最新-高中数学 合情推理与演绎证明课件二十一 新人教A版选修1-2 精品
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高二数学选修1-2 《2.1合情推理》新课标人教版精选教学PPT课件
B
C
c2=a2+b2 类比: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
小结 ☞
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会；
感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福;
感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热；
感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽；
感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新；
感谢所有的一切~ ~ ~ ~ ~ ~ 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。
可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.
人教A版高中数学选修1-2《2.1.1合情推理》课件
以上属于什么推理？
答案 推理.
答案
属于归纳推理 .符合归纳推理的定义特征，即由部分对
象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的
梳理
(1)定义：由某类事物的 部分对象 具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象 都具有这些特征的推理，或者由个别事实 概括出 一般结论 的 推理，称为归纳推理. (2)特征：由 部分 到 整体 ，由个别到 一般 .
答案
梳理
(1)定义：由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些 已知 特征， 推出 另一类对象 也具有这些特征的推理称为类比推理. (2)特征：由 特殊 到 特殊 的推理.
知识点三
合情推理
思考1
归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是
由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.
1
2
3
4
5
解析
答案
规律与方法
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 .数学研究中，在得到一个新结
论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合
情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为
从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想
跟踪训练 2
黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个
图案，则第n个图案中黑色地面砖的块数是________. 5n＋1
解析
观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组
成首项为 6 ，公差为5 的等差数列，从而第n 个图案中黑色地面砖的块数
为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
最新-高中数学 《合情推理与演绎证明》课件29 新人教A版选修1-2 精品
18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征
的推理,或者由个别事实概栝出一般结论
的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳
所得的结论超越了前提所包容的范围.
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然 数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 数之和”
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,
推出该类事物的全部对象都具有这些特征
的推理,或者由个别事实概栝出一般结论
的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳
所得的结论超越了前提所包容的范围.
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然 数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 数之和”
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
新人教A版(选修1-2)2.1《合情推理与演绎证明》ppt课件2
三角形是直角三角形,
大前提 E C D
在△ABC中,AD⊥BC,即
小前提
∠所A以D△BA=B9D0是0, 直角三角形.
结论
同理△ABE是直角三角形.
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线小, 前提
所以 DM=1
结论
AB. 同理
小题前（3）一切奇数都不能被2整除，(2100 1)是奇数，所以
结论
大前题 (2100 1) 不能被2整除； 小前
大前（题4）三角函数都是周结论期函数，tanα题是三角函数，因此tanα
是周期函数；
小前
大前题（5）两条直结论线平行，同旁内角题互补。如果∠A与∠B是两
条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°；
DE∥BA且DF∥EA,
(小前提)
所以,四边形AFDE是平行四边形.
(结 论)
(3)平行四边形的对边相等,
(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,
(小前提)
所以,ED=AF.
(结 论)
例2:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函 证数明. :
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 (3)结论
所研究的特殊情况; S是M，
根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集
合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子
集,那么S中所有元素也都具有性质P.
大前提 E C D
在△ABC中,AD⊥BC,即
小前提
∠所A以D△BA=B9D0是0, 直角三角形.
结论
同理△ABE是直角三角形.
A
M
B
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线小, 前提
所以 DM=1
结论
AB. 同理
小题前（3）一切奇数都不能被2整除，(2100 1)是奇数，所以
结论
大前题 (2100 1) 不能被2整除； 小前
大前（题4）三角函数都是周结论期函数，tanα题是三角函数，因此tanα
是周期函数；
小前
大前题（5）两条直结论线平行，同旁内角题互补。如果∠A与∠B是两
条平行直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°；
DE∥BA且DF∥EA,
(小前提)
所以,四边形AFDE是平行四边形.
(结 论)
(3)平行四边形的对边相等,
(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,
(小前提)
所以,ED=AF.
(结 论)
例2:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函 证数明. :
满足对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,有f(x1)<f(x2) 成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
(1)大前提 已知的一般原理; M是P，
(2)小前提 (3)结论
所研究的特殊情况; S是M，
根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集
合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子
集,那么S中所有元素也都具有性质P.
【数学】21《合情推理与演绎证明》课件2(新人教A版选修1—2).
量的两个值x1,x2,若x1 x2,则有fx1 fx2 .
小前提是fx x2 2x,x ,1满足增函数
的定义,这是证明本例的关键.
证明 任取x1,x2 ,1,且x1 x2,
fx1 fx2
x12 2x1
图2.1 3
而点M是RtΔABC的斜边AB的中点,DM
是斜边上的中线,
小前提
所以DM 1 AB.
结论
2
同理,EM 1 AB. 所以,DM EM. 2
大前提: M是P. "三段论"可以表是P.
我们还可以利用集合知识说明"三段论": 若集 合M的 所 有 元 素 都 具 有 性 质P, S是M的 一 个 子 集, 那 么S中 所 有 元 素 也 都 具 有 性质P.
