苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1
2.1《合情推理与演绎证明》(第1课时)
1+3+„+(2n－1)=n2．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
探索新知
火星上是否有生命？
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它 们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇. 仿生学中许多发明的最初构想 都是类比生物机制得到的.
练习2：类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3 和 1个“斜面” S
思考：这个结论是正确的吗？
例如： 磨擦双手（S ）能产生热（P）， 敲击石头（S ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以，物质运动能产生热。
1
2 3
例:观察下图,可以发现 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52 ， „„
等差数列 中项
等比数列
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质
下标等差,项等比 n+m=p+q时, aman= apaq
高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1
D．黑色的可能性大
解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每 5 个一组(前 3 个是白色珠子，后 2 个
是黑色珠子)呈周期性排列，而 36＝5×7＋1，即第 36 颗珠子正好是第 8 组中的第 1
颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
答案：A
3．等差数列{an}中有 2an＝an－1＋an＋1(n≥2 且 n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn} 中类似的结论是________． 答案：b2n＝bn－1·bn＋1(n≥2，且 n∈N*) 4．对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类 比上述命题，可得命题为__________________________． 答案：夹在两平行平面之间的平行线段相等
当 n＝2 时，S12＝－2－a1＝－43，所以 S2＝－34. 当 n＝3 时，S13＝－2－S2＝－54，所以 S3＝－45. 当 n＝4 时，S14＝－2－S3＝－65，所以 S4＝－56. 猜想：Sn＝－nn＋ ＋12(n∈N*) [答案] (1) (n＋1)·(n＋2)·(n＋3)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)
240°－sin
2αsin
240°)＝32－21cos
2α－21cos
2α－
3 2 sin
2α－12cos
2α＋
3 2 sin
2α
＝32＝右边．
(2)①当 n＝1 时，a1＝1， 由 an＋1＝1＋an2an(n∈N*)，得 a2＝31， a3＝1＋a22a2＝51. a4＝1＋a32a3＝71. ②由 a1＝1＝11，a2＝13，a3＝15，a4＝17， 可归纳猜想{an}的通项公式为 an＝2n1－1(n∈N*)
苏教版高中数学选修合情推理与演绎推理素材
例谈“三段论”在几何证明中的应用三段论式推理是演绎推理的主要形式，同时，它也是一种最常用的推理规则．它包括大前提、小前提和结论．在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式．但对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．三段论的推理形式在几何证明中有着十分广泛的应用，本文略举几例，意在帮助同学们理解三段论推理的思维模式和过程．例１ 如图1，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是BC 、CA 、AB 上的点，BFD A ∠=∠且DE BA ∥． 求证：ED AF =．证明：（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）BFD ∠与A ∠是同位角，且BFD A ∠=∠，（小前提） 所以DF EA ∥．（结论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）ED BA ∥且DF EA ∥，（小前提） 所以四边形AFDE 是平行四边形．（结论）（3）平行四边形的对边相等，（大前提）DE 和AF 为平行四边形的对边，（小前提） 所以ED AF =．（结论）上面的证明通常简略地表述为：BFD A DF EA DE BA ∠=∠⇒⎫⇒⎬⎭∥∥四边形AFDE 是平面四边形ED AF ⇒=． 评注：分析上述过程可以看出，推理的每一个步骤都是根据一般性命题（如“同位角相等，两条直线平行”）推出特殊性命题（如“DF EA ∥”）的过程，在这个过程中只要前提为真，推理形式正确，结论必然为真，所以认清三段论的结构是关键．例2 已知：空间四边形ABCD 中，点E F ，分别是AB AD ，的中点（如图2）．求证：EF ∥平面BCD ．证明：连结BD ．因为点E F ，分别是AB AD ，的中点，所以EF BD ∥．又因为EF Ú平面BCD ，BD ⊆平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ．评注：在证明中，第一步实际上暗含着一个一般性的原理：三角形的中位线平行于第三边，这是大前提．而对特殊的ABD △，EF 是中位线，这是小前提． 把一般性原理用于前面的特殊情况，便得到结论EF BD ∥．第二步同样暗含着一个一般性的原理：如果不在一个平面内的一条直线和该平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，这是大前提．而EF BD ∥，EF Ú平面BCD ，BD ⊆平面BCD ，这是小前提．把一般性的原理用于前面的特殊情况，便得到结论EF ∥平面BCD ．高考中的“合情思维”所谓“合情思维”，简单地说，就是在直觉引导下进行合理的猜测．法国科学家庞加莱说过：“逻辑和直觉各有其必要的作用．唯有逻辑能给我们以可靠性，它是证明的工具；而直觉则是发明的工具．”在近年来的数学高考试题中，除考查逻辑推理能力外，也独具匠心地设置了一些问题考查学生的“合情思维”能力．其中主要有归纳和类比．一、归纳所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律．归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．归纳是发现和认识规律的重要手段．１．观察图形，寻找规律例1 （2006年高考广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆的乒乓球总数，则(3)f =________；()f n = _________（答案用n 表示）．解析：由题意首先可以看出：第一堆一层、第二堆两层、第三堆三层、…、第n 堆有n 层；再看每一层的球数，有没有注意到一个规律：第二堆最底层上方所有的球数正好与第一堆的球数相等、第三堆最底层上方所有的球数正好与第二堆的球数相等、第四堆最底层上方所有的球数正好与第三堆的球数相等、……．于是，(3)10f =，(1)(2)()1(12)(123)(1234)(12)6n n n f n n ++=++++++++++++++=……． 2．分析式子，寻找规律 例2 （2005年全国高考湖南卷）设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，则2005()f x =（ ）（A ）sin x （B ）sin x - （C ）cos x （D ）cos x -解析：本题若通过递推关系，将前2004项逐一求出是不现实的．这时需要找到解这个问题的一般方法，不妨考虑简单的情形．0()sin f x x =，10()()cos f x f x x '==，21()()sin f x f x x '==-，32()()cos f x f x x '==-，43()()sin f x f x x '==，……由此继续求导下去，四个一循环，又200545011=⨯+，所以20051()()cos f x f x x ==．故选（C ）．二、类比大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似．”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面的一致性说清楚．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移．1．类比旧知识，推出新结论例3 （2006年高考湖北卷）半径为r 的圆的面积2()πS r r =，周长()2πC r r =，若将r 看作(0)+，∞上的变量，则2(π)2πr r '= ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0)+，∞上的变量，请你写出类似于①的式子：__________ ②，②式可用语言叙述为__________．解析：由提供的形式找出球的体积、表面积公式，类似写出恰好成立，34()π3V R R =，2()4πS R R =． 答案：324π4π3R R '⎛⎫= ⎪⎝⎭， 球的体积函数的导数等于球的表面积函数．点评：本题主要考查类比意识和发散思维，注意将圆的面积、周长与球的体积、表面积进行类比．2．类比新知识，推出新结论例4 （2006年高考四川·理改编）非空集合G 关于运算?茌满足：（1）对任意的a b G ∈，，都有a b G ⊕∈，（2）存在e G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G =｛非负整数｝，⊕为整数的加法．②G =｛偶数｝，⊕为整数的乘法．③G =｛平面向量｝，⊕为平面向量的加法．④G =｛二次三项式｝，⊕为多项式的加法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是_______．（写出所有“融洽集”的序号）解析：解决问题的关键是抓住“融洽集”的定义及条件，利用已知信息进行迁移．条件（1）说明经过?茌的运算后集合的封闭性；条件（2）说明在已知集合中存在一个特殊的元素（需要找出来加以证明）．在①中，两个非负整数相加仍然是非负整数，e 为整数集中的０．在②中，要满足a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，显然e G ∉．在③中，两个平面向量相加仍然是平面向量，e 为零向量．在④中，此时的0e =，不是二次三项式．故选①③．。
