2020年新高考数学核心知识点25.1 空间向量方法--空间的角(精讲精析篇)(学生版)
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
高三数学空间角与空间距离的计算通用版知识精讲
高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】 【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法： （ⅰ）根据定义； （ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题 （1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是： 一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． 此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角； （2）求PC 和面ABC 所成的角； （3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角． 在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点， （1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小； （3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ， 又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=． （2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ， 又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ． 又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅， 所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形， 故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1， 故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离． 由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ； 又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ， 即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ， 设 平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ， 即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ， 即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心， 连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥． （Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，， 连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（ ）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（ ）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（ ）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离 二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略 解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥． 又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。
解析高考几何题中的空间向量知识点
解析高考几何题中的空间向量知识点在高考数学中，几何题一直是重点和难点，而空间向量的引入为解决这类问题提供了有力的工具。
空间向量不仅能够简化复杂的几何推理，还能帮助我们更直观、高效地找到解题思路。
接下来，咱们就深入剖析一下高考几何题中涉及的空间向量知识点。
一、空间向量的基本概念空间向量是在空间中既有大小又有方向的量。
它与平面向量类似，但多了一个维度。
一个空间向量可以用有向线段来表示，其长度表示向量的模，方向表示向量的指向。
在直角坐标系中，空间向量可以用坐标形式表示，比如向量 a ＝（x, y, z) 。
通过坐标，我们可以方便地进行向量的运算。
二、空间向量的运算1、加法和减法两个空间向量的加法和减法遵循三角形法则和平行四边形法则。
通过坐标运算，若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，则向量 a ＋ b ＝（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2, z1 ＋ z2) ，向量 a b ＝（x1 x2, y1 y2, z1 z2) 。
2、数乘运算一个实数 k 乘以一个空间向量 a ，得到的向量 k a 的模是原向量模的｜k| 倍，方向当 k ＞ 0 时与原向量相同，当 k ＜ 0 时与原向量相反。
坐标运算为 k a ＝（kx, ky, kz) 。
3、数量积空间向量的数量积 a · b ＝｜a| ｜b| cosθ ，其中θ 是两个向量的夹角。
通过坐标运算，若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，则 a · b ＝ x1x2 ＋ y1y2 ＋ z1z2 。
数量积的应用非常广泛，比如可以用来求向量的模、判断向量的垂直关系等。
三、空间向量在证明平行与垂直关系中的应用1、平行关系若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，当存在实数 k ，使得 a ＝ k b 时，向量 a 与向量 b 平行。
