高中数学 合情推理与演绎证明课件一 新人教A版选修1-2
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人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.1.1合情推理 (共82张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
高中数学人教A版选修1-2第二章 2.1 2.1.1 合情推理课件
合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
预习课本 P22～29，思考并完成下列问题
(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？ (2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？ (3)合情推理的含义是什么？
[新知初探]
1．归纳推理和类比推理
[点睛] (1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事 实出发，推断猜想新的结论．
[解] 如图所示，在四面体 P-ABC 中，S1，S2， S3，S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA，△ ABC 的面积，α，β，γ 依次表示平面 PAB，平面 PBC， 平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为
S=S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ.
1．类比推理的步骤 (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)． (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得 出一个猜想． (3)检验这个猜想．
2．平面图形与空间图形类比如下
[活学活用] 1．在△ABC 中，D 为 BC 的中点，则 AD＝12(AB+ AC )，将命题
类比到四面体中去，得到一个命题为：________________ _____________________________________.
[典例] (1)观察下列各式：
a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，
则 a10＋b10＝
()
A．28
B．76
C．123
D．199
(2)已知 f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1， 且 n∈N*)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表 达式为________．
2．1.1 合情推理
预习课本 P22～29，思考并完成下列问题
(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？ (2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？ (3)合情推理的含义是什么？
[新知初探]
1．归纳推理和类比推理
[点睛] (1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事 实出发，推断猜想新的结论．
[解] 如图所示，在四面体 P-ABC 中，S1，S2， S3，S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA，△ ABC 的面积，α，β，γ 依次表示平面 PAB，平面 PBC， 平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为
S=S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ.
1．类比推理的步骤 (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)． (2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得 出一个猜想． (3)检验这个猜想．
2．平面图形与空间图形类比如下
[活学活用] 1．在△ABC 中，D 为 BC 的中点，则 AD＝12(AB+ AC )，将命题
类比到四面体中去，得到一个命题为：________________ _____________________________________.
[典例] (1)观察下列各式：
a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，
则 a10＋b10＝
()
A．28
B．76
C．123
D．199
(2)已知 f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1， 且 n∈N*)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表 达式为________．
高中数学第二章推理与证明本章整合课件新人教A版选修1_2
第二章 推理与证明 本 章 整 合
专题1
专题2
专题3
专题一 合情推理和演绎推理在解题中的应用 1.合情推理的应用 归纳推理和类比推理是常用的合情推理,都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的 推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性 的结论的推理方法,它在科学研究或数学学习中有着重要的作用, 有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论,或预测答案、探索 解题思路等;类比推理是由特殊到特殊的推理,它以比较为基础,有 助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等.合情推理的结 论不一定正确,有待于演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是 通过合情推理获得的,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
专题1
专题2
专题3
通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相 应的四个相邻的数有关.具体关系可以从上表看出,如果用an表示第 四行的第n个数,那么an=8n+4. 现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数. 注意到第四行中最大的数是7 980<999×8,所以k=4. 由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3 996,它是第四 行的第(3 996-4)÷8=499(项),即a499=3 996就是第四行中能被999整 除的数.
������1 ������2 ������3 = = ; sin������ sin������ sin������
2 2 2 ������1 = ������2 + ������3 − 2S2S3cos α, 2 2 2 ������2 = ������1 + ������3 − 2S1S3cos β, 2 2 2 ������3 = ������1 + ������2 − 2S1S2cos γ. 下面给出证明.
专题1
专题2
专题3
专题一 合情推理和演绎推理在解题中的应用 1.合情推理的应用 归纳推理和类比推理是常用的合情推理,都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的 推理.从推理形式上看,归纳推理是由部分特殊的对象得到一般性 的结论的推理方法,它在科学研究或数学学习中有着重要的作用, 有助于发现新知识、探索新规律、检验新结论,或预测答案、探索 解题思路等;类比推理是由特殊到特殊的推理,它以比较为基础,有 助于启迪思维、触类旁通、拓宽知识、发现命题等.合情推理的结 论不一定正确,有待于演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是 通过合情推理获得的,合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.
