最新高中立体几何题型分类训练(附详细答案)

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(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步考点精题训练

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步考点精题训练单选题1、设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α内有无数个点到β的距离相等D．α、β垂直于同一平面答案：B分析：应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确应用立方体，如下图所示：选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C 不一定能使α//β成立；选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；故选：B小提示：本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题2、“迪拜世博会”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜举行，中国馆建筑名为“华夏之光”，外观取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．它的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个中国馆的实心模型，已知模型内层底面直径为12cm ，外层底面直径为16cm ，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20cm 的球面上.此模型的体积为（）A ．304πcm 3B ．840πcm 3C ．912πcm 3D ．984πcm 3答案：C分析：求出内层圆柱，外层圆柱的高，该模型的体积等于外层圆柱的体积与上下面内层圆柱高出的几何体的体积之和，计算可得解.如图，该模型内层圆柱底面直径为12cm ，且其底面圆周在一个直径为20cm 的球面上，可知内层圆柱的高ℎ1=2√(202)2−(122)2=16同理，该模型外层圆柱底面直径为16cm ，且其底面圆周在一个直径为20cm 的球面上，可知外层圆柱的高ℎ2=2√(202)2−(162)2=12此模型的体积为V =π(162)2×12+π(122)2×(16−12)=912π 故选：C3、如图已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，M ，N 分别是A 1D ，D 1B 的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1答案：A分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证MN//AB,A1D⊥平面ABD1，即可得出结论.连AD1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1D的中点，所以M为AD1中点，又N是D1B的中点，所以MN//AB，MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以MN//平面ABCD.因为AB不垂直BD，所以MN不垂直BD则MN不垂直平面BDD1B1，所以选项B,D不正确；在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD 1⊥A 1D ，AB ⊥平面AA 1D 1D ，所以AB ⊥A 1D ，AD 1∩AB =A ，所以A 1D ⊥平面ABD 1，D 1B ⊂平面ABD 1，所以A 1D ⊥D 1B ，且直线A 1D,D 1B 是异面直线，所以选项C 错误，选项A 正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.4、牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为V 牟V 球=4π，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即V 牟8=r 3−V 方盖差，从而计算出V 球=43πr 3.如果记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V ，则V 方差盖:V =（）A ．√22B ．1C ．√2D ．2√2答案：C分析：计算出V 方盖差，V ，即可得出结论. 由题意，V 方盖差=r 3−18V 牟=r 3−18×4π×43×π×r 3=13r 3，所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正=13×r ×r ×(√2r 2)=√26r 3， ∴ V 方盖差V 正=13r 3√2r 36=√2，故选：C ．5、过半径为4的球O 表面上一点M 作球O 的截面，若OM 与该截面所成的角是30°，则O 到该截面的距离是（）A ．4B ．2√3C ．2D ．1答案：C分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心，则OA⊥截面，AM在截面内，即有OA⊥AM，=2 ,故∠OMA=30∘,所以OA=4×12即O到该截面的距离是2，故选：C6、设α,β是两个不同平面，m,n是两条直线，下列命题中正确的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥βB．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α//βC．如果m//n，m⊥α，n⊥β，那么α//βD．如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m//n答案：C分析：A.由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B. 由m⊥n，m⊥α，得到n//α或n⊂α，再利用面面垂直的判定定理判断； C. 由m//n，m⊥α，得到n⊥α，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．A.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n//β，则α,β位置不确定，故错误；B.因为m⊥n，m⊥α，所以n//α或n⊂α，又n⊥β，所以α⊥β，故错误；C. 因为m//n，m⊥α，所以n⊥α，又n⊥β，所以α//β，故正确；D.如果α//β，m与α所成的角和n与β所成的角相等，那么m//n，相交或异面，故错误．故选：C7、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）D．26πA．18πB．20πC．22π3答案：A分析：由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可解：由题意得，球的半径R=2，圆柱的底面半径r=1，高ℎ=3，则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrℎ=8π+4π+2π×1×3=18π故选：A.8、如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC，AC于点E，F，则（）A．MF//NEB．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1//NE答案：B解析：由已知条件及线面平行的性质可得MN∥EF且EF≠MN，可得四边形MNEF为梯形，可得答案.解：∵在▱AA1B1B中，AM=MA1，BN=NB1，∴AM∥BN，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC=EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB.显然在ΔABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形.故选：B.小提示：本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.9、设m､n是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A．若m∥α,n∥α，则m∥nB．若m⊥α,n⊥α，则m∥nC．若m∥α,m∥β，则α∥βD．若m⊥α,α⊥β，则m∥β答案：B分析：在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.在正方体ABCD−EFGH中，记底面ABCD为α，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为α，EF为m，平面CDHG为β，故排除C；记底面ABCD为α，BF为m，平面ABFE为β，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.故选：B10、如图，已知正方体的棱长为a，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（）A．(8+2√2)a2B．(2+4√2)a2C．(4+2√2)a2D．(6−4√2)a2答案：C分析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为√2a，宽为a，所以面积为√2a2，所以拼成的几何体的表面积为4a2+2√2a2=(4+2√2)a2.故选：C.填空题11、早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36°按3计算，则5该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．答案：55√336π分析：可得正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，可得r=5l6，R=3√1111l，即可表示出外接球的表面积和正二十面体的表面积，得出答案.由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，则l2r=sin36°=35，得r=5l6，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是ℎ=√l2−r2=√l2−(5l6)2=√116l，所以R2=r2+(R−ℎ)2，即R2=(5l6)2+(R−√116l)2，解得R=3√1111l．所以该正二十面体的外接球表面积为S球=4πR2=4π×(3√1111l)2=36π11l2，而该正二十面体的表面积是S正二十面体=20×12×l×l×sin60°=5√3l2，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55√336π．所以答案是：55√336π.小提示：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将正二十面体的外接球等价于上方正五棱锥的外接球，表示出半径.12、已知三个互不重合的平面α,β,γ，α∩β=m，n⊂γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m//γ，n⊂β；②m//γ，n//β；③m⊂γ，n//β．能推得m//n的条件是________．答案：①③分析：利用空间中直线与平面的位置关系，作图分析即可求解对于①m//γ，n⊂β成立，证明如下：证明如下：∵α∩β=m，∴m⊂β，∵n⊂γ，n⊂β，∴β∩γ=n，又m//γ，∴m//n；对于②m//γ，n//β；③m⊂γ，n//β，不成立，如图此时n和m是异面；对于③m⊂γ，n//β，成立，证明如下：证明如下：∵α∩β=m，n⊂γ，m⊂γ，∴m//n或m∩n=P，假设m∩n=P，则P∈n，P∈m，又α∩β=m，∴P∈β，这与n//β相矛盾，因此m∩n=P不成立，故m//n．所以答案是：①③.13、如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是_________．答案：√612分析：作出图形，找出直线OP与平面OAB所成的角θ，证出PA⊥平面PBH，得出PA⊥PH，得出点P的轨迹就是平面α内以线段AH为直径的圆(A点除外)，转化成与圆有关的最值问题，即可求出结果.如图，过点B作BH⊥OA，交OA的延长线于点H，连接PH，OP，取AH的中点为E，连接PE，过点P作PF⊥OA，垂足为F，∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH⊂平面OAB，PF⊂α，∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，∴OP在平面OAB上的射影就是直线OA，故∠AOP就是直线OP与平面OAB所成的角θ，即∠AOP=θ，∵AP⊂α，∴AP⊥BH，又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，PB，BH⊂平面PBH，∴PA ⊥平面PBH ，∵PH ⊂平面PBH ，∴PA ⊥PH ，故点P 的轨迹就是平面α内以线段AH 为直径的圆(A 点除外)，∵OA =AB ，且∠OAB =120∘，∴∠BAH =60∘，设OA =a(a >0)，则AB =a ，从而AH =AB ⋅cos 60∘=a 2，∴PE =12AH =a 4，如图，当且仅当PE ⊥OP ，即OP 是圆E 的切线时，角θ有最大值，tan θ有最大值，tan θ取得最大值为：PE OP =√OE 2−PE 2=a 4√(a+a 4)−(a 4)=√612．所以答案是：√612.14、已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π则该圆锥的侧面积为________.答案：39π分析：利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.∵V =13π62⋅ℎ=30π∴ℎ=52 ∴l =√ℎ2+r 2=√(52)2+62=132 ∴S 侧=πrl =π×6×132=39π.所以答案是：39π.15、已知P，Q，R，S是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）答案：①③④分析：利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可．①中，∵PR//QS，∴P，Q，R，S四点共面；②中，PR和QS是异面直线，故四点不共面；③中，∵PS//QR，∴P，Q，R，S四点共面；④中，∵PQ//RS//BC，∴P，Q，R，S四点共面；所以答案是：①③④解答题16、如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，PA＝2，AC＝2√2．(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；(2)若二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，过点A作AN⊥PC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小．答案：(1)证明见解析(2)60°分析：（1）根据线线垂直得BC⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）由题意求出AB,BC的长，过点A作AM⊥PB于M，连接MN，则∠ANM为直线AN与平面PBC所成的角，然后在Rt△ANM中可求得结果（1）证明：因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，（2）由（1）可知BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，因为AB⊥BC，所以∠ABP为二面角P−BC−A的平面角，所以∠ABP=45°，因为PA=2,AC=2√2,∠ABC=90°，所以AB=BC=2，过点A作AM⊥PB于M，则AM⊥平面PBC，且M为PB的中点，连接MN，则∠ANM为直线AN与平面PBC所成的角，在Rt△PAB中，AM=12PB=12×2√2=√2,在Rt△PAC中，PC=√PA2+AC2=√4+8=2√3，则AN=PA⋅ACPC =√22√3=2√63，在Rt△ANM中，sin∠ANM=AMAN =√22√63=√32，因为0°<∠ANM<180°，所以∠ANM=60°，所以直线AN与平面PBC所成角的大小为60°17、所有棱长均相等的三棱锥称为正四面体，如图，在正四面体A—BCD中，求证：AB⊥CD.答案：见解析分析：取CD的中点为M，连接AM，BM，根据线面垂直可得AB⊥CD.取CD的中点为M，连接AM，BM，因为四面体A−BCD为正四面体，故△ACD为等边三角形，故AM⊥CD，同理BM⊥CD，而AM∩BM=M，故CD⊥平面ABM，因为AB⊂平面ABM，故CD⊥AB.18、如图，G是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱的DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出：(1)过点G，A，C的平面与正方体表面的交线；(2)过点E，F，D1的平面与正方体表面的交线.答案：(1)答案见解析(2)答案见解析分析：（1）连接AG，交A1D1于点H，连接GC，交C1D1于点I，从而可得到过点A，C，G的平面为平面ACIH；（2）根据基本性质三：若两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可作出平面与正方体表面的交线；(1)连接AG，交A1D1于点H，连接GC，交C1D1于点I，连接HI,AC，则过点A，C，G的平面为平面ACIH，过点G，A，C的平面与正方体表面的交线分别为：AH，HI，IC，AC.(2)延长EF，交DC的延长线于点Q，延长FE，交DA的延长线于点P，连接D1P交AA1于点O，连接D1Q交CC1于点R，连接OE,EF,FR，则过点E，F，D1的平面为平面EFRD1O，过点E，F，D1的平面与正方体表面的交线分别为：D1O，OE，EF，FR，RD1.19、四面体ABCD如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．证明：E、F、G、H四点共面且四边形EFGH是平行四边形．答案：证明见解析分析：根据线面平行的性质定理，分别证得EH∥BC，FG∥BC，则得EH∥FG，从而可证得E、F、G、H四点共面，同理可证得EF∥HG，再根据平行四边形的判定定理可得结论因为BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，所以BC∥FG，BC∥EH，所以EH∥FG，所以E、F、G、H四点共面，同理可证得EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG，所以四边形EFGH是平行四边形．。

