2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理同步学案新人教A版选修1_2
广东省汕头市高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理教案 新人教A版选修1-2
演绎推理课时安排：一课时教学目标：1. 了解演绎推理的含义。
2. 能正确地运用演绎推理进行简单的推理。
3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理进行简单的推理教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学过程：一．复习:合情推理归纳推理从特殊到一般类比推理从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。
类比――提出猜想二．问题情境。
观察与思考1所有的金属都能导电铜是金属,所以，铜能够导电2.一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数，所以， (2100+1)不能被2整除.3.三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,所以，tan α是周期函数。
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？二．学生活动：1.所有的金属都能导电←————大前提铜是金属, ←-----小前提所以，铜能够导电←――结论2.一切奇数都不能被2整除←————大前提（小前提）是二次函数函数12++=x x y (2100+1)是奇数，←――小前提所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论3.三角函数都是周期函数, ←——大前提tan α 是三角函数, ←――小前提所以，tan α是 周期函数。
←――结论三，建构数学演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． １．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论） 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. 四，数学运用恢复成完全三段论。
的图象是一条抛物线”、把“函数例112++=x x y 解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）例2.已知lg2=m,计算lg0.8解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提lg8=lg23————小前提lg8=3lg2————结论 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提lg0.8=lg(8/10)——－小前提 结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12++=x x ylg0.8=lg(8/10)——结论例3.如图;在锐角三角形ABC 中,AD ⊥BC, BE ⊥AC,D,E 是垂足,求证AB 的中点M 到D,E 的距离相等解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC 中,AD ⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提所以△ABD 是直角三角形——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提 因为 DM 是直角三角形斜边上的中线,——小前提所以 DM= 21AB ——结论同理 EM= AB所以 D M=EM.练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题五 回顾小结：演绎推理具有如下特点:课本第33页 。
2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理优质课件 新人教A版选修2-
• 『规律总结』 (1)由已知数式进行归纳推理的 • ①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等
化规律或结构形式的特征． • ②提炼出等式(或不等式)的综合特点． • ③运用归纳推理得出一般结论．
• (2)归纳推理在图形中的应用策略
• 〔跟踪练习1〕
• 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律 图案，则第六个图案中有菱B形纹的正六边形的 )
．因此，它们在形状上也应该B类似，“锯子” 的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B．类比推理
• C．没有推理 D．以上说法都不对
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质 类比推理．
3．等差数列{an}中，an>0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7，类比 比数列{bn}中，若 bn>0，q>1，写出 b5，b7，b4，b8 的一个不等关
• 周长 ↔ 表面积，
• 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性
示：
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直 球心与截面圆(不是大圆
于弦
线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离不等的两弦不等，距圆心 较近的弦较长
与球心距离相等的两截 与球心距离不等的两截 球心较近的截面圆较大
从具体问 题出发 → 观察、分析、 比较、联想 → 归纳 过程
→ 提出__猜__想___
• 1．(2018·周口期末)下列表述正确A 的是( )
• ①归纳推理是由部分到整体的推理；
• ②归纳推理是由一般到一般的推理；
• ③类比推理是由特殊到一般的推理；
• ④演绎推理是由一般到特殊的推理；
精品2019学年高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析新人教A版选修22
2．1.2 演绎推理看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22 017＋1)是奇数，所以(22 017＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理．问题2：第二句又都说的什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例做出判断．1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列．(大前提)通项公式a n＝3n＋2，n≥2时，a n－a n－1＝3n＋2－＝3(常数)．(小前提)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2)的数列{a n}为等差数列．(结论)三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”．其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．把下列推断写成三段论的形式：(1)y＝sin x(x∈R)是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．解：(1)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提∠1和∠2是对顶角，小前提∠1和∠2相等．结论角△ABC中，AD，BE是高，D ，E 为垂足，M 为AB 的中点．求证：ME ＝MD .∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，……大前提 在△ABD 中，AD ⊥CB ，∠ADB ＝90°，………………………………小前提∴△ABD 为直角三角形．………………………………………………结论 同理△ABE 也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，………………大前提M 是直角△ABD 斜边AB 上的中点，DM 为中线，………………………………小前提∴DM ＝12AB . ……………………………………………………………………………结论同理EM ＝12AB .