高考数学中的空间向量解析技巧
高考数学中的空间向量解析技巧高考数学是每个学生都要面对的考试之一，而在数学中，空间向量解析技巧是一个极为重要的知识点。
空间向量与平面向量的计算和性质有着很大的不同之处，空间解析几何是高中数学的一个重要部分。
在高考数学中，空间向量解析技巧的掌握直接关系到考生是否能在限定时间内完成高考数学题目，因此在备考时，空间向量解析技巧也是很必要的。
一、空间向量的概念空间向量是指空间中具有大小、方向和作用点（或起点）的量。
在空间中，空间向量可以用一个有向线段表示，这个有向线段的起点在空间中的任意一点，终点在该点的任意方向上。
二、空间向量的加、减、数乘与数量积空间向量和平面向量的加减法原理是一样的，只是需要注意方向和长度，即可以将空间向量看做是平面向量的推广，因此空间向量的加减法也需要考虑方向和长度。
而数乘就是一个向量与一个标量的积，在空间向量中也是这样，标量代表的是一个数，即乘以一个数来改变向量的长度和方向。
而空间向量的数量积是指将两个向量对应位置的数相乘，然后将所得的积相加，这就是点积公式，点积的值可以表示两个向量之间的关系。
三、空间向量的叉积在空间向量的计算中，叉积是一个非常重要的概念，它也是高考中最容易出现的空间向量问题之一。
空间向量的叉积是指将两个向量的值按照特定的顺序叉乘，得到叉积向量。
叉积向量垂直于这两个向量组成的平面，并且满足右手定则，也就是将右手伸出，让拇指指向第一个向量，食指指向第二个向量，那么中指的方向就是叉积向量的方向。
叉积向量的大小可以通过公式计算，它的值等于第一个向量和第二个向量构成的平行四边形的面积。
四、利用空间向量解析技巧解题的具体方法在高考数学考试中，空间解析几何的应用范围很广，而空间向量解析技巧也是很重要的一部分。
当学生在面对空间向量解析的题目时，应该按照下面的步骤来解决问题：1、首先，理解题目的要求和根据题目所给的条件，画出相关的图形。
2、根据图形和条件，确定需要用到的向量和叉积，并且确定向量的方向和大小。
高考空间向量知识点总结
高考空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要概念之一，也是高考中常考的知识点。
掌握好空间向量的相关知识对于解题和理解几何概念都非常重要。
本文将为您总结高考空间向量的相关知识点，帮助您更好地备考高考。
一、空间向量的定义和表示方法空间向量是有大小和方向的量，通常用有序三元组表示。
设有两点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)，则向量AB可以表示为：AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)二、空间向量的模、方向余弦和共线性1. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，计算方式为：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]2. 向量的方向余弦：设向量AB与坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则方向余弦分别为：cosα = (x₂-x₁) / |AB|cosβ = (y₂-y₁) / |AB|cosγ = (z₂-z₁) / |AB|3. 向量的共线性：若两个向量平行或反向平行，则称其共线。
当两个向量的坐标比例相等时，它们共线。
三、空间向量的运算1. 向量的加法：设有两个向量AB和CD，其和可以表示为：AB + CD = (x₂-x₁+x₄-x₃, y₂-y₁+y₄-y₃, z₂-z₁+z₄-z₃)2. 向量的数量乘法：设有一个向量AB和实数k，其数量乘积为：kAB = (kx, ky, kz)，其中x, y, z分别为向量AB的坐标3. 向量的点乘和叉乘：(1) 点乘：设有两个向量AB和CD，其点乘结果为：AB · CD = |AB||CD|cosθ，其中θ为两个向量夹角的余弦值(2) 叉乘：设有两个向量AB和CD，其叉乘结果为：AB × CD = (i, j, k)，其中i表示x轴分量，j表示y轴分量，k表示z 轴分量四、空间向量的应用1. 向量在平面内的投影：设有一个向量AB和平面α，向量AB在平面α上的投影为向量AC，计算公式为：AC = |AB|cosθ，其中θ为向量AB与平面α的夹角的余弦值2. 平面的方程：设平面α过点A(x₁,y₁,z₁)且法向量为n(a,b,c)，则平面α的方程为：ax + by + cz = d，其中d = ax₁ + by₁ + cz₁3. 空间向量的夹角：设有两个向量AB和CD，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (AB · CD) / (|AB||CD|)五、空间向量的坐标表示和平行四边形法则1. 坐标表示：空间中的向量可以通过坐标表示，即将向量的尾点移到坐标原点，将向量的起点坐标作为表示该向量的坐标。
立体几何中的向量方法空间角
点 A 到平面 MNC 的距离为 a . 2
P
N
D
C
M
A
B
4. 异面直线间旳距离
已知a,b是异面直线, CD为a,b旳公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A，B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
由(1)知D(0，0，0)，P(0，0，1)，
z P
B(1，1，0)，E(0，1 ，1) 22
E
y
PD (0，0，1)，EB (1，1 ， 1)
C
B
22
x
G
00 1
cos PD，EB
2
D
6
A
13
6
2
所以EB与底面ABCD所成旳角旳正弦值为 6
6
所以EB与底面ABCD所成旳角旳正切值为
5 5
练习5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC旳中 点，作EF⊥PB交PB于点F.
|
6 3
即所求二面角得余弦值是 6 3
1. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
BAC 900,E为PC中点 ,则PA与BE所成角旳
余弦值为____6_____ . 6
2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角旳余弦值为__31_01_0_____ .