高三立体几何专题练习(含答案)

立体几何专题练习卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．正方体DC B A ABCD 111-的棱长为a ，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小是__________．2．已知某铅球的表面积是2484cm π，则该铅球的体积是___________2cm ．3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O12127'，北纬O 318'，B 位于东经O12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为__________3cm ．7．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________． 8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC ∠=____________.9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为__________cm. （精确到0.1cm ）10．如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制作该容器需要铁皮面积为__________cm2．（衔接部分忽略不计，结果保留整第9题数）11．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是__________ .12．如右下图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为__________ ．13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高。

高三数学立体几何专项练习题及答案

高三数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下列哪个几何体的所有面都是三角形？A. 正方体B. 圆柱体C. 正六面体D. 球体答案：C2. 一个有8个面的多面体，其中6个面是正方形，另外2个面是等边三角形，它的名字是？A. 正八面体B. 正十二面体C. 正二十面体D. 正二十四面体答案：C3. 空间中任意一点到四个角落连线的垂直距离相等的四棱锥称为？A. 正四棱锥B. 圆锥台C. 四棱锥D. 无法确定答案：C4. 任意多面体的面数与顶点数、棱数的关系是？A. 面数 + 顶点数 = 棱数 + 2B. 面数 + 棱数 = 顶点数 + 2C. 顶点数 + 棱数 = 面数 + 2D. 顶点数 + 面数 = 棱数 + 2答案：A5. 求下列多面体的棱数：（1）正六面体（2）正八面体（3）正十二面体答案：（1）正六面体的棱数为 12（2）正八面体的棱数为 24（3）正十二面体的棱数为 30二、填空题1. 下列说法正确的是：一棱锥没有底面时，它的底面是一个______。

答案：点2. 铅垂线是指从一个多面体的一个顶点到与它相对的棱上所作的垂线，它与该棱垂足的连线相交于该多面体的______上。

答案：中点3. 对正八面体，下列说法不正确的是：_____条对角线与_____两两垂直。

答案：六，相邻面三、计算题1. 一个棱锥的底面是一个边长为6cm的正三角形，其高为8cm。

求棱锥体积。

解答：底面积 S = (1/2) ×底边长 ×高 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 24 × 8 = 64 cm³所以，棱锥的体积为64 cm³。

2. 一个正四棱锥的底面是一个边长为10cm的正方形，其高为12cm。

求四棱锥的体积。

解答：底面积 S = 边长² = 10² = 100 cm²四棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 100 × 12 = 400 cm³所以，四棱锥的体积为400 cm³。