专题1
专题2
专题3
通过观察、分析,可以看出:第四行的任一个数都和第一行中相 应的四个相邻的数有关.具体关系可以从上表看出,如果用an表示第 四行的第n个数,那么an=8n+4. 现在要找出an=8n+4=999k的an,显然k应是4的倍数. 注意到第四行中最大的数是7 980<999×8,所以k=4. 由此求出第四行中能被999整除的数是999×4=3 996,它是第四 行的第(3 996-4)÷8=499(项),即a499=3 996就是第四行中能被999整 除的数.
������1 ������2 ������3 = = ; sin������ sin������ sin������
2 2 2 ������1 = ������2 + ������3 − 2S2S3cos α, 2 2 2 ������2 = ������1 + ������3 − 2S1S3cos β, 2 2 2 ������3 = ������1 + ������2 − 2S1S2cos γ. 下面给出证明.
【数学】2.1《合情推理与演绎证明》课件1(新人教A版选修1—2)
续 述 程 能 出 个 想 ? 你 继 上 过 ,你 提 一 猜 吗
根据上述过程, 哥德巴赫大胆地猜想 : 任何一个 不小于 6 的偶数都等于两个奇质数的和.这是正 确的吗 ? 多少年来, 许多优秀的数学家都在努力 证明这个猜想, 而且取得了很好的进展.
现在, 我们来考察一下哥德巴赫提出猜想的推理 过程 : 通过对一些偶数 的验证 , 他发现它们总可 以表示成两个奇质数之和, 而且没有出现反例.于 是, 提出猜想 " 任何一个不小于6的偶数都等于 两个奇质数之和".
章 们 学 两 基的 理 合 本 我 将 习 种本 推 情 理 演 推 . 情 理 有 测 发 推 和 绎 理合 推 具 猜 和 新 论 探 和 供 决 题 思 现 结 、 索 提 解 问 的 路 方 的 用 绎 理 具 证 结, 和 向 作 ;演 推 则 有 明 论
理 建 知 体 的用 公 体 整 和 构 识 系 作 ,是 理 系 的 本 理 法 此 们 系 密、 中 基 推 方 .因 它 联 紧 、 密 辅 成 为 得 学 论 基 手 相 相 ,成 获 数 结 的 本 . 时 们 要 习 明两 基 方 段同 我 还 学 证 的 类 本 法 证 的 法 分 法 综 直接 明 方 (如 析 、 合 法 数 归 法和 接证 的 法 如 、 学 纳 ) 间 明 方 ( 证 ) 反 法 ,从 体 证 的 能 特 ,了 中 会 明 功 和点 数 证 的 本 法 受 辑 明 解 学 明 基 方 ,感 逻 证 在 学 及 常 活 的用 成 之 数 以 日 生 中 作 ,养 言 有 、 证 据 习. 理 论 有 的 惯
? 思考 科学家做出上述猜想的 推理过程是怎样的 在提出上述猜想过程中, 科学家对比了火星与地球 之间的某些相似特征,然后从地球的一个已知特征 (有性命存在)出发, 猜测火星也可能具有这个特征.
最新人教版高中数学选修1-2-2.1.1合情推理ppt课件
a+0=a
我们要根据实际情况选择适当的类比对象．如：
平面 正方形 圆 三角形
空间 正方体 球 三棱锥
数学应用：
例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质. 解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
等式
(1) a=b (2) a=b (3) a=b
a+c=b+c ac=bc a2=b2等等
仍然是一个实数。 （2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
a+b=b+a
ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆
运算是除法。
方程
a＋x=0
ax=1(a≠0）
解
a=－x
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的积都等于原来的数， 即
歌德巴赫大胆的猜想: 任何一个不小于6的偶数都 等于奇质数的和
一.归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物
的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一
般结论的推理,称为归纳推理.
