高中数学 考前归纳总结 立体几何常见题型与解法

立体几何常见题型与解法一、求空间角问题 1．异面直线所成的角设异面直线12,l l 的方向向量分别为12,m m 。

则1l 与2l 所成的角θ满足对应的锐角或直 角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。

cos θ=12cos ,m m <>。

2．线面所成的角设直线l 的方向向量与平面α的法向量分别为,m n ，则直线l 的方向向量与平面α所成角θ满足sin cos ,m n θ=<>。

3．二面角的求法二面角βα--l ，平面α的法向量m ，平面β的法向量。

二面角的大小为θ, 若将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，当两个法向量的方向都向二面角内或外时，则><n m ,为二面角的平面角的补角； 即：cos cos ,m n θ=-<>;当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，则><,为二面角的平面角。

即：cos cos ,m n θ=<>;图（1）图（2） 例1：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点，（1）求直线'AC DE 与所成角的余弦值； （2）求直线AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值； （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 所成角的余弦值；解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a ll'(,,),(,,0)2aAC a a a DE a ∴=-=-， '''15cos ,15AC DEAC DE AC DE∙∴<>==∙ 故'AC DE 与。

（2）,ADE ADF ∠=∠所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线， 故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠， 建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，'(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'''3cos ,DA DB DA DB DA DB ∙∴<>==∙ 故AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值为3（3）由''(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a ， 所以平面ABCD 的法向量为'(0,0,)m AA a ==下面求平面'B EDF 的法向量， 设(1,,)n y z =，由'(,,0),(0,,)22a aED a EB a =-=-， '0210n ED y z n EB ⎧∙==⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩∙=⎪⎩，(1,2,1)n ∴= 6cos ,6m n n mm n∙∴<>==∙，所以平面'B EDF 与平面ABCD 所成角的余弦值为6例2. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB∥CD，AB=2AD =2CD =2．E 是PB 的中点． （I ）求证：平面EAC ⊥平面PBC; （II ）若二面角P-A C-E 求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ，∵AB ＝2，AD ＝CD ＝2，∴AC ＝BC ＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ， 又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ． （Ⅱ）如图，以C 为原点，DA →、CD →、CP →分别为x 轴、 y 轴、z 轴正向，建立空间直角坐标系， 则C (0，0，0)，A (1，1，0)，B (1，－1，0)．设P (0，0，a )（a ＞0），则E ( 1 2，－ 1 2， a2)，CA →＝(1，1，0)，CP →＝(0，0，a )，CE →＝( 1 2，－ 1 2， a 2)，取m ＝(1，－1，0)，则 m ·CA →＝m ·CP →＝0，m 为面PAC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＋az ＝0，取x ＝a ，y ＝－a ，z ＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)， 依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1，1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n |__________|PA →||n |＝23， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 例3：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ， F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB；（Ⅱ）设BC ，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值。

（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=PD=1，AB=2a （0a >），则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0),P(0,0,1), 11(,,)22F a .得11(0,,)22EF =，(2,1,1)PB a =-，(2,0,0)AB a =.由11(0,,)(2,0,0)022EF AB a ⋅=⋅=，得EF AB ⊥，即EF AB ⊥，同理EF PB ⊥，又AB PB B =， 所以EF ⊥平面PAB.（Ⅱ）解：由AB =，得2a =a =.得E，11,)22F，C . 有(2,1,0)AC =-，2(1,0)2AE =-，11(0,,)22EF =. 设平面AEF 的法向量为(,,1)n x y =，由00n EF n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11(,,1)(0,,)022(,,1)(1,0)02x y x y ⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎪⋅-=⎪⎩1102202y x y ⎧+=⎪⎪⇒-=⎪⎩， 解得1y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩于是(1,1)n =-.设AC 与面AEF 所成的角为θ，AC 与n 的夹角为,AC n <>.则(2,1,1)sin cos ,6AC n AC n AC nθ--⋅=<>===⋅. . 所以，AC 与平面AEF 所成角的正弦值为6. 二、探索性问题例4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== （1）求证1;AC BC ⊥（2）在AB 上是否存在点D 使得1?AC CD ⊥ （3）在AB 上是否存在点D 使得11//A C CDB 平面解：直三棱柱111ABC A B C -，13,4,5,,,AC BC AB AC BC CC ===两两垂直， 以C 为坐标原点，直线1,,CA CB CC 分别 为x 轴y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,4),(3,0,0),(0,0,4)C A C ，1(0,4,0),(0,4,4)B B（1）1(3,0,0),(0,4,4)AC BC =-=-，110,AC BC AC BC ∴∙=∴⊥AC BC ∴⊥（2）假设在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，则(3,4,0)AD AB λλλ==- 其中01λ≤≤，则(33,4,0)D λλ-，于是(33,4,0)CD λλ=-， 由于1(3,0,4)AC =-，且1AC CD ⊥ 所以990λ-+=得1λ=，所以在AB 上存在点D 使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合。