立体几何(7大题型)(解析版)2024年高考数学立体几何大题突破

立体几何立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。

考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。

2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。

题型一：空间异面直线夹角的求解1(2023·上海长宁·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)求证：AO⊥CD；(2)若BD⊥DC,BD=DC,AO=BO，求异面直线BC与AD所成的角的大小.【思路分析】(1)利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得.(2)分别取AB,AC的中点M,N，利用几何法求出异面直线BC与AD所成的角.【规范解答】(1)在三棱锥A-BCD中，由AB=AD,O为BD的中点，得AO⊥BD，而平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD.(2)分别取AB,AC的中点M,N，连接OM,ON,MN，于是MN⎳BC,OM⎳AD，则∠OMN是异面直线BC与AD所成的角或其补角，由(1)知，AO ⊥BD ，又AO =BO ，AB =AD ，则∠ADB =∠ABD =π4，于是∠BAD =π2，令AB =AD =2，则DC =BD =22，又BD ⊥DC ，则有BC =BD 2+DC 2=4，OC =DC 2+OD 2=10，又AO ⊥平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，则AO ⊥OC ，AO =2，AC =AO 2+OC 2=23，由M ,N 分别为AB ,AC 的中点，得MN =12BC =2,OM =12AD =1,ON =12AC =3，显然MN 2=4=OM 2+ON 2，即有∠MON =π2，cos ∠OMN =OM MN =12，则∠OMN =π3，所以异面直线BC 与AD 所成的角的大小π3.1、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．3、异面直线所成角：若n 1 ,n 2分别为直线l 1,l 2的方向向量，θ为直线l 1,l 2的夹角，则cos θ=cos <n 1 ,n 2 > =n 1 ⋅n 2n 1 n 2.1(2023·江西萍乡·高三统考期中)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是BB 1,CD 的中点.(1)证明：EF ⎳平面AB1C 1D ；(2)若AB =2A 1B 1，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为22，O 为ABCD 的中心，求异面直线OB 1与CC 1所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)45【分析】(1)根据中位线定理，结合线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用面面平行的性质，可得答案；(2)根据题意，结合正四棱台的几何性质，求得各棱长，利用线线角的定义，可得答案.【解析】(1)取CC 1中点G ，连接GE ,GF ，如下图：在梯形BB 1C 1C 中，E ,G 分别为BB 1,CC 1的中点，则EG ⎳B 1C 1，同理可得FG ⎳C 1D ，因为EG ⊄平面AB 1C 1D ，B 1C 1⊂平面AB 1C 1D ，所以EG ⎳平面AB 1C 1D ，同理可得GF ⎳平面AB 1C 1D ，因为EG ∩FG =G ，EG ,FG ⊆平面EFG ，所以平面EFG ⎳平面AB 1C 1D ，又因为EF ⊆平面EFG ，所以EF ⎳平面AB 1C 1D ；(2)连接AC ,BD ，则AC ∩BD =O ，连接A 1O ,A 1C 1,B 1O ,在平面BB 1C 1C 中，作B 1N ⊥BC 交BC 于N ，在平面BB 1D 1D 中，作B 1M ⊥BD 交BD 于M ，连接MN ，如下图：因为AB =2A 1B 1，则OC =A 1C 1，且OC ⎳A 1C 1，所以A 1C 1CO 为平行四边形，则A 1O ⎳CC 1，且A 1O =CC 1，所以∠A 1OB 1为异面直线OB 1与CC 1所成角或其补角，同理可得：B 1D 1DO 为平行四边形，则B 1O =D 1D ，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知对角面BB 1D 1D ⊥底面ABCD ，因为平面ABCD ∩平面BB 1D 1D =BD ，且B 1M ⊥BD ，B 1M ⊂平面BB 1D 1D ，所以B 1M ⊥平面ABCD ，由内切球的半径为22，则B 1M =2，在等腰梯形BB 1C 1C 中，BC =2B 1C 1且B 1N ⊥BC ，易知BN =14BC ，同理可得BM =14BD ，在△BCD 中，BN BC=BM BD =14，则MN =14CD ，设正方形ABCD 的边长为4x x >0 ，则正方形A 1B 1C 1D 1的边长为2x ，MN =x ，由正四棱台的侧面积为9，则等腰梯形BB 1C 1C 的面积S =94，因为B 1M ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，所以B 1M ⊥MN ，在Rt △B 1MN ，B 1N =B 1M 2+MN 2=2+x 2，可得S =12⋅B 1N ⋅B 1C 1+BC ，则94=12×2+x 2×4x +2x ，解得x =12，所以BC =2，B 1C 1=1，BN =14BC =12，B 1N =32，则A 1B 1=1，在Rt △BB 1N 中，BB 1=B 1N 2+BN 2=102，则CC 1=DD 1=102，所以在△A 1OB 1中，则cos ∠A 1OB 1=A 1O 2+B 1O 2-A 1B 212⋅A 1O ⋅B 1O=1022+102 2-12×102×102=45，所以异面直线OB 1与CC 1所成角的余弦值为45.2(2023·辽宁丹东·统考二模)如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，二面角D 1-AD -C 的大小为120°，E 为棱C 1D 1的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)点F 在棱CC 1上，AE ⎳平面BDF ，求直线AE 与DF 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)37【分析】(1)根据面面垂直可得线面垂直进而得线线垂直，由二面角定义可得∠D 1DC =120°，进而根据中点得线线垂直即可求；(2)由线面平行的性质可得线线平行，由线线角的几何法可利用三角形的边角关系求解，或者建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.【解析】(1)因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，且两平面交线为DC ,AD ⊥DC ，AD ⊂平面ABCD , 所以AD ⊥平面CDD 1C 1，所以AD ⊥D 1D ,AD ⊥DC ，∠D 1DC 是二面角D 1-AD -C 的平面角，故∠D 1DC =120°．连接DE ，E 为棱C 1D 1的中点，则DE ⊥C 1D 1,C 1D 1⎳CD ，从而DE ⊥CD ．又AD ⊥CD ，DE ∩AD =D ，DE ,AD ⊂平面AED ，所以CD ⊥平面AED ，ED ⊂平面AED ,因此CD ⊥AE ．(2)解法1：设AB =2，则DE =D 1D 2-12D 1C 1 2=3，所以CE =AE =AD 2+DE 2=7．连AC 交BD 于点O ，连接CE 交DF 于点G ，连OG ．因为AE ⎳平面BDF ，AE ⊂平面AEC ,平面AEC ∩平面BDF =OG ，所以AE ∥OG ，因为O 为AC 中点，所以G 为CE 中点，故OG =12AE =72．且直线OG 与DF 所成角等于直线AE 与DF 所成角．在Rt △EDC 中，DG =12CE =72，因为OD =2，所以cos ∠OGD =722+72 2-(2)22×72×72=37．因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37．解法2；设AB =2，则DE =D 1D 2-12D 1C 1 2=3，所以CE =AE =AD 2+DE 2=7．取DC 中点为G ，连接EG 交DF 于点H ，则EG =DD 1=2．连接AG 交BD 于点I ，连HI ，因为AE ⎳平面BDF ，AE ⊂平面AGE ，平面AGE ∩平面BDF =IH ，所以AE ∥IH ．HI 与DH 所成角等于直线AE 与DF 所成角．正方形ABCD 中，GI =13AG ，DI =13DB =223，所以GH =13EG ，故HI =13AE =73．在△DHG 中，GH =13EG =23，GD =1，∠EGD =60°，由余弦定理DH =1+49-1×23=73．在△DHI 中，cos ∠DHI =732+73 2-223 22×73×73=37．因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为37．解法3:由(1)知DE ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，DA为x 轴正方向，DA为2个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ．由(1)知DE =3，得A 2,0,0 ,B 2,2,0 ,C 0,2,0 ,E (0,0,3)，C 1(0,1,3)．则CC 1=(0,-1,3)，DC =(0,2,0)，AE =(-2,0,3)，DB =(2,2,0)．由CF =tCC 1 0≤t ≤1 ，得DF =DC +CF =(0,2-t ,3t )．因为AE ⎳平面BDF ，所以存在唯一的λ，μ∈R ，使得AE =λDB +μDF=λ2,2,0 +μ(0,2-t ,3t )=2λ,2λ+2μ-tμ,3μt ，故2λ=-2,2λ+2μ-tμ=0,3μt =3，解得t =23，从而DF =0,43,233 ．所以直线AE 与DF 所成角的余弦值为cos AE ,DF =AE ⋅DF|AE ||DF |=37．题型二：空间直线与平面夹角的求解2(2024·安徽合肥·统考一模)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1,BCC 1B 1均为正方形，D ,E 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，N 为C 1E 上一点.(1)证明：BN ⎳平面A 1DC ；(2)若AB =AC ,C 1E =3C 1N，求直线DN 与平面A 1DC 所成角的正弦值.【思路分析】(1)连接BE ,BC 1,DE ,则有平面BEC 1⎳平面A 1DC ，可得BN ⎳平面A 1DC ；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量进行计算即可.【规范解答】(1)连接BE ,BC 1,DE .因为AB ⎳A 1B 1，且AB =A 1B 1，又D ,E 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，所以BD ⎳A 1E ，且BD =A 1E ，所以四边形BDA 1E 为平行四边形，所以A 1D ⎳EB ，又A 1D ⊂平面A 1DC ,EB ⊄平面A 1DC ，所以EB ⎳平面A 1DC ，因为DE ⎳BB 1⎳CC 1，且DE =BB 1=CC 1，所以四边形DCC 1E 为平行四边形，所以C 1E ⎳CD ，又CD ⊂平面A 1DC ,C 1E ⊄平面A 1DC ，所以C 1E ⎳平面A 1DC ，因为C 1E ∩EB =E ,C 1E ,EB ⊂平面BEC 1，所以平面BEC 1⎳平面A 1DC ，因为BN ⊂平面BEC 1，所以BN ⎳平面A 1DC .(2)四边形ACC 1A 1,BCC 1B 1均为正方形，所以CC 1⊥AC ,CC 1⊥BC ，所以CC 1⊥平面ABC .因为DE ⎳CC 1，所以DE ⊥平面ABC ，从而DE ⊥DB ,DE ⊥DC .又AB =AC ，所以△ABC 为等边三角形.因为D 是棱AB 的中点，所以CD ⊥DB ，即DB ,DC ,DE 两两垂直.以D 为原点，DB ,DC ,DE 所在直线为x ,y ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设AB =23，则D 0,0,0 ,E 0,0,23 ,C 0,3,0 ,C 10,3,23 ,A 1-3,0,23 ，所以DC =0,3,0 ,DA 1=-3,0,23 .设n=x ,y ,z 为平面A 1DC 的法向量，则n ⋅DC=0n ⋅DA 1 =0，即3y =0-3x +23z =0 ，可取n=2,0,1 .因为C 1E =3C 1N ，所以N 0,2,23 ,DN =0,2,23 .设直线DN 与平面A 1DC 所成角为θ，则sin θ=|cos ‹n ,DN ›|=|n ⋅DN ||n |⋅|DN |=235×4=1510，即直线DN 与平面A 1DC 所成角正弦值为1510.1、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A ，过点A 向平面α做垂线，确定垂足O ；(2)连结斜足与垂足为斜线AB 在面α上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；(3)把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。

高三精选立体几何大题30题(含详细解答)

A BC第1题图ABCD第1题图立体几何大题1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD 把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B过A作AF⊥A1B垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。

（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小的正弦值.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B 的正切值. 4．如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积；（Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，求二面角P—CD—A的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D—AMN的体积.6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。

（I）求二面角B1—MN—B的正切值；（II）证明：PB⊥平面MNB1；（III）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离。

