二次根式全章复习与巩固(基础)知识讲解
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式单元复习全面PPT课件
一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 如 3
注意：被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1
x2
a2 b2
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题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.
当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
DP C
第41页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
第42页/共95页
拓展1
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
第39页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
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练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
第10页/共95页
达标检测
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
清单05 二次根式 全章复习(3个考点梳理+11种题型+10类型)(解析版)
清单05二次根式全章复习（3个考点梳理+10种题型+10类型）考点一二次根式的相关概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.【考试题型1】二次根式有意义的条件1．（20-21九年级上·吉林长春·在实数范围内有意义的条件是．x的值．2．（2023·浙江杭州·1．（22-23七年级下·广东汕头·m的最小值是（）A．2B．3C．8D．11∴12m -是完全平方数，当120m -=时，即12m =，当121m -=时，即11m =，当124m -=时，即8m =，当129m -=时，即3m =，综上所述，自然数m 的值可以是3、8、11、12，所以m 的最小值是3，故答案选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．2．（22-23八年级下·福建莆田·开学考试）若实数a ，b 4b +，则a b -=．3．（20-21七年级下·广东广州·期中）若()230a -+=，则a b -的立方根是．【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到30a -=，50b +=是解题的关键．4．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a ，b 0b =（1）a=_______，b=______（2）把a ，b 的值代下以下方程并求解关于x 的方程()221a xb a ++=-1．（23-24八年级上·上海青浦·）ABC D2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（）A=B =C =D 10=（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·是同类二次根式，则=a ．【答案】5-【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二1．（23-24九年级上·四川宜宾·a 的值可能是（）A ．16B ．0C ．2D ．任意实数2．（22-23九年级上·四川遂宁·是同类二次根式，则m 的值为（）A ．4m =B ．3m =C ．5m =D ．6m =3．（22-23八年级下·山东泰安·是最简二次根式，则m，n的值为（）A．0，1-B．1-，0C．1，1-D．0，04．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若考点二二次根式的性质与化简二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．a =•（≥0，≥0）（≥0，＞0）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【考试题型5】利用二次根式的性质化简【类型一】数形结合法1．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简2a b b c --+．【答案】a-【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得0c b a <<<，从而得到0,0,0a b c a b c ->-<+<，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可．【详解】解：观察数轴得：0c b a <<<，2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示：(1)若5x =-，y =x 对应的点与z 对应的点恰好关于y 对应的点对称，求z 的值．(2)2+3．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）已知实数x ，y ，z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【类型二】估值法方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.1．（2023·重庆·(最接近的整数是（）A ．7B ．8C ．9D ．10A ．5m <-B ．54m -<<-C ．43m -<<-D ．3m >-3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）若a ，则a 的值所在的范围为（）A ．2a ≥B ．2a >C ．12a <<D ．01a <<【类型三】公式法方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知2M=，2N，则M与N的关系为（）A．相等B．绝对值相等C．互为相反数D．互为倒数2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）计算题：；(2)【类型四】换元法方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.1．（19-20八年级上·福建泉州·期中）若ab＝1，我们称a与b1与1互为倒数：方法一：∵)22111211+-=-=-=1+1互为倒数．()2211111211⋅--====--111互为倒数．(1)互为倒数；(2)若()21x x -=，求21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)利用“换元法”求((101022⨯的值．＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是，选择合适的解题途径，往往能事半功倍．【类型五】拆项法【类型六】整体代入法方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知x =2(8x x -+的值．2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知33a b ==-求下列各式的值：(1)a b +和ab ；(2)22a ab b ++．22(1)223x xy y ++(2)x y y x +【类型七】因式分解法【类型八】配方法1．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）1===-．材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：(2222311x x x++=+++=+，(20x+≥，(211x∴+≥，即231x++≥．23x∴++的最小值为1．阅读上述材料解决下面问题：_______=______；(2)求211x++的最值；(3)2-2．