∵和同一条线段相等的两条线段相等，………………………………………………大前提DM ＝12AB ，EM ＝12AB ，……………………………………………………………小前提∴ME ＝MD .结论三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．如图，已知在梯形ABCD 中，，AB ＝CD ＝AD ，AC 和BD 是梯形的对角线，求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .证明：∵等腰三角形两底角相等，………………………………………………大前提 △DAC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，………………………………小前提 ∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，………………………………大前提 ∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，………………………………小前提 ∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，……………………………………………………大前提 ∠2＝∠1，∠3＝∠1，………………………………………………………………小前提 ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD . …………………………………………………………结论 同理可证DB 平分∠CBA .已知函数f (x )＝a x＋x ＋1(a ＞1)，求证：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．如果在(－1，＋∞)上f ′(x )>0，那么函数f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，……………………………………………………………………………………………大前提∵a >1，∴f ′(x )＝a xln a ＋3x ＋2>0，………………………………………………小前提∴函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．………………………………………………结论使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．(2)证明中常见的错误： ①条件分析错误(小前提错)． ②定理引入和应用错误(大前提错)． ③推理过程错误等．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m.证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，……………大前提b ＜a ，m ＞0，………………………………………………………………小前提所以mb ＜ma . …………………………………………………………………………结论 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，…………………………大前提mb ＜ma ，………………………………………………………………………………小前提所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．………………………………结论 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，……………………………大前提b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，………………………………小前提所以b a ＋m a a ＋m ＜a b ＋m a a ＋m ，即b a ＜b ＋ma ＋m.………………………………结论6．混淆三段论的大、小前提而致误定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，有f (x －y )＋f (x ＋y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，求证：f(x)是偶函数．证明：令x＝y＝0，则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)．又因为f(0)≠0，所以f(0)＝1.令x＝0，则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，所以f(－y)＝f(y)，因此，f(x)是偶函数．以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的“三段论”，其中大前提是________________________________________________________________________．通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提—小前提—结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________(填序号)．①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．答案：④1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：选B 得出“四边形ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上述推理错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数．3．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义，即a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．解析：由三段论的形式可知，结论是log 2x －2≥0. 答案：log 2x －2≥04．用三段论证明函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：①________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________(大前提) ②________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(小前提) ③________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(结论)答案：①如果函数f (x )满足：在给定区间内任取自变量的两个值x 1，x 2，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )在给定区间内是增函数．②任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2，由于1＜x 1＜x 2，故x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，即x 1x 2－1＞0，所以f (x 1)＜f (x 2)．③函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数．5．将下列推理写成“三段论”的形式．(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；(3)0.332·是有理数．解：(1)向量是既有大小又有方向的量．………………………………大前提 零向量是向量．……………………………………………………………小前提零向量也有大小和方向．………………………………………………结论 (2)每一个矩形的对角线相等．……………………………………………大前提 正方形是矩形．………………………………………………………………小前提 正方形的对角线相等．………………………………………………………结论 (3)所有的循环小数都是有理数．……………………………………………大前提0．332·是循环小数．…………………………………………………………小前提0．332·是有理数．……………………………………………………………结论一、选择题1．给出下面一段演绎推理： 有理数是真分数，大前提 整数是有理数，小前提 整数是真分数．