β．∴2(cos αcos γ+sin αsin γ)=-1，即cos(α-γ)=21-． 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学目标一、知识与技能1．在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们之间的内在联系．2．通过强化题目的训练，加深对公式的理解．3．培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．二、过程与方法通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力．三、情感、态度与价值观通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．教学重点、难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导．教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．教学关键：公式推导的引导．教学突破方法：以两角和与差的余弦公式为基础，展开推导其他公式．教法与学法导航教学方法：问题是教学，讲练结合．学习方法：在老师指导下，自主探究，并与小组成员讨论，得到结论．教学准备教师准备：多媒体、尺规．学生准备：练习本、尺规．教学过程一、创设情境，导入新课教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．二、主题探究，合作交流提出问题：①在公式C(α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=？②分析观察C(α+β)的结构有何特征？③在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=？，sin(α-β)=？④公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑤对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=？tan（α+β）=？⑥分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？⑦思考如何灵活运用公式解题？师生互动：对问题①，学生默写完后，教师投影课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α，β.既然可以是任意角，又是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕．这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来，这样就很自然地得到cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ．所以有如下公式：(α+β)对问题②，教师引导学生细心观察公式C(α+β)的结构特征，可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________．对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式（五、或六）来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行)，因此有sin(α+β)=cos ［π2-(α+β)］=cos ［(π2-α)-β］ =cos(π2-α)cos β+sin(π2-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β．在上述公式中，β用-β代之，则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β．因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S 、S -．对问题④，教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美．为强化记忆，教师可让学生填空，如sin(θ+φ)=___________，sin(θ-φ) =__________．对问题⑤，教师引导学生思考，在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后，自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=？，tan(α+β)=？呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)= sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ++=+-. 如果cos αcos β≠0，即cos α≠0且cos β≠0时，分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)= βαβαtan tan 1tan tan -+， 据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)= βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan ))(tan(+-=---+=-+. -对问题⑥，让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于π2+k π(k ∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．对问题⑦，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式．并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tan α，tan β或tan （α±β）的值不存在时，不能使用T （α±β）处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．二、拓展创新，应用提高例1 已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求πππsin()cos()tan()444ααα-+-，，的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cos α，tan α的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成． 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有πππsin()sin cos cos sin 444ααα-=-43)55⨯--=πππcos()cos cos cos cos 444ααα-=-43)55⨯-=， 两结果一样，我们能否用第一章知识证明？π3tan tan1π44tan()74π31tan tan 1()44ααα----===-++- 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯．例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）1tan151tan15+-． 活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成．对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S (α-β)的右边，（2）同公式C (α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果．再看（3）式与T (α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形．又因为tan45°=1，原式化为tan 45tan151tan 45tan15︒+︒-︒︒，再逆用公式T (α+β)即可解得： （1）()1sin 72cos 42cos 72sin 42sin 7242sin 302-=-==； （2）()cos 20cos 70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==；（3）()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--． 点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解．四、小结1．先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题．2．教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题，灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等．推导并理解公式a sin x +b cos x = sin(x +φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题．课堂作业1．在△ABC 中，sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形2．3cos π12-sin π12的值是( ) A ．0 B ．-2 C ．2 D ．23．在△ABC 中，有关系式tan A =BC C B sin sin cos cos --成立，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．A =60°的三角形C ．等腰三角形或A =60°的三角形D ．不能确定4．若cos(α-β)=31，cos β=43，α-β∈(0，π2)，β∈(0，π2)，则有( ) A ．α∈(0，π2) B ．α∈(π2，π) C ．α∈(-π2，0) D ．α=π2 5．求值：25cos 25sin 5cos 2-=_________ 6．若sin α·sin β=1，则cos α·cos β=____________7．已知cos(α+β)=31，cos(α-β)=51，则tan α·tan β=___________ 8．求tan70°＋tan50°-3tan50°tan70°的值．参考答案：1．B 2．C 3．B 4．B 5．3 6．0 7．41 8．原式＝tan （70°＋50°）（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3tan50°-3tan50°tan70°＝-3．∴原式的值为-3．3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目标一、知识与技能1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系．2．通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．二、过程与方法通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．教学重点、难点教学重点：半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．教学关键：公式推导的引导．