九年级数学学案 24 - 成长博客CERSP BLOG教
九年级数学上册 24 一元二次方程教学案 (新版)冀教版
第二十四章一元二次方程1.经历从实际问题出发建立一元二次方程的过程,体会方程是刻画现实世界中数量关系的重要模型,进一步发展符号感.2.了解一元二次方程及方程的解的概念,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系.5.在了解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想.6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程并求得结果,能根据具体的问题的实际意义检验结果的合理性.1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.2.通过对一元二次方程解法的探究,培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.3.通过列一元二次方程解应用题,进一步培养学生建立数学模型的能力,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.1.通过学习一元二次方程的概念,体会类比思想在数学中的应用.2.通过学习配方法、因式分解法解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题中的应用,同时体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.3.通过对求根公式的推导,向学生渗透数学中的分类思想.4.体会数学来源于生活,又应用到生活,由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法,培养学生应用数学解决问题的意识.方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,它是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程(组)、不等式知识的后继学习,它和学习一元一次方程、二元一次方程组一样,也可以表达许多实际问题中的数量关系,是分析和解决许多实际问题的重要的数学模型之一.本章在初中代数中起着承前启后的作用,一方面对以前学过的一些内容进行综合应用,如探究解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知识都有应用,另一方面,一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展,是学好二次函数不可缺少的知识,也是学好高中数学的奠基工程.本章主要让学生进一步体会在实际问题中建立方程模型,一元二次方程的概念、基本解法及应用都是重要的基础知识,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程求解,蕴含了重要的数学思想和数学方法,其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,进而探究出根与系数之间的关系.本章内容自始至终置于实际情景中,使学生充分感受和经历在实际问题中抽象出数学模型,体会方程是刻画现实世界的一个有效模型,体会数学在实际中的应用价值.通过学习本章内容进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力,培养应用数学的意识.【重点】1.一元二次方程及其有关概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.能应用根的判别式、根与系数之间的关系解决有关问题.4.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程.2.选择合适的方法解一元二次方程.3.在实际问题中寻求等量关系,从而抽象出一元二次方程数学模型.1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实际问题,可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系,所以从实际问题抽象出一元二次方程的有关概念及数学符号表示,学生用类比思想理解并掌握一元二次方程、解的概念及一般形式.2.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,即把方程转化为两个一元一次方程,教材由实际背景引入,建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法,转化为一元一次方程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具,引导学生用配方法导出求根公式,从而体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底.3.一元二次方程根的判别式的学习,使学生理解一元二次方程根的存在情况与系数之间的关系.探究一元二次方程根与系数的关系,不仅为了一元二次方程理论的完整性,更重要的是初高中的衔接问题,通过这节课的学习,培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力.4.数学来源于生活,并应用于生活中,数学与生活息息相关,应用一元二次方程解决实际问题,引导学生分析其中的已知量、未知量和等量关系,建立一元二次模型,得出方程的解,并检验所得的结果是否符合实际,得出具有一般意义的一元二次方程的解法,让学生经历“问题情景—建立模型—求解验证”的数学活动过程,培养学生建模思想,逐步形成应用意识.24.1一元二次方程1课时24.2解一元二次方程3课时24.3一元二次方程根与系数的关系*1课时24.4一元二次方程的应用3课时回顾与反思1课时24.1一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P34~35.导入一:【课件展示】教材章前图,请同学们阅读章前问题,并回答下列问题:一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1 m吗?你能列方程解决这个问题吗?学生分析等量关系:A'B'2=A'C2+B'C2.设梯子的底端在地面上滑动的距离x m,于是得方程102=(8-1)2+(6+x)2.整理得x2+12x-15=0.【问题】这个方程是不是我们前边学过的方程?导入二:【课件展示】观察下列方程:(1)3x-2=0,(2)x2+2x-3=0,(3)x+=0,(4)x2-5=0.哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同?【师生活动】复习方程、一元一次方程及方程的解的概念.【学生活动】小组合作交流,观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.[设计意图]让学生在实际问题中建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,通过复习一元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.[过渡语]方程是一类重要的数学模型,在现实生活中具有广泛的应用.在学习了一元一次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上,现在我们来学习一元二次方程.共同探究一教材中观察与思考中的实际问题,设未知数,建立方程模型【课件展示】如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.思路一教师引导学生思考并回答:长方形存车处的长与宽之间的数量关系为,该问题中的等量关系为.(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为m,长方形存车处的面积为.由此,我们可以列出方程,化简得.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为m,长方形存车处的面积为.由此,我们可以列出方程,化简得.【师生活动】教师引导分析,学生回答,通过所设未知数,根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,整理所列出的方程.【课件展示】解:(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为m.根据题意,可得方程·x=700.整理,得x2-90x+1400=0.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x)m.根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.整理,得x2-45x+350=0.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题:(1)分析题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?(4)分析下面小明和小亮列方程的做法,他们的解题思路和所列方程是否正确?【课件展示】小明的做法:设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为m.根据题意,可得方程·x=700.整理,得x2-90x+1400=0.小亮的做法:设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x)m.根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.整理,得x2-45x+350=0.【师生活动】教师先出示问题(1)~(3),学生讨论交流后出示问题(4),学生再进行交流.教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示结果,教师及时补充和点评.[设计意图]师生共同分析探讨实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时提高学生建立方程模型解决生活中实际问题的能力.共同探究二共同归纳概念请口答下面问题.(1)上面方程整理后含有几个未知数?(2)上面方程中未知数x的最高次数是几次?(3)方程两边都是整式吗?(4)你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的定义吗?【学生活动】小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.老师点评归纳:一元二次方程满足三个条件:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次;(3)方程两边都是整式.【课件展示】只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程.[设计意图]学生通过合作交流,类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义,体会类比思想在数学中的应用,同时培养学生归纳总结能力及合作交流能力.【课件展示】请抢答下列各式是否为一元二次方程:(1)2x2=9;(2)2x2-1=3y;(3)4x2+3=2x;(5)5x2-2x+3;(6)2x(x+2)=5x-2;(7)3x(x-1)=3x2-5.