高中立体几何题型分类训练(附详细答案)只是分享

立体几何题型分类解答第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图及其表面积和体积一、选择题1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( )2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①②B．①③C．①④D．②④3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( )①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与155．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233二、填空题6．在下列图的几何体中，有________个是柱体．7．(2009年全国卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________．8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是________．三、解答题9.如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长．10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积．参考答案1．C2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.答案：D3．A 4.C 5.C6．解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中第①，③，⑤，⑦个几何体都是柱体．答案：47．解析：在△ABC 中AB ＝AC ＝2，∠BAC＝120°，可得BC ＝23，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r ＝2，设此圆圆心为O′，球心为O ，在RT△OBO′中，易得球半径R ＝5，故此球的表面积为4πR 2＝20π.答案：20π8．解析：不妨设三棱长为a ，b ，c ，则ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，解得abc ＝6从而a ＝2，b ＝1，c ＝3，其对角线长为a 2＋b 2＋c 2＝ 6.答案： 69．解析：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形所以对角线长为42＋92＝97；(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB 1展开，如右图，设PC 的长为x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x)2，因为MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，所以x ＝2即PC 的长为2，又因为NC∥AM所以PC PA ＝NC AM 即25＝NC 2，所以NC ＝45.注意：几何体中，沿侧面上的最短线路问题常考虑几何体的侧面展开图或表面展开图来考虑．10．解析：该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直，(直观图，三视图略)其体积为： 13×6×6×6＝72 cm 3.第二节空间图形的基本关系与公理一、选择题1．下列四个命题：①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 ③和两条异面直线都相交的两条直线必异面④若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 也是异面直线其中是真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．02．以下命题中：①点A，B，C∈直线a，A，B∈平面α，则C∈α；②点A∈直线a，a⊄平面α，则A∈α；③α，β是不同的平面，a⊂α，b⊂β，则a，b异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．33．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．(2008年四川延考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为( )A.510B.1010C.55D.1055．(2008年全国卷Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23二、填空题6．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定________个平面．7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为________．8．P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30°角的直线有________条．三、解答题9.如右图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．10.如右图所示，已知四边形ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面AC ，且PA ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求PC 的长；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小．参考答案1．D2．解析：只有①⑤为真命题．答案：C 3．B4．解析：连结D 1C ，EC ，用余弦定理解三角形可以求得答案．答案：B5．解析：连接AC 、BD 交于O ，连接OE ，因OE∥SD.所以∠AEO 为所求．设侧棱长与底面边长都等于2，则在△AEO 中，OE ＝1，AO ＝2，AE ＝22－1＝3，于是cos∠AEO＝()32＋12－222×3×1＝13＝33. 答案：C6．7 7.平行四边形8．解析：无数条，它们组成一个以P 为顶点的圆锥面．答案：无数9．解析：(1)证明：在△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，BC 中点，所以EF∥AC，且EF ＝12AC ，同理有GH∥AC，且GH ＝12AC ，∴EF∥GH 且EF ＝GH ，故四边形EFGH 是平行四边形；(2)证明：仿(1)中分析，EH∥BD 且EH ＝12BD ，若AC ＝BD ，则有EH ＝EF ，又因为四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)由(2)知，AC ＝BD(四边形EFGH 是菱形，欲使EFGH 是正方形，还要得到∠EFG＝90°，而∠EFG 与异面直线AC ，BD 所成的角有关，故还要加上条件AC⊥BD.∴当AC ＝BD 且AC⊥BD 时，四边形EFGH 是正方形．10．解析：(1)因为PA⊥平面AC ，AB⊥BC，∴PB⊥BC，即∠PBC＝90°，由勾股定理得PB ＝PA 2＋AB 2＝ 2. ∴PC＝PB 2＋BC 2＝ 6. (2)如右图所示，过点C 作CE∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则∠PCE 为异面直线PC 与BD 所成的角或它的补角．∵CE＝BD ＝2，且PE ＝PA 2＋AE 2＝10. ∴由余弦定理得cos∠PCE＝PC 2＋CE 2－PE 22PC·CE ＝－36.∴PC 与BD 所成角的余弦值为36.第三节空间图形的平行关系一、选择题1．α、β是两个不重合的平面，a 、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( ) A ．α、β都平行于直线a 、bB ．α内有三个不共线点A 、B 、C 到β的距离相等 C ．a 、b 是α内两条直线，且a∥β，b∥βD ．a 、b 是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β2．(2009年滨州模拟)给出下列命题：①若平面α内的直线l 垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β； ②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β； ③若平面α垂直于平面β，直线l 在平面α内，则l⊥β； ④若平面α平行于平面β，直线l 在平面α内，则l∥β. 其中正确命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．204．a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是( ) A ．过A 有且只有一个平面平行于a 、b B ．过A 至少有一个平面平行于a 、b C ．过A 有无数个平面平行于a 、b D ．过A 且平行a 、b 的平面可能不存在5．给出下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题： ①若m ⊂α，l∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面； ②若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；③若l ⊂α，m ⊂α，l∩m＝点A ，l∥β，m∥β，则α∥β； ④m∥α，m ⊂β，α∩β＝l ，则m∥l. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 二、填空题6．设D 是线段BC 上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A(A 与BC 分居平面两侧)作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC ＝a ，AD ＝b ，DF ＝c ，则EG ＝________.7．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN∥平面B 1BDD 1.8．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号) 三、解答题9.(2009年柳州模拟)如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积．10.(2009年宁夏模拟)如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E —PAD 的体积；(2)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (3)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE⊥AF.参考答案1．解析：A 错，若a∥b，则不能断定α∥β；B 错，若A 、B 、C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a∥b，则不能断定α∥β；D 正确．答案：D 2．B3．解析：利用△PAB 与△PCD 相似可得，当α，β在点P 的同侧时，BD 为245；α，β在点P 的异侧时，BD为24.答案：B4．解析：过点A 可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′＝A.∴a′、b′可确定一个平面，记为α. 如果a ⊄α，b ⊄α，则a∥α，b∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在．答案：D5．解析：本题考查线线，线面及面面位置关系的判定．答案：B 6.ab －acb7．点M 在线段FH 上8．解析：如右图所示，A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行； AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直；DD 1与BC 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．答案：①②④9．解析：(1)证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连结EF. ∵ABCD—A 1B 1C 1D 1为正四棱柱， ∴四边形DCC 1D 1为矩形， ∴F 为D 1C 中点．在△CD 1B 中，∵E 为BC 中点，∴EF∥D 1B. 又∵D 1B ⊄面C 1DE ，EF ⊂面C 1DE ，∴BD 1∥平面C 1DE. (2)连结BD ，VD －D 1BC ＝VD 1－DBC ，∵AC′是正四棱柱， ∴D 1D⊥面DBC.∵DC＝BC ＝2，∴S △BCD ＝12×2×2＝2.VD 1－DBC ＝13·S △BCD ·D 1D ＝13×2×1＝23.∴三棱锥D －D 1BC 的体积为23.10．解析：(1)三棱锥E —PAD 的体积 V ＝13PA·S △ADE ＝13PA·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD·AB ＝36. (2)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF∥PC，又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， ∴EF∥平面PAC.(3)证明：∵PA⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ， ∴EB⊥平面PAB ，又AF ⊂平面PAB ，∴AF⊥EB，又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 中点，∴AF⊥PB 又∵PB∩BE＝B ，PB ，BE ⊂面PBE ，∴AF⊥面PBE ，∵PE⊂面PBE，∴PE⊥AF.第四节空间图形的垂直关系一、选择题1．(2008年安徽卷)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．(2009年浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．(2009年广东卷)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④4．关于直线m、n与平面α与β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是( )A．①② B．③④ C．①④D．②③5．已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是( )A．①③ B．②④ C．①④D．②③二、填空题6．下列命题中，设α、β、γ为不同平面，a、b为不同直线，下列命题是真命题的有________．①a⊥α，a⊥β⇒α∥β.②a⊥α，a∥b⇒b⊥α.③α⊥β，a⊂α，b⊂β⇒a⊥b.④a⊥α，a⊥b⇒b∥α.7．设三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心其中正确命题的命题是________．8．(2009年浙江)如下图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是_____________．三、解答题9.如右图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝ 2.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．10．如右图，A、B、C、D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD?证明你的结论．参考答案1．解析：m、n均为直线，其中m、n平行α，m、n可以相交也可以异面，故A不正确；m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；故选D.答案：D2．解析：对于A 、B 、D 均可能出现l∥β，而对于C 是正确的．答案：C3．D4．D5．解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确，②中m ，n 可以平行或异面；③中n 可以在α内．答案：C6．①②7．①②③④8．解析：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t ＝1，随着F 点到C 点时，因CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB ，即有CB⊥BD，对于CD ＝2，BC ＝1，∴BD＝3，又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD⊥BD，则有t ＝12，因此t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 9．解析：(1)证明：因为四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ＝1，PD ＝2，所以PD 2＝PA 2＋AD 2，所以PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D ，所以PA⊥平面ABCD.(2)四棱锥P －ABCD 的底面积为1，因为PA⊥平面ABCD ，所以四棱锥P －ABCD 的高为1，所以四棱锥P －ABCD 的体积为13. 10．解析：(1)取AB 的中点E ，连结DE ，CE ，因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。

高中几何体试题及答案解析

高中几何体试题及答案解析试题一：立体几何基础题题目：已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求该长方体的体积。