教学突破方法：和差公式基础，引导学生适当变形，自主推导．教法与学法导航教学方法：问题式教学，讲练结合．学习方法：自主探究，合作交流.教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．二、主题探究，合作交流提出问题：①和角三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？②在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？③细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？④能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑤思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑦请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α？师生互动：问题①教师投影课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α、β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β⇒sin2α=2sin αcos α（S 2α）；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β⇒cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α)；tan(α+β)=2tan tan 2tan tan2(T )1tan tan 1tan ααβαααβα+⇒=-- 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦、余弦、正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题②，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．这时教师点出，这些公式都叫做二倍角公式（用多媒体演示）．二倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题③，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题④，教师应让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，2a 是4a 的二倍，3α是32α的二倍，3a 是6a 的二倍，π2-α是π4-2α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ．但公式(T 2α)需在α≠21k π+π4和α≠k π+π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α=k π+π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题⑤，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ， 40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tan α(1-tan 2α)等等．三、拓展创新，应用提高例1 已知sin2α=135，π4<α<π2，求sin4α，cos4α，tan4α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了2α的正弦值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：由π4<α<π2，得π2<2α<π． 又∵sin2α=135，∴cos2α=1312)135(12-=--． 于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-； cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119； tan4α=sin4cos4αα=(-169120)×119169=119120-． 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点．例2 在△ABC 中，cos A =54，tan B =2，求tan(2A +2B )的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A +B +C =π，0<A <π，0<B <π，0<C <π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A +2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A +2B )的值改为求tan2C 的值．解：方法一：在△ABC 中，由cos A =54，0<A <π，得sin A =.53)54(1cos 122=-=-A 所以tan A =A A cos sin =53×45=43，tan2A =724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A ． 又tan B =2，所以tan2B =.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B 于是tan(2A +2B )= 244tan2tan244731tan2tan22441171()73A B A B -+==--⨯- 方法二：在△ABC 中，由cos A =54，0<A <π，得sin A =.53)54(1cos 122=-=-A 所以tan A ==A A cos sin 53×45=43．又tan B =2， 所以tan(A +B )=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A ． 于是tan(2A +2B )=tan[2(A +B )] =.11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野．四、小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．五、课堂作业1．求值： 10cos 310sin 1-． 2．化简：cos36°cos72°．。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)2课件人教新课标
tan[(β－α)－α]＝1t＋antaβn－βα－－αttaannαα＝1＋－－2－22×2＝43．
答案
4 3
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题型三 给值求角问题
【例 3】 (1)在△ABC 中，tan A＝13，tan B＝－2，则角 C＝
________；
解析
tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－1313×－2－2＝－1，
课前预习
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【训练 1】 求值：
1＋tan (1)1－tan
1155°°；(2)tan
10°＋tan
35°＋tan
10°tan
35°．
解
1＋tan (1)1－tan
1155°°＝1t－ant4a5n°1＋5°ttaann1455°°
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3．
(2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
______________．
解析 ∵B 为锐角，sin B＝ 55，∴cos B＝255，∴tan B＝12，
∴tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－13＋13×12 12＝1．
∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4．
答案
π 4
课前预习
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5．求tant1an8°1＋8°ttaann4422°°＋tanta6n01°20°的值．
答案 B
课前预习
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3．已知 tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则 tanα＋2 β＝________．
解析
tanα＋2 β＝tan[(α－β2)＋(β－α2)]＝1－1212×－13－13＝17．
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：sin(a+b) = sinacosb + cosasinb这个公式表示两个角的正弦之和等于前者的正弦与后者的余弦之积加上前者的余弦与后者的正弦之积。
证明：根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：sin(a+b) = sin[(a)+(b)]= sin[(a)cos(b) + (b)cos(a)]= sin[(a)cos(b)] + sin[(b)cos(a)]= sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)这就是两角和的正弦公式。
2.两角和的余弦公式：cos(a+b) = cosacosb - sinasinb这个公式表示两个角的余弦之和等于前者的余弦与后者的余弦之积减去前者的正弦与后者的正弦之积。
证明：同样，根据三角恒等式和万能角公式，我们可以得到：cos(a+b) = cos[(a)+(b)]= cos[(a)cos(b) - (b)sin(a)]= cos[(a)cos(b)] - sin[(a)sin(b)]= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)这就是两角和的余弦公式。
3.两角和的正切公式：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这个公式表示两个角的正切之和等于两角的正切之和除以1减去两角的正切之积。
证明：我们可以使用两角和的正弦和余弦公式来推导两角和的正切公式。
首先，根据正切的定义tan(a+b) = sin(a+b) / cos(a+b)然后，代入两角和的正弦公式和余弦公式的表达式，我们有：tan(a+b) = (sinacosb + cosasinb) / (cosacosb - sinasinb)接下来，我们对分子和分母同时除以cosacosb，得到：tan(a+b) = (sin(a) + tana) / (1 - sin(a)tanb)最后，再将分子中的sin(a)替换为sin(a)/cosa，我们可以得到：tan(a+b) = (tana + tanb) / (1 - tana*tanb)这就是两角和的正切公式。
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
＝ × ＋ × ＝ ＝ .∵0<β< ，所以β＝ .