【师生活动】学生以抢答的形式来完成该题,并让学生说出判断理由.教师对学生给出的答案作出点评和归纳,并让学生归纳判断易错点——先化简再判断.[设计意图]通过抢答进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,同时提高学生学习数学的兴趣和积极性.共同探究三一元二次方程的一般形式【思考1】类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?【课件展示】一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.【思考2】(1)任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式?(2)一元二次方程的二次项系数为什么不能为0?(任何一个一元二次方程都能化成一般形式;当一元二次方程的二次项系数a=0,b≠0时,方程为一元一次方程)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.[设计意图]通过概括一元二次方程的一般形式,让学生理解掌握数学符号语言在数学中的应用,更深入地理解一元二次方程的概念,同时强调了一元二次方程概念中的易错点.【课件展示】将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=3(x+4);(2)(2x-3)(3x-2)=10;(3)·=7;(4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2.〔解析〕一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,通过去分母、去括号、移项、合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理,再根据有关概念求解.解:(1)原方程可化为:4x2-3x-12=0.其中二次项系数为4,一次项系数为-3,常数项为-12.(2)原方程可化为:6x2-13x-4=0.其中二次项系数为6,一次项系数为-13,常数项为-4.(3)原方程可化为:2x2+x-48=0.其中二次项系数为2,一次项系数为1,常数项为-48.(4)原方程可化为:5x2+6x+2=0.其中二次项系数为5,一次项系数为6,常数项为2.追问:求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么?(一是先化简成一般形式;二是书写系数时不要遗漏前边的符号)【师生活动】学生独立思考回答,教师进行点评归纳.[设计意图]通过做一做,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,先化成一元二次方程一般形式再求解,加深对一元二次方程一般形式的理解.共同探究四一元二次方程的根【思考】1.什么是一元二次方程的解?(使一元二次方程两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解)板书:一元二次方程的解也叫做这个方程的根.2.如何判定一个数值是不是一元二次方程的根?(将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根)【课件展示】做一做:在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根?(1)x2-3x-4=0(x=0,x=-1,x=4);(2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4);(3)2y2-y-1=0.【师生活动】学生独立完成并回答,教师点评.[设计意图]通过做一做让学生真正理解和掌握一元二次方程的根的概念.[知识拓展]1.判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.2.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式.3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且都包括前边的符号.4.判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法:将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根.5.如果已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值,整体思想是常用的数学思想.1.一元二次方程概念需要满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调a≠0.3.确定一元二次方程的项与系数时一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号.4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.5.根据实际问题列一元二次方程的关键是读懂题意,找到题目中的等量关系.6.本节课用到了类比思想、整体思想解决数学问题.1.在下列方程中,一元二次方程的个数是()①2x2+5=0;②ax2+bx+c=0;③(x-1)(x+2)=x2-1;④3x2-=0;⑤x2-1=x.A.2个B.3个C.4个D.5个解析:一元二次方程必须满足三个条件:(1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程,同时注意二次项系数不为0.①④⑤满足条件,②中二次项系数可能为0,③化简后不含有二次项,不符合定义.故选B.2.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是()A.7x2,2x,0B.7x2,-2x,无常数项C.7x2,0,2xD.7x2,-2x,0解析:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ax2是二次项,bx是一次项,c是常数项.所以该方程中二次项、一次项、常数项依次是7x2,-2x,0.故选D.3.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是()A.-3B.3C.0D.0或3解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故选A.4.若(m-2)=-3是一元二次方程,则m=.解析:根据一元二次方程的概念知未知数x的最高次数是2,且二次项系数不为0,得m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2.5.根据题意填空.(1)如果两个连续奇数的积是323,求这两个数,如果设其中较小的一个奇数为x,你能列出求解x的方程吗?,一般形式为.(2)如图所示,在宽为20 m,长30 m的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为500 m2,若设路宽为x m,则可列方程为,一般形式为.解析:(1)根据两个奇数的积是323,列方程,得x(x+2)=323,化简,得x2+2x-323=0;(2)将两条道路平移到矩形的边上,矩形的长为(30-x)m,宽为(20-x)m,根据余下的耕地面积为500 m2,列方程,得(20-x)(30-x)=500,化简,得x2-50x+100=0.答案:(1)x(x+2)=323x2+2x-323=0(2)(20-x)(30-x)=500x2-50x+100=024.1一元二次方程共同探究一教材中观察与思考中的实际问题,设未知数,建立方程模型共同探究二共同归纳概念共同探究三一元二次方程的一般形式共同探究四一元二次方程的根一、教材作业【必做题】教材第36页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第36页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列方程为一元二次方程的是()A.1-x2=0B.2(x2-1)=3yC.-=0D.(x-3)2=(x+3)22.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根,则等于()A.1B.-1C.0D.23.关于x的方程x m-3-2x+1=0是一元二次方程,则m=.4.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值为.5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是.6.如图所示,某小区规划在一个长30 m,宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为x m,由题意列方程得.7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数.(1)(2x-1)2=7;(2)3x2+5(2x+1)=0.【能力提升】8.若关于x的方程(k2-4)x2+x+5=0是一元二次方程,则k的取值范围是.9.已知x=2是关于x的方程x2-2a=0的一个解,则一次函数y=ax-1的图像不经过第象限.10.(2015·菏泽中考)已知m是方程x2-x-1=0的一个根,求m(m+1)2-m2(m+3)+4的值.【拓展探究】11.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.【答案与解析】1.A(解析:B中含有两个未知数,C中方程不是整式方程,D中方程化简后不含有x的二次项,只有A符合一元二次方程定义.故选A.)2.A(解析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0,∴a+c=b,∴ = =1,故选A.)3.5(解析:根据一元二次方程的定义可得m-3=2,解得m=5,故填5.)4.-1(解析:由题意得所以m=-1,故填-1.)5.1(解析:把x=1代入方程可得1+a+b=0,∴a+b=-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1,故填1.)6.(30-2x)(20-x)=6×78(解析:设道路的宽为x m,将6块草地平移为一个长方形,长为(30-2x) m,宽为(20-x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30-2x)(20-x)=6×78.)7.解:(1)2x2-2x-3=0,二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为-3. (2)3x2+10x+5=0,二次项系数为3,一次项系数为10,常数项为5.8.k≥1且k≠2(解析:一元二次方程满足二次项系数不为0,该题易忽略考虑二次根式的被开方数为非负值.)9.二(解析:把x=2代入方程可得a=3,所以一次函数为y=3x-1,函数图像过第一、三、四象限,故填二.)10.解:∵m是方程x2-x-1=0的一个根,∴m2-m=1,∴m(m+1)2-m2(m+3)+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4=-1+4=3.11.