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,1材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：2222321(x 1x x x ++=+++=+∵2(0x ≥，∴2(11x ++≥，即231x ++≥∴23x ++的最小值为1阅读上述材料解决下面问题：（1=，=；（2）求211x ++的最值；（3）已知x =221(41)54x y xy -++-的最值．【类型九】辅元法【类型十】先判断后化解解题的关键．【考试题型6】分母有理化1．（新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）在进样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：行二次根式化简时，我们有时会碰上如1==；====．以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简L(2)2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．22212OA =+=，112S =（1S 是12RtA A O △的面积）；22313OA =+=，22S =（2S 是23Rt A A O △的面积）；22414OA =+=，32S =（3S 是34Rt A A O △的面积）；．==【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S =_________，11OA =_________；(2)求11111S S S S S S S S S S +++++++++的值．3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：1⨯-()()221⨯===-请回答下列问题：(1)=______()2n≥．(2)利用上面所提供的解法，请化简：+(3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：+考点三二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：a =•（≥0，≥0）.除法法则：=加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】==2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.==混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．【考试题型7】二次根式的乘除运算1．（2024·陕西西安·三模）计算：)()02252π---2．（23-24八年级下·安徽铜陵·00)b ⎛÷⨯>> ，3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)÷；()0,0x y ⎫÷>>⎪⎪⎭．1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：((-．2．（23-24八年级下·广东阳江·期中）已知b=-，求22a=+，11a b+的值．3．（23-24八年级下·北京海淀·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设a=b=(1)直接写出a b+和ab的值：a b+=______，ab=______；(2)求1111sa b=+的值．2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）计算：(2)3．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）（1）先化简，再求值：111a a -⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中，2a =．1．（23-24八年级下·浙江金华·的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化()22==；()()2232++====+--．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化21===()222111+-==．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)(2)的大小，并说明理由．2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为25cm和27cm，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积．【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式：1==-；==；==；……像)221-=()0a a =≥，)()1110b b -=-≥，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．11，与-答下列问题：(1)化简：(2)=___________（n为正整数）．(3)计算：)1+ =___________；(4)已知a==b试比较a、b的大小，则a___________b．（填“<”“>”或“=”）1．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足t=（不考虑风速的影响）．(1)从30m高处抛下的物体落地所需的时间1t=s；从60m高处抛下的物体落地所需的时间2t=s(2)2t是1t的多少倍？(3)若从高空抛下的物体经过4s落地，则该物体下落的高度是多少？2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为218dm 和232dm 的两块正方形木板．(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______dm ，______dm ；(2)求剩余木板的面积；(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm 、宽为1.2dm 的长方形木条，最多能截出______个这样的木条． 1.414≈）3．（23-24八年级下·广东东莞·期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，的面积；(1)请根据思路1的公式，求ABC(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，，要求三个顶点都在格点上；①画出ABC面积的计算过程．②结合图形，写出ABC②过点A 作AD CB ⊥∴4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t 10N /kg g ≈）(1)求从45m 高空抛物到落地的时间；(2)已知高空拋物动能（单位：J ）10=（单位：N /kg ）⨯物体质量（单位:kg ）⨯高度（单位：m ），某质量为0.2kg 的玩具在高空被抛出后经过4s 后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．(1)从50m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间1t，从100m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间2t，那么2t是1t的多少倍？(2)从足够高的高空抛出物体，经过1.5s，所抛物体下落的高度是多少？6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：(1)具体运算，发现规律：131711122236=+==+=⨯⨯11313412=+=⨯，…计算：=(2)观察归纳，写出结论=（1n ≥且n 为正整数）(3)灵活运用，提升能力请利用你所发现的规律，。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
21.1_二次根式_全章
