二次根式
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是高中数学中重要的知识点之一，它在解决一元二次方程、求解勾股定理以及图形的面积计算等问题中起到了重要的作用。
本文将对二次根式的定义、性质以及相关的数学运算进行总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的代数式，其中a为非负实数。
它可以表示为一个单独的根号表达式，也可以是两个或多个二次根式之间的运算。
二、二次根式的性质1. 二次根式与有理数的关系：二次根式可以是有理数或无理数。
当根号内的数可以化简为有理数时，二次根式即为有理数；否则，二次根式为无理数。
2. 二次根式的相等性：两个二次根式相等的条件是它们的被开方数相等。
3. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，若a > b，则有√a >√b。
4. 二次根式的运算性质：对于非负实数a和b，有以下运算性质：- 加法：√a + √b = √(a + b)- 减法：√a - √b = √(a - b)，其中a ≥ b- 乘法：√a * √b = √(a * b)- 除法：√a / √b = √(a / b)，其中b ≠ 0三、二次根式的化简当二次根式存在可以化简的情况时，可以通过以下方法进行化简：1. 提取因子法：将根号内的数分解为两个数的乘积，其中一个数是完全平方数，并提取出完全平方数的根号作为整体。
2. 有理化分母法：对于含有二次根式的分数，可以通过有理化分母的方法化简，即将分母有理化为一个有理数或二次根式。
四、二次根式的应用1. 解一元二次方程：一元二次方程的形如ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
通过二次根式的求解方法，可以求得方程的解，并通过图像分析得到方程的根的性质。
2. 求解勾股定理：在平面几何中，勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方之和。
通过二次根式的运算，可以准确计算出直角三角形的边长。
3. 计算图形的面积：在几何问题中，经常需要计算图形的面积，而某些图形的面积计算涉及到二次根式。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
二次根式计算法则
二次根式计算法则
一、二次根式的定义
形如√(a)(a≥0)的式子叫做二次根式。
其中，a叫做被开方数。
二、二次根式的性质
1. (√(a))^2=a(a≥0)
- 例如(√(3))^2=3。
2. √(a^2)=| a|=cases(a(a≥0) -a(a < 0))
- 当a = 5时，√(5^2)=|5| = 5；当a=-3时，√((-3)^2)=| - 3|=3。
三、二次根式的乘法法则
√(a)·√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)
例如：√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)
四、二次根式的除法法则
dfrac{√(a)}{√(b)}=√(dfrac{a){b}}(a≥0,b > 0)
例如：dfrac{√(8)}{√(2)}=√(dfrac{8){2}}=√(4) = 2
五、二次根式的加减法则
1. 先将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
- 例如√(12)=√(4×3)=2√(3)（这里2√(3)就是最简二次根式）。
2. 然后合并同类二次根式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
- 例如3√(2)+5√(2)=(3 + 5)√(2)=8√(2)。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳二次根式是数学中的一个重要概念，也是我们在中学阶段学习的数学知识之一、学好二次根式的知识，不仅可以提高我们的数学实力，还能够帮助我们更好地理解和应用数学。
下面是对二次根式的知识点进行归纳总结。
一、二次根式的定义与性质1.二次根式的定义：如果一个数x的平方等于一个有理数a，那么称x是a的二次根，记作√a=x。
其中，a是被开方数，x是二次根。
2.二次根式的性质：二次根式具有以下基本性质：-非负性：对于所有的a≥0，√a≥0。
-唯一性：对于任意一个正数a，二次根√a是唯一确定的。
-传递性：对于任意的a≥0和b≥0，如果√a=√b，那么a=b。
-加减性：对于任意的a≥0和b≥0，有√a±√b=√(a±b)。
-乘除性：对于任意的a≥0和b≥0，有√(a×b)=√a×√b，√(a/b)=√a/√b（其中，b不为零）。
二、二次根式的化简1.因式分解法：将二次根式的被开方数进行因式分解，然后利用乘除性质化简。
2.合并同类项法：将二次根式中相同的根号项合并，然后根据加减性质化简。
三、二次根式的比较大小1.当被开方数相同时，二次根式相等，即√a=√b，当且仅当a=b。
2.当被开方数不同时，可以通过平方的方式来比较大小。
即对于a≥b≥0，有√a≥√b。
四、二次根式的运算1.加减运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的加减运算。
-加法：√a+√b=√(a+b)。
-减法：√a-√b=√(a-b)（需要满足a≥b）。
2.乘法运算：对于任意的a≥0和b≥0，可以进行二次根式的乘法运算。
-乘法：√a×√b=√(a×b)。
3.除法运算：对于任意的a≥0和b>0，可以进行二次根式的除法运算。
-除法：√a/√b=√(a/b)（需要满足b≠0）。
五、二次根式的应用二次根式在实际问题中的应用非常广泛1.几何问题：二次根式可以用来表示长度、面积、体积等物理量，例如计算一个正方形的对角线长度、一个圆的半径等等。
二次根式和立方根式
二次根式和立方根式二次根式和立方根式是数学中常见的一类特殊运算符号，用于表示对一个数进行平方根和立方根运算。
在数学中，它们有着重要的应用和意义。