【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…， 猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。
高二数学合情推理与演绎推理1
an
n 1 n
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。 使处于不重要的地位：在国际政治中， 【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中 要蜕皮四次。 战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。 我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。 【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级 官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授 与官职：～举（征召和荐举）。 【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动； 【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～ 辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象； 为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密 ～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜食品：这是刚摘下的 荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外 语｜～学校。 【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。 上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动， 把山上的草木都当 成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明； 【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀， 内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、 不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。 【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码， 还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度 有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。 符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。 ～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。 表示时间不同， 【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩 ，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～， 【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演 唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红 药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。 记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察 冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情 地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？ 不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。 【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成 多边形的线段。不是用～可以形容的。 【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。 【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害 （多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。 结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子， 【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ 另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店 。 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。 【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目， 本来并不如此：经他解释之后，【鹁】 （鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］ 【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那 一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以 身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送 交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理， 两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名 用来放牧的大片草地， 【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。 标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开 不利的势头。 【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名 作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质； 【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西： 五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述 。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～ 了。 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来， 【不…而…】ｂù…éｒ…表示 虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。 【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。 【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。 新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名 正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。 【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞， 【晡】ｂū〈书〉申时， 【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见； 有刺 激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé
高中数学 第2章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2
2.1.1 合情推理课前导引问题导入用推理的形表示等差数列1,3,5，…,(2n-1),…的前n项和S n的归纳过程.解：对等差数列1,3,5,…,(2n-1),…的前1,2,3,4,5,6项和分别计算:S1=1=12S2=1+3=4=22S3=1+3+5=9=32S4=1+3+5+7=16=42S5=1+3+5+7+9=25=52S6=1+3+5+7+9+11=36=62归纳数列1,3,5,…,(2n-1),… 的前n项和S n=n2.知识预览1．______________________________，像这样的推理通常称为归纳推理（简称归纳）简言之，归纳推理是_______________________的推理.2.______________________________________________________________________,像这样的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是_______________的推理.3.归纳推理的一般步骤是:____________________________________________________________________.4.类比推理的一般步骤是:____________________________________________________________________.答案：1.从个别事实中推演出一般性的结论由个别到一般，由部分到整体2.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同由特殊到特殊3.实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论4.观察、比较→联想、类推→猜测新的结论。
(vip免费)2.1《合情推理与演绎证明》课件1
表 21
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦非直径中
点的连线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等; 与圆心距离不等的两弦不等, 距圆心较近的弦较长.