归纳推理是由…...到…..,由…...到…....
部分 整体 个别
一般
例如:由铜\铁\金等金属能导电,归纳出:一切金属都能导电.
据说歌德巴赫无意中观察到: 3+7=10,3+17=20,13+17=30 他有意把上面的式子改成: 10=3+7,20=3+17,20=13+17 其中 反映出这样一个规律: 偶数=奇质数+奇质数
我们要根据实际情况选择适当的类比对象．如：
平面 正方形 圆 三角形
空间 正方体 球 三棱锥
数学应用：
例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质. 解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：
等式
(1) a=b (2) a=b (3) a=b
a+c=b+c ac=bc a2=b2等等
仍然是一个实数。 （2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
a+b=b+a
ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c)
(ab)c=a(bc)
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆
运算是除法。
方程
a＋x=0
ax=1(a≠0）
解
a=－x
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的积都等于原来的数， 即
歌德巴赫大胆的猜想: 任何一个不小于6的偶数都 等于奇质数的和
一.归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物
的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一
般结论的推理,称为归纳推理.
归纳推理是由…...到…..,由…...到…....
部分 整体 个别
一般
例如:由铜\铁\金等金属能导电,归纳出:一切金属都能导电.
据说歌德巴赫无意中观察到: 3+7=10,3+17=20,13+17=30 他有意把上面的式子改成: 10=3+7,20=3+17,20=13+17 其中 反映出这样一个规律: 偶数=奇质数+奇质数
18学年高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理课件新人教A版选修1_2
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 观察如图所示的“三角数阵”
记第n(n>1)行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角 数阵”的特征,完成下列各题: (1)第6行的6个数依次 为 、 、 、 、 、 ; (2)依次写出a2,a3,a4,a5; (3)归纳出an+1与an的关系式.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思归纳推理具有从特殊到一般,从具体到抽象的认知功能.在求 数列的通项或前n项和的问题中,经常用归纳推理得出关于前面有 限项的结论,此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一,以 便于寻找规律,归纳猜想.其具体步骤是: (1)通过条件求得数列中的前几项; (2)观察数列的前几项,寻求项的规律,猜测数列的通项公式.
)
解析:根据所给出的数塔的构成规律,经分析、比较,可猜测123 456×9+7的值是由7个1排成的正整数,故选B. 答案:B
2.合情推理
含 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后 义 提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理 过 程
平面图形 点 线 圆 三角形 角 边长 周长 面积 … 空间图形 线 面 球 四面体 二面角 面积 表面积 体积 …
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图所示,在△ABC中,射影定理可表示为 a=b· cos C+c· cos B,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边.类比上述定理, 写出对空间四面体性质的猜想.
2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 1 2
= −1,2 015=671×3+2, = − 2.
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
![数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)](https://img.taocdn.com/s3/m/33509701bd64783e08122b1f.png)
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 科学发现中的推理》精品课件_2
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不 是犯罪呢？
情景创设2：完成下列填空并观察下列推理有什么特点？
1.马有四条腿, 因为白马是马,
所以 白马有四条腿
一般性原理 特殊情况
结论
2.学生要遵守校规校纪, 因为小刚是学生, 所以 小刚要遵守校规校纪
3.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数,
ACD BCD
四、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由特殊到一般的 由特殊到特殊的 由一般到特殊的形式 推理推理 Nhomakorabea推理
区
别 推理 结论不一定正确，有待进一 结论 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
（2)推理的结论正确吗？为什么？
推理形式正确，但推理结论错误，因为 大前提错误。
观察：下面是某同学的证明过程，你认为对吗？
如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，求证： ∠ACD > ∠BCD.
C
证明：在△ABC 中，因为 CD AB ,
AC > BC, 所以AD > BD，
证明:(1)因为有一个内角是直角
的三角形是直角三角形,
大前提 E C D
在△ABC中,AD⊥BC,∠ADB=900, 小前提
所以△ADB是直角三角形.