本文将详细介绍二次根式和立方根式的定义、性质和运算规则。
一、二次根式二次根式是对一个数进行平方根运算的表示形式。
对于一个非负实数a，它的平方根被记为√a，读作"根号a"。
根号a是一个非负实数b，满足b的平方等于a。
即b^2 = a。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
√16 = 4，因为4的平方等于16。
根号0 = 0，因为0的平方等于0。
根号2是一个无理数，因为不存在有理数的平方等于2。
二次根式具有以下性质和运算规则：1. 二次根式与指数运算的关系：√a = a^（1/2）。
例如，√4 = 4^(1/2) = 2。
2. 二次根式的运算法则：a) 二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。
例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。
b) 二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。
例如，√8 / √2 = √(8 / 2) = √4 = 2。
c) 二次根式的化简：对于任意非负实数a和b，若a > b，则√(a +b) ≠ √a + √b。
二、立方根式立方根式是对一个数进行立方根运算的表示形式。
对于一个实数a，它的立方根被记为³√a，读作"立方根a"。
³√a是一个实数b，满足b的立方等于a。
即b^3 = a。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
³√27 = 3，因为3的立方等于27。
³√(-1) = -1，因为-1的立方等于-1。
立方根式具有以下性质和运算规则：1. 立方根式与指数运算的关系：³√a = a^（1/3）。
例如，³√8 =8^(1/3) = 2。
2. 立方根式的运算法则：a) 立方根式的乘法：³√a * ³√b = ³√(a * b)。
二次根式的运算和性质
二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。
本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。
例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。
2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。
例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。
3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。
例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。
综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。
掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是高中数学中的重要概念，它们在各种数学问题中起着重要的作用。
本文将介绍二次根式的定义、运算法则，以及一些常见的计算方法和运用技巧。
一、二次根式的定义在代数学中，二次根式是指形如√a的表达式，其中a为一个非负实数。
它的特点是其值是满足a≥0的正实数x，使得x²=a。
二次根式是一种特殊的无理数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减运算：对于同类项的二次根式，可以进行加减运算。
即，如果√a和√b是同类项，则有：√a ± √b = √(a ± b)。
2. 二次根式的乘法运算：对于任意的实数a和b，有：√a × √b =√(ab)。
3. 二次根式的除法运算：对于任意的实数a和b（其中b≠0），有：√(a/b) = √a / √b。
需要注意的是，二次根式的运算法则不同于常规的有理数运算法则，需要根据具体情况进行变形和化简。
三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式：当二次根式的被开方数具有完全平方因子时，可以进行化简。
例如，√(4x²y²) = 2xy。
2. 合并同类项：对于同类项的二次根式，可以进行合并运算。
例如，√5 + √7 - √5 = √7。
3. 运用分式化简：对于含有二次根式的分式，可以运用分式化简法则进行化简。
例如，化简√(x+1) / (√(x-1) + 1)。
四、二次根式的运用技巧1. 消去根号：在一些问题中，可以通过消去根号的方法简化计算。
例如，对于√(x+1) + √(x-1) = 2，可以通过平方等式的性质消去根号。
2. 使用代换：在一些复杂的问题中，可以使用代换的方法简化计算。
例如，对于含有二次根式的方程，可以令√a = t进行变量代换，从而降低问题的复杂性。
3. 运用二次根式性质解决问题：二次根式具有一些特殊性质，如平方等式、分式等式等，可以通过运用这些性质解决一些相关问题。
例如，根据二次根式性质解决面积、体积等几何问题。
二次根式 公式
二次根式是数学中的一个重要概念，它涉及到平方根和根式的运算。
二次根式的一般形式为：
ax2+bx+c其中a,b,c是常数，且a=0。
为了简化二次根式，我们通常会尝试将其转化为最简形式。
这通常涉及到完成平方或使用公式来化简。
1. 完成平方
如果二次根式可以写成完全平方的形式，那么我们可以直接开方。
例如：
x2=∣x∣
2. 使用公式
对于一般的二次根式，我们可以使用公式来化简。
例如，对于形如ax2+bx+c的二次根式，如果b2−4ac≥0，则可以使用求根公式来化简。
求根公式为：
x=2a−b±b2−4ac
3. 二次根式的乘法
当需要计算两个二次根式的乘积时，可以使用以下公式：
a×b=ab
4. 二次根式的除法
当需要计算两个二次根式的商时，可以使用以下公式：
ba=ba
5. 二次根式的加减
对于二次根式的加减，首先需要判断它们是否可以合并。
如果根号下的表达式相同，那么可以进行合并。
例如：
2+2=22