（3）假设在AB 上存在点D 使得11//AC CDB 平面，则(3,4,0)AD AB λλλ==-其中01λ≤≤ 则(33,4,0)D λλ-，1(33,44,4)B D λλ=---，又1(0,4,4).B C =--由于1(3,0,4)AC =-，11//AC CDB 平面， 所以存在实数111,,m n AC mB D nBC =+使成立， (33)3,(44)40,444,m m n m n λλ∴-=---=--= 所以12λ=，所以在AB 上存在点D 使得11//AC CDB 平面，且D 使AB 的中点。

三、范围问题例5.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与 平面FCB 所成二面角的平面角为 (90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.（1）证明：在梯形ABCD 中， ∵ //AB CD ,1AD DC CB ===，∠ABC ＝60，∴ 2AB =∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=oBC AB BC AB AC∴ 222BC AC AB += ∴ BC ⊥AC∵ 平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =,BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF为轴轴轴，zyx,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM，则)0,0,3(),0,0,0(AC，()()1,0,,0,1,0λMB∴()()1,1,,0,1,3-=-=λBMAB设1n),,(zyx=为平面MAB的一个法向量，由1n0=⋅AB，1n0=⋅BM联立得⎩⎨⎧=+-=+-3zyxyxλ，取1=x，则1n()λ-=3,3,1∵2n()0,0,1=是平面FCB的一个法向量∴=θcos||||||2121nnnn⋅⋅()()4311331122+-=⨯-+=λλ∵0λ≤≤∴当0λ=时，θcos，当λ=时，θcos有最大值12. ∴1cos2θ⎤∈⎥⎣⎦四、折叠问题例6。

在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到EFA1∆的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B－A1P－F的余弦值.解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .(1)在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ．∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A 1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E⊥BE． 又BE∩EF=E，∴A 1E⊥平面BEF ，即A 1E⊥平面BEP ．(2)建立分别以ED 、EF 、EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,1),3,0), P (1, 3,0),则(0,0,1)AE =-,(2,0,1),(1,AB BP =-=-． 设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1n ⊥平面ABP 知，11,n AB n BP ⊥⊥，即111120,0.x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =111,y z ==1(3,1n =．111cos ,||||(AE n AE n AE n ⋅<>===⋅,1,120AE n <>=, 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600．(2) (0,3,1),(1,0,0)AF PF =-=-，设平面AFP 的法向量为2222(,,)n xy z =． 由2n ⊥平面AFP知，22,n AF n PF ⊥⊥，即22220,0.x z -=⎧⎪-=令21y =，得220,x z =，2(0,1n =．1211127cos ,8||||(n n n n n n ⋅<>===⋅,所以二面角B-A 1P-F 的余弦值是78-． 五、用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为d =；例7、如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1=2. （I ）证明：AB1⊥BC 1；（II ）求点B 到平面AB 1C 1的距离; （III ）求二面角C 1—AB 1—A 1的大小 5解：（1）如图建立直角坐标系，其中C 为坐标原点. 依题意A （2，0，0），B （0，2，0）， B 1（0，2，2），C 1（0，0，2）， 因为0)2,2,0()2,2,2(11=-⋅-=⋅BC AB ，所以AB 1⊥BC 1. （2）设),,(1111z y x n =是平面AB 1C 1的法向量，由0,01111=⋅=⋅AC n AB n 得⎩⎨⎧=+-=++-,0,011111z x z y x 所以⎩⎨⎧==,,0111z x y 令11=z ， 则)1,0,1(1=n ，因为)0,2,2(-=AB ， 所以，B 到平面AB 1C 1的距离为2||11==n d .（3）设),,(2222z y x n =是平面A 1AB 1的法向量.由得,0,0122=⋅=⋅AA n AB n⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+-,0,.0,0222222z y x z y x 所以 令2y =1，则),0,1,1(2=n 因为21221|||,|,cos 212121==><n n n n 所以，二面角C 1—AB 1—A 1的大小为60°。