变式3．(1)已知tanα＝2，tanβ＝3，且α，β都是锐角，求α＋β；
(2)已知α，β均为锐角，sinα＝ ，cosβ＝ ，求α－β.
解析：(1)tan ＝ ＝ ＝－1.
∵α，β都是锐角，∴0<α＋β<π，由上式知α＋β＝ .
课堂练习：
练习1：cos(450+300)=
练习2：cos200cos700-sin200sin700=
练习3： 练习4：
1．下列式子中，正确的个数为()
①sin ＝sinα－sinβ；②cos ＝cosα－cosβ；
③sin ＝sinαcosβ－cosαsinβ；④cos ＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
解析：(1)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin ＝sin 30°＝ .
(2)原式＝sinxcos ＋cosxsin ＋2sinxcos －2cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝3sinxcos －cosxsin － cos cosx－ sin sinx＝ sinx－ cosx
＝－ × ＋ × ＝－ ，故得－sin ＝－ ，即sin ＝ .
变式2．化简求值：
(1)sin 75°；(2)sin 15°；
(3)若α，β均为锐角，sinα＝ ，sin(α＋β)＝ ，求cosβ.
解析：(1)原式＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
课题
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
1．注意到 ，由公式C(α+β).，可以推出：
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公
3.1.1 两角差的余弦公式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°) ＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12.答案：A2．已知cos α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值等于( ) A.5226 B ．－2213C ．－7226D.3213解析：∵cos α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π， ∴sin α＝－1213，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫513－1213＝－7226. 答案：C3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( ) A.53＋1226B.12－5313 C.5＋12326D.6＋5313解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.又cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝53＋1226. 答案：A4．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4C.3π4D.56π 解析：因α，β均为锐角，且α<β， 所以－π2<α－β<0，所以sin(α－β)＝－255，又0<2α<π，故sin 2α＝31010， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2α·cos(α－β)＋sin 2α·sin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝34π.答案：C5．不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是( ) A ．α＝π2，β＝π4B ．α＝2π3，β＝5π12C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2解析：因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C 中的α，β不满足． 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝12cos α＋32sin α＝cos α， ∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33. 答案：337．已知a ＝(cos α，sin β)，b ＝(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a·b ＝12，则α－β＝________.解析：a·b ＝cos αcos β＋sin α·sin β ＝cos(α－β)＝12，又0<β<α<π2，所以0<α－β<π2，故α－β＝π3.答案：π38．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.解析：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝－－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.答案： 39．已知sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3的值． 解析：因为sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－125＝－265. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－265×12＋15×32＝3－2610. [B 组 能力提升]1．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－55B.55C.11525D. 5解析：因为sin(π＋θ)＝－35，所以sin θ＝35，因为θ是第二象限角， 所以cos θ＝－45.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255， 所以cos φ＝－255，因为φ是第三象限角，所以sin φ＝－55， 所以cos(θ－φ)＝cos θ·cos φ＋sin θ·sin φ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＝55. 答案：B2．已知x ∈R ，sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为( ) A ．－1≤m ≤1 B ．－2≤m ≤ 2 C ．－1≤m ≤ 2 D ．－2≤m ≤1解析：sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4sin x ＋cos 3π4cos x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，因为x ∈R ，所以x －3π4∈R ，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4≤1，所以－2≤m ≤ 2. 答案：B3．已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.解析：因为cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210.答案：1＋62104．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)．