上是增函数.
在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的, 结论必定是正确的.
思考 因为指数函数y ax是增函数,
而y
1
x
是
指数函数,
2
所以y
1
x
是增函数.
2
1上面的推理形式正确吗?
2推理的结论正确吗?为什么?
大前提 小前提
结论
上述推 理的形式正确, 但大前提是错误的
3在 一 个 标 准 大 气 压 下,水 的 沸 点 是1000 C,所
以在一个标准大气压下把水加热到1000 C时,水 会沸腾;
4一切奇数都不能被2整除, 2100 1 是奇数, 所以 2100 1不能被2整除;
5三角函数都是周期函数,tan α是三角函数,
因此tan α是周期函数;
高中数学 2.1.2演绎推理课件 新人教A版选修1-2
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XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
2 .三段论
一般模式 大前提 小前提 结论 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做出的判断 常用格式 M是 P S是 M S是 P
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首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
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������ 变式训练 1 ������ 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角 线互相平分; (2)函数 y=2x+1 是单调函数; (3)0.332是有理数. 解 :(1)平行四边形的对角线互相平分, 菱形是平行四边形 , 菱形的对角线互相平分. (2)一次函数 y=kx+b (k ≠0)是单调函数, 函数 y=2x+1 是一次函数, 函数 y=2x+1 是单调函数. (3)所有的循环小数都是有理数, 0.33 2是循环小数, 0.33 2是有理数.
典型例题 1
把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下,水的沸点是 100 ℃,所以在一个标准大气压下 把水加热到 100 ℃时,水会沸腾; (2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角形的两底角,则∠A= ∠B; (3)通项公式 a n=2n+3 表示的数列{an}为等差数列. 思路分析:解答本题的关键在于分清大、小前提和结论,还要准确利用 三段论的形式.
人教A版高中数学选修1-2课件《合情推理与演绎推理》ppt7.pptx
三、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由部分到整体、个 由特殊到特殊 由一般到特殊的
形式 别到一般的推理。 的推理。
推理。
区
别 推理
结论不一定正确，有待进一
在大前提、小前提 和推理形式都正确
结论 步证明。
的前提下，得到的
结论一定正确。
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。
空白演示
在此输入您的封面副标题
2.1.2 演绎推理
情境设置
问：合情推理的含义与特点是什么？
{ 合情推理
归纳推理：由部分到整体，由个别到一般的推理。
类比推理： 由特殊到特殊的推理。
从具体问题 出发
观察、分析、 比较、联想
归纳类比
提出猜想
新课
学习目标： 1、什么是演绎推理？ 2、什么是三段论？ 3、合情推理与演绎推理有哪些区别？ 4、能举出一些在生活和学习中有关演绎
则
{an}是等比数列。
在an
cqn中, an1 an
cq n 1 cq n
q
(q
0),
所以通项公式 an cqn (cq 0)为的数列 是等比数列。
练习1.在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足,用演绎推 理“三段论”格式证AB的中点M到D,E的距离相等.
证(1)明因:为有一个内角是直角的三角形
(x2 x1)(x2 x1 2). 因为x1 x2 , 所以x2 x1 0; 因为x1, x2 1, 所以x2 x1 2 0. 因此, f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ). 小前提 所以f (x) x2 2x在(,1)满足增函数定义， 于是，根据增函数的定义可知，
人教A版高中数学选修1-2课件：2.1.1合情推理 (共43张PPT)
1 1 1 (2)由a1＝S1＝2 a1＋a ，得a1＝a . 1 1 又a1＞0，所以a1＝1. 1 1 1 1 当n≥2时，将Sn＝2 an＋a ，Sn－1＝2an－1＋ 的左右两边 a n n－1 分别相减，得 1 1 1 1 an＝2an＋a －2an－1＋a . － n n 1
2an 1．(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，n∈N*，猜想 2＋an 这个数列的通项公式． 1 1 (2)已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝ 2 an＋a (n∈ n N*)，求出a1，a2{an}中，a1＝1，a2＝ ＝ ， 2＋a1 3 2a2 1 2a3 2 a3＝ ＝2，a4＝ ＝5，„， 2＋a2 2＋a3 2 所以猜想{an}的通项公式an＝ (n∈N*)． n＋1
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
梅青中学
高二备课组
1．归纳推理 (1)定义：由某类事物的__________ 部分对象 具有某些特征，推出该 全部对象 都具有这些特征的推理，或者由 ________ 类事物的 _________ 个别事实
概括出__________ 一般结论 的推理．
归纳推理在几何中的应用 【例 2】 在平面内观察，凸四边形有 2 条对角线，凸五边 形有5条对角线，凸六边形有9 条对角线……由此猜想凸n 边形
(n∈N*且n≥4)有几条对角线，并给出证明．
【解题探究】通过观察，发现规律，并给出相应的证明．
【解析】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4 条„„ 于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n－1)边形多(n－2) 1 条，由此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋„＋(n－2)＝ 2 n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