6. 二次根式的有理化
有时，为了简化二次根式，我们可能需要将其有理化。
这通常涉及到乘以共轭式。
例如：21=21×22=22
以上是关于二次根式的一些基本公式和化简方法。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的公式和方法进行化简和计算。
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二次根式复习一、像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。
为了方便，我们把一个数的算术平方根（如3）也叫做二次根式。
二、二次根式被开方数不小于01、下列各式中不是二次根式的是 （ ） （A ）12+x（B ）4-（C ）（D ）()2b a -2、判断下列代数式中哪些是二次根式？⑴21， ⑵16-， ⑶9+a ， ⑷12+x ，⑸222++a a ，⑹x -（0≤x ）， ⑺()23-m 。
答：_____________________3、下列各式是二次根式的是（ ）A 、B、C 、 D、4、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A．B．．D．5、下列各式中，是二次根式是（ ）. （A） （B ）（C ）（D）6、若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为：（ ） A .0 B.1 C.-1 D.27、已知1y =++，则yx= 。
8、若x 、y 都为实数，且152********+-+-=x x y ，则y x +2=________。
三、含二次根式的代数式有意义（1）二次根式被开方数不小于0（2）分母含有字母的，分母不等于0 1、x取什么值时，（ ）（A ）x ＞45（B ）x ＜54（C ）x ≥54-（D ） x ≤54-2、如果x--35是二次根式，那么x 应适合的条件是（ ）A 、x ≥3 B 、x ≤3 C 、x ＞3 D 、x ＜33、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx --+315；（2）22)-(x ；4、使代数式2x +有意义的x 取值范围是（ ）A ．2x ≠-；B ．32x x <≠-且，；C ．32x x ≠且，；≤D ．32x x ≠-且，；≤6、二次根式212--x x 有意义时的x的范围是＿＿＿＿＿＿7、求下列二次根式中字母的取值范围： （1）； （2）8、使代数式8a a -+有意义的a 的范围是（）A 、0>aB 、0<aC 、0=a D 、不存在9、二次根式中，a的取值范围是 。
10、把34-的根号外的因式移到根号内得 。
四、两个基本性质：①)0()(2≥=a a a②的应用1、化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4 2、若2<x<5化简得（22)5()1(---x x ）A 、6—2xB 、2x —6C 、4D 、—4 3、若a a -=2，则（）A 、a 是整数B 、a 是正实数C 、a 是负数D 、a 是负实数或零4、2)a =成立的条件是 ．5、化简2)21(-= ,6、计算：2=，21(_______.2-==+2)2332( 。
7若221<<x ，则化简()1222-+-x x =__________。
8、()._______)621(_______;5.222=-=-9、实数a 在数轴上的位置如图示， a化简：1a -+= 。
10、若代数式()()2242-+-a a 的值是常数2，则a 的取值范围是___________。
11、若a a =2，则a __________；若a a -=2，则a __________。
12、22132138⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛化简=13、若b>0，x<0，化简：24)(x b --五、()），（、），（、），（、），（、、），（、0,060,050,040,03||20122>≥=>≥=≥≥=⋅≥≥⋅==≥=b a baba b a baba b a ab b a b a b a ab a a a a a的应用1、22-=-x x x x成立的条件是 （）A 022xx ≥≠≥>-、 Ｂ、 ｘ２ Ｃ、 ｘ０ Ｄ、 ｘ2、下列各式中一定成立的是（） A 、2= B、2=C,2x =- D 、=∙3、下列各式的计算正确的是 （ ）A２２＝２＋4、若xxxx-∙-=--32)3)(2(成立。
则x的取值范围为：（）A ）x≥2 B）x≤3 C）2≤x≤3 D） 2＜x＜35、()_______)3(24=-÷-aa6、若22)2()2(-=-xx，则x的范围是7、1x-=成立的条件是（）A．1x；≥B．1x-；≥ C．x-；1≤≤1 D．11x x-或≥≥．六、计算：（步骤和有理数的运算是一样的，注意：加减时应先把二次根式化简，再像合并同类项那样合并）1、计算：（1）)455112()3127(+--+（2）)152811(322-∙2、（1）913.03122-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛（2）()()223131+--3、（1）(2-+（2）--+七、二次根式的应用1、在如图的4×4的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为2，214，12552。
2、解方程)62(2)3(23-=+x x3、水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长。
6、一个等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为 。
7、代数式5-当X= 时，代数式有最大值是__________ 。
9、已知Rt ΔABC ，∠C ＝Rt ∠，BC ＝a ，AC ＝2a ，则斜边上的高长 。
10、长方形的面积是24，其中一边长是，则另一边长是 。
