第六章 6-4 6-5

所以，超前校正的传递函数为： αT1s +1 2s +1 Gc1(s) = = T1s +1 0.2s +1
（5）校核 串联滞后—超前校正元件的传递函数为：
Gc (s) = Gc1 (s)Gc2 (s) =
βT2s +1 αT1s +1 10s +1 2s +1
=
T2s +1 T1s +1 100s +1 0.2s +1 得出校正后系统的开环传递函数为：
R(s)
_
k s (Ts + 1)
C(ห้องสมุดไป่ตู้)
系统的闭环传递函数
k k k /T GB (s) = = 2 = 2 1 s(Ts +1) + k Ts + s + k s + T s + k / T
ω = 2 2 s + 2ζωn s + ωn
2 n
由此得到： 由此得到：ωn = k / T , ζ = 1/ 2 kT 或 k = ωn / 2ζ , T = 1/ 2ζωn
所谓“希望特性”是指满足给定性能指标的系统 开环渐进幅频特性L(w)，由于这种特性只通过幅频特 性来表示，而不考虑相频特性，故“希望特性”只适 用于最小相位系统。 下面我们典型1型二阶系统为例，看看期望串联校 正如何实现。
一、期望对数频率特性
1、二阶期望特性（1型二阶系统的参考模型） 1型二阶系统的开环揣函数 k G (s) = s (Ts + 1) 从系统的开环传递函数可见，它相当于有一个 放大环节、一个积分环节以及一个惯性环节组成。 它对应的闭环系统为：
可见PID是一滞后—超前元件。
在控制系统中，当采用具有相位滞后—超 前特性的控制器作为系统的校正装置时，这 种校正形式便称为滞后—超前校正。 在实际应用中，一般采用近似PID的形 式，它的传递函数为：
Gc (s) =
αT1s +1 βT2s +1
T1s +1 T2s +1
(α >1,β <1,αT1 < βT2 )
二、滞后—超前校正举例：
滞后—超前校正的步骤见P230 例6-5 某控制 系统的不可变的部分的开 环传递函数为：
k Go ( s) = s( s + 1)(0.5s + 1)
要求系统具有如下性能指标： ①开环增益K=10s-1 ②相位裕度r>500 ③幅值裕度kg(dB)>10(dB) 试确定串联滞后—超前校正装置的参数
滞后－ §6-4 滞后－超前校正参数的确定
滞后－ 一、滞后－超前校正及元件的特性
从前面的学习的PID控制器中我们看到： 从前面的学习的PID控制器中我们看到： PID控制器中我们看到 • 第一项是比例环节，主要为了保证系统的稳态精度； 第一项是比例环节，主要为了保证系统的稳态精度； • 第二项积分环节，主要是为系统增加一个无差度，提 第二项积分环节，主要是为系统增加一个无差度， 高系统的稳态性能；但积分环节的加入使相位滞后90 高系统的稳态性能；但积分环节的加入使相位滞后900， 可见PID控制器由滞后特性； PID控制器由滞后特性 可见PID控制器由滞后特性； • 第三项是微分环节，主要为了增加系统的阻尼比，提 第三项是微分环节，主要为了增加系统的阻尼比， 高系统的稳定性，又由于微分环节使相位超前的作用， 高系统的稳定性，又由于微分环节使相位超前的作用， 提高了系统的相对稳定性和响应速度。可见PID PID控制器 提高了系统的相对稳定性和响应速度。可见PID控制器 又具有超前特性。 又具有超前特性。
[-20]
2ω n
γ = 65 .5 0
ω1 = 2ωn
ωc = k =
ωn 2ζ
[-40]
ω
可见，此时的系统的性能是 比较好的，因此将 ζ = 0.707 时的1邢二阶系统称为“二阶 最佳模型”
由于1型二阶系统，可以保证阶跃输入时，系统 没有误差 (ess = 0) ，并且保证一定精度的条件下，能 跟踪斜坡信号，加上典型1型二阶系统参考模型的性 能指标和结构参数间的关系比较简单，因此在系统的 设计中广泛使用，另外，虽然一般系统均为高阶系统， 但在分析中我们往往抓住对系统动态特性影响较大的 主导极点，也就是说通常可以将高阶系统简化为一个 二阶系统来研究。 例：某单位反馈系统的开环传递函数为
× 100% 4
调整时间： 调整时间： ts =
3
ζω n
或
ζω n
(0 < ζ < 0.8)
ζ 闭环频域指标与参数 ωn ， 间的关系
谐振峰值： 谐振峰值： Mr =
ζ = 0.1
1 2ζ 1− ζ
2 2
(0 < ζ ≤ 0.707) (0 < ζ ≤ 0.707)
谐振频率： 谐振频率： ωr = ωn 1− 2ζ