以点x0,y0 为圆心,r为半 径的圆的方程为x x0 2 y y0 2 r2.
开普勒(Ke pler ,1571 1630 ) 说 : " 我珍惜类 比胜过任何 别 的 东 西,它 是我最可信 赖 的 老 师,它 能揭示自然 界 的 秘 密."
法中的1与加法中的0类似,即任意实数与1的积都
等于原来的数,即
a0 a
a1 a
数学中还有许多集合具有这4条运算性质.法国天才的
数学家伽罗瓦Galois提出了" 群的概念,用来表示具有
这种运算性质的集合.
运用类比推理常常先要寻找合适的类 比对象 ,例如 ,在立体几何中,为了研究 四面体的性质,我们可在平面几何中寻 找一个研究过的对象,通过类比这个对 象的性质,获得四面体性质的猜想以及 证明这些猜想的思路.
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的
运算性质.
分析 实数的加法和乘法都是由两个数参与运算,
都 满 足 一 定 的 运 算 律, 都 存 在 逆 运 算,而 且"0" "1" 分
别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此我们可以
从上述4个方面来类比这两种运算.
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
1827)曾经说过:"即 联 想,再 进 行 归 纳 类 比,然
使在数学里,发现真 后 提 出 猜 想 的 推 理,我 们
理的主要工具也是 把 他 们 统 称 为合情推理
高中数学合情推理与演绎证明文字素材1新选修12
高考中的类比推理大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看 作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,34)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'34(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比例2．（2000年上海高考第12题）在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考中的类比推理
大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。
”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。
类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。
例1 半径为r 的圆的面积2
)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________.
解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3
4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3
4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比
例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n
（n ＜19，n ∈N *）成立。
类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式
成立。
分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。
在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。
相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N *
）。
例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。
分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。
三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。
需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。
如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。
例4 已知函数x
a x y +=有如下性质：如果常数a>o ，那么该函数在],0(a 上是减函数，在),[+∞a 上是增函数。
（1） 如果函数)0(2>+=x x
x y b
的值域为),6[+∞，求b 的值； （2） 研究函数2
2
x c x y +=（常数)0>c 在定义域内的单调性，并说明理由； （3） 对函数x a x y +=和22x c x y +=（常数)0>c 作出推广，使它们都是你所推广 的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）。
解：（1）函数)0(2>+=x x
x y b 在]2,0(b 上是减函数，在),2[+∞b 上是增函数，所以该函数在b x 2=处取得最小值.22b 令622=b ，得.9log 2=b （2）设02≥=x t ，显然函数t c t y +
=在],0(c 上是减函数，在),[+∞c 上是增函数，令c x ≤
2得44c x c ≤≤-，令c x ≥2得4c x ≥或.4c x -≤ 又因为2x t =在]0,(-∞上是减函数，在),0[+∞上是增函数，于是利用复合函数的单调性知，函数22x
c x y +=在],(4c --∞上是减函数，在)0,[4c -上是增函数，在],0(4c 上是减函数，),[4+∞c 上是增函数。
（3）推广结论：当n 是正奇数时，函数n
n x a x y +=（常数)0>a 是奇函数，故在],(2n a --∞上是增函数，在)0,[2n a -是减函数，在],0(2n a 上是减函数，在),[2+∞n a 上是增函数。
而当n 为正偶数时，函数n n x
a x y +=（常数)0>a 是偶函数，在],(2n a --∞上是减函数，在)0,[2n a -是增函数，在],0(2n a 上是减函数，在),[2+∞n a 上是增函数。
点评：本题设计新颖，层层递进，主要考查函数n n x
a x y +
=的单调性、最值，考查分析解决问题的能力。