结论结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数． 2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( ) A ．演绎推理 B ．类比推理 C ．合情推理 D ．归纳推理解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理． 3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° B ．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由三角形的性质，推测四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出a n 的通项公式解析：选A B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”补充以上推理的大前提( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B.5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况． 二、填空题6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误． 答案：大前提7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；小前提：△ABC 的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；结论：△ABC 是直角三角形．答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形8．若不等式ax 2＋2ax ＋2＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________． 解析：①a ＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0≤a ≤2，所以0＜a ≤2.综上可知，实数a 的取值范围是． 答案： 三、解答题9．如下图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是正方形，E ，F ，G 分别是棱B 1B ，D 1D ，DA 的中点．求证：(1)平面AD 1E ∥平面BGF ； (2)D 1E ⊥AC .证明：(1)∵E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点， ∴D 1F 綊BE ，∴四边形BED 1F 是平行四边形，∴D 1E ∥BF .又∵D 1E ⊄平面BGF ，BF ⊂平面BGF ， ∴D 1E ∥平面BGF .∵F ，G 分别是D 1D 和DA 的中点， ∵FG 是△DAD 1的中位线，∴FG ∥AD 1. 又∵AD 1⊄平面BGF ，FG ⊂平面BGF ， ∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E ＝D 1， ∴平面AD 1E ∥平面BGF . (2)如右图，连接BD ，B 1D 1， ∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .∵D 1D ⊥AC ，BD ∩D 1D ＝D ， ∴AC ⊥平面BDD 1B 1.∵D 1E ⊂平面BDD 1B 1，∴D 1E ⊥AC .10．在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{}a n －n 是等比数列． (2)求数列{}a n 的前n 项和S n .(3)证明不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立． 解：(1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *. 又因为a 1－1＝1，所以数列{}a n －n 是首项为1， 公比为4的等比数列． (2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{}a n 的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{}a n 的前n 项和S n ＝4n－13＋n n ＋2.(3)证明：对任意的n ∈N *， S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋n ＋n ＋2－44n－13＋n n ＋2＝－12(3n 2＋n －4)≤0，所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．。
近年-高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 演绎推理学案 新人教A版选修1-2(2021年整理)
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2.1.2 演绎推理1．理解演绎推理的意义．（重点)2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．（难点）3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．(易混点)[基础·初探］教材整理演绎推理阅读教材P30~P32的内容，完成下列问题．1．演绎推理（1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．（2)特点：由一般到特殊的推理．2．三段论一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P判断（正确的打“√”,错误的打“×")（1)演绎推理一般模式是“三段论"形式．（）（2)演绎推理的结论是一定正确的．( )（3）演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．（)【解析】（1)正确．演绎推理一般模式是“三段论”形式,即大前提、小前提和结论．（2）错误．在演绎推理中,只有“大前提”“小前提”及推理形式都正确的情况下，其结论才是正确的．(3）错误．演绎推理是由一般到特殊的推理．【答案】（1)√(2）×（3)×[小组合作型]把演绎推理写成三段论的形式（1）一切奇数都不能被2整除,75不能被2整除，所以75是奇数；（2)三角形的内角和为180°,Rt△ABC的内角和为180°；（3）菱形的对角线互相平分；(4)通项公式为a n＝3n＋2(n≥2）的数列{a n}为等差数列．【精彩点拨】首先分析出每个题的大前提、小前提及结论,再写成三段论的形式．【自主解答】(1)一切奇数都不能被2整除．（大前提）75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提）Rt△ABC是三角形．(小前提）Rt△ABC的内角和为180°。
2019人教A版数学选修1-2同步配套课件：第二章 推理与证明2-1-2
5－1 [ 解析] ∵a＝ 2 ∈(0,1)， ∴函数 f(x)＝ax 是减函数， 又∵f(m)>f(n)，∴m<n.
• 5．判断下列推理是否正确？为什么？
• “因为过不共线的三点有且仅有一个平 面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提
)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(
结论)．”
互动探究学案
• 所以ED＝AF.
命题方向3 ⇨演绎推理在代数问题中的应用
[ 思路分析] 解答本题所依据的大前提是“在区间(a，b)内，若 f ′(x)<0，则 1 y＝f(x)在(a，b)内是减函数.”小前提是“f(x)＝x2在(0，＋∞)上满足 f ′(x)<0”． 写解题过程的关键环节就是验证 f ′(x)<0 在(0，＋∞)上成立．
多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我
• 1．演绎推理
一般性的原 某个特殊
• 理 从______________ 出发，推出_________ 一般到特
情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推
一般原理 理，简言之，演绎推理是由 ___________的 殊
特殊情
况
推理．
判断 • (3)结论——根据一般原理，对特殊情况
做出的______.
• 其一般推理形式为 S是P • 大前提：M是P.