x
空间角问题高三数学知识点
空间角问题高三数学知识点空间角问题是高三数学中的重要知识点之一。
在解决空间角问题时，我们需要熟练掌握一系列概念、定理和计算方法。
本文将系统介绍空间角问题的相关内容，包括空间角的定义、分类和性质，以及求解空间角问题的具体方法和技巧。
一、空间角的定义和分类1.1 空间角的定义空间角是在三维空间中由两条射线形成的角。
它可以看作是平面角在立体空间中的推广。
通常用小写的希腊字母表示空间角，如α、β、γ等。
1.2 空间角的分类根据空间角的大小和位置关系，空间角可以分为以下几种类型：1) 零角：两条射线重合，形成的角为零角。
2) 锐角：两条射线夹角小于90度，形成的角为锐角。
3) 直角：两条射线夹角等于90度，形成的角为直角。
4) 钝角：两条射线夹角大于90度但小于180度，形成的角为钝角。
5) 平角：两条射线夹角等于180度，形成的角为平角。
二、空间角的性质空间角具有一系列重要的性质，掌握这些性质有助于我们解决空间角问题。
2.1 垂直性质若两个空间角互为互补角，则它们所对的两条射线垂直。
2.2 同位角性质若两个空间角由相同的两条射线所形成（其中一条射线相互重合），则这两个空间角互为同位角。
同位角具有以下性质：1) 同位角相等：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角也为α。
2) 同位角的补角关系：若两个同位角中的一个角为α，则另一个角为180度减α的补角。
2.3 对顶角性质若两个空间角互为对顶角，则它们所对的两条射线互相重合。
三、求解空间角问题的方法和技巧3.1 判断空间角的类型在解决空间角问题时，首先要能够准确地判断空间角的类型。
可以通过观察两条射线的位置关系和夹角的大小来判断空间角是锐角、直角、钝角还是平角。
3.2 应用对顶角和同位角的性质对顶角和同位角的性质在求解空间角问题时经常被应用。
通过利用对顶角和同位角的性质，可以得到空间角的相关信息，进而解决问题。
3.3 运用向量方法在空间角问题的求解中，向量方法也是一种重要的技巧。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
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专题25.1 空间向量方法--空间的角（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 异面直线所成的角1.两条异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,2π．③向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为φ,则有cos|cos|||||||a ba bθϕ⋅==⋅r rr r.【典例1】（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCD A B C D-中,1AB BC==,13AA则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )A．15B5C5D2【典例2】（2019·广西高考模拟（理））在直三棱柱111ABC A B C-中,3,3,32AC BC AB===14AA=,则异面直线1A C与1BC所成角的余弦值为__________．【总结提升】向量法求两异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1,v2；(3)代入公式|cos 〈v 1,v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解．提醒：两异面直线所成角θ的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2,两向量的夹角α的范围是[0,π],当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是两异面直线所成的角．热门考点02 直线与平面所成角1．直线和平面所成角的求法：如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,两向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.【典例3】（2018·江苏高考真题）如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1,BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．【典例4】（2020·天水市第一中学高三月考（理））如图,在三棱柱ABC A B C '''-中,已知CC '⊥平面ABC ,90ACB ∠=o ,3BC =,4AC CC ='=.(1) 求证：AC A B '⊥'；(2) 求直线CC '与平面ABC '所成角的正弦值. 【规律方法】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角．热门考点03 二面角1．求二面角的大小(1)如图1,AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈AB u u u r ,CD u u ur 〉．(2)如图2、3,12,n n u r u u r分别是二面角α－l －β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．【典例5】（2019年高考全国Ⅲ卷理）图1是由矩形ADEB ,Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,BE =BF =2,∠FBC =60°,将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.（1）证明：图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B −CG −A 的大小.【典例6】（2017·北京高考真题（理））如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD ,点M 在线段PB 上,PD P 平面MAC ,6PA PD ==4AB =．（1）求证：M 为PB 的中点； （2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． 【规律方法】利用向量法计算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．热门考点04 空间角有关的探索性问题【典例7】（2019·浙江高二期中）如图所示的几何体中,PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面,,2ADC BAD F π∠=∠=为PA 的中点,12,12PD AB AD CD ====,四边形PDCE 为矩形,线段PC 交DE 于点N .（1）求证：AC P 平面DEF ； （2）求二面角A PB C --的正弦值；（3）在线段EF 上是否存在一点Q ,使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为π6？若存在,求出FQ 的长；若不存在,请说明理由.【典例8】(2019·河北名校联盟模拟)如图所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝120°,四边形BFED 是以BD 为直角腰的直角梯形,DE ＝2BF ＝2,平面BFED ⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥平面BFED.(2)在线段EF上是否存在一点P,使得平面P AB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为5728？若存在,求出点P的位置；若不存在,说明理由．【总结提升】与空间角有关的探索性问题主要为与两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角有关的存在性问题,常利用空间向量法求解．求解时,一般把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,并注意准确理解和熟练应用夹角公式．其步骤是：(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系,设(求)出相关空间点的坐标；(3)构建有关向量；(4)结合空间向量,利用线面角或二面角的公式求解；(5)作出判断．