2017版高考数学专题7不等式54与不等式有关的创新题型理

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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题7 不等式 54 与不等
式有关的创新题型 理
训练目标 与不等式有关的创新题型，突破创新问题的解决方法.

训练题型
(1)不等式解法中的条件创新；(2)基本不等式应用形式的创新；(3)与其他知识
结合的创新.

解题策略
对不同条件进行综合分析、变形、转化，找出问题实质，使之化归为常见“模
型”，再应用相应的不等式知识使问题解决.
1．已知点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，则a3＋a7与2a5的大小关
系是________．
2．(2015·北京西城区一模)在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对
一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________．
3．(2015·福州质检)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函
数

fK(x)＝ fx，fxK，K，fxK.取函数f(x)＝2－x－e－x，恒有fK(x)＝f(x)，则K
的最小

值为________．
4．(2015·四川江陵第二次统考)若流程图如图所示，视x为自变量，y为函数值，可得函数
y＝f(x)的解析式，则f(x)>f
(2)的解集为________．

5．(2015·重庆一诊)已知函数f(x)＝x－4＋9x＋1，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值
b，则函数g(x
)＝(1a)|x＋b|的图象为________．
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6．在算式“4×△＋1×○＝30”中的△，○中，分别填入两个正整数，使它们的倒数和最小，
则这两个数构成的数对(△，○)应为__________．
7．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义|A－B|＝






CA－CB，CACB
，

CB－CA，CACB

若A＝{1,2}，B＝{x||x2＋2x－3|＝a}，且|A－B|＝1，由a的所有可能值构成的集合为S，
那么C(S)＝________.

8．如果关于x的不等式f(x)<0和g(x)<0的解集分别为(a，b)和1b，1a，那么称这两个不等
式为“对偶不等式”．如果不等式x2－43x·cos 2θ＋2<0与不等式2x2＋4x·sin 2θ＋
1<0为对偶不等式，且θ∈π2，π，那么sin θ＝________.
9．(2015·浙江五校联考)已知正实数x，y满足ln x＋ln y＝0，且k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成
立，则k的最大值是________．

10．(2015·长沙二模)设不等式 x>0，y>0，y≤－nx＋3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点
(x，y)(x，y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*)．(注：格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)
(1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；

(2)记Tn＝fnfn＋2n，若对于任意n∈N*，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围；

(3)设Sn为数列{bn}的前n项和，其中bn＝2f(n)，问是否存在正整数n，t，使Sn－tbnSn＋1－tbn＋1<116成
立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．
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答案解析
1．a3＋a7>2
a
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解析 因为所有的点An(n，an)(n∈N*)都在函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象上，

所以有an＝an，故a3＋a7＝a3＋a7，
因为a>0，a≠1，由基本不等式，
得a3＋a7>2a3·a7＝2a5，
又2a5＝2a5，故a3＋a7>2a5.

2．(－12，32)
解析 由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)·[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，
∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立，
∴Δ＝12＋4(y2－y－1)<0，

∴4y2－4y－3<0，解得－123．1
解析 f′(x)＝－1＋e－x，
当x>0时f′(x)<0，当x<0时f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，
∴f(x)≤f(0)＝1，当K≥1时，f(x)≤K，
依题意，此时恒有fK(x)＝f(x)，∴K的最小值为1.
4．(－∞，－2)∪(3.5,5]

解析 由流程图知f(x)＝ x2，x≤2，2x－3，25，
所以f(2)＝4，所以由f(x)>f(2)，
得 x2>4，x≤2，或 2x－3>4，24，x>5，
解得x<－2或3.55．②
4

解析 由基本不等式得f(x)＝x＋1＋9x＋1－5≥2 x＋9x＋1－5＝1，
当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，f(x)取得最小值1，
故a＝2，b＝1，因此g(x)＝(1a)|x＋b|＝(12)|x＋1|.
只需将y＝(12)|x|的图象向左平移1个单位长度即可，
因为y＝(12)|x|为偶函数，
故通过y＝(12)x的图象即可得到y＝(12)|x|的图象，
进而得到y＝(12)|x＋1|的图象．
6．(5,10)
解析 设数对为(a，b)，则4a＋b＝30，

∴1a＋1b＝1301a＋1b(4a＋b)

＝1305＋ba＋4ab≥310，

当且仅当 ba＝4ab，4a＋b＝30，即 a＝5，b＝10时等号成立，
所以满足题意的数对为(5,10)．
7．1
解析 由于|x2＋2x－3|＝a的根可能是2个，3个，4个，而|A－B|＝1，
故|x2＋2x－3|＝a只有3个根，故a＝4，所以C(S)＝1.

8.12
解析 设方程x2－43x·cos 2θ＋2＝0的两个根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝43cos 2θ，x1x2＝2；
设方程2x2＋4x·sin 2θ＋1＝0的两个根分别为x3，x4，

则x3＋x4＝－2sin 2θ，x3x4＝12.
因为不等式x2－43x·cos 2θ＋2<0与不等式2x2＋4x·sin 2θ＋1<0为对偶不等式，
所以x3＋x4＝1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝43cos 2θ2
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＝23cos 2θ＝－2sin 2θ，
所以3cos 2θ＝－sin 2θ，即tan 2θ＝－3，

因为θ∈π2，π，所以2θ∈(π，2π)，

所以2θ＝53π，即θ＝56π，所以sin θ＝12.
9.2
解析 ∵正实数x，y满足ln x＋ln y＝0，
∴ln xy＝0，即xy＝1.
可得x＋2y≥22xy＝22(当且仅当x＝2y＝2时，“＝”成立)．
∵k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成立，

即k≤x2＋4y2x＋2y＝x＋2y2－4x＋2y

＝(x＋2y)－4x＋2y恒成立，
即求(x＋2y)－4x＋2y的最小值．
令t＝x＋2y，则t≥22.
令f(t)＝t－4t(t≥22)，
则f(t)在[22，＋∞)上单调递增，
∴t＝22时，f(t)min＝f(22)＝22－422＝2，
∴k≤2，则k的最大值为2.
10．解 (1)f(1)＝3，f(2)＝6.
由x>0,0又x∈N*，所以x＝1或x＝2.
当x＝1,0当x＝2,0故f(n)＝n＋2n＝3n.

(2)由(1)知Tn＝9nn＋2n，则Tn＋1＝n＋n＋2n＋1，

则Tn＋1－Tn＝n＋－n2n＋1.
所以当n≥3时，Tn＋16

又T1＝9(3)假设存在满足题意的n和t，
由(1)知bn＝23n＝8n，故Sn＝n－7.

则Sn－tbnSn＋1－tbn＋1＝n－－7t·8nn＋1－－7t·8n＋1<116.
变形得8n－7t－88n＋1－7t－8<116，即8n－7t－152[8n－7t－1]<0.
所以1<8n(8－7t)<15.
由于n，t均为正整数，所以n＝t＝1.