解析：∵cos α－cos β＝12，①sin α－sin β＝－13，②∴①2＋②2，得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝14＋19即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1336，∴cos αcos β＋sin αsin β＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1336＝5972，∴cos(α－β)＝5972.5．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α－β)的值．解析：(1)由于函数f (x )的最小正周期为10π， 所以10π＝2πω，所以ω＝15.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－65，所以sin α＝35， 又因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝2cos β＝1617，所以cos β＝817，因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以 cos α＝45，sin β＝1517，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×817＋35×1517＝7785.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学 一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相应的倍角公式.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−→−=βα令sin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ−−→−=βα令cos2α=cos 2α-sin 2α.由于sin 2α+cos 2α=1，显然，把sin 2α=1-cos 2α代入cos2α=cos 2α -sin 2α，得cos2α=cos 2α-sin 2α=cos 2α-(1-cos 2α)=2cos 2α-1.同理，消去cos 2α，得cos2α=1-2sin 2α. tan(α+β)=αααβαβαβα2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=−−→−•-+=令. 综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角α的范围由任意角的三角函数的定义可知S 2α、C 2α中的角α是任意的，但公式T 2α即tan2α=αα2tan 1tan 2-中的角是有条件限制的. 要使tan2α有意义，需满足1-tan 2α≠0且tanα有意义.当tanα有意义时，α≠2π+kπ(k∈Z )；当1-tan 2α≠0，即tanα≠±1时，α≠±4π+kπ(k∈Z ).综上,可知要使T 2α有意义，需α≠±4π+kπ且α≠2π+kπ(k∈Z ).特别地，当α=2π+kπ(k∈Z )时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值，可用诱导公式进行，即tan2(2π+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0. 学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角α除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义. 3.倍角公式中的倍角是相对的二倍角公式不仅仅可用于将2α作为α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是23α的二倍角，2α是4α的二倍角，3α是6α的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例6cos6sin23sinααα=，6cos 26sin 6cos 3cos222αααα=-=-1=1-2sin26α；sin3α·cos3α=21 (2sin3αcos3α)=21sin6α；cos 22α-sin 22α=cos4α；ααα3sin 4123cos 23sin 21=；︒-︒35tan 135tan 22=tan70°等. 4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos 2α；1-cos2α=2sin 2α；cos 2α=22cos 1α+；sin 2α=22cos 1α-. 学法一得 我们常把1+co sα=2cos 22α，1-cosα=2sin 22α称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.典题•热题知识点一 直接应用倍角公式求值 例1 求下列各式的值：(1)2sin15°sin105°；(2)︒-15sin 731432；(3)︒-︒5.22tan 15.22tan 2；(4)12cos24cos 24sin πππ. 解：(1)原式=2sin15°·sin(90°+15°)=2sin15°cos15°=sin30°=21.(2)原式=143(1-2sin 215°)=143cos30°=283323143=⨯. (3)原式=.2112145tan 215.22tan 15.22tan 2212=⨯=︒=︒-︒•. (4)原式=8121416sin 4112cos 12sin 21=⨯==πππ.方法归纳 倍角公式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即112cos 2sin22++=n n nααα(n∈N *)，12sin 2cos 2cos212+-=+n n nααα(n∈N *)，1212tan 12tan 22tan++-=n n nααα(n∈N *).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x∈(2π-，0)，cosx=54，则tan2x 等于( ) A.247 B.247- C.724 D.724- 思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解. 解法一：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x . 由倍角公式sin2x=2sinxcosx=2524-，cos2x=2cos 2x-1=2×(54)2-1=257. 得tan2x=7242cos 2sin -=x x .解法二：∵x∈(2π-，0)，cosx=54， ∴sinx=53)54(1cos 122-=--=--x .∴tanx=43cos sin -=x x . ∴tan2x=724)43(1)43(2tan 1tan 222-=---⨯=-xx . 答案：D方法归纳 ①解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求做到“小题小做”“小题巧做”. ②像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法. 例3 已知sin(4π+α)sin(4π-α)=161，α∈(2π，π)，求sin4α的值.思路分析：要求sin4α的值，根据倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(4π+α)+(4π-α)=2π，可运用二倍角公式求出cos2α的值. 解：由题设条件得sin(4π+α)sin(4π-α)=sin(4π+α)cos［2π-(4π-α)］ =sin(4π+α)cos(4π+α)=21sin(2π+2α)=21cos2α=61，∴cos2α=31.∵α∈(2π，π)，∴2α∈(π，2π).又∵cos2α=31>0，∴2α∈(23π，2π).∴sin2α=322)31(12cos 122-=--=--α. ∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×92431)322(-=⨯-. 