C BA21.1 二次根式第1课时学习目标1a≥0）的意义解答具体题目．2a≥02=a （a≥0），并利用它们进行计算和化简． 学习过程 一、预习形成：请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中， AC=3，BC=1， ∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 二、课堂讲练： 探究一 议一议：1．－1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0归纳：一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式， ________称为二次根号．例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：1x x>0）1x y+x≥0，y •≥0）．归纳：二次根式应满足两个条件： (1)_________________ (2)_________________例2．当x在实数范围内有意义？练习：1．二次根式a-1 中，字母a的取值范围是（）A. a＜lB.a≤1C.a≥1D.a＞12、函数y=中，自变量x的取值范围是_________思考：如何确定二次根式中字母的取值范围？三、巩固练习教材P练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？例4.(1)已知，求xy的值．(2)=0，求a2010+b2010的值．探究二根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______．例5.计算1．22．（23．24． 2基础练习计算下列各式的值：2 = 2 = 2 = 2=-=（ 2 = 22应用拓展计算：（1）2（x≥0）（2）2（3）2（4）2五、归纳小结本节课要掌握：______________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 六、布置作业1．教材P8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计（一）选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A B C D．x2、已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 B C．15D．以上皆不对3、数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0（二）填空题1．2=________．2x _______．3的个数是__________．(三)综合提高题（选做）1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．6，求x y的值．21.1 二次根式第２课时【学习目标】1、（a≥0）并利用它进行计算和化简．2（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．【学习过程】一、复习引入1．形如_____________的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个_____________；3．2＝_____（a≥0）．猜想：当a≥0，举例说明.二、探究新知填空：=_______；=________．结论例1计算1．22．（23．24． 2例2化简:（1（2（3（4==;张后同学的解答过程是在化简时,李明同学的解答过程是4=-. 谁的解答正确?为什么?4三、巩固练习1、计算下列各式的值：2222（ 2 22-2、教材P7练习2．四、应用拓展例3 计算1．2（x≥0）2．23． 2例4在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例5 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2－a，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例6 当x>2· · · · 0 1 2p 例7 实数p 在数轴上的位置如图所示：2三、课堂小结：四、课堂评价：（一）选择题1 ）． A ．0 B ．23 C ．423D ．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A BC D （二）填空题1．2m 的最小值是________． （三）综合提高题（选做）1．若│1995－，求a －19952的值．（提示：先由a －2000≥0，判断1995－a •的值是正数还是负数，去掉绝对值）2. 若－3≤x≤2时，试化简│x －《二次根式》自我检测1、计算： （1） =2)32(－（2）=+-442x x （2≥x ） （3）2)73( = （4）2)52(-= 2、下列等式中的字母应符合什么条件？ （1）22)(a a = （2）a a -=23、判断正误，如果是错的，请写出正确结果.（1）2)2(2-=- （2）7434322=+=+4、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简：22)()(c a b c b a +----5、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －|5|0c -=，则△ABC 的形状是 三角形．作业：回归教材，认真阅读.完成课本上21.1没有完成的练习及习题，做好小组展示准备.21.2 二次根式的乘除第１课时【学习目标】1、a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简2、•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．【学习过程】一、预习形成1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1（2（3（4二、课堂讲练一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:例1．计算（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5三、巩固练习（1）计算：①②(2) 化简:（3）教材P11练习全部.四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2五、课堂小结：六、布置作业1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．（一）选择题1，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．B．C．9cm D．27cm2．化简）．A B C D311x-=）A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1 4．下列各等式成立的是（）A．B．C．D．（二）填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）综合提高题（选做）1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==……通过上述探究你能猜测出： （a>0）,并验证你的结论． 3*．化简(x －1x)2+4 －(x+1x)2－44.已知2310x x -+=.5.已知,a b (10b -=，求20112012a b -的值.21.2 二次根式的乘除第２课时【学习目标】a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．12、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．【学习过程】一、预习形成1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1；；（2；（3（4．3．利用计算器计算填空:（填>,<,=）二、课堂讲练知识归纳：一般地，对二次根式的除法规定：（2（3（4例1．计算：（1例2．化简：（1（2（3（4三、巩固练习教材P14 练习1．四、应用拓展例3．=，且x为偶数，求（1+x的值．五、归纳小结六、布置作业1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 （一）选择题1的结果是（ ）．A ．27 B ．27 C D ．72．阅读下列运算过程：3==5== 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”（ ）．A ．2B ．6C ．13D *（ 二）填空题1．分母有理化:(1)=______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．（三）综合提高题（选做）11，•现用直径为3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1·m>0，n>0）（2）－（a>0）21.2 二次根式的乘除第3课时【学习目标】1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【学习过程】一、预习形成计算（1（2（3二、课堂讲练议一仪：观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．____________________________________________；2．___________________________________________．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例1、现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那．试着化简一下。