解析：长方体的体积可以通过其三个维度的乘积来计算，即体积V = a × b × c。

答案：V = abc。

试题二：空间向量在立体几何中的应用题目：在空间直角坐标系中，点A(1, 0, 0)，点B(0, 1, 0)，点C(0, 0, 1)，求三角形ABC的面积。

解析：空间直角坐标系中，三角形的面积可以通过向量叉乘来求解。

设向量AB = (-1, 1, 0)，向量AC = (-1, 0, 1)，向量AB与向量AC 的叉乘结果为向量AB × AC = (1, -1, 1)。

该向量的模即为三角形ABC的面积的两倍。

答案：三角形ABC的面积为√3。

试题三：圆锥体的体积计算题目：已知圆锥的底面半径为r，高为h，求圆锥的体积。

解析：圆锥的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h来计算。

答案：V = (1/3)πr²h。

试题四：球体的表面积与体积题目：已知球体的半径为R，求球体的表面积和体积。

解析：球体的表面积可以通过公式A = 4πR²来计算，球体的体积可以通过公式V = (4/3)πR³来计算。

答案：球体的表面积A = 4πR²，球体的体积V = (4/3)πR³。

试题五：旋转体的体积题目：已知圆柱的底面半径为r，高为h，求圆柱的体积。

解析：圆柱的体积可以通过公式V = πr²h来计算。

答案：V = πr²h。

结束语：通过上述试题及答案解析，我们可以看到高中几何体的计算涉及体积、面积和表面积等概念，这些计算在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。

掌握这些基础知识对于解决更复杂的几何问题至关重要。

希望这些试题和解析能够帮助学生加深对立体几何概念的理解，并在解题过程中培养空间想象能力。

高中数学立体几何经典题型专题训练试题(含答案)

高中数学立体几何经典题型专题训练试题姓名班级学号得分说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分。