结论
同理△AEB是直角三角形.
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提
M是Rt△ADB斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, 小前提 注意D：M（1）12书A写B 时，若大前提是显然的，可以省略，因为大结前论提 一般同都理是D定E理、1公AB理、所性以质等DM=EM.
情景创设2：完成下列填空并观察下列推理有什么特点？
1.马有四条腿, 因为白马是马,
所以 白马有四条腿
一般性原理 特殊情况
结论
2.学生要遵守校规校纪, 因为小刚是学生, 所以 小刚要遵守校规校纪
3.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数,
ACD BCD
四、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由特殊到一般的 由特殊到特殊的 由一般到特殊的形式 推理推理 Nhomakorabea推理
区
别 推理 结论不一定正确，有待进一 结论 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
（2)推理的结论正确吗？为什么？
推理形式正确，但推理结论错误，因为 大前提错误。
观察：下面是某同学的证明过程，你认为对吗？
如图，在△ABC 中，AC > BC , CD是AB上的高，求证： ∠ACD > ∠BCD.
C
证明：在△ABC 中，因为 CD AB ,
AC > BC, 所以AD > BD，
证明:(1)因为有一个内角是直角
的三角形是直角三角形,
大前提 E C D
在△ABC中,AD⊥BC,∠ADB=900, 小前提
所以△ADB是直角三角形.
结论
同理△AEB是直角三角形.
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提
M是Rt△ADB斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, 小前提 注意D：M（1）12书A写B 时，若大前提是显然的，可以省略，因为大结前论提 一般同都理是D定E理、1公AB理、所性以质等DM=EM.
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2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1 ＝1
第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1 ＝1 n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
.
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆. 于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面 心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 近的弦较长. 的截面圆面积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2. (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6
顶点数（V）
8
棱数（E）
12
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4
顶点数（V）
8 4
棱数（E）
12 6
三棱柱
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8 四棱锥
பைடு நூலகம்三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5 5
顶点数（V）
8 4 6 6 5
棱数（E）
12 6 12 9 8 16 四棱锥
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8
顶点数（V）
8 4 6
棱数（E）
12 6 12
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
四棱柱
三棱锥
八面体
三棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体
面数（F）
6 4 8 5
顶点数（V）
8 4 6 6
棱数（E）
12 6 12 9
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
1，3，5，7，…，由此你猜想出第 n 个数是_______. 2n 1
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进 行观测或试验，进而对整体做出推断. 成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知全体.
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
温度适合生物的生存
有生命存在
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?
2.找一个你感兴趣的数学定义、公 式或定理，探究它的来源，你也可 以通过翻阅书籍、上网查找资料来 寻求依据.
再 见
1.已知数列｛an｝的第一项 a1 =1, an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，·· ·)， 1 an
1 an 请归纳出这个数列的通项公式为________. n
2.数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然 后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
四棱柱
三棱锥
八面体
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, „„ 1000＝29+971， 1002=139+863, „„
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
归纳推理的过程： 哥德巴赫猜想的过程：
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
试根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质：
(1) a b a c b c ; (2) a b ac bc ; (3) a b a 2 b 2;等等.
类比推理的结论不一定成立.
.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则 n ＝1时， a1 ＝1 第1个圆环从1到3.
n ＝2时， a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.
n＝3时， a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
2
1
3
1.课本习题2.1A组1，3，5；
三棱柱
四棱锥 尖顶塔
9
9
尖顶塔
凸多面体 四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 6
顶点数（V） 8
棱数（E） 12
4
8 5 5
4
6 6 5 9
6
12 9 8 16
9
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
欧拉公式
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
合情推理 推理
演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中
一类对象的某些已知特征,推出另一类对
象也具有这些特征的推理称为类比推理.
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
你是否想过“等和数列”、“等积数 列” ？
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
注意 类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.