热门考点05 利用向量求空间距离1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则①a±b＝(a1±b1,a2±b2,a3±b3)；②λa＝(λa1,λa2,λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3(λ∈R),a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a,b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23,cos 〈a ,b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1,b 1,c 1),B (a 2,b 2,c 2), 则222212121||()()()ABd AB a a b b c c ==-+-+-u u u r.2. 点面距的求法如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.【典例9】（2019·安徽高考模拟（理））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为棱1AA 、1BB 的中点,M 为棱11A B 上的一点,且1(02)A M λλ=<<,设点N 为ME 的中点,则点N 到平面1D EF的距离为（ ）A.3λB.2C.2λ D.5 【典例10】设正方体的棱长为2,则点到平面的距离是（ ）A. B. C. D.【典例11】（2018·四川省广安石笋中学校高考模拟（理））如图,在棱长为2的正方体中,M是线段AB 上的动点．证明：平面；若点M 是AB 中点,求二面角的余弦值；判断点M 到平面的距离是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．【总结提升】1.点到平面的距离,利用向量法求解比较简单,它的理论基础仍出于几何法,如本题,事实上,作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →,得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |,所以|BH →|＝|n ·BM →||n |,即d ＝|n ·BM →||n |.2.利用法向量求解空间线面角、面面角、距离等问题,关键在于“四破”：①破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”,求出平面的法向量；④破“应用公式关”．巩固提升1．（2019·四川高二期中（文））已知正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE ,1D F 所成角的余弦值为（ ） A ．45B ．35C ．23D ．572.（2019·福建高二月考）设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上,记11D PD B＝λ.当∠APC 为钝角时,λ的取值范围是________．3.（2019·浙江高三期中）如图,已知三棱台111ABC A B C -,平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=o ,30BAC ∠=o ,11114AA CC BC AC ====,,E F 分别是11,ACBC 的中点.(1)证明：BC EF ⊥(2)求直线EB 与平面11BCC B 所成角的正弦值.4.（2018·全国高考真题（理））如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.5．（2019·首都师范大学附属中学高二期中）如图,在四棱锥P ABCD -中,PB ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AD BC ∥,AD AB ⊥,且3PB AB AD ===,1BC =.(1)若点F 为PD 上一点且13PF PD =,证明：CF P 平面PAB .(2)求二面角B PD A --的大小.6．（2018·北京高考真题（理））如图,在三棱柱ABC −111A B C 中,1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11A C ,1BB 的中点,AB=BC =5,AC =1AA =2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ； （2）求二面角B −CD −C 1的余弦值； （3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．7.（2020·江苏淮阴中学高三期中）直三棱柱111ABC A B C -中, AB AC ⊥, 2AB =, 4AC =,12AA =, BD DC λ=u u u r u u u r .（1）若1λ=,求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）若二面角111B AC D --的大小为60︒,求实数λ的值.8．（2017·江苏高考真题） 如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1⊥平面ABCD ,且AB ＝AD ＝2,AA 1＝3,∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B －A 1D －A 的正弦值．9. （2019·江苏高三期中）如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,点E 、F 分别在棱1AA 、1BB 上移动,且1AE AA λ=u u u r u u u r ,1(1)BF BB λ=-u u u r u u u r .（1）若12λ=,求异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值； （2）若二面角A EF C --的大小为θ,且25sin θ=,求λ的值. 10.（2019·福建高二月考）如图,在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,棱长为2,M ,N 分别为A 1B ,AC 的中点．（1）证明：MN //B 1C ；（2）求A 1B 与平面A 1B 1CD 所成角的大小．11.（2019·天津高考真题（理））如图,AE ⊥平面ABCD ,,CF AE AD BC ∥∥,,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13,求线段CF 的长. 12．（2018·上海交大附中高二月考）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,11AAC C 边长为8的正方形,6AB =,110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ,使得1AD A B ⊥,并求1BD BC 的值. 13．（2019·湖北高三期中（理））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,//AD BC ,AB AD ⊥,222AD AB BC ===,2PA =,点M 满足2MD PM =u u u u r u u u u r.（1）求证：//PB 平面MAC ；（2）求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值.14．（2019·河北唐山一中高三期中（理））如图,在三棱柱111ABC A B C -中,122AA AB ==,13BAA π∠=,D 为1AA 的中点,点C 在平面11ABB A 内的射影在线段BD 上.(1)求证：1B D ⊥平面CBD ；(2)若BCD ∆是正三角形,求二面角1C BD C --的余弦值.15.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））如图,在四棱锥S ABCD -中,侧棱SA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,AD ∥BC ,AB AD ⊥,且2SA AB BC ===,1AD =,M 是棱SB 的中点 ．（Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段CD 上的动点,MN 与平面SAB 所成的角为θ,求sin θ的最大值．16.（2019·安徽高三期末（文））如图,在四棱锥P ABCD -中,AC BD ⊥交于点O ,ABC 90=o V ,AD CD =,PO ⊥底面ABCD ．()1求证：AC⊥底面PBD；()2若PBCV是边长为2的等边三角形,求O点到平面PBC的距离．。