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4.查阅有关费尔马大定理的资料，想象他的推理思想
a·1=a
B
c
a
Ab
C
a2=b2+c2
S
S22＝S12+S22+S32
具体问题
观察、联想、 比较、分析
归纳、类比
猜想
合情推理 (plausible reasoning)
2.请你数一下上表中每一个多面体具有的顶点数（V）、棱 数（E）、和面数（F），并把结果记入下表中，你会有惊 奇的发现什么？
没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现 －－牛顿
哥德巴赫猜想 “1+1＝2”
哥德巴赫（1690-1764），德 国人，1742年6月7日写信给 大数学家欧拉，提出一个猜想： 每一个大于2的偶数都可以表 示为两个素数的和（或每一个 大于或等于6的偶数都可表示 为两个奇素数的和）。同年6 月30日欧拉回信表示他虽不能 证明此猜想，但他相信这是完
（3）凡是容易导电的物体都是导体，棉线不容易导 电，所以棉线不是导体
其实在数列中我们经常用到归纳推理的方法归纳通项公式
例1.观察下图发现： 1+3＝22
1+3+5＝32 1+3+5+7＝42 1+3+5+7+9＝52 你能得出什么结论？
1 234 5 67
猜想：前n个连续奇数的和等于n的平方，即：
所有这些问题，都与我们的数学存在联系，它们的推理过程， 都是从某些特征出发，推出该类事务的全部对象都具有的特 征推理，或者利用个别事实概括出一般结论的推理成为：归 纳推理(归纳)。
部分
整体
个别
一般
（1）所有的昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，小前提 所以竹节虫一定是6条腿
（2）凡是长羽毛的动物都是鸟，企鹅是长有羽毛的 动物，所以企鹅是鸟
法国数学家Fermat在17世纪提出的数论领域猜想，之后的300 多年中，人们既证明不了，又否定不了。1993年，英国数学 家Andrew Wiles攻破了费马猜想
1852年英国伦敦大学教授狄·摩根的学生古特里向他提了一个 问题：在一切平面图形上，是否总可以用四种颜色着色，就可 以使每两个相邻部分的颜色都不相同呢？假如说，必要的颜色 最大数是4，那又该如何证明呢？——这就是四色问题的起源
在100多年后的1976年被美国伊利诺大学的阿 佩尔和哈肯二人在电子计算机的辅助下证明了 四色定理
8世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上 有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中 的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一 次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地 点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题
1+3+5+7+...+(2n-1)=n2
1.已知数列{an}的首项为1，且 的通项公式
an1
an 求数列{an} 1 严格定 义上的证明，它为我们的研究提供了一种方向
除了归纳，人们在创造活动中，类比思想也是一种很重要的思想
有 生 物 吗
?
这种有两类对象具有某些类似特征，由其中的 已知对象特征，推出另一类对象也具有这些特
全正确的。这就是著名的哥德 巴赫猜想（Goldbach‘s Conjecture）
费马猜想﹝Fermat‘s conjecture﹞又称费马大定理或费马问题， 是数论中最著名的世界难题之一。1637年，法国数学家费马在 巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写 道：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四 次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这 是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这 里空白的地方太小，写不下。”费马去世后，人们找不到这个 猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣。欧拉、勒让德、 高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也 没有得到普遍的证法。300多年以来，无数优秀学者为证明这个 猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及 分支。 若用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定 方程xn + y n = z n 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只 需证明方程x4 + y 4 = z 4 ，(x , y) = 1和方程xp + yp = zp ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1﹝p是一个奇素数﹞均无xyz≠0的整数解
－－程
颐“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师”
－－开普勒
例2.利用实数的加法和乘法的运算性质，列出它们的相似的 运算性质。
计算
加法 实数
性质 解
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
a+x=0=>x=-a
单位元
a+0=a
乘法 实数
ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1=>x=1/a(a≠0)
说明
1.合情推理是数学发展的动力，科学发现的先导。促进数学的 发展，也促进数学方法的研究，数学史上一些著名的发现，如 欧拉公式的发现就得益于合情推理。可见合情推理对数学的研 究和发展，起了积极的推动作用
2.合情推理是实现问题解决的一种重要的思维方法，是创新思 维的重要组成部分
3.查阅有关汉若塔游戏的问题，结合课本p35~36说明移动 次数最少的公式的的来
征的推理方法叫做类比推理(类比)
Do not neglect analogies，they may lead to discovery.