考试时间120分钟。

２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）评卷人得　分一．单选题（共10小题，每题3分，共30分）1、如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动．⊥1C1，则N点的轨迹为（）若MN AA．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（）A．点H是△A1BD的垂心B．直线AH与CD1的成角为900C．AH的延长线经过点C1D．直线AH与BB1的成角为4503、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（　）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球4．下列说法中正确的是（）A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形5．用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是（1）钝角三角形；（2）直角三角形；（3）菱形；（4）正五边形；（5）正六边形．下述选项正确的是（）A．（1）（2）（5）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）（5）6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）⊥A．AC BEB．A1C⊥平面AEFC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE、BF所成的角为定值7．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为（）A．4B．C．D．28．一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（）A．2B．C．2D．29、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为10．如图，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则AF：FB=（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得　分二．填空题（共14小题，每题3分，共42分）11、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1和BB1的中点，G是BC上一点，使⊥，则∠D1NG=______．C1N MG12、已知如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点（不含顶点）．则下列说法正确的是______．①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E位置有关，与点F位置无关；⑤当E，F分别为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则三棱锥P-DEF的体积为．⊥，∠BAC=θ（0＜θ≤），且13、如图，三棱锥A-BCD中，AB AD⊥，AC ADAB=AC=AD=2，E、F分别为AC、BD的中点，则EF的最大值为______．14、如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是______．15．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为4，6，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为______．⊥1D则EF和BD1的关系是______．16、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF AC⊥，EF A17、已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为______．18、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．其中正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．19、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱CD、C1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN 的中点P的轨迹（曲面）与二面角D-C1D1-B1所围成的几何体的体积为______．∈1，且AM=BN，有以下四个结论：20、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M AB∈1，N BC⊥；①AA1MN∥；②A1C1MN③MN与面A1B1C1D1成0°角；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是______．21、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于点E，交CC1于F，①四边形BFD1E一定是平行四边形②四边形BFD1E有可能是正方形③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形④四边形BFD1E点有可能垂直于平面BB1D以上结论正确的为______（写出所有正确结论的编号）22、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则=______．23．设A是自然数集的一个非空子集，如果k2A∉，且A，那么k是A的一个“酷元”，⊆，且集合M中的两个元素都是“酷元”那么这样的结给定S={0，1，2，3，4，5}，设M S合M有______个．24、如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是______．评卷人得　分三．简答题（共28分）25、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，点P为平面ABCD所在平面外的⊥．一点，若△PAD为等边三角形，求证：PB AD26、如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且⊥．SA BC（1）求证：S-ABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．27、如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点．（1）若BD=2，AC=6，则EG2+HF2等于多少？（2）若AC与BD成30°的角，且AC=6，BD=4，则四边形EFGH的面积等于多少？28、已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O 为S在底面ABC上的射影．求证：（1）O为△ABC的垂心；（2）O在△ABC内；（3）设SO=h，则++=．29．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R．30、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC 的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．参考答案评卷人得　分一．单选题（共__小题）1、如图，在正方体中ABCD-A1B1C1D1，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动．⊥1C1，则N点的轨迹为（）若MN AA．线段B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案：A解析：解：正方体中ABCD-A1B1C1D1中，M为BC的中点，点N在四边形CDD1C1及其内部运动；如图所示，取CD、C1D1的中点Q、P，连接PQ，⊥1C1；当点N在线段PQ上时，MN A因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，⊥1D1，连接B1D1，交A1C1于点O，∴B1D1A取B1C1的中点E，连接PE，则PE B∥1D1，⊥1C1；∴PE A∥1，又CC1⊥平面A1B1C1D1，PQ CC∴PQ⊥平面A1B1C1D1，∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，⊥1C1；∴PQ A且PQ∩PE=P，∴A1C1⊥平面PQME，PQ⊂平面PQME，⊥；∴A1C1PQ∴N点的轨迹为线段PQ．故选：A．2、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是（）A．点H是△A1BD的垂心B．直线AH与CD1的成角为900C．AH的延长线经过点C1D．直线AH与BB1的成角为450答案：D解析：解：由ABCD-A1B1C1D1是正方体，得A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故A正确；⊥1B，又CD1A∥1B，可得直线AH与CD1的成角为90°，故B正确；∵AH⊥面A1BD，∴AH A连接AC1，由三垂线定理及线面垂直的判定可得AC1⊥面A1DB，再由过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条可得AH与AC1重合，可得C正确；直线AH与BB1所成的角，即为AH与AA1所成的角，设为θ，由正方体棱长为1，可得正三棱锥的底面边长为，从而求得AH=，则cos，∴D错误．故选：D．3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段AD1上一动点，点Q为底面ABCD内（含边界）一动点，M为PQ的中点，点M构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（　）A．棱柱B．棱锥C．棱台D．球答案：A解析：解：∵Q点不能超过边界，若P点与A点重合，设AB中点E、AD中点F，移动Q点，则此时M点的轨迹为：以AE、AF为邻边的正方形；下面把P点从A点向上沿线段AD1移动，在移动过程中可得M点轨迹为正方形，…，最后当P点与D1点重合时，得到最后一个正方形，故所得几何体为棱柱，故选：A4．下列说法中正确的是（）A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形答案：A解析：解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断A正确；B不正确，例如正六棱柱的相对侧面；C 不正确，只有直棱柱满足C的条件；D不正确，例如长方体．故选A5．用一个平面去截一个正方体，所得截面不可能是（1）钝角三角形；（2）直角三角形；（3）菱形；（4）正五边形；（5）正六边形．下述选项正确的是（）A．（1）（2）（5）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（3）（4）（5）答案：B解析：解：如图所示截面为三角形ABC，OA=a，OB=b，OC=c，AC2=a2+c2，AB2=a2+b2，BC2=b2+c2∠=＞0，∴cos CAB=∴∠CAB为锐角，同理∠ACB与∠ABC也为锐角，即△ABC为锐角三角形；如右图，取相对棱的中点，得到的四边形是菱形；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形；经过正方体的一个顶点去切就可得到5边形．但此时不可能是正五边形．故不可能是（1）（2）（4）．故选：B．6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）⊥A．AC BEB．A1C⊥平面AEFC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE、BF所成的角为定值答案：D解析：解：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，⊥．故A正确．∴AC BE∵EF垂直于直线AB1，AD1，∴A1C⊥平面AEF．故B正确．C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF的距离为，故V A-BEF为定值．C正确当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1显然两个角不相等，D不正确．故选D．7．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为（）A．4B．C．D．2答案：A解析：解：由于正六棱锥可知底面是六个正三角形组成，∴底面积S=6×=6，∴体积V==12，∴h=，夺直角三角形SOB中，侧棱长为SB=．故选A．8．一正四棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（）A．2B．C．2D．2答案：C解析：解：如图PO⊥底面ABCD，连接OA，取AD的中点E，连接OE，PE，则PE为斜高．∠PAO为侧棱与底面所成的角，且为45°，在直角△PAO中，PO=2，AO=2，PA=4，在直角△AEO中，AE=2，故在直角△PEA中，PE==2．故选C．9、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．点B到平面AMC的距离为答案：D解析：解：如图，∥，连接B1D1，交A1C1于N，则可证明OD1BN由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O∥面A1BC1，A正确；⊥，由三垂线定理的逆定理可得OD1AC设正方体棱长为2，可求得OM2=3，，，⊥，由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，B正确；则，有OD1OM由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，C正确；设点B到平面AMC的距离为d，正方体的棱长为2a，则，，由V B-AMC=V A-BCM，得，即，解得：d=，D错误．故选：D．10．如图，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF=90°，则AF：FB=（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4答案：C解析：解：解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C1E==3，∠C1EF=90°，所以设AF=x，12+x2+C1E2=22+22+（2-x）2，解得：x=，所以AF：FB=：=1：3；故选：C．评卷人得　分二．填空题（共__小题）11、正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1和BB1的中点，G是BC上一点，使⊥，则∠D1NG=______．C1N MG答案：90°解析：解：连接MN，∵M，N分别是AA1和BB1的中点，∥1D1，由正方体的几何特征可得MN C在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1C1⊥平面B1C1CB∵C1N⊂平面B1C1CB⊥1N∴D1C1C⊥1N∴MN C⊥，MN∩MG=M，MD1，MG⊂平面MNG又∵C1N MG∴C1N⊥平面MNG又∵NG⊂平面MNG⊥∴C1N NG故∠D1NG=90°故答案为：90°12、已知如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点（不含顶点）．则下列说法正确的是______．①A1C⊥平面B1EF；②△B1EF在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E位置有关，与点F位置无关；⑤当E，F分别为中点时，平面B1EF与棱AD交于点P，则三棱锥P-DEF的体积为．答案：②③⑤解析：解：对于①A1C⊥平面B1EF，不一定成立，因为A1C⊥平面AC1D，而两个平面面B1EF与面AC1D不一定平行．对于②△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB 1，而E 点在面上的投影到此棱BB 1的距离是定值，故正确；对于③在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；对于④平面B 1EF 在平面ABCD 中的射影为△DFB ，面积为定值，但△B 1EF 的面积不定，故不正确；对于⑤由面面平行的性质定理可得EQ B ∥1F ，故D 1Q=，B 1Q PF ∥，故AP=，所以三棱锥P-DEF 的体积为，故正确故答案为：②③⑤．13、如图，三棱锥A-BCD 中，AB AD ⊥，AC AD ⊥，∠BAC=θ（0＜θ≤），且AB=AC=AD=2，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 的最大值为______．答案：解析：⊥，垂足为G，连接GE，解：过F作FG AB⊥，∵AD AB∥，∴G为AB的中点，∴AD FG∴FG=1，AG=1，∵E为AC的中点，∴AE=1，∠BAC=θ，∴EG=∵AD⊥平面ABC，∴FG⊥平面ABC，△中，EF===，在Rt FGE∵0，∴EF≤．故答案是．