例4 已知cos(4π+x)=53，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x 和tan(4π+x)的值即可，注意到2(4π+x)=2π+2x ，这样通过诱导公式就容易找到sin2x 同cos(4π+x)的关系了. 解：∵47127ππ<<x ，∴πππ2465<+<x .又∵cos(4π+x)=53>0，∴23π＜4π+x ＜2π.∴sin(4π+x)=54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π，345354)4cos()4sin()4tan(-=-=++=+x x x πππ.∵sin2x=-cos2(4π+x)=1-2cos 2(4π+x)=25725181=-， ∴原式=x x x x x x x x x x x xx x x sin cos )sin (cos 2sin sin cos cos sin 2cos 2sin cos sin 1sin 22sin 22-+=-•+•=-+7528)34(257)4tan(2sin tan 1tan 12sin -=-⨯=+•=-+•=x x x x x π.例5 在△ABC 中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A 的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作AD⊥BC 于点D ，设∠BAD=θ，那么A=2θ.∵BD=21BC=41AB ，∴sinθ=41=AB BD . ∵0＜2θ＜π，∴0＜θ＜2π.于是cosθ=415)41(1sin 122=-=-θ. 故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=815415412=⨯⨯. 巧解提示:作AD⊥BC 于点D ，∵BD=21BC=41AB,又∵AB=AC， ∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=41=AB BD . ∵0＜B ＜2π，∴sinB=415.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π-2B. ∴sinA=sin(π-2B)=sin2B=2sinBcosB=815414152=⨯⨯. 方法归纳 在△ABC 中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C)，222CB A +-=π.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；2cot 2tan ;2sin 2cos ;2cos 2sinCB AC B A C B A +=+=+=. 任意变换A 、B 、C 的位置，以上关系式仍然成立. 例6 已知sin 22α+sin2αcosα-cos2α=1，α∈(0，2π)，求sinα、tanα的值. 思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α-1代入已知得4sin 2αcos 2α+2sinαcos 2α-2cos 2α=0，即2cos 2α(2sin 2α+sinα-1)=0，即2cos 2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.∵α∈(0，2π)，∴sinα+1≠0，cos 2α≠0. ∴2sinα-1=0，即sinα=21.又∵α∈(0,2π),∴α=6π.∴tanα=33.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).思路分析：本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10°、50°除了它们的和60°是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asinθ+bcosθ的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50°转化成(60°-10°)从同一角入手，也可以求值. 解：原式=sin(60°-10°)(1+3tan10°)=(23cos10°-21sin10°)(1+3tan10°) =23cos10°+23cos10°tan10°-21sin 10°-23sin10°tan10° =23cos10°+sin10°-23sin10°·tan10°=23(cos10°-︒︒10cos 10sin 2)+sin10° =︒︒︒+︒•=︒+︒︒•10cos 10cos 10sin 33220cos 2310sin 10cos 20cos 23 ︒︒+︒••=︒︒+︒•=10cos 20sin 2120cos 233322310cos 20sin 3320cos 23180sin 80sin 10cos 80sin 10cos 20sin 60cos 20cos 60sin =︒︒=︒︒=︒︒︒+︒︒=.巧解提示:原式=︒︒+︒•︒=︒︒+︒10cos )10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+︒︒︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2110cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin 40cos 2=︒︒=︒︒=︒︒︒=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法.对于形如1±sinα、1±cosα的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式. 例8 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值. 解：由于cos60°=21，所以原式=21cos20°cos40°cos80° ︒︒︒︒︒•=20sin 80cos 40cos 20cos 20sin 21 ︒︒︒•=︒︒︒︒•=20sin 80cos 80sin 8120sin 80cos 40cos 40sin 41 16120sin 160sin 161=︒︒•=. 方法归纳 对于可化为cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N 且n>1)的三角函数式，由于它们的角是以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解. 设M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°， N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°， 则MN=161sin40°·sin80°·sin120°·sin160° =161sin20°·sin40°·sin60°·sin80° =161N ，∴M=161,即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=161. 知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 证明：原式等价于1+sin4θ-cos4θ=αθ2tan 1tan 2-(1+sin4θ+cos4θ)， 即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ). ① 而①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)=θθ2cos 2sin(2cos 22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin 22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边. 所以①式成立，原式得证.