Analogy is another fertile source of discovery －－－Polya
“格物究理，非要究尽天下之物，但于一事上究尽，其他可
以类推”
a·1=a
B
c
a
Ab
C
a2=b2+c2
S
S22＝S12+S22+S32
具体问题
观察、联想、 比较、分析
归纳、类比
猜想
合情推理 (plausible reasoning)
2.请你数一下上表中每一个多面体具有的顶点数（V）、棱 数（E）、和面数（F），并把结果记入下表中，你会有惊 奇的发现什么？
没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现 －－牛顿
哥德巴赫猜想 “1+1＝2”
哥德巴赫（1690-1764），德 国人，1742年6月7日写信给 大数学家欧拉，提出一个猜想： 每一个大于2的偶数都可以表 示为两个素数的和（或每一个 大于或等于6的偶数都可表示 为两个奇素数的和）。同年6 月30日欧拉回信表示他虽不能 证明此猜想，但他相信这是完
（3）凡是容易导电的物体都是导体，棉线不容易导 电，所以棉线不是导体
其实在数列中我们经常用到归纳推理的方法归纳通项公式
例1.观察下图发现： 1+3＝22
1+3+5＝32 1+3+5+7＝42 1+3+5+7+9＝52 你能得出什么结论？
1 234 5 67
猜想：前n个连续奇数的和等于n的平方，即：
所有这些问题，都与我们的数学存在联系，它们的推理过程， 都是从某些特征出发，推出该类事务的全部对象都具有的特 征推理，或者利用个别事实概括出一般结论的推理成为：归 纳推理(归纳)。
部分
整体
个别
一般
（1）所有的昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，小前提 所以竹节虫一定是6条腿
（2）凡是长羽毛的动物都是鸟，企鹅是长有羽毛的 动物，所以企鹅是鸟
法国数学家Fermat在17世纪提出的数论领域猜想，之后的300 多年中，人们既证明不了，又否定不了。1993年，英国数学 家Andrew Wiles攻破了费马猜想
1852年英国伦敦大学教授狄·摩根的学生古特里向他提了一个 问题：在一切平面图形上，是否总可以用四种颜色着色，就可 以使每两个相邻部分的颜色都不相同呢？假如说，必要的颜色 最大数是4，那又该如何证明呢？——这就是四色问题的起源
在100多年后的1976年被美国伊利诺大学的阿 佩尔和哈肯二人在电子计算机的辅助下证明了 四色定理
8世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上 有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中 的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一 次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地 点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题
1+3+5+7+...+(2n-1)=n2
1.已知数列{an}的首项为1，且 的通项公式
an1
an 求数列{an} 1 严格定 义上的证明，它为我们的研究提供了一种方向
除了归纳，人们在创造活动中，类比思想也是一种很重要的思想
有 生 物 吗
?
这种有两类对象具有某些类似特征，由其中的 已知对象特征，推出另一类对象也具有这些特
全正确的。这就是著名的哥德 巴赫猜想（Goldbach‘s Conjecture）
费马猜想﹝Fermat‘s conjecture﹞又称费马大定理或费马问题， 是数论中最著名的世界难题之一。1637年，法国数学家费马在 巴歇校订的希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题旁边写 道：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四 次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这 是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这 里空白的地方太小，写不下。”费马去世后，人们找不到这个 猜想的证明，由此激发起许多数学家的兴趣。欧拉、勒让德、 高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都试证过，但谁也 没有得到普遍的证法。300多年以来，无数优秀学者为证明这个 猜想，付出了巨大精力，同时亦产生出不少重要的数学概念及 分支。 若用不定方程来表示，费马大定理即：当n > 2时，不定 方程xn + y n = z n 没有xyz≠0的整数解。为了证明这个结果，只 需证明方程x4 + y 4 = z 4 ，(x , y) = 1和方程xp + yp = zp ，(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1﹝p是一个奇素数﹞均无xyz≠0的整数解
－－程
颐“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师”
－－开普勒
例2.利用实数的加法和乘法的运算性质，列出它们的相似的 运算性质。
计算
加法 实数
性质 解
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
a+x=0=>x=-a
单位元
a+0=a
乘法 实数
ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1=>x=1/a(a≠0)
说明
1.合情推理是数学发展的动力，科学发现的先导。促进数学的 发展，也促进数学方法的研究，数学史上一些著名的发现，如 欧拉公式的发现就得益于合情推理。可见合情推理对数学的研 究和发展，起了积极的推动作用
2.合情推理是实现问题解决的一种重要的思维方法，是创新思 维的重要组成部分
3.查阅有关汉若塔游戏的问题，结合课本p35~36说明移动 次数最少的公式的的来
征的推理方法叫做类比推理(类比)
Do not neglect analogies，they may lead to discovery.
Analogy is another fertile source of discovery －－－Polya
“格物究理，非要究尽天下之物，但于一事上究尽，其他可
以类推”