解:(1)由题意得即m=1时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程-2x+1=0. (2)由题意得m2-1≠0,即m≠±1时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m.因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,教学中力求体现“问题情景——数学模型——概念归纳”的模式.类比一元一次方程的有关概念,通过自主学习、小组交流、共同归纳、练习检测等环节让学生在愉悦的课堂上掌握了本节课的重点,学生在课堂中发挥主体作用,让数学课堂有了生命力,在本节课,大多数学生能体验成功的快乐,激发了学生学习兴趣.在练习中学生经历由浅入深,由易到难的过程,提高了学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透了数学建模思想、整体思想在数学中的应用,使学生的数学思维和数学能力得到提高.在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,有些问题教师引导不到位,比如实际问题中建立数学模型时,通过题意不能找到等量关系时,没有很好地帮助学生提高分析问题的能力.本节课虽采取了学生自主学习、共同探究的方法,但是还是没有放开手脚,教师还是急于解决下边的问题,给学生思考、交流的时间还不是很充足,应该把课堂大胆交给学生,让学生亲身经历知识形成过程,加深对知识的理解和掌握.本章内容的难点为一元二次方程的应用,在引出一元二次方程的有关概念时,通过创设实际情景,建立一元二次方程的模型,通过观察方程特点,类比一元一次方程的有关概念得出新概念,学生在实际问题中建立数学模型时,教师应给足够的时间交流、探究.在学习一元二次方程概念时,大胆放手,让学生通过自主学习,理解掌握有关概念,体会类比思想在数学中的应用,真正让学生在课堂上动起来.练习(教材第35页)1.解:(1)是,二次项系数为2;一次项系数为1;常数项为-1. (2)不是. (3)是,二次项系数为3;一次项系数为0;常数项为-12. (4)是,二次项系数为1;一次项系数为-2;常数项为-1.2.解:根据题意,得(40-4x)(60-2x)=800.习题(教材第36页)A组1.解:如下表所示:题号一般形式二次项一次项常数项(1)x2-121=0x20-121(2)x2-2x-11=0x2-2x-11(3)x2-x-2=0x2-x-26x2-7x-21=(4)6x2-7x-212.解:设小亮为x岁,则小丽为(x+1)岁,可列方程x(x+1)=210;设小丽为x岁,则小亮为(x-1)岁,可列方程x(x-1)=210.化简两个方程,得x2+x-210=0,x2-x-210=0,都是一元二次方程.3.解:因为直角三角形的三条边长是三个连续整数,所以两条直角边长分别为x-1,x-2.根据题意,得(x-2)2+(x-1)2=x2,整理,得x2-6x+5=0.B组1.解:当a-1≠0,即a≠1时,该方程为关于x的一元二次方程.2.解:当v0=25 m/s,g=10 m/s2,h=20 m时,可得关于t的方程20=25t-×10t2,即20=25t-5t2,整理得t2-5t+4=0.建立数学模型,类比归纳概念1.一元二次方程是初中数学的重要模型,它与生活实际息息相关,所以以生活实际问题为背景导入新课,体会数学来源于生活,又应用到生活中去,激发学生学习兴趣.通过分析生活实际问题中的等量关系,构建方程模型,通过观察所得方程,很自然引出了本节课的课题即本节课的重点.2.类比方法是数学中重要的方法,所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念,让学生通过自主学习、小组交流方式探究新知识,重难点基本能够解决,教师适时点拨即可让学生掌握重难点.3.本节课重难点、易错点的掌握通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞争意识,激发学习兴趣,教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.整体思想及学过的知识与本节课的重点结合成为了本节课的一个难点,在习题的设计上要难易适中,有适当的梯度,尊重学生差异,对有困难的学生多关注,培养学生综合能力的提升.已知α是方程x2-2016x+1=0的一个根,试求α2-2015α+的值.〔解析〕因为α是方程x2-2016x+1=0的一个根,所以α2-2016α+1=0,即α2-2016α=-1,α2+1=2016α,将所求代数式化简,整体代入法可求代数式的值.注意化简时转化成与α2-2016α,α2+1有关的代数式.解:由题意可得α2-2016α+1=0,∴α2-2016α=-1,α2+1=2016α,∴α2-2015α+=α2-2016α+α+。
九年级数学《第24章回顾与思考》教案(2)
九年级数学《第24章回顾与思考》教案（2）教学目标(一)教学知识点1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．2．了解切线的概念，切线的性质及判定．3．会过圆上一点画圆的切线．(二)能力训练要求1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．(三)情感与价值观要求1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．教学难点：探索各种位置关系及切线的性质．教学过程Ⅰ．回顾本章内容[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．Ⅱ．具体内容巩固一、确定圆的条件[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．经过两点也可以作无数个圆．设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B 的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．经过在同一直线上的三点不能作圆．经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB 的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．例题讲解(投影片A)矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？[师]请大家互相交流．[生]解：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD．∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．二、三种位置关系[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．1．点和圆的位置关系[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．[师]总结得不错，下面看具体的例子．(投影片B)1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 m．在直线l上有P、Q、R 三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？2．菱形各边的中点在同一个圆上吗？分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径．[生]1．解：如图(1)，在Rt△OPD中，∵OD＝3，PD＝4，∴OP222234O D P D++5＝r．所以点P在圆上．同理可知OR＝22O D D R+＜5，OQ＝22O D D Q+5．所以点R在圆内，点Q在圆外．2．如图(2)，菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是各边的中点．因为菱形的对角线互相垂直，所以△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF、OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有OE＝12AB，OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12AD，而AB＝BC＝CD＝DA．所以OE＝OF＝OG＝OH．即各中点E、F、G、H到对角线的交点O的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上．2．直线和圆的位置关系[生]直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线和圆相离．[师]总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？[生]有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线的距离d与半径的大小．当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离．[师]很好，下面我们做一个练习．(投影片C)如图，点A的坐标是(－4，3)，以点A为圆心，4为半径作圆，则⊙A与x轴、y轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断⊙A与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r较．O是点，⊙A与原点即是求点和圆的位置关系，通过求OA与r作比较即可．[生]解：∵A点的坐标是(－4，3)，∴A点到x轴、y轴的距离分别是3和4．又因为⊙A的半径为4，∴A点到x轴的距离小于半径，到y轴的距离等于半径．∴⊙A与x轴、y轴的位置关系分别为相交、相切．由勾股定理可求出OA的距离等于5，因为OA＞4，所以点O在圆外．[师]上面我们讨论了直线和圆的三种位置关系，下面我们要对相切这种位置关系进行深层次的研究，即切线的性质和判定．[生]切线的性质是：圆的切线垂直于过切点的直径．切线的判定是：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．[师]下面我们看它们的应用．(投影片D)1．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，求AD 的长．2．如图(2)，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，∠CAE ＝∠B ，你认为AE 与⊙O 相切吗？为什么？分析：1．由⊙O 与AC 相切可知OE ⊥AC ，又∠C ＝90°，所以△AOE ∽△ABC ，则对应边成比例，O AO EB A BC =．求出半径和OA 后，由OA －OD ＝AD ，就求出了AD ．2．根据切线的判定，要求AE 与⊙O 相切，需求∠BAE ＝90°，由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，则∠BAC ＋∠B ＝90°，所以∠CAE ＋∠BAC ＝90°，即∠BAE ＝90°．[师]请大家按照我们刚才的分析写出步骤．[生]1．解：∵∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，∴由勾股定理得AB ＝15．