质P S是M. • 小前提： S中所有元素也都具有性
• 结 论：______.
• 3．在演绎推理中，前提与结论之间存在
结论
必然的联系，只要前提是真实的，推理的形 不一定 式是正确的，那么______必定是正确的．因
而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合
第二章
推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2019版高中数学 第二章 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理学案 新人教A版选修2-2
2．1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( ×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)类型一归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理例1 (1)观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)x1－4xx1－2n－1x解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)． (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x .引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N *)的表达式． 解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1－2x 1－x1－2x＝x1－3x， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x1－3x 1－x1－3x＝x1－4x.因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx.反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数列中的应用解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．命题角度2 图形中的归纳推理例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 C解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2. 类型二 类比推理命题角度1 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案T 8T 4 T 12T 8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性： 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1， 则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q 120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T12，故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比)：跟踪训练3 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n 时，数列{d n }也是等比数列．命题角度2 几何中的类比推理例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l2 ＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．不可类比考点 类比推理的应用 题点 平面曲线的类比 答案 C解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1， 可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色． 3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 C解析 利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 40解析图1中的点数为4＝1×4，图2中的点数为8＝2×4，图3中的点数为12＝3×4，…，所以图10中的点数为10×4＝40.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 考点 类比推理的应用题点 类比推理的方法、形式和结论 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则其中正确的结论是( )A．①② B．②③C．③④ D．①④考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 B解析根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0172小于( ) A.4 0312 017 B.4 0322 017 C.4 0332 017D.4 0342 017考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 C解析 观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为1＋122＋132＋…＋12 0172<4 0332 017. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 由已知中的图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个， 故选B. 二、填空题 9．观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …；照此规律，第n 个等式为________． 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2解析 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析 平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则猜想其四维测度W ＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 2πr 4解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l .三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .∴四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝8πr 3，∴W＝2πr 4.12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案n解析 根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n .13．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y－b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为______________．考点 类比推理的应用 题点 平面曲线之间的类比 答案x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 解析 类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.三、探究与拓展14．正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为( )A ．2 016×2 017B ．2 017×2 018C ．2 018×2 019D ．2 019×2 020考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案 B解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018. 15．已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．理由如下：如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。
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1 2.1.2 演绎推理 学习目标 1.了解演绎推理的含义及其重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并进行一些简单的推理.3.利用具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的区别和联系．
知识点一 演绎推理 思考1 分析下面几个推理，找出它们的共同点． (1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电； (2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除． 答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论． 思考2 演绎推理的结论一定正确吗？ 答案 所得结论不一定正确． 梳理 演绎推理的定义特点 定义 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理 特点 由一般到特殊的推理