第二十一章 二次根式全章讲学稿
21．1 二次根式（1）一、学习目标:1.a≥0）的意义解答具体题目．2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数二、学习重难点：1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用a≥0）”解决具体问题．三、学习过程（一）、复习引入1．2549的平方根是，算术平方根是；13的算术平方根是。
2．正方形的面积是10，其边长是；3．已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是多少？（二）、探索新知1．二次根式定义；都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式，形如叫做二次根式，称为二次根号．例11xx>0）-1x y+x≥0，y•≥0）．2．练习：1．下列式子中，一定是二次根式的是（）A．BCD．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）ABCD．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 BC．15D．以上皆不对4.（1）形如的式子叫做二次根式；（2）面积为a的正方形的边长为________；（3）负数________平方根．例2．当x在实数范围内有意义？例3．当x11x+在实数范围内有意义？例4(1)已知y=，求xy的值；(2)=0，求a2010+b2010的值．拓展提高1x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数2．3．当x是多少时，x+x2在实数范围内有意义？4．已知a、b=b+4，求a、b的值．21．1 二次根式（2）一、学习目标:1．a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 2a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导2=a （a ≥0）；反之:a =2（a ≥0）， 最后运用结论严谨解题． 二、学习重难点；1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分a ≥0）是一个非负数；•2=a （a ≥0）． 三、学习过程 （一）、复习引入1．什么叫二次根式？ 2．当a ≥0a <0（二）、探究新知 议一议：a ≥0）是一个什么数呢？你能解决吗？ ⑴=0，求x y = ． ⑵ 已知：232510a c c -+=，求,,a b c 的值？做一做： 根据算术平方根的意义填空：2=_______；2=_______；2=______；2=_______；2=______；2=_______；2=_______． 44的非负数，因2=4．所以反之（三）、学以致用 例1 计算： ⑴2 ⑵（2⑶2 ⑷）2例2 计算：（1）2（x ≥0）； （2） 2 （3）2 ；例3 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4(3) 2x 2-3⑷23x -+（四）、巩固练习：1.（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A ．a >0B ．a ≥0C ．a <0 D ．a =03. ⑴（2=________． （2x 是一个_______数． 4．计算（1）2 （2）-2（3）（122 （4）（ 2(5)5．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 ⑶ 3x 2-521．1 二次根式（3）一、学习目标：1.a（a≥0）并利用它进行计算和化简；2.a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．二、学习重难点：1a（a≥0）．2．难点：探究结论．三、学习过程（一）、复习引入1．形如叫做二次根式；2a≥0）是一个；3．2＝．那么，我们猜想当a≥0a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．（二）、探究新知根据算术平方根的意义填空：=___=___=___=___；=___．因此，（三）、学以致用例1 化简（1（2（3（4例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1）a，则a可以是什么数？（2）a，则a可以是什么数？（3a，则a可以是什么数？因此例3当x>2（四）、巩固练习：1.）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2.当a≥0）．ABCD．3. ⑴；（2）则正整数m的最小值是________．4.先化简再求值：当a=9时，求a甲的解答为：原式=a=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．（五）、拓展提高1. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2. 与的异同点21．2 二次根式的乘除（1）一、学习目标：1a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），2.a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．二、学习重难点；1.a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．2.a≥0，b≥0）．3.a<0,b<0），三、学习过程（一）、复习引入：1．计算并观察：（1=______；（2．（3．由此可得……（二）、探索新知一般地，对二次根式的乘法规定为：＝反过来:=（三）、学以致用例1．计算：（1（2（3（4例2 化简：（1（2（3（4例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2（四）、巩固练习：1.计算⑵2. 化简:⑵⑶3.化简）．ABC．D．4=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-15.下列各等式成立的是（）．A．B．C．D．6.自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？21．2 二次根式的乘除（2）一、学习目标：1.a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算；2.理解分母有理化的概念，并运用它把二次根式化简．二、学习过程（一）、复习引入：1．二次根式的乘法规定及逆向等式；2．填空（1；（2=________；（3；（4=________．（二）、探索新知知识点一：二次根式的除法一般地，对二次根式的除法规定a≥0，b>0），a≥0，b>0）（三）、学以致用例1．计算：（1= （2= （3= （4例2．化简：（1（2（3= （4=例3 计算（1（2（3(4)【注意】分母有理化：某些二次根式的除法运算中，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
第一章_二次根式单元复习与巩固