∵⊙O 切AC 于点E ，连接OE ，∴OE ⊥AC ．∴OE ∥BC ．∴△OAE ∽△BAC ． ∴O AO EA B B C =，即A B O E O EA B B C-=．∴15159O E O E -=．∴OE ＝458 ∴AD ＝AB －2OD ＝AB －2OE ＝15－458×2＝154．2．解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．∴∠CAB ＋∠B ＝90°．∴∠CAE ＝∠B ， ∴∠CAB ＋∠CAE ＝90°，即BA ⊥AE ．∵BA 为⊙O 的直径，∴AE 与⊙O 相切．3．圆和圆的位置关系[师]还是请大家先总结内容，再进行练习．[生]圆和圆的位置关系有三大类，即相离、相切、相交，其中相离包括外离和内含，相切包括外切和内切，因此也可以说圆和圆的位置关系有五种，即外离、外切、相交、内切、内含．[师]那么应根据什么条件来判断它们之间的关系呢？[生]判断圆和圆的位置关系；是根据公共点的个数以及一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来判断．当两个圆没有公共点时有两种情况，即外离和内含两种位置关系．当每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外离；当其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内含．当两个圆有唯一公共点时，有外切和内切两种位置关系，当除公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时是外切；当除公共点外，其中一个圆上的点都在另一个圆的内部时是内切．两个圆有两个公共点时，一个圆上的点有的在另一个圆的内部，有的在另一个圆的外部时是相交．两圆相交只要有两个公共点就可判定它们的位置关系是相交．[师]只有这一种判定方法吗？[生]还有用圆心距d和两圆的半径R、r之间的关系能判断外切和内切两种位置关系，当d＝R＋r时是外切，当d＝R－r(R＞r)时是内切．[师]下面我们还可以用d与R，r的关系来讨论出另外三种两圆的位置关系，大家分别画出外离、内含和相交这三种位置关系．探索它们之间的关系，它们的关系可能是存在相等关系，也有可能是存在不等关系．(让学生探索)大家得出结论了吗？是不是这样的．当d＞R＋r时，两圆外离；当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交；当d＜R－r(R＞r)时，两圆内含．(投影片E)设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，在下列情况下，⊙O1和⊙O2的位置关系怎样？①R＝6cm，r＝3cm，d＝4cm；②R＝6cm，r＝3cm，d＝0；③R＝3cm，r＝7cm，d＝4cm；④R＝1cm，r＝6cm，d＝7cm；⑤R＝6cm，r＝3cm，d＝10cm；⑥R＝5cm，r＝3cm，d＝3cm；⑦R＝3cm，r＝5cm，d＝1cm．[生](1)∵R－r＝3cm＜4cm＜R＋r＝9cm，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交；(2)∵d＜R－r，∴两圆的位置关系是内含；(3)∵d＝r－R，∴两圆的位置关系是内切；(4)∵d＝R＋r，∴两圆的位置关系是外切；(5)∵d＞R＋r，∴两圆的位置关系是外离；(6)∵R－r＜d＜R＋r，∴两圆的位置关系是相交；(7)∵d＜r－R，∴两圆的位置关系是内含．三、有关外接圆和内切圆的定义及画法[生]过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．和三角形三边都相切的圆；叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心．因此，作三角形的内切圆时，只要作两条角平分线就找到了圆心，以这点与任一边之间的距离为半径，就可作出三角形的内切圆．Ⅲ．课堂练习1．画三个半径分别为2cm、2.5cm、4cm的圆，使它他们两两外切．2．两个同心圆中，大圆的弦AB和AC分别和小圆相切于点D和E，则DE与BC的位置关系怎样？DE与BC之间有怎样的数量关系？(DE 12 BC)Ⅳ．课时小结：本节课巩固了如何确定圆；点和圆、直线和圆、圆和圆之间的位置关系；如何作三角形的外接圆和内切圆．Ⅴ．课后作业：复习题 B组Ⅵ．活动与探究如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，求图中阴影部分的面积．分析：根据图形，阴影部分的面积等于三角形ABC的面积与⊙O的面积差，由勾股定理可求出直角边BC的长度，则能求出S△ABC，要求圆的面积，则需求⊙O 的半径OD或OE、OF．连接OA、OB、OC，则把△ABC分成三个三角形，即△OAB，△OBC、△OCA，则有S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，从中可求出半径．解：如图连接OA、OB、OC，则△ABC分成三个三角形，△OAB、△OBC、△OCA，OE、OF、OD分别是三角形各边上过切点的半径．∴S△OAB＝12AB·OF，S△OBC＝12BC·OD，S△OCA＝12CA·OE．∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA，∴12AC·BC＝12AB·OF＋12BC·OD＋12CA·OE．∵OD＝OE＝OF，∴AC·BC＝(AB＋BC＋CA)·OD．在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝12，由勾股定理得BC＝5．∴12×5＝(12＋13＋5)·OD．∴OD＝2．∴S阴影＝S△ABC－S⊙O＝12×12×5－π·22＝30－4π．。
人教版九年级数学上册第24章第24.1.4圆周角(教案)
a.在证明圆周角定理时，学生可能难以理解为什么通过等腰三角形的性质可以推导出圆周角定理。此时，教师应通过动画或实物模型，逐步展示证明过程，强调每一步的合理性。
b.对于圆周角定理的应用，学生可能在面对复杂问题时不知如何下手。教师应提供多个示例，包括简单和复杂的问题，引导学生如何从问题中提取关键信息，运用圆周角定理进行解答。
4.圆周角的应用：解决实际问题，如测量圆形物体的直径或周长等。
本节课将围绕以上内容展开教学，帮助学生掌握圆周角的概念、定理及在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过圆周角定理的推导与应用，使学生掌握逻辑推理的方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化空间观念：借助圆周角与圆的相关性质，帮助学生建立空间观念，理解几何图形之间的关系。
2.教学难点
-圆周角定理的证明：理解证明过程中的每一步逻辑推理，特别是如何利用等腰三角形的性质和圆的性质来证明圆周角定理。
-圆周角的应用：在实际问题中，如何正确识别和应用圆周角定理，特别是涉及多步骤计算的问题。
-空间观念的建立：对于一些空间想象能力较弱的学生，理解圆周角与圆上其他元素的关系可能存在困难。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是圆上任意两点与圆心所构成的角。它在几何学中有着重要作用，可以帮助我们解决与圆相关的问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析圆周角定理在实际中的应用，展示如何利用圆周角解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的定义和圆周角定理这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理的证明，我会通过举例和逐步推导来帮助大家理解。
三、教学难点与重点
九年级数学人教版上册第24单元复习 教学设计 教案
第24单元圆复习教案一、教学目标(一)知识与技能：复习本章的重点内容，整理本章知识，形成知识体系，体会利用圆的知识综合解决问题的思路和方法.(二)过程与方法：经历系统地归纳总结本章的知识内容，学会整理归纳知识的方法，使其条理化、系统化.(三)情感态度与价值观：通过师生共同活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感.二、教学重点、难点重点：垂径定理、圆周角定理、切线的性质和判定.难点：综合运用所学知识解决问题.三、教学过程知识梳理一、与圆有关的概念1.圆：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.2.弦：连接圆上任意两点的线段.3.直径：经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.4.劣弧：小于半圆周的圆弧.5.优弧：大于半圆周的圆弧.6.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.7.圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交.8.圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交.9.外接圆、内接正多边形：将一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.10.三角形的外接圆外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.11.三角形的内切圆内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的内心.12.正多边形的相关概念正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.二、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r.2.直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r.三、圆的基本性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.2.有关圆心角、弧、弦的性质在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四、圆的有关定理及其推论1.垂径定理(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.2.圆周角定理(1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等.(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.(4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.3.与切线相关的定理(1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.(3)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.五、圆的有关计算1.弧长公式180R n l π= 2.扇形面积公式S 扇形=3602R n π或S 扇形=lR 21 3.弓形面积公式：弓形面积＝扇形面积±三角形的面积4.