例10 求证：︒=︒-︒10sin 3240cos 140sin 322.思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos 240°-sin 240°，按平方差公式展开得(3cos40°+sin40°)(3cos40°-sin40°)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简. 证明：左边=︒•︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒40cos 40sin )40sin 40cos 3)(40sin 40cos 3(40cos 40sin 40sin 40cos 3222222 2)40cos 40sin 2()40sin 2140cos 23(2)40sin 2140cos 23(24︒︒︒-︒⨯︒+︒⨯= ︒︒︒-︒︒︒︒+︒︒=80sin )40sin 60cos 40cos 60)(sin 40sin 60cos 40cos 60(sin 162︒︒-︒︒+︒=80sin )4060sin()4060sin(162︒=︒︒︒⨯=︒︒=︒︒︒=10sin 3210cos 10cos 10sin 21680sin 20sin 1680sin 20sin 100sin 162=右边， 所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11 已知3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：cos(α+2β)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(α+2β)的展开式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2β、sin2β这样的函数值.证明：由3sin 2α+2sin 2β=1，得1-2sin 2β=3sin 2α，∴cos2β=3sin 2α. 又∵sin2β=23sin2α， ∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin 2α-sinα·23sin2α=23sinαsin 2α-23sinαsin2α=0. 方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等. 问题•探究 材料信息探究问题 倍角和半角公式：sinα=2tan12tan22αα+，cosα=2tan12tan 122αα+-，tanα=2tan12tan 22αα-，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan2α来表示sinα、cosα和tanα的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tanα=2tan 12tan22αα-，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos 22α可得： 2tan 12tan22cos 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 222ααααααααα+=+==， 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos cos 22222222ααααααααα+-=+-=-=. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cosα或sin(α+β)的值，可以先设法求得tan2α或2tan βα+的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角α的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2α的有理式，这样就可以把问题转化为以tan 2α为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2α=t ，则sinα、cosα和tanα均可表达为关于t 的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如ta n15°+cot15°=tan15°+=︒+︒=︒15tan 115tan 15tan 12430sin 2115tan 15tan 222=︒=+︒︒，就较方便的解决了问题.再如求函数2sin cos +=x x y 的值域.令t x=2tan ，则t∈R ，利用万能公式有sinx=212t t +,cosx=2211t t +-，所以=+++-=21211222t t t t y 222221t t t ++-，由此可以建立关于t 的一次或二次函数(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.。
两角和与差的正弦.余弦.正切公式
探究:你能根据正切函数与正弦,余弦函数的关系，
从C ( ) , S( )出发，推导出用任意角，的
sin (这里有什么要求?) 提示：sin( ) tan tan( ) cos( cos ) k ( k Z ) 2
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
sin15 sin(60 45 )
知识归纳：
对于任意的角 ，
同名积，符号反
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)=sincos-cossin
sin cos( ) 2
sin cos cos sin
两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin (S(+))
( )] sin( ) cos[ 2 ) ] cos[(
1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15 tan 60 3 1 tan15 1 tan 45 tan15
小结
对于任意角， 都有
同名积，符 号反
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin cos cos sin cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos cos cos tan tan 1 tan tan
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3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
课标要求
1.熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.
2.熟记两角差的余弦公式,并能灵活运用.
重点难点
重点:两角差的余弦公式的推导及应用.
难点:两角差的余弦公式的推导.
两角差的余弦公式
cos(α-β)= ,可简记为C(α-β),其中α,β是任意角.
思考: (1)两角差的余弦公式是如何推导的?
(一是利用三角函数线,二是利用向量数量积)
(2)公式有何特点?
(公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是两组含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆)
题型一 运用公式化简求值
【例1】 化简求值:(1)cos 75°;
(2)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°;
(3)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.
名师导引:(2)(3)中所给式子不符合两角差的余弦公式,可先用诱导公式调整再计算.
题后反思 (1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差,正用公式直接求值.