可见，1型二阶系统是一个典型的二阶系统，于 二阶系统的标准传递函数形式比较可得到1型二 阶系统的k，T与二阶系统的 ωn ，ζ 之间的关 系。 0 在前面的学习中我们知道， < ζ < 1时，系 统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，其时域 指标与参数间的关系为
超调量 σ % = e
−πζ / 1−ζ 2
从图中得到：
ω co = 2 .43 rad / s ω go = 1 .4 rad / s γ o = − 28 o < 50 o
kg 0 = − 10 .5 dB
可见，系统指标不满足要求，且系统时不稳 定的。所以需校正。 确定Wc （2）确定Wc 若wc取得过大，则要补偿的超前角过大，实 现困难；若wc取得过小，则对系统的快速性不利， 对完全复现输入信号也可能不利。一般当系统对 wc无特殊要求时，可选wc等于wgo,
所以，滞后校正装置的传递函数为：
Gc1(s) =
βT2s +1 10s +1
T2s +1 = 100s +1
（4）确定超前校正参数 因为在wc处有 w
20 lg Go ( jωc )Gc ( jωc ) = 0 则 20lg G c ( jωc ) = −20 lg Go ( jωc ) = −11 dB
③上述各校正部分能发挥各自长处的关键是 参数的选取，若参数选择适当，那么，滞 后—超前校正即可提高系统的动态性能又 可提高系统的稳态性能。
§6-5 用希望对数频率特性确定校正参数
在受控对象、控制元件和控制方案均确定的情况 下，理论设计工作实际就是计算和选择校正装置，使 系统的性能符合性能指标的要求。 对于一个控制系统，如果根据对系统提出的性能 指标按“三频段”的概念，先建立一个期望的、符合 性能指标的开环频率特性，然后把它与未校正系统的 开环频率特性进行比较，最后得出应在未校正系统中 加入的串联校正装置的特性和参数，这种方法称为期 望串联校正法。
可见校正后，系统的各项指标都满足了性能 指标的要求
通过Matlab观察校正前后的阶跃响应图
num=[10]; % 未校正前的传递函数分子 den=conv([1 1 0],[0.5 1]); %未校正前传递函数分母 num1=conv([10 1],[2 1]); %校正装置传递函数的分子 den1=conv([100 1],[0.2 1]); %校正装置传递函数的分母 num2=conv(num,num1); %校正后系统传递函数分子 den2=conv(den,den1); %校正后系统传递函数分母 [numb,denb]=cloop(num,den); [num2b,den2b]=cloop(num2,den2); subplot(2,1,1) step(numb,denb) subplot(2,1,2) step(num2b,den2b)
又因为滞后—超前校正的最大幅值为：
Lm = 20lg β = 20lg 0.1 = −20 (dB)
过横坐标为Wc，纵坐标为-11dB的点，作 +20dB/dec直线与0dB线以及与Lm线分别相交于
1 α T = 0 . 5 ⇒ α T1 = 2 1 1 = 5 ⇒ T1 = 0 . 2 T1
γ = tg
−1
2ζ 1+ 4ζ 2 − 2ζ 2
曲线为： 当 ζ = 0.707 时，开环对数频率特性 曲线为：
L(ω)
此时： σ % = 4 .3 %, t s = 4 .2 / ω n 此时： M r = 1, ω r = 0 , ω b = ω n
ω c = 0 .707 ω n , ω1 =
(6- 32)
近似PID控制器的有源网络可采用教材中图 6-22所示的电路来实现。
滞后—超前校正环节的频率特性为： jαT1ω +1 jβT2ω +1 Gc ( jω) = (α >1,β <1,αT1 < βT2 ) jTω +1 jT2ω +1 1 滞后—超前环节的Bode图 滞后 超前环节的Bode图 超前环节的Bode
G(s) = Go (s)Gc (s) 10 (10s +1) (2s +1) = s(s +1)(0.5s +1) (100s +1) (0.2s +1)
num=[10]; % 未校正前的传递函数分子 den=conv([1 1 0],[0.5 1]); %未校正前传递函数分母 bode(num,den); %未校正前系统的Bode图 num1=conv([10 1],[2 1]); %校正装置传递函数的分子 den1=conv([100 1],[0.2 1]); %校正装置传递函数的分母 num2=conv(num,num1); %校正后系统传递函数分子 den2=conv(den,den1); %校正后系统传递函数分母 hold on bode(num1,den1); bode(num2,den2)