圆锥的侧面积(1)圆锥的侧面展开图是一个扇形.(2)如果圆锥母线长为l ，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .(3)圆锥的侧面积为πrl .(4)圆锥的全面积为πr 2+πrl .5.圆内接正多边形的计算正n 边形的中心角：n360 设正多边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r .2222R r a =+⎪⎭⎫ ⎝⎛，周长：l =na ，面积：S=21lr 考点讲练考点一 圆周角定理例1 在图1中，BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，若∠D ＝36°，则∠BAD 的度数是( )A.72°B.54°C.45°D.36°图1 图2 图3针对训练1.如图2，四边形ABCD 为⊙O 的内接正方形，点P 为劣弧BC 上的任意一点(不与B ，C 重合)，则∠BPC 的度数是_____.2.如图3，线段AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于____.考点二 垂径定理例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为____mm.例3 △ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，⊙O 的半径为2，O 到BC 的距离为1.(1)求BC 的长；(2)求∠BAC 的度数.解：(1)①当△ABC 为锐角三角形时，如图1所示.过A 作AD ⊥BC ，由题意得到AD 过圆心O ，连接OB.∵ OD=1，OB=2∴ 在R t △OBD 中，由勾股定理得：322=-=OD OB BD∴ BC=2BD=32②当△ABC 为钝角三角形时，如图2所示.过A 作AD ⊥BC ，由题意得到AD 延长线过圆心O ，连接OB.∵ OD=1，OB=2∴ 在R t △OBD 中，由勾股定理得：322=-=OD OB BD∴ BC=2BD=32故综合①②，BC 的长为32.(2)图1中，∵ OD=1，OB=2，∴ ∠OBD=30°∴ ∠BOD=60°，∴ ∠BAD=30°，∴ ∠BAC=2∠BAD=60°图2中，∵ OD=1，OB=2，∴ ∠OBD=30°∴ ∠BOD=60°，∴ ∠BAD=60°∴∠BAC=2∠BAD=120°故∠BAC的度数为60°或120°.针对训练3.如图1，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AC，BC，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的长度等于_____.4.如图2，AB是⊙O的直径，且AB＝2，C，D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96°和36°，动点P是AB上的任意一点，则PC＋PD的最小值是_____.图1 图2考点三与圆有关的位置关系例4 如图，O为正方形对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.(1)求证：CD与⊙O相切；(2)若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径.(1)证明：过点O作ON⊥CD于N，连接OM.∵BC与⊙O相切于点M，∴OM⊥BC∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上∴AC是∠BCD的角平分线∴ON=OM∴CD与⊙O相切(2)解：∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=2设⊙O的半径为r，则OC=2-r又易知△OMC是等腰直角三角形∴由勾股定理得r2+r2=(2-r)2解得r1=2-2，r2=-2-2(舍去)∴⊙O的半径为2-2方法总结1.证切线时添加辅助线的解题方法有两种：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.2.设未知数，通常利用勾股定理建立方程.针对训练5.⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是( )A.点A在⊙O内部B.点A在⊙O上C.点A在⊙O外部D.点A不在⊙O上6.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么_______秒钟后⊙P与直线CD相切.7.如图，⊙O的弦AD＝4，BD＝8，AD⊥BD，C是BD延长线上一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线.证明：连接AB∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°∴AB为⊙O的直径在R t△ACD和R t△ABD中，由勾股定理得：AC2=CD2+AD2=22+42=20AB2=BD2+AD2=82+42=80∵BC2=(CD+BD)2=(2+8)2=100∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°∴ AC 是⊙O 的切线考点四 圆中的计算问题例5 如图所示，⊙O 的内接正方形ABCD 内有一条折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，已知AE ＝6，EF ＝8，FC ＝10，求图中阴影部分的面积.解：延长AE 与⊙O 相交于点G ，连接CG ，AC.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠B=90°∴ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠G=90°∵ AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，∴ ∠FEG=∠F=∠G=90°∴ 四边形EFCG 是矩形，∴ EG=FC=10，CG=EF=8∴ AG=AE+EG=6+10=16由勾股定理得：588162222=+=+=CG AG AC∴ ⊙O 的半径为54∴ S 阴影=S ⊙O -S 正方形ABCD=π•(54)2- 21•(58)2 =80π-160针对训练 8.(1)一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为______.(2)若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_______.9.如图，已知C ，D 是以AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径OA ＝6，∠COD ＝120°，则图中阴影部分的面积等于______.能力提升10.如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3.点E 是CD 上的动点，以AE 为直径的⊙O 与AB 交于点F ，过点F 作FG ⊥BE 于点G.(1)若E 是CD 的中点时，求证：FG 是⊙O 的切线.(2)试探究：BE能否与⊙O相切？若能，求出此时DE的长；若不能，请说明理由.(1)证明：连接OF、EF∵AE是⊙O的直径，∴∠AFE=90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，AB=CD∴四边形ADEF是矩形，∴AF=DE∴AB-AF=CD-DE，即CE=BF∵E是CD的中点，∴F是AB的中点∴OF是△ABE的中位线∴OF∥BE∵FG⊥BE∴FG⊥OF∴FG是⊙O的切线(2)解：若BE能与⊙O相切∵AE是⊙O的直径∴AE⊥BE，即∠AEB=90°设DE=x，则EC=5-x由勾股定理得：AE2+BE2=AB2即(9+x2)+[(5-x)2+9]=25整理得x2-5x+9=0∵b2-4ac=25-36=-11<0∴该方程无实数根∴点E不存在，BE不能与⊙O相切.。
人教版九年级数学上册教学设计：24
2.方法总结：
a.直观观察：观察点与圆的位置关系。
b.坐标系法：利用坐标系和点到圆心的距离判断位置关系。
c.小组合作：通过讨论交流，共同攻克难点。
3.情感态度与价值观：
a.培养学生的观察能力，激发学习兴趣。
b.培养学生的合作意识，提高沟通能力。
2.学生思考：让学生在纸上画出一个圆，并在圆内、圆上、圆外各标一个点，观察这些点与圆的位置关系。
3.导入新课：根据学生的观察，总结出点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
（二）讲授新知
1.知识讲解：
a.点在圆内：点到圆心的距离小于圆的半径。
b.点在圆上：点到圆心的距离等于圆的半径。
c.点在圆外：点到圆心的距离大于圆的半径。
1.激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极主动参与课堂活动的态度，增强学生的自信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成良好的学习习惯，为终身学习打下基础。
3.引导学生体会数学在生活中的应用，认识到数学与现实生活的密切联系，培养学生的应用意识和创新精神。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，引导学生主动探究、合作交流，使学生在掌握知识技能的同时，提高解决问题的能力，培养良好的情感态度和价值观。以下是针对本章节内容的教学设计：
5.教学反思：
a.教师应在课后及时反思教学效果，调整教学策略，提高教学质量。
b.关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上获得成就感。
c.注重培养学生的自主学习能力，激发学生的学习内驱力，提高学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设情境：以生活中的实例，如圆桌上的硬币、地球仪上的城市等，引导学生观察点与圆的位置关系，提出问题：“这些点与圆有什么关系？如何用数学语言来描述这些关系？”
XX年九年级数学上第二十四章圆上课学习上课学习教案(人教版)