14、如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是______．答案：M=N解析：解：根据平面中直角三角形的勾股定理类比得，S ABC△2=S PAB△2+S PBC△2+S PAC△2①，由等体积法得，∴②，①÷②整理得M=N．故答案为：M=N．15．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为4，6，过AB的中点E且平行BD，AC的截面四边形的周长为______．答案：10解析：解：设截面四边形为EFGH，F、G、H分别是BC、CD、DA的中点，∴EF=GH=2，FG=HE=3，∴周长为2×（2+3）=10．故答案为：10．16、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF AC⊥，EF A⊥1D则EF和BD1的关系是______．答案：平行解析：解：法一：根据图象可知：⊥，AC∩B1C=C，⊥1D，A1D B∥1C，B1C EFEF AC⊥，EF A∥．∴EF⊥面AB1C，而BD1⊥面AB1C，即BD1EF法二：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1-xyz，且设正方形的边长为1所以就有D1（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）所以=（-1，0，1），=（-1，1，0），=（-1，-1，1）⊥1，所以•=-1+1=0 所以A1D BD⊥1，•=1-1=0 所以AC BD所以BD1与A1D和AC都垂直又∵EF是AC、A1D的公共垂线，∥．∴BD1EF故答案为：平行．17、已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为______．答案：解析：解：∵正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，连结AD1，AB1，∴由正方体的性质，得：AD1∩A1D=P，P是AD1的中点，∥1，PQ AB∴PQ=AB1==．故答案为：．18、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A 1C ⊥平面B 1EF ；②△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A 1B 1C 1D 1内总存在与平面B 1EF 平行的直线；④平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关．其中正确结论的序号为______（写出所有正确结论的序号）．答案：②③解析：解：若A 1C ⊥平面B 1EF ，则A 1C B ⊥1F ，由三垂线逆定理知：B 1F A ⊥1B ，又当F 与A 不重合时，B 1F 与A 1B 不垂直，∴①错误；∵E 在侧面BCC 1B 1上的投影在CC 1上，F 在侧面BCC 1B 1上的投影是B ，∴△B 1EF 在侧面BCC 1B 1上的正投影是三角形，三角形的面积S=×棱长×棱长为定值．∴②正确；设平面A 1B 1C 1D 1∩平面B 1EF=l ，∵平面A 1B 1C 1D 1内总存在与l 平行的直线，由线面平行的判定定理得与l 平行的直线，与平面B 1EF 平行，∴③正确；设E 与D 重合，F 位置变化，平面B 1EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小也在变化，∴④错误．故答案为：②③．19、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E ，F 分别是棱CD 、C 1D 1的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A 1B 1C 1D 1上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹（曲面）与二面角D-C 1D 1-B 1所围成的几何体的体积为______．答案：解析：解：依题意知|FP|=|MN|=1，因此点P的轨迹是以点F为球心、1为半径的球的．∴所求几何体的体积是×π×13=．故答案为：．∈1，且AM=BN，有以下四个结论：∈1，N BC20、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M AB⊥；①AA1MN∥；②A1C1MN③MN与面A1B1C1D1成0°角；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是______．答案：①③解析：解：当M 为A ，N 为B ，排除②；当M 为B 1，N 为C 1，排除④．作MM′A ⊥1B 1于M′，作NN′B ⊥1C 1于N′，易证|MM′|=|NN′|，MM′NN′∥∴MN M′N′∥，由此知①③正确．故答案为：①③21、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于点E ，交CC 1于F ，①四边形BFD 1E 一定是平行四边形②四边形BFD 1E 有可能是正方形③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形④四边形BFD 1E 点有可能垂直于平面BB 1D以上结论正确的为______（写出所有正确结论的编号）答案：①③④解析：解：如图：①由平面BCB 1C 1∥平面ADA 1D 1，并且B 、E 、F 、D 1四点共面，∴ED 1BF ∥，同理可证，FD 1EB ∥，故四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故①正确；②若BFD 1E 是正方形，有ED 1BE ⊥，这个与A 1D 1BE ⊥矛盾，故②错误；③由图得，BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，故③正确；④当点E 和F 分别是对应边的中点时，平面BFD 1E ⊥平面BB 1D 1，故④正确．故答案为：①③④．22、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与过A 1、D 、C 1的平面交于点M ，则=______．答案：2解析：解：由正方体的性质可得：D 1B ⊥平面DA 1C 1，∴D 1M 是三棱锥D 1-A 1DC 1的高．不妨设正方体的棱长为1．∵=，∴=，解得D 1M==．∴=2．故答案为：2．∉，且A，那么k是A的一个“酷元”，23．设A是自然数集的一个非空子集，如果k2A⊆，且集合M中的两个元素都是“酷元”那么这样的结给定S={0，1，2，3，4，5}，设M S合M有______个．答案：5解析：解：∵S={0，1，2，3，4，5}，由题意可知：集合M不能含有0，1，也不能同时含有2，4故集合M可以是{2，3}、{2，5}、{3，5}、{3，4}、{4，5}，共5个故答案为：524、如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是______．答案：4解析：解：题题意SA⊥圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得△ADB，△SAC，△ABC，△SBC都是直角三角形故图中直角三角形的个数是4个故答案为：4．评卷人得　分三．简答题（共__小题）25、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，点P为平面ABCD所在平面外的⊥．一点，若△PAD为等边三角形，求证：PB AD答案：证明：如图，连结BD ，取AD 的中点E ，连结PE ，BE ；从而易知△ABD 也是等边三角形，又∵△PAD 为等边三角形，∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又∵PE∩BE=E ；故AD ⊥平面PBE ；故AD PB ⊥．解析：证明：如图，连结BD ，取AD 的中点E ，连结PE ，BE ；从而易知△ABD 也是等边三角形，又∵△PAD 为等边三角形，∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又∵PE∩BE=E ；故AD ⊥平面PBE ；故AD PB ⊥．26、如图，设三棱锥S-ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA BC ⊥．（1）求证：S-ABC 为正三棱锥；（2）已知SA=a ，求S-ABC 的全面积．答案：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．作三棱锥S-ABC 的高SO ，O 为垂足，连接AO 并延长交BC 于D ．因为SA BC ⊥，所以AD BC ⊥．又侧棱与底面所成的角都相等，从而O 为△ABC 的外心，OD 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC ．又∠BAC=60°，故△ABC 为正三角形，且O 为其中心．所以S-ABC 为正三棱锥．（2）解：在Rt SAO △中，由于SA=a ，∠SAO=60°，所以SO=a ，AO=a ．因O 为重心，所以AD=AO=a ，BC=2BD=2ADcot60°=a ，OD=AD=a ．在Rt SOD △中，SD 2=SO 2+OD 2=（a ）2+（a ）2=，则SD=a ．于是，（S S-ABC ）全=•（a ）2sin60°+3••a•a=a 2．解析：（1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．作三棱锥S-ABC 的高SO ，O 为垂足，连接AO 并延长交BC 于D ．因为SA BC ⊥，所以AD BC ⊥．又侧棱与底面所成的角都相等，从而O 为△ABC 的外心，OD 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC ．又∠BAC=60°，故△ABC 为正三角形，且O 为其中心．所以S-ABC 为正三棱锥．（2）解：在Rt SAO △中，由于SA=a ，∠SAO=60°，所以SO=a ，AO=a ．因O 为重心，所以AD=AO=a ，BC=2BD=2ADcot60°=a ，OD=AD=a ．在Rt SOD △中，SD 2=SO 2+OD 2=（a ）2+（a ）2=，则SD=a ．于是，（S S-ABC ）全=•（a ）2sin60°+3••a•a=a 2．27、如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边上的中点．（1）若BD=2，AC=6，则EG 2+HF 2等于多少？（2）若AC 与BD 成30°的角，且AC=6，BD=4，则四边形EFGH 的面积等于多少？答案：解：（1）∵E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 四边上的中点，∴EH BD ∥，且EH=BD ；FG BD ∥，且FG=BD ；∴EH FG ∥，且EH=FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；又BD=2，AC=6，∴EH=BD=1，EF=AC=3，在△EFG 和△HFG 中，由余弦定理得，EG 2=EF 2+FG 2-2EF•FG•cos EFG∠=32+12-2×3×1×cos EFG∠=10-6cos EFG ∠，HF 2=HG 2+FG 2-2HG•FG•cos FGH∠=32+12-2×3×1×cos （π-EFG ∠）=10+6cos EFG ∠，∴EG 2+HF 2=20；（2）∵AC 与BD 成30°的角，且EF AC ∥，FG BD ∥，∴∠EFG=30°，又AC=6，BD=4，∴EF=AC=3，FG=BD=2；∠．∴四边形EFGH的面积为S=EF•FG•sin EFG=3×2×sin30°=3解析：解：（1）∵E、F、G、H分别是空间四边形ABCD四边上的中点，∥，且EH=BD；∴EH BDFG BD∥，且FG=BD；∥，且EH=FG，∴EH FG∴四边形EFGH是平行四边形；又BD=2，AC=6，∴EH=BD=1，EF=AC=3，在△EFG和△HFG中，由余弦定理得，∠EG2=EF2+FG2-2EF•FG•cos EFG∠=32+12-2×3×1×cos EFG∠，=10-6cos EFG∠HF2=HG2+FG2-2HG•FG•cos FGH∠）=32+12-2×3×1×cos（π-EFG=10+6cos EFG∠，∴EG2+HF2=20；（2）∵AC 与BD 成30°的角，且EF AC ∥，FG BD ∥，∴∠EFG=30°，又AC=6，BD=4，∴EF=AC=3，FG=BD=2；∴四边形EFGH 的面积为S=EF•FG•sin EFG=3×2×sin30°=3∠．28、已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直且长度分别为a 、b 、c ，设O 为S 在底面ABC 上的射影．求证：（1）O 为△ABC 的垂心；（2）O 在△ABC 内；（3）设SO=h ，则++=．答案：证明：（1）∵SA SB ⊥，SA SC ⊥，∴SA ⊥平面SBC ，BC ⊂平面SBC ．∴SA BC ⊥．而AD 是SA 在平面ABC 上的射影，∴AD BC ⊥．同理可证AB CF ⊥，AC BE ⊥，故O 为△ABC 的垂心．（2）证明△ABC 为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c ，则底面三角形ABC 中，AB=为最大，从而∠ACB 为最大角．用余弦定理求得cos ACB=∠＞0，∴∠ACB 为锐角，△ABC 为锐角三角形．故O 在△ABC 内．（3）SB•SC=BC•SD ，故SD=，=+，又SA•SD=AD•SO ，∴===+=++=．解析：证明：（1）∵SA SB ⊥，SA SC ⊥，∴SA ⊥平面SBC ，BC ⊂平面SBC ．∴SA BC ⊥．而AD 是SA 在平面ABC 上的射影，∴AD BC ⊥．同理可证AB CF ⊥，AC BE ⊥，故O 为△ABC 的垂心．（2）证明△ABC 为锐角三角形即可．不妨设a≥b≥c ，则底面三角形ABC 中，AB=为最大，从而∠ACB 为最大角．用余弦定理求得cos ACB=∠＞0，∴∠ACB 为锐角，△ABC 为锐角三角形．故O 在△ABC 内．（3）SB•SC=BC•SD ，故SD=，=+，又SA•SD=AD•SO ，∴===+=++=．29．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径R．答案：解：（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，边长BC=2，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=S全=3×=9⊥于点G，（2）过O作OG PE∽△，且OG=OH=R，则△POG PEH∴，∴R=解析：解：（1）设正三棱锥的底面中心为H，由题意知PH=1，边长BC=2，取BC中点E，连接HE、PE，则HE=S全=3×=9⊥于点G，（2）过O作OG PE∽△，且OG=OH=R，则△POG PEH∴，∴R=30、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC 的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ；（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．答案：解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB BC ⊥，AB BD ⊥．∵△BCD 是正三角形，且AB=BC=a ，∴AD=AC=．设G 为CD 的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D-ABC 的表面积为．（2）取AC 的中点H ，∵AB=BC ，∴BH AC ⊥．∵AF=3FC ，∴F 为CH 的中点．∵E 为BC 的中点，∴EF BH ∥．则EF AC ⊥．∵△BCD 是正三角形，∴DE BC ⊥．∵AB ⊥平面BCD ，∴AB DE ⊥．∵AB∩BC=B ，∴DE ⊥平面ABC ．∴DE AC ⊥．∵DE∩EF=E ，∴AC ⊥平面DEF ．（3）存在这样的点N ，当CN=时，MN ∥平面DEF ．连CM ，设CM∩DE=O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO=CM ．∴当CF=CN 时，MN OF ∥．∴CN=．解析：解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB BC ⊥，AB BD ⊥．∵△BCD 是正三角形，且AB=BC=a ，∴AD=AC=．设G 为CD 的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D-ABC 的表面积为．（2）取AC 的中点H ，∵AB=BC ，∴BH AC ⊥．∵AF=3FC ，∴F 为CH 的中点．∵E 为BC 的中点，∴EF BH ∥．则EF AC ⊥．∵△BCD 是正三角形，∴DE BC ⊥．∵AB ⊥平面BCD ，∴AB DE ⊥．∵AB∩BC=B ，∴DE ⊥平面ABC ．∴DE AC ⊥．∵DE∩EF=E ，∴AC ⊥平面DEF ．（3）存在这样的点N ，当CN=时，MN ∥平面DEF ．连CM ，设CM∩DE=O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO=CM ．∴当CF=CN 时，MN OF ∥．∴CN=．。