11、在一坡比为1:7的斜坡上种有两棵小树，它们之间的距离（AB ）为10米，则这两棵树的高度差（BC ）为 米． ≈2.645≈1.414，结果保留3位有效数字）12、写出一个无理数，使它与213、在直角坐标系内，点P （-2，= 。
AC BE D F一元二次方程的复习一、 一元二次方程：①它的左右两边都是整式，②只含一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2。
二、 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。
三、 一元二次方程的一般形式20(0)axbx c a ++=≠，一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多三项、其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，而且左边通常按未知数的次数从高到低排列，特别注意的是“＝”的右边必须整理成0。
要很熟练地说出随便一个一元二次方程中二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数． 1、判断下列方程是否是一元二次方程：910)1(2=x x x 3)1(2)2(=-0132)3(2=--x x 011)4(2=-x x2、判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程22x x -=的根。
3、关于y 的一元二次方程()432-=-y y 的一般形式是 。
4、732=-x x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
5、请判别下列哪个方程是一元二次方程（ ）A 、12=+y xB 、052=+x C 、832=+xx D 、2683+=+x x 6、请检验下列各数哪个为方程0862=+-x x 的解（ ）A 、5 B 、2 C 、8- D 、2-7、下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠0) B.ax 2+bx+c=0C.(x+3)(x-2)=x+5D.232057x +-=8、下列各方程中，不是一元二次方程的是（ ） A 、01232=++y y B 、m m 31212-= C 、032611012=+-p p D 、0312=+-x x9、若01322=-+-p x px 是关于x 的一元二次方程则（ ） A 、p=1 B 、p>0 C 、p ≠0 D 、p 为任意实数 10、把一元二次方程23)2)(1(xx x -=--化成一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中a 、b 、c 分别为（ ）A 、2、3、－1B 、2、－3、－1C 、2、－3、1D 、2、3、111、对于方程)0(02≠=++a c bx ax ，已知a=－1、b=0、c=－5，它所对应的方程是（ ）A 、052=--x x B 、052=+-x C 、052=-x x D 、052=--x x12、关于y 的方程)0(02≠=--m p ny my 中，二次项系数 ，一次项系数 ，常数项为 。
13.把一元二次方程)(5))((22x a a x a x a ax -=--+化成关于x 的一般形式是 。
13、已知：关于x 的方程02)13(2=+--k x x k ，当k 时方程为一元二次方程。
14、有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。
15、一元二次方程6275)3(2-=+--mx m mx x m 中，二次项系数为 ；一次项为 ；常数项为 ；16、下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A 13722+=-y x B02652=--y xCx x x +=-25372 D 05)3(2=++-+c x b ax 17、把方程)2(5)2(-=+x x x 化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（ ）A 10,3,1-B 10,7,1- C 12,5,1- D 2,3,1 18、把方程（2x+1）×（x- 2）=5－3x 整理成一般形式后，得 ，其中一次项系数为 。
19、若(m+1)x m - 3+5x-3=0是关于x 的一元二次方程，则m ＝20、若（b - 1）2+a 2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有（ ）（A ） ax 2+5x – b=0（B ） (b 2 – 1)x 2+(a+4)x+ab=0 （C ）(a+1)x – b=0 （D ）(a+1)x 2 – bx+a=0 21、下列方程中，不含一次项的是（ ）（A ）3x 2 – 5=2x （B ） 16x=9x 2 （C ）x(x –7)=0 （D ）(x+5)(x-5)=022、方程xx 3122=-的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ； 23、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02=++cbx ax B 、2112=+x xC 、1222-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x24、一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
25、关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m , 当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。
26、方程1382-=x x 的二次项系数为 ，一次项为 ，常数项为 。
27、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m时，上述方程是一元二次方程。