XX年九年级数学上第二十四章圆教案（人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课件www.5y 第二十四章圆24．1 圆的有关性质24．1.1 圆经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念．重点经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念．难点理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．活动1 创设情境，引出课题．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．2．提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？活动2 动手操作，形成概念在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆．教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决定？教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定．．从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径．以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．2．小组讨论下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？3．小组代表发言，教师点评总结，形成新概念．圆上各点到定点的距离都等于定长；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为o，半径为r 的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点的集合．活动3 学以致用，巩固概念．教材第81页练习第1题．2．教材第80页例1.多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到o的距离相等．活动4 自学教材，辨析概念．自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆．圆上任意两点间的线段叫做弧．在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍．长度相等的两条弧是等弧．大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．2．指出图中所有的弦和弧．活动5 达标检测，反馈新知教材第81页练习第2，3题．活动6 课堂小结，作业布置课堂小结．圆、弦、弧、等圆、等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧相等的依据．2．证明几点在同一圆上的方法．3．集合思想．作业布置．以定点o为圆心，作半径等于2厘米的圆．2．如图，在Rt△ABc和Rt△ABD中，∠c＝90°，∠D ＝90°，点o是AB的中点．求证：A，B，c，D四个点在以点o为圆心的同一圆上．答案：1.略；2.证明oA＝oB＝oc＝oD即可．24．1.2 垂直于弦的直径理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．重点垂径定理及其运用．难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．一、复习引入①在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点o叫做圆心，线段oA叫做半径．以点o为圆心的圆，记作“⊙o”，读作“圆o”．②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段Ac，AB；③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，c 为端点的弧记作“Ac︵”，读作“圆弧Ac”或“弧Ac”．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．二、探索新知请同学按要求完成下题：如图，AB是⊙o的一条弦，作直径cD，使cD⊥AB，垂足为m.如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．是轴对称图形，其对称轴是cD.Am＝Bm，Ac︵＝Bc︵，AD︵＝BD︵，即直径cD平分弦AB，并且平分AB︵及ADB︵.这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径cD、弦AB，且cD⊥AB垂足为m.求证：Am＝Bm，Ac︵＝Bc︵，AD︵＝BD︵.分析：要证Am＝Bm，只要证Am，Bm构成的两个三角形全等．因此，只要连接oA，oB或Ac，Bc即可．证明：如图，连接oA，oB，则oA＝oB，在Rt△oAm和Rt△oBm中，∴Rt△oAm≌Rt△oBm，∴Am＝Bm，∴点A和点B关于cD对称，∵⊙o关于直径cD对称，∴当圆沿着直线cD对折时，点A与点B重合，Ac︵与Bc︵重合，AD︵与BD︵重合．∴Ac︵＝Bc︵，AD︵＝BD︵.进一步，我们还可以得到结论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离cD＝18m，当洪水泛滥时，水面宽mN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．分析：要求当洪水到来时，水面宽mN＝32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R.解：不需要采取紧急措施，设oA＝R，在Rt△Aoc中，Ac＝30，cD＝18，R2＝302＋2，R2＝900＋R2－36R＋324，解得R＝34，连接om，设DE＝x，在Rt△moE中，mE＝16，342＝162＋2，62＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，解得x1＝4，x2＝64，∴DE＝4，∴不需采取紧急措施．三、课堂小结垂径定理及其推论以及它们的应用．四、作业布置．垂径定理推论的证明．2．教材第89，90页习题第8，9，10题．24．1.3 弧、弦、圆心角．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算．重点圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用．难点从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系．活动1 动手操作，得出性质及概念．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙o和⊙o′.2．将⊙o绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？3．在⊙o中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心角的概念．如图，∠AoB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．活动2 继续操作，探索定理及推论．在⊙o′中，作与圆心角∠AoB相等的圆心角∠A′o′B′，连接AB，A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙o与⊙o′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得oA与o′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．活动3 学以致用，巩固定理．教材第84页例3.多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想．活动4 达标检测，反馈新知教材第85页练习第1，2题．活动5 课堂小结，作业布置课堂小结．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，以及其应用．3．数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想．作业布置．如果两个圆心角相等，那么A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等c．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．如图，AB和DE是⊙o的直径，弦Ac∥DE，若弦BE ＝3，求弦cE的长．3．如图，在⊙o中，c，D是直径AB上两点，且Ac＝BD，mc⊥AB，ND⊥AB，m，N在⊙o上．求证：Am︵＝BN︵；若c，D分别为oA，oB中点，则Am︵＝mN︵＝BN︵成立吗？答案：1.D；2.3；3.连接om，oN，证明△mco≌△NDo，得出∠moA＝∠NoB，得出Am︵＝BN︵；成立．24.1.4 圆周角第1课时圆周角的概念和圆周角定理．理解圆周角的概念，会识别圆周角．2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．重点圆周角的概念和圆周角定理．难点用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．活动1 复习类比，引入概念．用几何画板显示圆心角．2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AoB.当角的顶点运动到圆周时，如∠AcB这样的角叫什么角呢？学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．3．总结圆周角概念．鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，可能对角的两边没有要求．教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．活动2 观察猜想，寻找规律．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特殊情况的图形．提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．活动3 动手画图，证明定理．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师点评．5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．活动4 达标检测，反馈新知．教材第88页练习第1题．2．如图，∠BAc和∠Boc分别是⊙o中的弧Bc所对的圆周角和圆心角，若∠BAc＝60°，那么∠Boc＝________.3．如图，AB，Ac为⊙o的两条弦，延长cA到D，使AD ＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠Boc＝________.答案：1.略；2.120°；3.120°.活动5 课堂小结，作业布置课堂小结．圆周角概念及定理．2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．作业布置教材第88页练习第4题，教材第89页习题第5题．第2课时圆周角定理推论和圆内接多边形．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．重点圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．难点圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．活动1 温习旧知．圆周角定理的内容是什么？2．如图，若Bc︵的度数为100°，则∠Boc＝________，∠A＝________.3．如图，四边形ABcD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与Dc所夹的∠2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.4．