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立体几何题型分类解答第一节空间简单几何体的结构与三视图、直观图及其表面积和体积一、选择题1．(2009年绵阳月考)下列三视图所对应的直观图是( )2．(2010年惠州调研)下列几何体(如下列图)各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①②B．①③C．①④D．②④3．如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是( )①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③② B．②①③ C．①②③ D．③②④4．(2009年常德模拟)用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )A．9与13 B．7与10 C．10与16 D．10与155．(2009年山东卷)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233二、填空题6．在下列图的几何体中，有________个是柱体．7．(2009年全国卷)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于__________．8．一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2、3、6，这个长方体对角线的长是________．三、解答题9.如右图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长．10.一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的体积．参考答案1．C2．解析：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D.答案：D3．A 4.C 5.C6．解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中第①，③，⑤，⑦个几何体都是柱体．答案：47．解析：在△ABC 中AB ＝AC ＝2，∠BAC＝120°，可得BC ＝23，由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r ＝2，设此圆圆心为O′，球心为O ，在RT△OBO′中，易得球半径R ＝5，故此球的表面积为4πR 2＝20π.答案：20π8．解析：不妨设三棱长为a ，b ，c ，则ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，解得abc ＝6从而a ＝2，b ＝1，c ＝3，其对角线长为a 2＋b 2＋c 2＝ 6.答案： 69．解析：(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形所以对角线长为42＋92＝97；(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB 1展开，如右图，设PC 的长为x ，则MP 2＝MA 2＋(AC ＋x)2，因为MP ＝29，MA ＝2，AC ＝3，所以x ＝2即PC 的长为2，又因为NC∥AM所以PC PA ＝NC AM 即25＝NC 2，所以NC ＝45.注意：几何体中，沿侧面上的最短线路问题常考虑几何体的侧面展开图或表面展开图来考虑．10．解析：该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直，(直观图，三视图略)其体积为： 13×6×6×6＝72 cm 3.第二节空间图形的基本关系与公理一、选择题1．下列四个命题：①分别在两个平面内的两条直线是异面直线 ②和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 ③和两条异面直线都相交的两条直线必异面④若a 与b 是异面直线，b 与c 是异面直线，则a 与c 也是异面直线其中是真命题的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．02．以下命题中：①点A，B，C∈直线a，A，B∈平面α，则C∈α；②点A∈直线a，a⊄平面α，则A∈α；③α，β是不同的平面，a⊂α，b⊂β，则a，b异面；④三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤空间有四点不共面，则这四点中无三点共线．真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．33．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．(2008年四川延考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为( )A.510B.1010C.55D.1055．(2008年全国卷Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23二、填空题6．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定________个平面．7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1、CC1相交于E，F两点，则四边形EBFD1的形状为________．8．P是直线a外一定点，经过P且与直线a成30°角的直线有________条．三、解答题9.如右图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形；(3)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．10.如右图所示，已知四边形ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面AC ，且PA ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求PC 的长；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小．参考答案1．D2．解析：只有①⑤为真命题．答案：C 3．B4．解析：连结D 1C ，EC ，用余弦定理解三角形可以求得答案．答案：B5．解析：连接AC 、BD 交于O ，连接OE ，因OE∥SD.所以∠AEO 为所求．设侧棱长与底面边长都等于2，则在△AEO 中，OE ＝1，AO ＝2，AE ＝22－1＝3，于是cos∠AEO＝()32＋12－222×3×1＝13＝33. 答案：C6．7 7.平行四边形8．解析：无数条，它们组成一个以P 为顶点的圆锥面．答案：无数9．解析：(1)证明：在△ABC 中，E ，F 分别是边AB ，BC 中点，所以EF∥AC，且EF ＝12AC ，同理有GH∥AC，且GH ＝12AC ，∴EF∥GH 且EF ＝GH ，故四边形EFGH 是平行四边形；(2)证明：仿(1)中分析，EH∥BD 且EH ＝12BD ，若AC ＝BD ，则有EH ＝EF ，又因为四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)由(2)知，AC ＝BD(四边形EFGH 是菱形，欲使EFGH 是正方形，还要得到∠EFG＝90°，而∠EFG 与异面直线AC ，BD 所成的角有关，故还要加上条件AC⊥BD.∴当AC ＝BD 且AC⊥BD 时，四边形EFGH 是正方形．10．解析：(1)因为PA⊥平面AC ，AB⊥BC，∴PB⊥BC，即∠PBC＝90°，由勾股定理得PB ＝PA 2＋AB 2＝ 2. ∴PC＝PB 2＋BC 2＝ 6. (2)如右图所示，过点C 作CE∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则∠PCE 为异面直线PC 与BD 所成的角或它的补角．∵CE＝BD ＝2，且PE ＝PA 2＋AE 2＝10. ∴由余弦定理得cos∠PCE＝PC 2＋CE 2－PE 22PC·CE ＝－36.∴PC 与BD 所成角的余弦值为36.第三节空间图形的平行关系一、选择题1．α、β是两个不重合的平面，a 、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是( ) A ．α、β都平行于直线a 、bB ．α内有三个不共线点A 、B 、C 到β的距离相等 C ．a 、b 是α内两条直线，且a∥β，b∥βD ．a 、b 是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β2．(2009年滨州模拟)给出下列命题：①若平面α内的直线l 垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β； ②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β； ③若平面α垂直于平面β，直线l 在平面α内，则l⊥β； ④若平面α平行于平面β，直线l 在平面α内，则l∥β. 其中正确命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．204．a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是( ) A ．过A 有且只有一个平面平行于a 、b B ．过A 至少有一个平面平行于a 、b C ．过A 有无数个平面平行于a 、b D ．过A 且平行a 、b 的平面可能不存在5．给出下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题： ①若m ⊂α，l∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面； ②若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；③若l ⊂α，m ⊂α，l∩m＝点A ，l∥β，m∥β，则α∥β； ④m∥α，m ⊂β，α∩β＝l ，则m∥l. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 二、填空题6．设D 是线段BC 上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A(A 与BC 分居平面两侧)作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC ＝a ，AD ＝b ，DF ＝c ，则EG ＝________.7．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN∥平面B 1BDD 1.8．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号) 三、解答题9.(2009年柳州模拟)如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积．10.(2009年宁夏模拟)如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E —PAD 的体积；(2)当点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (3)证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE⊥AF.参考答案1．解析：A 错，若a∥b，则不能断定α∥β；B 错，若A 、B 、C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a∥b，则不能断定α∥β；D 正确．答案：D 2．B3．解析：利用△PAB 与△PCD 相似可得，当α，β在点P 的同侧时，BD 为245；α，β在点P 的异侧时，BD为24.答案：B4．解析：过点A 可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′＝A.∴a′、b′可确定一个平面，记为α. 如果a ⊄α，b ⊄α，则a∥α，b∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在．答案：D5．解析：本题考查线线，线面及面面位置关系的判定．答案：B 6.ab －acb7．点M 在线段FH 上8．解析：如右图所示，A 1D 与BC 1在平面ABCD 上的射影互相平行； AB 1与BC 1在平面ABCD 上的射影互相垂直；DD 1与BC 1在平面ABCD 上的射影是一条直线及其外一点．答案：①②④9．解析：(1)证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连结EF. ∵ABCD—A 1B 1C 1D 1为正四棱柱， ∴四边形DCC 1D 1为矩形， ∴F 为D 1C 中点．在△CD 1B 中，∵E 为BC 中点，∴EF∥D 1B. 又∵D 1B ⊄面C 1DE ，EF ⊂面C 1DE ，∴BD 1∥平面C 1DE. (2)连结BD ，VD －D 1BC ＝VD 1－DBC ，∵AC′是正四棱柱， ∴D 1D⊥面DBC.∵DC＝BC ＝2，∴S △BCD ＝12×2×2＝2.VD 1－DBC ＝13·S △BCD ·D 1D ＝13×2×1＝23.∴三棱锥D －D 1BC 的体积为23.10．解析：(1)三棱锥E —PAD 的体积 V ＝13PA·S △ADE ＝13PA·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD·AB ＝36.(2)当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． ∵在△PBC 中，E 、F 分别为BC 、PB 的中点， ∴EF∥PC，又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， ∴EF∥平面PAC.(3)证明：∵PA⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ， ∴EB⊥平面PAB ，又AF ⊂平面PAB ，∴AF⊥EB，又PA ＝AB ＝1，点F 是PB 中点，∴AF⊥PB 又∵PB∩BE＝B ，PB ，BE ⊂面PBE ，∴AF⊥面PBE ，∵PE⊂面PBE，∴PE⊥AF.第四节空间图形的垂直关系一、选择题1．(2008年安徽卷)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．(2009年浙江卷)设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．(2009年广东卷)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④4．关于直线m、n与平面α与β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；其中真命题的序号是( )A．①② B．③④ C．①④D．②③5．已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是( )A．①③ B．②④ C．①④D．②③二、填空题6．下列命题中，设α、β、γ为不同平面，a、b为不同直线，下列命题是真命题的有________．①a⊥α，a⊥β⇒α∥β.②a⊥α，a∥b⇒b⊥α.③α⊥β，a⊂α，b⊂β⇒a⊥b.④a⊥α，a⊥b⇒b∥α.7．设三棱锥P－ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心其中正确命题的命题是________．8．(2009年浙江)如下图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是_____________．三、解答题9.如右图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝ 2.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．10．如右图，A、B、C、D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝ 2.等边三角形ADB以AB为轴运动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD?证明你的结论．参考答案1．解析：m、n均为直线，其中m、n平行α，m、n可以相交也可以异面，故A不正确；m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；故选D.答案：D2．解析：对于A 、B 、D 均可能出现l∥β，而对于C 是正确的．答案：C3．D4．D5．解析：用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④正确，②中m ，n 可以平行或异面；③中n 可以在α内．答案：C6．①②7．①②③④8．解析：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t ＝1，随着F 点到C 点时，因CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB ，即有CB⊥BD，对于CD ＝2，BC ＝1，∴BD＝3，又AD ＝1，AB ＝2，因此有AD⊥BD，则有t ＝12，因此t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 9．解析：(1)证明：因为四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ＝1，PD ＝2，所以PD 2＝PA 2＋AD 2，所以PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D ，所以PA⊥平面ABCD.(2)四棱锥P －ABCD 的底面积为1，因为PA⊥平面ABCD ，所以四棱锥P －ABCD 的高为1，所以四棱锥P －ABCD 的体积为13. 10．解析：(1)取AB 的中点E ，连结DE ，CE ，因为ADB 是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC 时，因为平面ADB∩平面ABC ＝AB ，所以DE⊥平面ABC ，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.。