(2)在转化过程中,可利用诱导公式调整角和函数名称构造公式的结构形式然后逆用公式求值. 跟踪训练11:cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°的值为( )
(A)12 (C)-12 题型二 条件求值
【例2】 已知α,β∈（
3π4,π）,sin(α+β)=-35, sin （β-π4）=1213
,求cos （α+π4）的值. 题后反思 (1)求解给值求值型问题,一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值.注意根据角的终边所在的象限确定符号.
(2)注意角的配凑:如(α+β)-α=β,(α+β)-β=α,(2α+β)-α=α+β,(α+2β)-β=α+β等.
跟踪训练21:(2014牡丹江一中期末)若α,β均为锐角,sin(α+β)=3
5
,则cos β=()
【例1】求cos 31π
12
+cos
25π
12
的值.
【例2】已知sin α+sin β,求(cos α+cos β)2的取值范围. 达标检测——反馈矫正及时总结
1.cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°等于(C)
(A)cos 100°(B)sin 100°(D)1 2
2.已知锐角α、β满足cos α=3
5
,cos(α+β)=-
5
13
,则cos β等于(A)
(A) 33
65
(B)-
33
65
(C)
54
75
(D)-
54
75
3.sin 75°=.
4.°+1
2
sin 75°= .
课堂小结
1.利用向量数量积、推导两角差的余弦公式.
2.利用两角差的余弦公式可实现给式求值或给值求值问题,求解关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式.同时注意公式的正用和逆用及拆角、拼角等技巧.
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式.
2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.
3.能灵活运用公式进行化简和求值.
重点:(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.(2)利用公式进行化简和求值.
难点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形用.
1.两角和的余弦公式
cos(α+β)=,简记为C(α+β).
思考1: C(α±β)公式有什么共同特征?(余弦在前,正弦在后,符号改变)
2.两角和与差的正弦公式
S(α+β):sin(α+β)=; S(α-β):sin(α-β)=.
思考2: S(α±β)有何特征?(异名乘,符号同)
拓展提升:辅角公式
ϕ)（其中tan ϕ=b
a,
ϕ为辅助角）;
ϕ)（其中tan ϕ=
a
b,
ϕ为辅助角）.
3.两角和与差的正切公式
T(α+β):tan(α+β)=
tan tan
1tan tan
αβ
αβ
+
-
;T(α-β):tan(α-β)=
tan tan
1tan tan
αβ
αβ
-
+
.
思考3:使用T(α±β)的条件是什么?
(公式T(α±β)只有在α≠
π
2
+k1π,β≠
π
2
+k2π,α±β≠
π
2
+k3π(k1,k2,k3∈Z)时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的)
题型一三角函数式的化简求值
【例1】(1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;
(3)sin
π
12
cos
π
12
;(4)
1tan75
1tan75
+
-
.
名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.
(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式
求解.
(3)提取2后将
1
2
,逆用公式求解.
(4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.
题后反思三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tan
π
4
”、“”与“tan π
3
”、“1
2
”与“cos π
3
”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)
cos(θ+15°)的值;
(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.
题型二三角函数的条件求值
【例2】已知
π
2
<β<α<
3
4
π,cos(α-β)= 12
13
,sin(α+β)=-
3
5
,求cos 2α的值.
名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);
(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式
求解.
题后反思(1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑
角、合理地选用公式.
(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.
跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan （
π4+α）=2,tan(α-β)= 12,α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）. (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα
+的值;(3)求2α-β的值. 题型三 辅角公式的应用
【例3】 当函数取得最大值时,x= .
题后反思 辅角公式ϕ)
(或ϕ))可以将形如
asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.
跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos （x+
π6）的值域为( B )
](C)[-1,1] ] 【例1】 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ
的值.
【例2】 已知α,β都是锐角,且,sin β=12,求α-β的值. 达标检测——反馈矫正 及时总结 .(2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于( D )
(A)12 (B)-12 2.已知α是锐角,sin α=35,则cos （π4+α）等于( B )
(D) 3.sin 255°= . 4.1tan12tan72tan12tan72
--= . 5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值.
1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成两角和差公式的特例.
2.利用两角和与差的正、余弦、正切公式解决问题时常用到方程思想和整体思想.求解时注意角的变换,根据角的差异及式子的差异选择恰当公式,找准解题思路和方法.
3.求值时注意角的范围引起的三角函数值符号的变化.。