判断正误：圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略活动2 探索圆周角定理的“推论”．请同学们在练习本上画一个⊙o.想一想，以A，c为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABc，∠ADc，∠AEc的大小关系如何？为什么？让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？2．教师引导学生观察下图，Bc是⊙o的直径．请问：Bc所对的圆周角∠BAc是锐角、直角还是钝角？让学生交流、讨论，得出结论：∠BAc是直角．教师追问理由．3．如图，若圆周角∠BAc＝90°，那么它所对的弦Bc 经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？4．师生共同解决教材第87页例4.活动3 探索圆内接四边形的性质．教师给学生介绍以下基本概念：圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．2．要求学生画一画，想一想：在⊙o上任作它的一个内接四边形ABcD，∠A是圆周角吗？∠B，∠c，∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补．4．展示练习：如图，四边形ABcD内接于⊙o，则∠A＋∠c＝________，∠B＋∠ADc＝________；若∠B＝80°，则∠ADc＝________，∠cDE＝________；如图，四边形ABcD内接于⊙o，∠Aoc＝100°，则∠D ＝________，∠B＝________；四边形ABcD内接于⊙o，∠A∶∠c＝1∶3，则∠A＝________；如图，梯形ABcD内接于⊙o，AD∥Bc，∠B＝75°，则∠c＝________.想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？答案：180°，180°，100°，80°；130°，50°；45°；75°；都有．活动4 巩固练习．教材第88页练习第5题．2．圆的内接梯形一定是________梯形．3．若ABcD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立A．∠A∶∠B∶∠c∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠c∶∠D＝2∶1∶3∶4c．∠A∶∠B∶∠c∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠c∶∠D＝4∶3∶2∶1答案：1.略；2.等腰；3.B.活动5 课堂小结与作业布置课堂小结本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．作业布置教材第89～91页习题第5，6，13，14，17题．24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24．2.1 点和圆的位置关系．理解并掌握设⊙o的半径为r，点P到圆心的距离oP ＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d ＝r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题．重点点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点讲授反证法的证明思路．一、复习引入请同学们口答下面的问题．．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．在一个平面内，线段oA绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为o，半径为r的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r的点组成的图形．圆规：一个定点，一个定长画圆．都等于半径．经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙o的半径为r，点P到圆心的距离为oP＝d，则有：点P在圆外⇒d>r；点P在圆上⇒d＝r；点P在圆内⇒d<r；反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：设⊙o的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r.这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接着研究确定圆的条件：经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？作圆，使该圆经过已知点A，B，c三点，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？无数多个圆，如图所示．连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图所示．作法：①连接AB，Bc；②分别作线段AB，Bc的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点o；③以o为圆心，以oA为半径作圆，⊙o就是所要求作的圆，如图所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点o，并且点o到A，B，c三个点的距离相等，所以经过A，B，c三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．即不在同一直线上的三个点确定一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，c三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1，又在线段Bc的垂直平分线l2，即点P为l1与l2交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆．上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．作法：在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；作两线段的中垂线，相交于一点o.则o就为所求的圆心．图略．三、巩固练习教材第95页练习1，2，3.四、课堂小结本节课应掌握：．点和圆的位置关系：设⊙o的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r.2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．五、作业布置教材第101，102页习题1，7，8.24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的三种位置关系了解直线和圆的位置关系的有关概念．理解设⊙o的半径为r，直线l到圆心o的距离为d，则有：直线l和⊙o相交⇔d<r；直线l和⊙o相切⇔d＝r；直线l和⊙o相离⇔d>r.重点理解直线和圆的三种位置关系．难点由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．一、复习引入同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙o的半径为r，点P到圆心的距离oP＝d.则有：点P在圆外⇔d>r，如图所示；点P在圆上⇔d＝r，如图所示；点P在圆内⇔d<r，如图所示．二、探索新知前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P 改为直线l呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？固定一个圆，把三角尺的边缘移动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．如图所示：如图，直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图，直线l和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图，直线l和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．我们知道，点到直线l的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心o到l的距离的三种情况．：设⊙o的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评：直线l和⊙o相交⇔d<r，如图所示；直线l和⊙o相切⇔d＝r，如图所示；直线l和⊙o相离⇔d>r，如图所示．例1 如图，已知Rt△ABc的斜边AB＝8cm，Ac＝4cm.以点c为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙c相切？以点c为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？解：如图，过c作cD⊥AB，垂足为D.在Rt△ABc中，Bc＝82－42＝43.∴cD＝43×48＝23，因此，当半径为23cm时，AB与⊙c相切．由可知，圆心c到直线AB的距离d＝23cm，所以当r＝2时，d>r，⊙c与直线AB相离；当r＝4时，d<r，⊙c与直线AB相交．三、巩固练习教材第96页练习四、课堂小结本节课应掌握：．直线和圆相交、直线和圆相切、直线和圆相离等概念．2．设⊙o的半径为r，直线l到圆心o的距离为d则有：直线l和⊙o相交⇔d<r；直线l和⊙o相切⇔d＝r；直线l和⊙o相离⇔d>r.五、作业布置教材第101页习题第2题．第2课时圆的切线．能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．2．掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题．重点探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题．难点探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．活动1 动手操作要求学生先在纸上画⊙o和圆上一点A，然后思考：根据所学知识，如何画出这个圆过点A的一条切线？能画几条？有几种画法？你怎么确定你所画的这条直线是⊙o的切线？活动2 探索切线的判定定理．如图，在⊙o中，经过半径oA的外端点A作直线l⊥oA，则圆心o到直线l的距离是多少？2．思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现此问题和上节课所学内容的联系吗？3．教师引导学生探索得出切线的判定定理的内容．要求学生尝试用文字语言和几何语言描述：文字语言描述：经过________并且________的直线是圆的切线．几何语言描述：如上图，∵oc为半径，且oc⊥AB，∴。
九年级数学上册 24分解因式法教案 北师大版 教案
