初中数学二次根式知识点总结附解析

一、选择题1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．0≤x≤5C ．x≥5D ．x≤52．,a==ba 、b 可以表示为 （ ）A ．10a b+ B ．10-b aC ．10ab D ．ba3．下列各式成立的是（ ）A3= B3= C．22(3=- D．2-=4．下列计算结果正确的是（ ） AB．3= C=D=5．下列各式中，运算正确的是（ ）A．=-=．2=D2=-6．m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 37．已知44220,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．118．当4x =-的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．39．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠210．若a，b ＝，则a b 的值为（ ）A ．12 B ．14C ．321+D二、填空题11．已知实数,x y满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.12．能力拓展：1:2121A -=+；2:3232A -=+；3:4343A -=+；4:54A -=________．…n A ：________．()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A 和2A∵32+________21+∴32+________21+∴32-________21-()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43-________32-；76-________54-；1n n +-________1n n --13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________；（2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ，的个数是_______________；（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．计算（π-3）02-211(223)-4-22--（）的结果为_____． 15．()2117932x x x y ---=-，则2x ﹣18y 2＝_____．16．甲容器中装有浓度为a 40kg ，乙容器中装有浓度为b 90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：22164?a x a x =则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.18222a a ++的最小值是______．19．计算：652015·652016＝________． 20．化简(32)(322)+-的结果为_________.三、解答题21．先阅读材料，再回答问题： 因为)21211=2121=+；因为(32321=，所以3232=+(43431=4343=+ （154=+ ，1n n=++ ； （2213210099⋅⋅⋅++++的值． 【答案】（1541n n +2）9 【分析】 （1）仿照例子，由54541+=54+的值；由111n nn n +++=11n n++的值；（2）根据（1）中的规律可将每个二次根式分母有理化，可转化为实数的加减法运算，再寻求规律可得答案． 【详解】 解：（1）因为54541-=54+54； 因为111n nn n ++=11n n++1n n +541n n +（2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=．【点睛】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键．22．阅读材料，回答问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式a =，)111=11互为有理化因式．（1）1的有理化因式是；（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：==24====进行分母有理化．（3）利用所需知识判断：若a=，2b=a b，的关系是．（4）直接写结果：)1=．【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019【分析】（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；（3）将a=（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．【详解】解：（1）∵()()1111=，∴1的有理化因式是1；（22243743--==--（3）∵2a===，2b=-，∴a和b互为相反数；（4）)1 ++⨯=)11⨯=)11=20201-=2019，故原式的值为2019.【点睛】本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．23．解：设x222x=++2334x=+，x2=10∴x=10．．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x两边平方得：x2=2+2+即x2=4+4+6，x2=14∴x=．0，∴x．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．24．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．25．计算：（1（2|a﹣1|，其中1＜a【答案】（1）1；（2）1【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算；（2）由二次根式的非负性，a的取值范围进行化简．【详解】解：（1－1＝2－1＝1（2）∵1＜a，a﹣1＝2﹣a＋a﹣1＝1．【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则，主要检验学生的计算能力．1)-26．（1）计算：2（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2 【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．27．（1|5-+；（2）已知实数a 、b 、c 满足|3|a +=，求2(b a +的值．【答案】（1）5；（2）4 【分析】（1）先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，再进行回头运算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定b 的值，再根据非负数的和的意义确定a ，c 的值，然后再计算代数式的值即可． 【详解】解：（15-+5)=+5=+5=（2）由题意可知：5050b b -≥⎧⎨-≥⎩, 解得5b =由此可化简原式得，30a +=30a ∴+=，20c -=3a ∴=-，2c =22((534b a ∴+=--=【点睛】可不是考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．28．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+ 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）解：原式=4=+4=-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可． 【详解】|5|5x x ==-=-， ∴5-x≥0， 解得：x≤5， 故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．C解析：C 【分析】化简即可． 【详解】10ab． 故选C ． 【点睛】的形式． 3．A解析：A 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A 3=，故A 正确；B -不能合并，故B 错误；C、22(3=，故C错误；D、=D错误；故选：A．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．C解析：C【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、分母有理化逐一进行计算判断即可．【详解】A不能合并，故A选项错误；B．-=B选项错误；C=D5==，故D选项错误，故选C．【点睛】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，熟练掌握各运算法则是解题的关键．5．A解析：A【分析】由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A、-=A正确；B=B错误；C、2不能合并，故C错误；D2=，故D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．6．B解析：B【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【详解】310m-≥， 解得13m ≥， 所以，m 能取的最小整数值是1．故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．D解析：D【分析】利用完全平方公式、平方差公式化简第二个等式即可.【详解】44180+=配方得22222180⎡⎤+-+⋅=⎣⎦222180⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦222()180x y +-=22162(2)180xy x xy y +-+=22122()180xy x y ++=将2224x y +=代入得：12224180xy +⨯=计算得：11xy =故选：D.【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的综合应用，熟记公式是解题关键，这两个公式是常考点，需重点掌握. 8．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：原式2223232323x x x x112323x x将4x =代入得， 原式11423423 22111313 3113 133131131=.故选：A.【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．9．D解析：D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．10．B解析：B【解析】【分析】将a可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出a b 的值．【详解】a=b 44=．∴14ab=．故选：B．【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．二、填空题11．1【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 12．(1)、；(2);(3)【解析】【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等解析：(1)=；(2),,><<;(3) ,,<<< 【解析】【分析】 （1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得>1）的结论解答；（3）利用（2）的结论进行填空.【详解】解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以=，（2>1>>，<<（3）由（1）、（2<，故答案为：=；(2),,><<;(3),,<<< 【点睛】 主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.13．（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1,∴＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵，∴，p=20解析：（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°.【解析】（1）∵-1<a<0,b>1, ∴222(1)4a a ab b +--+＝|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵32016p q +=， ∴20163p q =-，p=2016-62016+9q,∴p=14x 3(其中x 为正整数)， 同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,则x+3y=12(x 、y 为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。