二次根式单元复习与巩固一、知识框图二、目标认知学习目标1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由；2.了解最简二次根式的概念；3.理解并掌握下列结论：(1)；(2)；(3)；4.掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；5.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.学习重点1．二次根式(a≥0)的内涵．(a≥0)是一个非负数；；及其运用；2．二次根式乘除法的规定及其运用；3．最简二次根式的概念；4．二次根式的加减运算．学习难点1．对(a≥0)是一个非负数的理解；对等式及的理解及应用；2．二次根式的乘法、除法的条件限制；3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．三、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意知道每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.四、规律方法指导怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1) 加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；(2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化经典例题精析类型一、二次根式的概念与性质1．x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)；(2)；(3).【变式1】已知，求的值.2．根据下列条件，求字母x的取值范围：(1)；(2).【变式1】把根号外的因式移到根号内，得()A．B．C．D．3.在实数范围内因式分解.(1)；(2).【变式1】化简得( )A.2B.-4x-4C.-2D.4x-4类型二、二次根式的混合运算4．计算：(1)；(2)；(3)；(4).举一反三【变式1】计算【变式2】计算：(1)(2)【变式3】先观察下列分母有理化：，从计算结果中找出规律，再利用这一规律计算下列式子的值：.类型三、二次根式的化简求值5.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简类型四、二次根式的比较大小6.比较大小.(1)与；(2)与；(3)与；(4)与；(5)与.类型五、二次根式的综合应用7．某人用一架不等臂天平称一块铁a的质量，把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为300克；把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为900克，利用所学知识，求这块铁的实际质量.(保留到个位)解：设这块铁的实际质量为x克，天平的左、右臂的长分别为m，n.铁块放在天平左盘时，铁块放在天平右盘时，上下两式相乘，得解得答：这块铁的实际质量约为520克.8．已知：如图，每个小方格的边长都为1，则点C到线段AB所在直线的距离等于多少？解：链接AC、BC，AB的长为，设AB边上的高为h，则即点C到线段AB所在直线的距离等于.总结升华：对于此类问题，要注意勾股定理的应用.注意结合图形发现解决问题的办法，即利用数形结合的思想.。
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《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式
形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1
3,
,0.02,02
等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）
；
（3）.
要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2
a =（0a ≥），
如2
2211
22);
);)33
x x ===（0x ≥）.
（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a .
（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.
（42
的异同
a 可以取任何实数，而2
中的a 必须取非负数；
a ，2=a （0a ≥）.
相同点：被开方数都是非负数，当a 2
.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，
再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法
（1）乘除法法则： 类型 法则
逆用法则
二次根式的乘法
0,0)a b =≥≥
积的算术平方根化简公式：
0,0)a b =≥≥
二次根式的除法
0,0)a b
≥>
商的算术平方根化简公式：
0,0)a b
=≥>
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
=
（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，
即合并同类二次根式. 要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.
【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三
【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②
22
33x x x x
--=
--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴Q
≤0.)
② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴Q ≥2≤3x <)
2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.
【答案】 1.
【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，
所以21x x +-=x +1-x =1.
【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三
【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣
=2，则
+
的值
为_____________． 【答案】5. 解：∵
﹣
=2，
∴=
+2，
两边平方得，25﹣x 2
=4+15﹣x 2
+4，
∴2
=3，
两边平方得4（15﹣x 2
）=9， 化简，得x 2
=，
∴
+
=+=5．
故答案为：5．
3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.
A. 14
B. 48
C. a
b
D. 44a + 【答案】A.
【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；
（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算
4．（2015•武进区一模）下列运算正确的是（ ）
A. B.
C.a 6
÷a 2
=a 3
D.
【答案】B.
【解析】解：A 、与
不能合并，所以A 选项错误； B 、原式=
=，所以B 选项正确；
C 、原式=a 4
，所以C 选项错误； D 、原式=2，所以D 选项错误． 故选B ．
【总结升华】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．同时也考查了同底数幂的除法． 举一反三 【变式】计算：48
54453)833
【答案】243610-.
5.化简20102011(32)(32)+⋅-. 【答案与解析】
201020102010
=(32)(32)(32)(32)(32)(32)
1(32)3 2.
+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦=⋅-=-原式
【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.
6.已知2
2
31,12x x x x
=-+求.
【答案与解析】
2231,1=30,(1)1333
31=
33
x x x x
x x x =∴->∴=
--+==
Q 原式当时，原式
【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三
【变式】已知a b +=-3, ab =1,求
a
b b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b
11++)=-=3ab ab a b
b a ab
∴原式.。