2.4分解因式法分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要．这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解某些一元二次方程．由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点．通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让学生体会解决问题的多样性．教学目标(一)教学知识点1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(二)能力训练要求1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．教学重点应用分解因式法解一元二次方程．教学难点形如“x2＝ax”的解法．教学方法启发引导式归纳教学法．教具准备投影片五张．第一张：复习练习(记作投影片§2．4 A)第二张：引例(记作投影片§2．4 B)第三张；议一议(记作投影片§2．4C)第四张：例题(记作投影片§2．4 D)第五张：想一想(记作投影片§2．4 E)教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入新课[师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§2．4 A)解下列方程：(1)x2-4＝0；(2)x2-3x+1＝0；(3)(x+1)2-25＝0；(4)20x2+23x-7＝0．[生]老师，解以上方程可不可以用不同的方法?[师]可以呀．[生甲]解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，我采用了开平方法，即解：x2-4＝0，移项，得x2＝4．两边同时开平方，得x＝±2．∴x1＝2，x2=-2．[生乙]解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即解：这里a ＝1，b ＝-3，c ＝1． b 2-4ac ＝(-3)2-4×1×1 ＝5>0，∴x=253±∴x 1=253+，x 2=253- [师]乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢? [生乙]我觉得配方法不如公式法简便． [师]同学们的意见呢? [生齐声]同意乙同学的意见． [师]很好，继续．[生丙]解方程(3)时，可以把(x+1)当作整体，这时用开平方法简便，即 解：移项，得(x+1)2＝25． 两边同时开平方，得 x+1＝±5，即x+1＝5，x+1＝-5． ∴x 1=4，x 2=-6[生丁]解方程(4)时，我用的公式法求解，即 解：这里a ＝20，b ＝23，c ＝-7， b 2-4ac ＝232-4×20×(-7)＝1089＞0，∴x ＝403323202108923±-=⨯±-.∴x 1=41 x 2=-57.[师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程．用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a 、b 、c 的值；其次，通常应先计算b 2-4ac 的值，然后求解．一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法． Ⅱ．讲授新课[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§2．4 B)一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的? [师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．[生甲]解这个题时，我先设这个数为x ，根据题意，可得方程 x 2=3x ．然后我用公式法来求解的． 解：由方程x 2＝3x ，得 x 2-3x=0．这里a=1，b=-3，c ＝0. b 2-4ac ＝(-3)2-4×1×0 ＝9>0．所以x=293± 即x 1=3，x 2＝0． 因此这个数是0或3．[生乙]我也设这个数为x ，同样列出方程x 2＝3x ． 解：把方程两边同时约去x ，得x ＝3． 所以这个数应该是3．[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．[师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．这个方程还有没有其他的解法呢?[生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．解：x2-3x＝0，x(x-3)＝0，于是x＝0，x-3＝0．∴x1=0，x2=3因此这个数是0或3．[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗?[生齐声]行．[师]丁同学应用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§2．4 C)a×b＝0时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x＝0和x-3＝0也能同时成立吗?[生齐声]不行．……[师]那该如何表示呢?[师]好，这时我们可这样表示：如果a×b=0，那么a＝0或b＝0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0时，中间应写上“或”字.我们再来看丁同学解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则a=0或b＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．接下来我们看一例题．(出示投影片§2．4 D)[例题]解下列方程：(1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)．[师]同学们能独自做出来吗?[生]能．[师]好，开始．[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．解：原方程可变形为5x2-4x＝0，x(5x-4)=0，x＝0或5x-4＝0．∴x1=0，x2=54．[生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．解：原方程可变形为x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．∴x1＝2，x2=1．[生丙]老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢?[师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E)你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0吗?[生丁]方程x2-4=0的右边是0，左边x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x2-4＝0就可以用分解因式法来解，即解：x2-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．∴x1=-2，x2=2．[生戊]方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即解：(x+1)2-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．∴x1=-6，x2=4．[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．Ⅲ．课堂练习(一)课本P61随堂练习 1、21．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．解：(1)由(x+2)(x-4)=0得x+2＝0或x-4＝0。
九年级数学上册 24 圆学案 新人教版(2021年整理)
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第二十四章圆24．1圆的有关性质24. 1。
1圆1．了解圆的基本概念,并能准确地表示出来．2。
理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟）自学：研读课本P79~80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究:①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__;圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示,点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心,AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径（定长)．圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后,小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B,C,D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略。
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图 24.4.1
2、阅读 P57 证明，试口述一下。请各组找代表在黑板上再现证明过程。 3、概括 (1)、把连结 （2） 、三角形的中位线性质： 线段叫做三角形的中位线，
二、小组合作：
思考：本题还有其它的解法吗？ 已知： 如图所示，在△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC。 求证： DE∥BC，DE＝
九年级数学学案 主备：王志宏 辅备：温红敏 董喜荣
学习内容：24.4 中位线
2009 年 10 月第 3 周
学习目标：１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个 定理，并能利用它们解决简单的问题。 ２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。 学习重点： 经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程， 掌握两个定理， 并能利用它们解决简单的问题。 学习过程： 一、自主学习： 1、 如图 24．4．1，△ABC 中，点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点。那么是否可以推 出 DE∥BC 呢？DE 与 BC 之间存在什么样的数量关系呢？
图 24.4.3
四、自我检2 1 BC，可延长 DE 到 F，使 EF＝DE，于是本题就转化为证明 DF 2
分析: 要证 DE∥BC，DE ＝
＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形 BCFD 为平行四边形。
三、拓展延伸： 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 （根据命题结合图 24.4.3 写出已知、求证、证明） 已知： 求证：