知识点二 三段论 思考1 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？ 答案 分为三段． 大前提：所有的金属都能导电． 小前提：铜是金属． 结论：铜导电．
思考2 在用三段论证明“已知f(x)＝lg 2＋x2－x，则f(x)是奇函数”时，大前提是什么？ 答案 大前提为：奇函数的定义，即若对于函数f(x)的定义域中任意x，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 梳理 三段论的一般模式 一般模式 常用格式 大前提 已知的一般原理 M是P 小前提 所研究的特殊情况 S是M 2
结论 根据一般原理，对特殊情况作出的判断 S是P 知识点三 演绎推理与合情推理的关系
区别 推理形式 合情推理 演绎推理 归纳推理 类比推理
部分→整体 个别→一般 特殊→特殊 一般→特殊
推理所得结论 不一定正确 不一定正确 不一定正确 联系 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理
1．演绎推理的结论一定正确．( × ) 2．在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况作出的判断．( √ ) 3．大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的．( √ )
类型一 演绎推理概念的理解 例1 (1)演绎推理是( ) A．由部分到整体、由个别到一般的推理 B．由特殊到特殊的推理 C．由一般到特殊的推理 D．由一般到一般的推理 考点 演绎推理的含义及方法 题点 演绎推理的含义 (2)《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( ) A．类比推理 B．归纳推理 C．演绎推理 D．一次三段论 考点 演绎推理的含义及方法 题点 判断推理是否为演绎推理 3
答案 (1)C (2)C 解析 (1)由演绎推理的定义可知． (2)这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用了五次三段论，属于演绎推理的形式． 反思与感悟 演绎推理是从一般到特殊的推理，这是它不同于其它推理的根本区别． 跟踪训练1 给出下列说法： ①演绎推理的特征为：前提为真时，结论一定为真； ②演绎推理的特征为：前提为真时，结论可能为真； ③由合情推理得到的结论一定为真； ④演绎推理和合情推理都可以用于证明； ⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明． 其中正确说法的序号为________． 考点 演绎推理的含义及方法 题点 演绎推理的含义 答案 ②⑤ 解析 结合合情推理与演绎推理的概念判断． 类型二 把演绎推理写成三段论 例2 将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B； (3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列． 考点 三段论 题点 三段论的结构 解 (1)平行四边形的对角线互相平分，大前提 菱形是平行四边形，小前提 菱形的对角线互相平分．结论 (2)等腰三角形的两底角相等，大前提 ∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提 ∠A＝∠B.结论 (3)在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，大前提 当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2， 则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提 通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．结论 反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一 4
个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 跟踪训练2 (1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________． (2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为 大前提：________________________________________________________________________. 小前提：________________________________________________________________________. 结论：________________________________________________________________________. 考点 三段论 题点 三段论的结构 答案 (1)② (2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
类型三 演绎推理的实际应用 例3 (1)“因为对数函数y＝logax(x>0)是增函数(大前提)，而y＝13logx是对数函数(小前
提)，所以y＝13logx是增函数(结论)”．上面的推理( ) A．大前提错导致结论错 B．小前提错导致结论错 C．推理形式错导致结论错 D．大前提和小前提都错导致结论错 考点 三段论 题点 大前提错误导致结论错误 答案 A 解析 对数函数y＝logax(x>0)不是增函数，只有当a>1时，才是增函数，所以大前提是错误的． (2)用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C. 考点 三段论 题点 三段论的应用 证明 如图所示，延长AB，DC交于点M. 5
平行线分线段成比例(大前提)， 在△AMD中，AD∥BC(小前提)， MBBA＝MCCD(结论)．
等量代换(大前提)， AB＝CD(小前提)，
MB＝MC(结论)．
在三角形中，等边对等角(大前提)， MB＝MC(小前提)，
∠1＝∠2(结论)． 等量代换(大前提)， ∠ABC＝π－∠1，∠DCB＝π－∠2(小前提)， ∠ABC＝∠DCB(结论)． 反思与感悟 在进行演绎推理时，小前提往往是我们进行推理的条件，大前提是推理的依据，然后由条件依据大前提得出结论．三段论推理是演绎推理的一般模式，同时也是一种最常用的推理．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，有时把一个三段论的结论作为另一个三段论的前提．三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用． 跟踪训练3 用三段论形式写出求解下列题目的主要解答过程． 已知不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，求实数a的值． 考点 三段论 题点 三段论的应用 解 推理的第一个关键环节： 大前提：若不等式f(x)<0的解集为(m，n)， 且f(m)，f(n)有意义， 则m，n是方程f(x)＝0的实数根． 小前提：不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)， 且x＝－1与x＝2都使|ax＋2|－6有意义． 结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根， 所以|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立． 推理的第二个关键环节： 6
大前提：如果|x|＝a，a>0，那么x＝±a. 小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6. 结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6. 故可得出结论a＝－4.
1．指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理( ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．正确 考点 “三段论”及其应用 题点 小前提或推理形式错误导致结论错误 答案 B 解析 此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B. 2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是( ) A．① B．② C．③ D．①和② 考点 三段论 题点 三段论的结构 答案 B 解析 大前提为①，小前提为②，结论为③. 3．用演绎推理证明y＝x2，x∈(－∞，0)是减函数时，大前提是________． 考点 三段论 题点 三段论的结构 答案 减函数的定义 4．求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义，a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是________． 考点 三段论 题点 三段论的结构 答案 log2x－2≥0 解析 由三段论形式得，结论应为log2x－2≥0.